5. MES w mechanice ośrodka ciągłego

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "5. MES w mechanice ośrodka ciągłego"

Konrad Nowak
5 lat temu
Przeglądów:

1 . MES w mechance ośroda cągłego P.Pucńs. MES w mechance ośroda cągłego.. Stan równowag t S P x z y n ρb(x, y, z) u(x, y, z) P Wetor gęstośc sł masowych N/m 3 ρb ρ g Wetor gęstośc sł powerzchnowych N/m t t x t y t z Równane równowag cała S tds + ρbd Statyczne warun brzegowe t σn gdze σ tensor naprężeń Wyorzystuąc twerdzene Greena Gaussa Ostrogradzego σnds dvσd S 3.

2 .. Stan równowag P.Pucńs Równana Navera (dvσ + ρb) d dvσ + ρb σ, + ρb P Notaca tensorowa σ x τ xy τ xz t σn gdze σ τ xy σ y τ yz τ xz τ yz σ z, n n x n y n z Notaca ogt a dvσ L T s gdze L σ x σ y t m T σ s gdze s z τ yz τ xz τ xy x y z z y z x y x Równane Navera w notac ogt a, m n x n y n z n z n y n z n x n y n x gdze L macerz operatorów różnczowych L T s + ρb Sformułowane słabe funca wagowa w δu nematyczne dopuszczana waraca przemeszczena (zgodna z nematycznym warunam brzegowym zasada prac wrtuanych) (Lδu) T sd + S (Lδu) T sd + ( ) (δu) T L T s + ρb d (Lδu) T sd praca sł wewnętrznych t (δu) T m T s S δu ds + (δu) T ρbd (δu) T tds + (δu) T ρbd S (δu) T tds + (δu) T ρbd praca sł zewnętrznych 3.

3 .. Dysretyzaca MES (nlwe, N LSSU, ELEU) P.Pucńs.. Dysretyzaca MES (nlwe, N LSSU, ELEU) Aprosymaca poa przemeszczeń n u eh N e (ξ, η, ζ) d e N e de N e 3 3n N e... N e n N e... N e n N e... N e n d e 3n d e... d e n x 3 z 9 y 6 7 d e 3n ITe d 3n NN n ξ ζ m o p η IT e macerz transformac uwzgędnaąca topoogę cosnusy erunowe pomędzy osam uładu gobanego oanego.3. Równane równowag uładu zdysretyzowanego Równane równowag (ρb e f e wetor sł obętoścowych) { } (L e δu e ) T s e d e (δu e ) T t e ds e (δu e ) T f e d e e S e e { B e } (L e N e δ d e ) T s e d e (N e δ d e ) T t e ds e (N e δ d e ) T f e d e e S e e IT e { } ( δ d δd) e T B et s e d e N et t e ds e N et f e d e e S e e { E (δd) T } IT et B { } et s e d e N et t e ds e N et f e d e e S e e } δd IT et B { et s e d e N et t e ds e N et f e d e e S e e { } } IT et B et s e d e IT et N {S et t e ds e + N et f e d e e e e sły wewnętrzne sły zewnętrzne 3.3

4 .. Eementy prętowe P.Pucńs Uwzgędnene zwązów nematycznych onstytutywnych nowa sprężystość (zw. onstytutywny) : s De nowy zwąze nematyczny : e Lu s e D e L e u e D e L e N e d e D e B e IT e d { } IT et B et D e B e d e IT e d e } IT {S et N et t e ds e + N et f e d e e e IT et { e B et D e B e d e K e } IT e d IT et { S e N et t e ds e p e b + e N et f e d e p e } IT et K e IT e d IT et p e b + IT et p e IT et K e IT e K d IT et p e b p b + IT et p e p Kd p b + p.. Eementy prętowe... Eement ratowy y d e d e d e e, u e d e d e x e α e d e 3 d e d e Wetor func przemeszczeń u {u(x)} Wetor uogónonych odształceń e {ε x } 3.

5 .. Eementy prętowe P.Pucńs Wetor uogónonych naprężeń s {N(x)} Wetor obcążena po długośc eementu f {f x } Macerz zwązów onstytutywnych D EA Macerz operatorów różnczowych L d dx Aprosymaca u e (x) N e (x) d e N e L e Le d, d e d L e ( xe ) e L e ( xe ) e Macerz sztywnośc K e K e e B et D e B e d EA EA e EA EA Macerz transformac c cos(α e ) s sn(α e ) T e c s c s Wzory transformacyne K e T et K e T e x e T et, T e x e 3.

6 .. Eementy prętowe P.Pucńs Wetor zastępnów f e x p e e N et f e d da f x const f x { } y e e p e fx, fx α e x... Eement beowy y, v e d e 3 de 3 de d e d e de e Wetor func przemeszczeń d e de Wetor uogónonych odształceń x u {v(x)} e {κ} Wetor uogónonych naprężeń s {M(x)} Wetor obcążena po długośc eementu f {f y } Macerz zwązów onstytutywnych D EI Macerz operatorów różnczowych L d dx 3.6

7 .. Eementy prętowe P.Pucńs Aprosymaca u e (x) N e (x) d e N e H e Ĥ e H e Ĥ e, d e d d d 3 d H e( xe ) e H e( xe ) Ĥ e( xe ) e Ĥ e( xe ) e e Macerz sztywnośc e K e B et D e B e d e 6 6 K e EI Macerz transformac bra Wetor zastępnów f e y da f y const f y p e e N et f e d { } y e e p e fy, fy, fy, f y x..3. Eement ramowy, v e d e de 6 d e y d e d e d e d e 3 d e e, u e d e d e d e x e α e d e 6 d e d e d e d e 3 3.7

8 .. Eementy prętowe P.Pucńs Wetor func przemeszczeń u {u(x), v(x)} Wetor uogónonych odształceń e {ε x, κ} Wetor uogónonych naprężeń s {N(x), M(x)} Wetor obcążena po długośc eementu f {f x, f y } Macerz zwązów onstytutywnych Macerz operatorów różnczowych D L EA EI d dx d dx Aprosymaca u e (x) N e (x) d e L N e e L e H e Ĥ e H e d e d d d 3 d d d 6 Ĥ e L e ( xe ) e L e ( xe ) e H e ( xe ) e H e( xe ) e Ĥ e( xe ) e Ĥ e( xe ) e Macerz sztywnośc K e e B et D e B e d 3.

9 .. Zagadnene D P.Pucńs K e EI 3 A I A I A I A I e Macerz transformac c cos(α e ) s sn(α e ) T e c s s c c s s c f e x Wetor zastępnów f e y p e e N et f e d da f x const f x f y const f y { } y e e p e fx, fy, fy, fx, fy, f y x α e.. Zagadnene D Wetor func przemeszczeń u {u(x, y), v(x, y)} Wetor odształceń e {ε x, ε y, γ xy } Wetor naprężeń s {σ x, σ y, τ xy } Wetor ntensywnośc sł brzegowych t {t x, t y } 3.9

10 .. Zagadnene D P.Pucńs Wetor ntensywnośc sł powerzchnowych f {f x, f y } Macerz operatorów różnczowych L x y y x Macerz zwązów onstytutywnych PSN: σ z ε z ν E (σ x + σ y ) D E ν ν ν ν Macerz zwązów onstytutywnych PSO: ε z σ z ν(σ x + σ y ) E D ( + ν)( ν) ν ν ν ν ν Macerz sztywnośc (da PSO h e m) K e B et D e B e h e da e A e Wetor obcążena eementu (da PSO h e m) p e N et f e h e da e A e Γ e A e Wetor sł brzegowych (da PSO h e m) p e b N et t e h e dγ e Γ e 3.

11 .6. Eementy sończone D P.Pucńs.6. Eementy sończone D Eement trówęzłowy N e u e (x, y) N e (x, y) d e N e N e N e N e N e N e, d e d d d 3 d d d 6 d 6 d d d e d d 3 N (, ) N (, ) N (, ) Eement czterowęzłowy u e (x, y) N e (x, y) d e N e N e N e N e N e N e N e N e N e, d e d d d 3 d d d 6 d 7 d d d 7 d 6 d d d e d d3 N (x, y) N (x, y) N (x, y) N (x, y) 3.

12 .7. Przyłady P.Pucńs.7. Przyłady.7.. Statya tarczy. Dane 3 N/m 7. N/m E GPa ν. h. m m m m Y Dysretyzaca d d 7 d d 3 d d d 9 X d d 3 d 6 nr. eem. nr. węzł. eem. 3. Macerz zwązów onstytutywnych 6 D. D Pa 6 Pa 3. Wyznaczene macerzy func ształtu N e macerzy sztywnośc K e Eement y () Dysretyzaca d 7 d d d 7 d d d d d 6 d d 3 d 9 d d 3 x () d d 3 N (x (), y () ) x() y () x () y () +, N (x (), y () ) x() y () N (x (), y () ) x() x () y (), N (x (), y () ) y() x () y () 3.

13 .7. Przyłady P.Pucńs K Eement N B (x (), y () ) N N N N N N N N y () y() y () y() x () x() x() x() x () B T DB h dx () dy () y () x() y() x () y () x() y() y () Dysretyzaca d d 3 d d 9 d 6 d x () d d 3 d 3 d d d 6 N (x (), y () ) y(), N (x (), y () ) y() x () N N (x (), y () ) x() N N N N N N - B (x (), y () ) K B T DB ha

14 .7. Przyłady P.Pucńs. Wetor p b 3 N/m 6 N/m 7. N/m m m m Eement p b Γ w.b. N T t dγ + wspóna rawędź równowaga sł wzdłuż n -: t t Γ N T tdγ+ Γ N T tdγ+ Γ N T tdγ ( ) T N (x (), y () ) ( ) Ttdy + N (x (), y () () ) r r + r7 r ) 3 ( x() 6 x() dx () Eement p b Γ wspóna rawędź równowaga sł wzdłuż n -: t w.b. t N T t dγ + N T tdγ+ N T tdγ Γ Γ ( ) T N (x (), y () ) ) dx 6 ( () x() 7. x()

15 .7. Przyłady P.Pucńs. Agregaca Macerze Booe a IB Eement y () d 7 d d d 7 d d d d d 6 d d 3 d 9 d d 3 x () d d 3 IB nr. o Eement nr. gob y () d d 3 d d 9 d 6 d x () d d 3 d 3 d d d 6 IB nr. gob nr. o Agregaca - Macerz sztywnośc K IB T K IB + IB T K IB K Agregaca - Wetor obcążena p b IB T p b + IB T p b, p 3.

16 .7. Przyłady P.Pucńs p b r 7 r r r r r 7 r r. Uład równań MES: Kd p + p b d d d 3 d d d 6 d 7 d d 9 d r r r 7 r 9. Uwzgęnene warunów brzegowych d 3 d d d 6 d 9 d r r r 7 r Rozwązane: d { } m r { } N. Powrót do eementu Eement d IB d { } 3.6

17 .7. Przyłady P.Pucńs Eement e s.93y.936.3x.93x.3y.6.976y x.7y.9 6.x 6.66x.y e B d, e (, ) s De, s (, ) d IB d { } 7 Pa e s e B d s De.93 Pa 3.. Wyznaczene wartośc przemeszczeń w wybranych puntach Eement punt (x (), y () ) u (, ) Eement punt (x ()., y ().) u (x (), y () ) N (x (), y () )d u (.,.) u (x (), y () ) N (x (), y () )d m m 3.7

18 .7. Przyłady P.Pucńs.7.. Zagadnene PSO. Dane 3 N/m 7. N/m E GPa ν. m m m Y Dysretyzaca d d 7 d d 3 d d d 9 X d d 3 d 6 nr. eem. nr. węzł. eem. 3. Macerz zwązów onstytutywnych 6 D ( +.)(.) D Pa 3. Wyznaczene macerzy func ształtu N e macerzy sztywnośc K e Eement Pa y () Dysretyzaca d 7 d d d 7 d d d d d 6 d d 3 d 9 d d 3 x () d d 3 N (x (), y () ) x() y () x () y () +, N (x (), y () ) x() y () N (x (), y () ) x() x () y (), N (x (), y () ) y() x () y () 3.

19 .7. Przyłady P.Pucńs K Eement N B (x (), y () ) N N N N N N N N y () y() y () y() x () x() x() x() x () B T DB dx () dy () y () x() y() x () y () x() y() y () Dysretyzaca d d 3 d d 9 d 6 d x () d d 3 d 3 d d d 6 N (x (), y () ) y(), N (x (), y () ) y() x () N N (x (), y () ) x() N N N N N N - B (x (), y () ) K B T DB A

20 .7. Przyłady P.Pucńs. Wetor p b 3 N/m 6 N/m 7. N/m m m m Eement p b Γ w.b. N T t dγ + wspóna rawędź równowaga sł wzdłuż n -: t t Γ N T tdγ+ Γ N T tdγ+ Γ N T tdγ ( ) T N (x (), y () ) ( ) Ttdy + N (x (), y () () ) r r + r7 r ) 3 ( x() 6 x() dx () Eement p b Γ wspóna rawędź równowaga sł wzdłuż n -: t w.b. t N T t dγ + N T tdγ+ N T tdγ Γ Γ ( ) T N (x (), y () ) ) dx 6 ( () x() 7. x()

21 .7. Przyłady P.Pucńs. Agregaca Macerze Booe a IB Eement y () d 7 d d d 7 d d d d d 6 d d 3 d 9 d d 3 x () d d 3 IB nr. o Eement nr. gob y () d d 3 d d 9 d 6 d x () d d 3 d 3 d d d 6 IB nr. gob nr. o Agregaca - Macerz sztywnośc 7. Agregaca - Wetor obcążena K IB T K IB + IB T K IB K p b IB T p b + IB T p b, p 3.

22 .7. Przyłady P.Pucńs p b r 7 r r r r r 7 r r. Uład równań MES: Kd p + p b d d d 3 d d d 6 d 7 d d 9 d r r r 7 r 9. Uwzgęnene warunów brzegowych d 3 d d d 6 d 9 d r r r 7 r Rozwązane: d { } m r { } N. Powrót do eementu Eement d IB d { } e B d 3.

23 .7. Przyłady P.Pucńs Eement e s.y.773.6x.x.6y y.x y.373x x.y , e (, ) s De, s (, ) σ z ν(σ x + σ y).(.).6 Pa d IB d { } 7 Pa s.3 7. Pa, e e B d σ z ν(σ x + σ y).(.3). Pa. Wyznaczene wartośc przemeszczeń w wybranych puntach Eement punt (x (), y () ) u (, ) Eement punt (x ()., y ().) u (x (), y () ) N (x (), y () )d u (.,.) u (x (), y () ) N (x (), y () )d m m 3.3

Podobne dokumenty

4. Zjawisko przepływu ciepła

4. Zjawisko przepływu ciepła . Zawso przepływu cepła P.Plucńs. Zawso przepływu cepła wymana cepła przez promenowane wymana cepła przez unoszene wymana cepła przez przewodzene + generowane cepła znane wartośc temperatury zolowany brzeg