MES w zagadnieniach ośrodka ciągłego 2D i 3D

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "MES w zagadnieniach ośrodka ciągłego 2D i 3D"

Transkrypt

1 MES w zagadnieniach ośrodka ciągłego 2D i 3D Wykład 2 dla kierunku Budownictwo, specjalności DUA+TOB/BIM+BIŚ+BOI Jerzy Pamin i Piotr Pluciński Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej Politechnika Krakowska Podziękowania: T. Kolendowicz, C. Felippa ADINA R&D, Inc. ALTAIR ANSYS, Inc. NIST TNO DIANA

2 Plan prezentacji Modelowanie MES Błędy w modelowaniu MES Klasyfikacja modeli i elementów skończonych Redukcja błędu dyskretyzacji Stan równowagi dynamicznej Drgania własne Przykłady

3 Mechanika obliczeniowa (computational mechanics) Skala fizyczna Nanomechanika (fizyka cząstek elementarnych, chemia) Mikromechanika (fizyka kryształów, mikrostruktury) Mechanika kontinuum (założenie o ciągłości pól, homogenizacja, modele fenomenologiczne) Systemy mechaniczne (samoloty, mosty, roboty, silniki,...) Mechanika kontinuum ciała stałe i konstrukcje z nich wykonane płyny (CFD) zadania sprzężone (multiphysics) Fire Dynamics Simulator and Smokeview (FDS-SMV) Symulacja pożaru (M. Kwapisz)

4 Proces modelowania Konstrukcja rzeczywista Model fizyczny Równanie rózniczkowe i warunki brzegowe Model matematyczny Model numeryczny Cel: otrzymanie prostego modelu matematycznego, ujmującego najistotniejsze właściwości konstrukcji i jej zachowanie pod działaniem obciążeń, i dostosowanego do narzędzi obliczeniowych.

5 Proces modelowania Zbiór założeń: model konstrukcji, materiału, obciążenia Model fizyczny: reprezentacja istotnych cech Model matematyczny: zbiór równań (algebraicznych, różniczkowych, całkowych) + warunki graniczne (ograniczające)

6 Dlaczego symulacje MES TEORIA SYMULACJA EKSPERYMENT Zastępują/wspomagają badania doświadczalne Zastępują/wspomagają metody analityczne Nie zastępują modelowania Uwaga na ograniczenia elementów skończonych Różne rodzaje zjawiska blokady (nadsztywności) Więzy kinematyczne (np. nieścisliwość) Formy deformacji o zerowej energii Problemy źle postawione (np. dla materiału z osłabieniem)

7 Błędy w modelowaniu MES Błąd modelowania Błąd dyskretyzacji Błąd rozwiązania

8 Nieciągłość pochodnych Mapy rozkładu σ xx Bez wygładzania Z wygładzaniem

9 Wygładzanie wybranej wielkości σ h funkcja otrzymana z rozwiązania MES σ funkcja po wygładzeniu Różnica pomiędzy tymi dwoma polami jest wskaźnikiem błędu dyskretyzacji Zienkiewicza-Zhu

10 Modele fizyczne i matematyczne Zmiany w czasie: zagadnienia stacjonarne - niezależne od czasu (statyka) zagadnienia niestacjonarne - zależne od czasu (dynamika) Uproszczenia na podstawie hipotez: kinematycznych (geometrycznych), np. dominujące wymiary, rodzaj przekroju statycznych/dynamicznych - np. obciążenia wolno- lub szybkozmienne, obciążenia działające w jednej płaszczyźnie Modele matematyczne są: liniowe (małe deformacje i prawo Hooke a) obowiązuje zasada superpozycji nieliniowe

11 Klasyfikacja modeli i elementów skończonych Obniżenie wymiarowości: ustroje prętowe (geometrycznie jednowymiarowe) ustroje powierzchniowe (dwuwymiarowe) ustroje bryłowe (trójwymiarowe) Elementy skończone dla mechaniki: 1D - kratowy (truss) 1.5D - belkowy (beam), ramowy (frame) 2D - PSN (panel, plane stress), PSO (plane strain), symetria osiowa (axial symmetry) 2.5D - płytowy (plate/slab), powłokowy (shell) 3D - bryłowy (volume)

12 Ustrój 1.5D - rama Rysunki zaczerpnięte z podręcznika T. Kolendowicz Mechanika budowli dla architektów

13 Ustrój 2.5D - płyta Zginanie Ścinanie Skręcanie TNO DIANA Czteroprzęsłowa płyta po obciążeniem ruchomym

14 Ustrój 2.5D - powłoka Ugięcia pod działaniem obciążenia równomiernego

15 Rysunki zaczerpnięte z podręcznika: C.A. Felippa, Introduction to Finite Element Methods, University of Colorado at Boulder.

16 Geometryczna niezmienność układu

17 Wykorzystywanie symetrii zadania

18 Gdzie zagęszczać siatkę elementów

19 Warianty poprawy siatki Rysunki zaczerpnięte z podręcznika: R.D. Cook, Finite Element Method for Stress Analysis, J. Wiley & Sons 1995.

20 Adaptacyjne zagęszczenie siatki elementów Przykład zaczerpnięty ze strony Altair Engineering

21 Generacja siatki elementów

22 Monitoring błędów dyskretyzacji Adaptacyjne zagęszczenie siatki

23 Stan równowagi dynamicznej t ρb d (x, y, z) P S ρü(x, y, z) ρb(x, y, z) Z V n t d X Y

24 Stan równowagi dynamicznej Siły X Z S V Y t ρb d (x, y, z) P ρü(x, y, z) ρb(x, y, z) n t d ρb wektor gęstości sił masowych [N/m 3 ] ρb d wektor gęstości sił masowych tłumienia [N/m 3 ] ρü wektor gęstości sił bezwładności [N/m 3 ] t wektor gęstości sił powierzchniowych [N/m 2 ] t d wektor gęstości sił powierzchniowych tłumienia [N/m 2 ]

25 Stan równowagi dynamicznej Równanie równowagi ciała X Z S t ρb d (x, y, z) P ρü(x, y, z) ρb(x, y, z) V n t d Y S ( t t d ) ds + ρ ( b b d ü ) dv = 0 V

26 Stan równowagi dynamicznej Równanie równowagi ciała X Z S t ρb d (x, y, z) P ρü(x, y, z) ρb(x, y, z) V n t d Y S ( t t d ) ds + ρ ( b b d ü ) dv = 0 V Statyczne warunki brzegowe t t d = σn gdzie σ tensor naprężeń

27 Stan równowagi dynamicznej Równanie równowagi ciała X Z S t ρb d (x, y, z) P ρü(x, y, z) ρb(x, y, z) V n t d Y S ( t t d ) ds + ρ ( b b d ü ) dv = 0 V Statyczne warunki brzegowe t t d = σn gdzie σ tensor naprężeń Wykorzystując twierdzenie Greena Gaussa Ostrogradzkiego σnds = L T σdv gdzie L macierz operatorów różniczkowych S V

28 Równanie równowagi Równania Naviera ( L T σ + ρ ( b b d ü )) dv = 0 L T σ + ρ ( b b d ü ) = 0 P V V

29 Równanie równowagi Równania Naviera ( L T σ + ρ ( b b d ü )) dv = 0 L T σ + ρ ( b b d ü ) = 0 P V V σ ij,j + ρ ( b i b d i ü i ) = 0

30 Równanie równowagi Równania Naviera ( L T σ + ρ ( b b d ü )) dv = 0 L T σ + ρ ( b b d ü ) = 0 P V V σ ij,j + ρ ( b i b d i ü i ) = 0 Sformułowanie słabe funkcja wagowa w = δu kinematycznie dopuszczalna wariacja przemieszczenia (zgodna z kinematycznymi warunkami brzegowymi) V (δu) T ( L T σ + ρ ( b b d ü )) dv = 0 δu

31 Równanie równowagi Równania Naviera ( L T σ + ρ ( b b d ü )) dv = 0 L T σ + ρ ( b b d ü ) = 0 P V V σ ij,j + ρ ( b i b d i ü i ) = 0 Sformułowanie słabe funkcja wagowa w = δu kinematycznie dopuszczalna wariacja przemieszczenia (zgodna z kinematycznymi warunkami brzegowymi) V (Lδu) T σdv + V (δu) T ( L T σ + ρ ( b b d ü )) dv = 0 S δu (δu) T σnds + (δu) T ρ ( b b d ü ) dv = 0 V

32 Równanie równowagi Równania Naviera ( L T σ + ρ ( b b d ü )) dv = 0 L T σ + ρ ( b b d ü ) = 0 P V V σ ij,j + ρ ( b i b d i ü i ) = 0 Sformułowanie słabe funkcja wagowa w = δu kinematycznie dopuszczalna wariacja przemieszczenia (zgodna z kinematycznymi warunkami brzegowymi) V (Lδu) T σdv + V (δu) T ( L T σ + ρ ( b b d ü )) dv = 0 S δu t t d (δu) T σn ds + (δu) T ρ ( b b d ü ) dv = 0 V

33 Równanie równowagi Równania Naviera ( L T σ + ρ ( b b d ü )) dv = 0 L T σ + ρ ( b b d ü ) = 0 P V V σ ij,j + ρ ( b i b d i ü i ) = 0 Sformułowanie słabe funkcja wagowa w = δu kinematycznie dopuszczalna wariacja przemieszczenia (zgodna z kinematycznymi warunkami brzegowymi) V (Lδu) T σdv + V (δu) T ( L T σ + ρ ( b b d ü )) dv = 0 S δu (δu) T ( t t d) ds+ (δu) T ρ ( b b d ü ) dv = 0 V

34 Równanie równowagi Równania Naviera ( L T σ + ρ ( b b d ü )) dv = 0 L T σ + ρ ( b b d ü ) = 0 P V V σ ij,j + ρ ( b i b d i ü i ) = 0 Sformułowanie słabe funkcja wagowa w = δu kinematycznie dopuszczalna wariacja przemieszczenia (zgodna z kinematycznymi warunkami brzegowymi zasada prac wirtualnych) V V (Lδu) T σdv = (δu) T ( L T σ + ρ ( b b d ü )) dv = 0 S δu (δu) T ( t t d) ds + (δu) T ρ ( b b d ü ) dv V

35 Równanie równowagi Równania Naviera ( L T σ + ρ ( b b d ü )) dv = 0 L T σ + ρ ( b b d ü ) = 0 P V V σ ij,j + ρ ( b i b d i ü i ) = 0 Sformułowanie słabe funkcja wagowa w = δu kinematycznie dopuszczalna wariacja przemieszczenia (zgodna z kinematycznymi warunkami brzegowymi zasada prac wirtualnych) V V (Lδu) T σdv = (δu) T ( L T σ + ρ ( b b d ü )) dv = 0 S δu (δu) T ( t t d) ds + (δu) T ρ ( b b d ü ) dv V praca sił wewnętrznych praca sił zewnętrznych

36 Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi (Aproksymacja MES: u eh (x, t) = N e (x)d e (t)) { ( (L e δu e ) T σ e dv e (δu e ) T t e t de) ds e V e S e (δu e ) T ρ (b e b de ü e) } dv e = 0 V e

37 Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi (Aproksymacja MES: u eh (x, t) = N e (x)d e (t)) { ( (L e δu e ) T σ e dv e (δu e ) T t e t de) ds e V e S e (δu e ) T ρ (b e b de ü e) } dv e = 0 V { e ( (L e N e δd e ) T σ e dv e (N e δd e ) T t e t de) ds e V e S e (N e δd e ) T ρ (b e b de ü e) } dv e = 0 V e

38 Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego B e Równanie równowagi { (L e δu e ) T σ e dv e V e (δu e ) T S e { (δu e ) T ρ V e δd e ) T σ e dv e V e (L e N e ( t e t de) ds e (b e b de ü e) } dv e = 0 S e (N e δd e ) T ( t e t de) ds e (N e δd e ) T ρ (b e b de ü e) } dv e V e = 0

39 Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi { (L e δu e ) T σ e dv e V e (δu e ) T S e { V e (B e δd e ) T σ e dv e (δu e ) T ρ V e S e (N e δd e ) T ( t e t de) ds e (b e b de ü e) } dv e = 0 ( t e t de) ds e (N e δd e ) T ρ (b e b de ü e) } dv e V e = 0

40 Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi { (L e δu e ) T σ e dv e V e (δu e ) T S e { (δu e ) T ρ V e (B e δd e ) T σ e dv e V e (N e δd e ) T ρ V e (δd e ) {V T B et σ e dv e e S e (N e δd e ) T S e N et ( t e t de) ds e (b e b de ü e) } dv e = 0 ( t e t de) ds e (b e b de ü e) } dv e = 0 ( t e t de) ds e N et ρ (b e b de ü e) } dv e V e = 0

41 Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi { (L e δu e ) T σ e dv e V e (δu e ) T S e { (δu e ) T ρ V e (B e δd e ) T σ e dv e V e (N e δd e ) T ρ V IT e { e ( δd δd) e T B et σ e dv e V e S e (N e δd e ) T S e N et ( t e t de) ds e (b e b de ü e) } dv e = 0 ( t e t de) ds e (b e b de ü e) } dv e = 0 ( t e t de) ds e N et ρ (b e b de ü e) } dv e V e = 0

42 Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi { (L e δu e ) T σ e dv e V e (δu e ) T S e { (δu e ) T ρ V e (B e δd e ) T σ e dv e V e (N e δd e ) T ρ V e ( IT e δd) {V T B et σ e dv e e S e (N e δd e ) T S e N et ( t e t de) ds e (b e b de ü e) } dv e = 0 ( t e t de) ds e (b e b de ü e) } dv e = 0 ( t e t de) ds e N et ρ (b e b de ü e) } dv e V e = 0

43 Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi { (L e δu e ) T σ e dv e V e (δu e ) T S e { (δd) T (δu e ) T ρ V e (B e δd e ) T σ e dv e V e (N e δd e ) T ρ V E e IT {V et B et σ e dv e e S e (N e δd e ) T ( t e t de) ds e (b e b de ü e) } dv e = 0 ( t e t de) ds e (b e b de ü e) } dv e = 0 S e N et ( t e t de) ds e N et ρ (b e b de ü e) } dv e V e = 0

44 Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi { (L e δu e ) T σ e dv e V e (δu e ) T S e { (δd) T δd (δu e ) T ρ V e (B e δd e ) T σ e dv e V e (N e δd e ) T ρ V e IT {V et B et σ e dv e e S e (N e δd e ) T ( t e t de) ds e (b e b de ü e) } dv e = 0 ( t e t de) ds e (b e b de ü e) } dv e = 0 S e N et ( t e t de) ds e N et ρ (b e b de ü e) } dv e V e = 0

45 Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi { (L e δu e ) T σ e dv e V e (δu e ) T S e { (δu e ) T ρ V e S e (N e δd e ) T ( t e t de) ds e (b e b de ü e) } dv e = 0 ( t e t de) ds e (B e δd e ) T σ e dv e V e (N e δd e ) T ρ (b e b de ü e) } dv e V e ( IT {V et B et σ e dv e t e t de) ds e e S e N et = 0 N et ρ (b e b de ü e) } dv e = 0 V e

46 Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi { } { } IT et B et σ e dv e + IT et N et ρü e dv e + V e V e } + IT et N {S et t de ds e + N et ρb de dv e = e V e } = IT {S et N et t e ds e + N et ρb e dv e e V e

47 Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi { } { } IT et B et σ e dv e + IT et N et ρü e dv e + V e V e } + IT et N {S et t de ds e + N et ρb de dv e = e V e } = IT {S et N et t e ds e + N et ρb e dv e e V e Uwzględnienie związków kinematycznych, fizycznych i tłumienia liniowy związek kinematyczny: ε = Lu liniowa sprężystość: σ = Dε σ e =D e L e u e =D e L e N e d e =D e B e IT e d, ü e =N e de =N e IT e d lepkie tłumienie: t de =µ d u e =µ d N e ḋ e =µ d N e IT e ḋ, ρb de =µ b u e =µ b N e ḋ e =µ b N e IT e ḋ

48 Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi + { } IT et B et D e B e dv e IT e d+ V e + { } IT et ρn et N e dv e IT e d+ V e } IT {S et µ d N et N e ds e + µ b N et N e dv e e V e = IT e ḋ = } IT {S et N et t e ds e + N et ρb e dv e e V e

49 Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi { } IT et B et D e B e dv e IT e d+ V e k e { } + IT et ρn et N e dv e IT e d+ V e m { e } + IT et µ d N et N e ds e + µ b N et N e dv e IT e ḋ = S e V e c e { } = IT et N et t e ds e + N et ρb e dv e S e V e f e

50 Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi IT et k e IT e d + IT et m e IT e d + E IT et c e IT e ḋ = IT et f e

51 Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi IT et k e IT e K e d + IT et m e M e IT e d + IT et c e C e IT e ḋ = IT et f e F e

52 Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi K e d + M e d E + C e ḋ = F e

53 Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi K K e d + M M e d + C C e ḋ = F F e

54 Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi Kd + M d + Cḋ = F

55 Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi drgania wymuszone z tłumieniem M d(t) + Cḋ(t) + Kd(t) = F(t) M macierz bezwładności C macierz tłumienia K macierz sztywności F wektor węzłowych obciążeń zewnętrznych

56 Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi drgania wymuszone z tłumieniem M d(t) + Cḋ(t) + Kd(t) = F(t) Równanie równowagi drgania własne bez tłumienia M d(t) + Kd(t) = 0

57 Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi drgania wymuszone z tłumieniem M d(t) + Cḋ(t) + Kd(t) = F(t) Równanie równowagi drgania własne bez tłumienia M d(t) + Kd(t) = 0 Równanie równowagi statyka Kd = F Przed rozwiązaniem konieczne jest uwzględnienie podstawowych (kinematycznych) warunków brzegowych

58 Drgania własne Aproksymacja u e (x, t) = N e (x)d e (t) = N e (x)d e A sin(ωt + ϕ) N e macierz funkcji kształtu d e A wektor amplitud drgań własnych ω częstość drgań własnych ϕ przesunięcie fazowe ω = 2πf = 2π T gdzie f, T odpowiednio częstotliwość i okres drgań własnych

59 Drgania własne Przemieszczenie zależne od czasu d e (t) = d e A sin(ωt + ϕ)

60 Drgania własne Przemieszczenie zależne od czasu d e (t) = d e A sin(ωt + ϕ) d e (t) = ω 2 d e A sin(ωt + ϕ)

61 Drgania własne Równanie równowagi = problem własny d e (t) = d e A sin(ωt + ϕ) d e (t) = ω 2 d e A sin(ωt + ϕ) po agregacji i podstawieniu do równania równowagi ( K ω 2 M ) d A sin(ωt + ϕ) = 0

62 Drgania własne Równanie równowagi = problem własny d e (t) = d e A sin(ωt + ϕ) d e (t) = ω 2 d e A sin(ωt + ϕ) po agregacji i podstawieniu do równania równowagi ( K ω 2 M ) d A sin(ωt + ϕ) = 0

63 Drgania własne Równanie równowagi = problem własny d e (t) = d e A sin(ωt + ϕ) d e (t) = ω 2 d e A sin(ωt + ϕ) po agregacji i podstawieniu do równania równowagi ( K ω 2 M ) d A = 0

64 Drgania własne Równanie równowagi = problem własny d e (t) = d e A sin(ωt + ϕ) d e (t) = ω 2 d e A sin(ωt + ϕ) po agregacji i podstawieniu do równania równowagi ( K ω 2 M ) d A = 0 równanie jest spełnione dla det ( K ω 2 M ) = 0 lub d A = 0 (ω 1, d A1 ), (ω 2, d A2 ),...

65 Drgania własne Równanie równowagi = problem własny d e (t) = d e A sin(ωt + ϕ) d e (t) = ω 2 d e A sin(ωt + ϕ) po agregacji i podstawieniu do równania równowagi ( K ω 2 M ) d A = 0 równanie jest spełnione dla det ( K ω 2 M ) = 0 wynik: spektrum częstości drgań własnych i odpowiednie formy drgań (ω 1, d A1 ), (ω 2, d A2 ),...

66 Drgania własne Element belkowy z e A, I, ρ z e d e 1 d e 3 0 l e x e d e 2 i d e 4 j x e Funkcje kształtu N e = [N e 1 N e 2 N e 3 N e 4 ] 1 N e 1 (xe ) = 1 3 ( x e l e ) ( x e l e ) 3 1 N e 3 (xe ) = 3 ( x e l e ) 2 2 ( x e l e ) 3 0 l e x e 0 l e x e N e 2 (xe ) = x e [ 1 ( x e l e )] 2 N e 4 (xe ) = x e [ (x e l e ) 2 ( x e l e ) ] 0 l e x e 0 l e x e

67 Drgania własne Macierz sztywności element belkowy k e = l e B e = LN e, L = k e = Ee I e l e 3 0 [ B et D e B e dx e d2 dx e2 ], D e = [E e I e ] 12 6l e 12 6l e 6l e 4l e2 6l e 2l e2 12 6l e 12 6l e 6l e 2l e2 6l e 4l e2

68 Drgania własne Macierz bezwładności element belkowy m e = l e 0 ρa e N et N e dx e µ e = ρa e masa na jedn. długości [kg/m] l e 54 13l e m e = µe l e 22l e 4l e2 13l e 3l e l e l e 13l e 3l e2 22l e 4l e2

69 Przykład Drgania giętne wspornika ( K ω 2 M ) d A = 0 E, I, µ, l Z d 1 d 3 d 2 d 4 X

70 Przykład Drgania giętne wspornika EI l l -12 6l 6l 4l 2-6l 2l l 12-6l ω 2 µl 420 6l 2l 2-6l 4l 2 ( K ω 2 M ) d A = l 54-13l 22l 4l 2 13l -3l l l -13l -3l 2-22l 4l 2 d A1 d A2 d A3 d A4 = Z E, I, µ, l d 1 d 3 d 2 d 4 X

71 Przykład Drgania giętne wspornika ( K ω 2 M ) d A = l -12 6l l 54-13l d A1 6l 4l 2-6l 2l l 12-6l ω2 µl l 4l 2 13l -3l 2 d A2 EI l l d = A3 6l 2l 2-6l 4l 2-13l -3l 2-22l 4l 2 d A Z E, I, µ, l d 1 d 3 d 2 d 4 X

72 Przykład Drgania giętne wspornika 12 6l -12 6l 6l 4l 2-6l 2l l 12-6l ω2 µl 4 EI 6l 2l 2-6l 4l 2 λ ( K ω 2 M ) d A = l 54-13l 22l 4l 2 13l -3l l l -13l -3l 2-22l 4l 2 d A1 d A2 d A3 d A4 = Z E, I, µ, l d 1 d 3 d 2 d 4 X

73 Przykład Drgania giętne wspornika 12 6l -12 6l 6l 4l 2-6l 2l l 12-6l 6l 2l 2-6l 4l 2 ( K ω 2 M ) d A = 0 λ l 54-13l 22l 4l 2 13l -3l l l -13l -3l 2-22l 4l 2 d A1 d A2 d A3 d A4 = Z E, I, µ, l d 1 d 3 d 2 d 4 X

74 Przykład Drgania giętne wspornika 12 6l -12 6l 6l 4l 2-6l 2l l 12-6l 6l 2l 2-6l 4l 2 ( K ω 2 M ) d A = 0 λ l 54-13l 22l 4l 2 13l -3l l l -13l -3l 2-22l 4l d A3 d A4 = Z E, I, µ, l d 1 d 3 d 2 d 4 X

75 Przykład Drgania giętne wspornika 12 6l -12 6l 6l 4l 2-6l 2l l 12-6l 6l 2l 2-6l 4l 2 ([ ] 12-6l -6l 4l 2 ( K ω 2 M ) d A = l 54-13l 0 λ 22l 4l 2 13l -3l l l d A3-13l -3l 2-22l 4l 2 d A4 [ ])[ ] [ ] λ l da l 4l 2 = d A4 0 = Z E, I, µ, l d 1 d 3 d 2 d 4 X

76 Przykład Drgania giętne wspornika 12 6l -12 6l 6l 4l 2-6l 2l l 12-6l 6l 2l 2-6l 4l 2 ([ ] 12-6l -6l 4l 2 [ ] [ ] 12-6l -6l 4l 2 λ l l 4l 2 = 0 ( K ω 2 M ) d A = l 54-13l 0 λ 22l 4l 2 13l -3l l l d A3-13l -3l 2-22l 4l 2 d A4 [ ])[ ] [ ] λ l da l 4l 2 = d A4 0 = Z E, I, µ, l d 1 d 3 d 2 d 4 X

77 Przykład Drgania giętne wspornika 12 6l -12 6l 6l 4l 2-6l 2l l 12-6l 6l 2l 2-6l 4l 2 ([ ] 12-6l -6l 4l 2 ( K ω 2 M ) d A = 0 [ ] [ ] 12-6l -6l 4l 2 λ l l 4l 2 = l 54-13l 0 λ 22l 4l 2 13l -3l l l d A3-13l -3l 2-22l 4l 2 d A4 [ ])[ ] [ ] λ l da l 4l 2 = d A4 0 λ1 = λ 2 = = Z E, I, µ, l d 1 d 3 d 2 d 4 X

78 Przykład Drgania giętne wspornika 12 6l -12 6l 6l 4l 2-6l 2l l 12-6l 6l 2l 2-6l 4l 2 ([ ] 12-6l -6l 4l 2 ( K ω 2 M ) d A = 0 [ ] [ ] 12-6l -6l 4l 2 λ l l 4l 2 = 0 Z l 54-13l 0 λ 22l 4l 2 13l -3l l l d A3-13l -3l 2-22l 4l 2 d A4 [ ])[ ] [ ] λ l da l 4l 2 = d A4 0 ω λ1 = = λ 2 = = EI l 2 µ EI ω 2 = l 2 µ E, I, µ, l d 1 d 3 d 2 d 4 X

79 Przykład Wspornik Postaci drgań własnych Formy drgań własnych wyznaczone z jednego z dwóch równań liniowo zależnych po podstawieniu odpowiedniej wartości własnej d A4 dla ω 1 d A3 = 0.728l d A4 dla ω 2 d A4 0 l e x e 0 l e x e d A3 = 0.131l d A4

80 Modelowanie drążenia tunelu Mechanika gruntów i mechanika betonu wymagają trójwymiarowych modeli nieliniowych i wydajnych implementacji MES

81 Zaawansowane zagadnienia mechaniki Obciążenia wyjątkowe, np. uderzenie Nielinowości fizyczne, np. uszkodzenie, zarysowanie, odkształcenia plastyczne Nieliniowości geometryczne, tzn. duże przemieszczenia, duże odkształcenia Zagadnienie kontaktu (więzów jednostronnych) ADINA R&D, Inc. Uderzenie belki, głowy w kasku, samochodu Idealizacja zapory - przerwana zapora ANSYS, Inc. Zagadnienie kontaktowe, inne zagadnienie kontaktowe Zagadnienie dynamiczne Animacje R. Cieszyńskiego Powłoka, wyboczenie powłoki

MES w zagadnieniach ośrodka ciągłego 2D i 3D

MES w zagadnieniach ośrodka ciągłego 2D i 3D MES w zagadnieniach ośrodka ciągłego 2D i 3D Wykład 2 dla kierunku Budownictwo, specjalności DUA+TOB Jerzy Pamin i Piotr Pluciński Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej Politechnika

Bardziej szczegółowo

Metody obliczeniowe - modelowanie i symulacje

Metody obliczeniowe - modelowanie i symulacje Metody obliczeniowe - modelowanie i symulacje J. Pamin Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej Wydział Inżynierii Lądowej Politechniki Krakowskiej Strona domowa: www.l5.pk.edu.pl Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Metody obliczeniowe - modelowanie i symulacje

Metody obliczeniowe - modelowanie i symulacje Metody obliczeniowe - modelowanie i symulacje J. Pamin nstitute for Computational Civil Engineering Civil Engineering Department, Cracow University of Technology URL: www.l5.pk.edu.pl Zagadnienia i źródła

Bardziej szczegółowo

6. Dynamika Stan równowagi. ρb(x, y, z) V n t d. Siły

6. Dynamika Stan równowagi. ρb(x, y, z) V n t d. Siły 6. Dynamika P.Pluciński 6. Dynamika 6.1. tan równowagi t ρb d x, y, z P ρüx, y, z ρbx, y, z z n t d x y iły ρb wktor gęstości sił masowych [N/m 3 ] ρb d wktor gęstości sił masowych tłuminia [N/m 3 ] ρü

Bardziej szczegółowo

Analiza płyt i powłok MES

Analiza płyt i powłok MES Analiza płyt i powłok MES Jerzy Pamin e-mails: JPamin@L5.pk.edu.pl Podziękowania: M. Radwańska, A. Wosatko ANSYS, Inc. http://www.ansys.com Tematyka zajęć Klasyfikacja modeli i elementów skończonych Elementy

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE MATERIAŁÓW - WSTĘP

MODELOWANIE MATERIAŁÓW - WSTĘP Budownictwo, studia I stopnia, semestr VII przedmiot fakultatywny rok akademicki 2014/2015 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Jerzy Pamin Adam Wosatko Zakres wykładu 1 O modelowaniu

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIE PROBLEMU NIELINIOWEGO

ROZWIĄZANIE PROBLEMU NIELINIOWEGO Budownictwo, studia I stopnia, semestr VII przedmiot fakultatywny rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Jerzy Pamin Tematyka zajęć 1 Dyskretyzacja

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych

MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny rok akademicki

Bardziej szczegółowo

Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.

Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Joanna Szulczyk Politechnika Warszawska Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki

Bardziej szczegółowo

[ P ] T PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES. [ u v u v u v ] T. wykład 4. Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia)

[ P ] T PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES. [ u v u v u v ] T. wykład 4. Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia) PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES wykład 4 Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia) Obszar zdyskretyzowany trójkątami U = [ u v u v u v ] T stopnie swobody elementu P = [ P ]

Bardziej szczegółowo

Metoda elementów skończonych

Metoda elementów skończonych Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną

Bardziej szczegółowo

MES w zagadnieniach nieliniowych

MES w zagadnieniach nieliniowych MES w zagadnieniach nieliniowych Jerzy Pamin e-mail: JPamin@L5.pk.edu.pl Podziękowania: A. Wosatko, A. Winnicki ADINA R&D, Inc.http://www.adina.com ANSYS, Inc. http://www.ansys.com TNO DIANA http://www.tnodiana.com

Bardziej szczegółowo

1 Charakterystyka ustrojów powierzchniowych. Anna Stankiewicz

1 Charakterystyka ustrojów powierzchniowych. Anna Stankiewicz 1 Charakterystyka ustrojów powierzchniowych Anna Stankiewicz e-mail: astankiewicz@l5.pk.edu.pl Tematyka zajęć Przykłady konstrukcji inżynierskich Klasyfikacja ustrojów powierzchniowych Podstawowe pojęcia

Bardziej szczegółowo

Materiały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron)

Materiały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron) Jerzy Wyrwał Materiały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron) Uwaga. Załączone materiały są pomyślane jako pomoc do zrozumienia informacji podawanych na wykładzie. Zatem ich

Bardziej szczegółowo

ALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA KRATOWNICY

ALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA KRATOWNICY ALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA RATOWNICY Piotr Pluciński e-mail: p.plucinski@l5.pk.edu.pl Jerzy Pamin e-mail: jpamin@l5.pk.edu.pl Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej Wydział

Bardziej szczegółowo

ANALIA STATYCZNA UP ZA POMOCĄ MES Przykłady

ANALIA STATYCZNA UP ZA POMOCĄ MES Przykłady ANALIZA STATYCZNA UP ZA POMOCĄ MES Przykłady PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny rok akademicki 2013/2014 Instytut

Bardziej szczegółowo

Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji / Gustaw Rakowski, Zbigniew Kacprzyk. wyd. 3 popr. Warszawa, cop

Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji / Gustaw Rakowski, Zbigniew Kacprzyk. wyd. 3 popr. Warszawa, cop Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji / Gustaw Rakowski, Zbigniew Kacprzyk. wyd. 3 popr. Warszawa, cop. 2015 Spis treści Przedmowa do wydania pierwszego 7 Przedmowa do wydania drugiego 9

Bardziej szczegółowo

5. MES w mechanice ośrodka ciągłego

5. MES w mechanice ośrodka ciągłego . MES w mechance ośroda cągłego P.Pucńs. MES w mechance ośroda cągłego.. Stan równowag t S P x z y n ρb(x, y, z) u(x, y, z) P Wetor gęstośc sł masowych N/m 3 ρb ρ g Wetor gęstośc sł powerzchnowych N/m

Bardziej szczegółowo

Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa

Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe 1. Wyprowadzenie równania na ugięcie membrany... 13 2. Sformułowanie zagadnień brzegowych we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych... 15 3. Wybrane zagadnienia

Bardziej szczegółowo

TARCZE PROSTOKĄTNE Charakterystyczne wielkości i równania

TARCZE PROSTOKĄTNE Charakterystyczne wielkości i równania TARCZE PROSTOKĄTNE Charakterystyczne wielkości i równania Mechanika materiałów i konstrukcji budowlanych, studia II stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Wstęp Część I STATYKA

Spis treści. Wstęp Część I STATYKA Spis treści Wstęp... 15 Część I STATYKA 1. WEKTORY. PODSTAWOWE DZIAŁANIA NA WEKTORACH... 17 1.1. Pojęcie wektora. Rodzaje wektorów... 19 1.2. Rzut wektora na oś. Współrzędne i składowe wektora... 22 1.3.

Bardziej szczegółowo

METODY KOMPUTEROWE W MECHANICE

METODY KOMPUTEROWE W MECHANICE METODY KOMPUTEROWE W MECHANICE wykład dr inż. Paweł Stąpór laboratorium 15 g, projekt 15 g. dr inż. Paweł Stąpór dr inż. Sławomir Koczubiej Politechnika Świętokrzyska Wydział Zarządzania i Modelowania

Bardziej szczegółowo

PŁYTY OPIS W UKŁADZIE KARTEZJAŃSKIM Charakterystyczne wielkości i równania

PŁYTY OPIS W UKŁADZIE KARTEZJAŃSKIM Charakterystyczne wielkości i równania Charakterystyczne wielkości i równania PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej,

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: PODSTAWY MODELOWANIA PROCESÓW WYTWARZANIA Fundamentals of manufacturing processes modeling Kierunek: Mechanika i Budowa Maszyn Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na specjalności APWiR Rodzaj

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE POJĘCIA MES

PODSTAWOWE POJĘCIA MES Metoda Elementów Skończonych Studium magisterskie PODSTAWOWE POJĘCIA WYKŁAD 1 Wersja elektroniczna, http://www.okno.pg.gda.pl. Literatura KLEIBER M.: Wprowadzenie do metody elementów skończonych. PAN IPPT,

Bardziej szczegółowo

Al.Politechniki 6, Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) Mechanika Budowli. Inżynieria Środowiska, sem. III

Al.Politechniki 6, Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) Mechanika Budowli. Inżynieria Środowiska, sem. III KATEDRA MECHANIKI MATERIAŁÓW POLITECHNIKA ŁÓDZKA DEPARTMENT OF MECHANICS OF MATERIALS TECHNICAL UNIVERSITY OF ŁÓDŹ Al.Politechniki 6, 93-590 Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) 631 35 51 Mechanika Budowli

Bardziej szczegółowo

Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia. Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu:

Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia. Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu: Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia Przedmiot: Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu: MT 1 N 0 3 19-0_1 Rok: II Semestr: 3 Forma studiów:

Bardziej szczegółowo

8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ

8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 1 8. 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 8.1. Wprowadzenie Zadania nieliniowe mają swoje zastosowanie na przykład w rozwiązywaniu cięgien. Przyczyny nieliniowości: 1) geometryczne:

Bardziej szczegółowo

Pierwsze komputery, np. ENIAC w 1946r. Obliczenia dotyczyły obiektów: o bardzo prostych geometriach (najczęściej modelowanych jako jednowymiarowe)

Pierwsze komputery, np. ENIAC w 1946r. Obliczenia dotyczyły obiektów: o bardzo prostych geometriach (najczęściej modelowanych jako jednowymiarowe) METODA ELEMENTÓW W SKOŃCZONYCH 1 Pierwsze komputery, np. ENIAC w 1946r. Obliczenia dotyczyły obiektów: o bardzo prostych geometriach (najczęściej modelowanych jako jednowymiarowe) stałych własnościach

Bardziej szczegółowo

PŁYTY OPIS W UKŁADZIE KARTEZJAŃSKIM Charakterystyczne wielkości i równania

PŁYTY OPIS W UKŁADZIE KARTEZJAŃSKIM Charakterystyczne wielkości i równania Charakterystyczne wielkości i równania Mechanika materiałów i konstrukcji budowlanych, studia II stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko

Bardziej szczegółowo

Projekt nr 4. Dynamika ujęcie klasyczne

Projekt nr 4. Dynamika ujęcie klasyczne Projekt nr 4 Dynamika POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI Projekt nr 4 Dynamika ujęcie klasyczne Konrad Kaczmarek

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH

PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1 Przedmowa Okładka CZĘŚĆ PIERWSZA. SPIS PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1. STAN NAPRĘŻENIA 1.1. SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE 1.2. WEKTOR NAPRĘŻENIA 1.3. STAN NAPRĘŻENIA W PUNKCIE 1.4. RÓWNANIA

Bardziej szczegółowo

TARCZOWE I PŁYTOWE ELEMENTY SKOŃCZONE

TARCZOWE I PŁYTOWE ELEMENTY SKOŃCZONE PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika

Bardziej szczegółowo

Inżynierskie metody analizy numerycznej i planowanie eksperymentu / Ireneusz Czajka, Andrzej Gołaś. Kraków, Spis treści

Inżynierskie metody analizy numerycznej i planowanie eksperymentu / Ireneusz Czajka, Andrzej Gołaś. Kraków, Spis treści Inżynierskie metody analizy numerycznej i planowanie eksperymentu / Ireneusz Czajka, Andrzej Gołaś. Kraków, 2017 Spis treści Od autorów 11 I. Klasyczne metody numeryczne Rozdział 1. Na początek 15 1.1.

Bardziej szczegółowo

PLASTYCZNOŚĆ W UJĘCIU KOMPUTEROWYM

PLASTYCZNOŚĆ W UJĘCIU KOMPUTEROWYM Budownictwo, studia I stopnia, semestr VII przedmiot fakultatywny rok akademicki 2013/2014 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Jerzy Pamin Tematyka zajęć 1 Sprężystość

Bardziej szczegółowo

Łagodne wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych

Łagodne wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych Łagodne wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych dr inż. Grzegorz DZIERŻANOWSKI dr hab. inż. Wojciech GILEWSKI Katedra Mechaniki Budowli i Zastosowań Informatyki 10 XII 2009 - część I 17 XII 2009 -

Bardziej szczegółowo

Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie

Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Rozciąganie lub ściskanie Zginanie Skręcanie Ścinanie 1. Pręt rozciągany lub ściskany

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE OŚRODKA LEPKOSPRĘŻYSTEGO W METODZIE ELEMENTÓW CZASOPRZESTRZENNYCH

MODELOWANIE OŚRODKA LEPKOSPRĘŻYSTEGO W METODZIE ELEMENTÓW CZASOPRZESTRZENNYCH CZASOPISMO INŻYNIERII LĄDOWEJ, ŚRODOWISKA I ARCHITEKTURY JOURNAL OF CIVIL ENGINEERING, ENVIRONMENT AND ARCHITECTURE JCEEA, t. XXXIV, z. 64 (3/I/17), lipiec-wrzesień 2017, s. 559-569, DOI: 10.7862/rb.2017.146

Bardziej szczegółowo

Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia. Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu:

Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia. Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu: Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia Przedmiot: Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu: MT 1 S 0 3 19-0_1 Rok: II Semestr: 3 Forma studiów:

Bardziej szczegółowo

Karta (sylabus) przedmiotu Mechanika i Budowa Maszyn Studia I stopnia o profilu: A P

Karta (sylabus) przedmiotu Mechanika i Budowa Maszyn Studia I stopnia o profilu: A P WM Karta (sylabus) przedmiotu Mechanika i Budowa Maszyn Studia I stopnia o profilu: A P Przedmiot: Wytrzymałość Materiałów I Kod ECTS Status przedmiotu: obowiązkowy MBM 1 S 0 3 37-0_0 Język wykładowy:

Bardziej szczegółowo

MES w zagadnieniach sprężysto-plastycznych

MES w zagadnieniach sprężysto-plastycznych MES w zagadnieniach sprężysto-plastycznych Jerzy Pamin e-mail: JPamin@L5.pk.edu.pl Podziękowania: P. Mika, A. Winnicki, A. Wosatko ADINA R&D, Inc.http://www.adina.com ANSYS, Inc. http://www.ansys.com TNO

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Mechaniki Technicznej

Laboratorium Mechaniki Technicznej Laboratorium Mechaniki Technicznej Ćwiczenie nr 5 Badanie drgań liniowych układu o jednym stopniu swobody Katedra Automatyki, Biomechaniki i Mechatroniki 90-924 Łódź, ul. Stefanowskiego 1/15, budynek A22

Bardziej szczegółowo

Analiza płyt i powłok MES Zagadnienie wyboczenia

Analiza płyt i powłok MES Zagadnienie wyboczenia Analiza płyt i powłok MES Zagadnienie wyboczenia Wykład 3 dla kierunku Budownictwo, specjalności DUA+TOB Jerzy Pamin i Marek Słoński Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej Politechnika

Bardziej szczegółowo

TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI (TSP)

TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI (TSP) TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI (TSP) Wstęp. Podstawy matematyczne. Tensor naprężenia. Różniczkowe równania równowagi Zakład Mechaniki Budowli PP Materiały pomocnicze do TSP (studia niestacjonarne,

Bardziej szczegółowo

DWUTEOWA BELKA STALOWA W POŻARZE - ANALIZA PRZESTRZENNA PROGRAMAMI FDS ORAZ ANSYS

DWUTEOWA BELKA STALOWA W POŻARZE - ANALIZA PRZESTRZENNA PROGRAMAMI FDS ORAZ ANSYS Proceedings of the 5 th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 19-20, 2006 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of

Bardziej szczegółowo

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 1 4. 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4.1. Elementy trójkątne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów

Bardziej szczegółowo

ANALIZA STATYCZNA MES DLA USTROJÓW POWIERZNIOWYCH

ANALIZA STATYCZNA MES DLA USTROJÓW POWIERZNIOWYCH ANALIZA STATYCZNA MES DLA USTROJÓW POWIERZNIOWYCH Mechanika materiałów i konstrukcji budowlanych, studia II stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA ŁÓDZKA INSTYTUT OBRABIAREK I TECHNOLOGII BUDOWY MASZYN. Ćwiczenie D - 4. Zastosowanie teoretycznej analizy modalnej w dynamice maszyn

POLITECHNIKA ŁÓDZKA INSTYTUT OBRABIAREK I TECHNOLOGII BUDOWY MASZYN. Ćwiczenie D - 4. Zastosowanie teoretycznej analizy modalnej w dynamice maszyn POLITECHNIKA ŁÓDZKA INSTYTUT OBRABIAREK I TECHNOLOGII BUDOWY MASZYN Ćwiczenie D - 4 Temat: Zastosowanie teoretycznej analizy modalnej w dynamice maszyn Opracowanie: mgr inż. Sebastian Bojanowski Zatwierdził:

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

Elementy projektowania inżynierskiego

Elementy projektowania inżynierskiego Elementy projektowania inżynierskiego dr inż. Sławomir Koczubiej Politechnika Świętokrzyska Wydział Zarządzania i Modelowania Komputerowego Katedra Informatyki i Matematyki Stosowanej (7 listopada 017)

Bardziej szczegółowo

Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2019/2020

Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2019/2020 Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki Karta przedmiotu Wydział Inżynierii Lądowej obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2019/2020 Kierunek studiów: udownictwo orma sudiów:

Bardziej szczegółowo

Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2015/2016

Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2015/2016 Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki Karta przedmiotu Wydział Mechaniczny obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 015/016 Kierunek studiów: Mechanika i Budowa Maszyn Forma

Bardziej szczegółowo

Metoda Różnic Skończonych (MRS)

Metoda Różnic Skończonych (MRS) Metoda Różnic Skończonych (MRS) METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek () Równania różniczkowe zwyczajne

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU. Odniesienie do efektów dla kierunku studiów. Forma prowadzenia zajęć

KARTA PRZEDMIOTU. Odniesienie do efektów dla kierunku studiów. Forma prowadzenia zajęć (pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU 1. Nazwa przedmiotu: MECHANIKA 2. Kod przedmiotu: 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego: 2012/2013 4. Forma kształcenia: studia pierwszego stopnia 5. Forma

Bardziej szczegółowo

Karta (sylabus) modułu/przedmiotu MECHANIKA I BUDOWA MASZYN Studia pierwszego stopnia

Karta (sylabus) modułu/przedmiotu MECHANIKA I BUDOWA MASZYN Studia pierwszego stopnia Karta (sylabus) modułu/przedmiotu MECHANIKA I BUDOWA MASZYN Studia pierwszego stopnia Przedmiot: Wytrzymałość Materiałów II Rodzaj przedmiotu: Obowiązkowy Kod przedmiotu: MBM 1 S 0 4 44-0 _0 Rok: II Semestr:

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie MES do rozwiązania problemu ustalonego przepływu ciepła w obszarze 2D

Zastosowanie MES do rozwiązania problemu ustalonego przepływu ciepła w obszarze 2D Równanie konstytutywne opisujące sposób w jaki ciepło przepływa w materiale o danych właściwościach, prawo Fouriera Macierz konstytutywna (właściwości) materiału Wektor gradientu temperatury Wektor strumienia

Bardziej szczegółowo

Analiza statyczna MES dla dźwigarów powierzchniowych

Analiza statyczna MES dla dźwigarów powierzchniowych Adam Wosatko PODZIĘKOWANIA DLA: Marii Radwańskiej, Anny Stankiewicz, Sławomira Milewskiego, Jerzego Pamina, Piotra Plucińskiego Tematyka zajęć 1 Analiza statyczna MES algorytm, porównanie z MRS 2 ES tarczowe

Bardziej szczegółowo

P. Litewka Efektywny element skończony o dużej krzywiźnie

P. Litewka Efektywny element skończony o dużej krzywiźnie Wykaz oznaczeń stosowanych w pracy a długość elementu łukowego, c kosinus kąta rozwarcia elementu, c 0 kosinus połowy kąta rozwarcia elementu, d współczynnik ścinania, e współczynnik membranowy, g ij,

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie modułu sztywności metodą Gaussa

Wyznaczanie modułu sztywności metodą Gaussa Ćwiczenie M13 Wyznaczanie modułu sztywności metodą Gaussa M13.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie wartości modułu sztywności stali metodą dynamiczną Gaussa. M13.2. Zagadnienia związane z

Bardziej szczegółowo

Modelowanie w MES. Kroki analizy Zakładamy, że model już jest uproszczony, zdefiniowane są materiał, obciążenie i umocowanie (krok 0).

Modelowanie w MES. Kroki analizy Zakładamy, że model już jest uproszczony, zdefiniowane są materiał, obciążenie i umocowanie (krok 0). MES 5 Modelowanie w MES Część I Kolejność postępowania w prostej analizie MES w SWS Kroki analizy Zakładamy, że model już jest uproszczony, zdefiniowane są materiał, obciążenie i umocowanie (krok 0). Krok

Bardziej szczegółowo

Analiza płyt i powłok MES Zagadnienie wyboczenia

Analiza płyt i powłok MES Zagadnienie wyboczenia Analiza płyt i powłok MES Zagadnienie wyboczenia Wykład 3 dla kierunku Budownictwo, specjalności DUA+TOB/BM+BŚ+BO Jerzy Pamin i Marek Słoński nstytut Technologii nformatycznych w nżynierii Lądowej Politechnika

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie stateczności ramy MES

Rozwiązanie stateczności ramy MES Rozwiązanie stateczności ramy MES Rozwiążemy stateczność ramy pokazanej na Rys.. λkn EA24.5 kn EI4kNm 2 d 5,r 5 d 6,r 6 2 d 4,r 4 4.m e e2 d 3,r 3 d,r X d 9,r 9 3 d 7,r 7 3.m d 2,r 2 d 8,r 8 Y Rysunek

Bardziej szczegółowo

8. Metody rozwiązywania układu równań

8. Metody rozwiązywania układu równań 8. Metody rozwiązywania układu równań [K][u e ]=[F e ] Błędy w systemie MES Etapy modelowania metodami komputerowymi UKŁAD RZECZYWISTY MODEL FIZYCZNY MODEL DYSKRETNY Weryfikacja modelu fiz. Weryfikacja

Bardziej szczegółowo

ANALIZA WYTRZYMAŁOŚCI WYSIĘGNIKA ŻURAWIA TD50H

ANALIZA WYTRZYMAŁOŚCI WYSIĘGNIKA ŻURAWIA TD50H Szybkobieżne Pojazdy Gąsienicowe (16) nr 2, 2002 Alicja ZIELIŃSKA ANALIZA WYTRZYMAŁOŚCI WYSIĘGNIKA ŻURAWIA TD50H Streszczenie: W artykule przedstawiono wyniki obliczeń sprawdzających poprawność zastosowanych

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do WK1 Stan naprężenia

Wprowadzenie do WK1 Stan naprężenia Wytrzymałość materiałów i konstrukcji 1 Wykład 1 Wprowadzenie do WK1 Stan naprężenia Płaski stan naprężenia Dr inż. Piotr Marek Wytrzymałość Konstrukcji (Wytrzymałość materiałów, Mechanika konstrukcji)

Bardziej szczegółowo

Projektowanie elementów z tworzyw sztucznych

Projektowanie elementów z tworzyw sztucznych Projektowanie elementów z tworzyw sztucznych Wykorzystanie technik komputerowych w projektowaniu elementów z tworzyw sztucznych Tematyka wykładu Techniki komputerowe, Problemy występujące przy konstruowaniu

Bardziej szczegółowo

SYSTEMY MES W MECHANICE

SYSTEMY MES W MECHANICE SPECJALNOŚĆ SYSTEMY MES W MECHANICE Drugi stopień na kierunku MECHANIKA I BUDOWA MASZYN Instytut Mechaniki Stosowanej PP http://www.am.put.poznan.pl Przedmioty specjalistyczne będą prowadzone przez pracowników:

Bardziej szczegółowo

Politechnika Poznańska Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania

Politechnika Poznańska Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania Politechnika Poznańska Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania Projekt: Modelowanie i symulacja zagadnień biomedycznych Program: COMSOL Multiphysics 3.4, 5.0, 5.1 Prowadzący: dr hab. Tomasz Stręk Instytut

Bardziej szczegółowo

Mechanika Analityczna

Mechanika Analityczna Mechanika Analityczna Wykład 2 - Zasada prac przygotowanych i ogólne równanie dynamiki Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej 29 lutego 2016 Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

Drgania układu o wielu stopniach swobody

Drgania układu o wielu stopniach swobody Drgania układu o wielu stopniach swobody Rozpatrzmy układ składający się z n ciał o masach m i (i =,,..., n, połączonych między sobą i z nieruchomym podłożem za pomocą elementów sprężystych o współczynnikach

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Mechanika i Budowa Maszyn Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na kierunku Mechanika i Budowa Maszyn Rodzaj zajęć: Wykład, Ćwiczenia WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW I Strenght of materials

Bardziej szczegółowo

Podstawy mechaniki komputerowej

Podstawy mechaniki komputerowej Podstawy mechaniki komputerowej dr inż. Sławomir Koczubiej Politechnika Świętokrzyska Wydział Zarządzania i Modelowania Komputerowego Katedra Informatyki i Matematyki Stosowanej (8 maja 6) Koczubiej Podstawy

Bardziej szczegółowo

Analiza wrażliwości tarczy z wykorzystaniem metody elementów skończonych

Analiza wrażliwości tarczy z wykorzystaniem metody elementów skończonych Analiza wrażliwości tarczy z wykorzystaniem metody elementów skończonych Mgr inż. Tomasz Ferenc Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska Projektowanie wszelkiego rodzaju konstrukcji

Bardziej szczegółowo

Modelowanie, sterowanie i symulacja manipulatora o odkształcalnych ramionach. Krzysztof Żurek Gdańsk,

Modelowanie, sterowanie i symulacja manipulatora o odkształcalnych ramionach. Krzysztof Żurek Gdańsk, Modelowanie, sterowanie i symulacja manipulatora o odkształcalnych ramionach Krzysztof Żurek Gdańsk, 2015-06-10 Plan Prezentacji 1. Manipulatory. 2. Wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych (MES).

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 (ocena dostateczna)

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 (ocena dostateczna) PRZYKŁADOWE ZADANIA ZADANIE (ocena dostateczna) Obliczyć reakcje, siły wewnętrzne oraz przemieszczenia dla kratownicy korzystając z Metody Elementów Skończonych. Zweryfikować poprawność obliczeń w mathcadzie

Bardziej szczegółowo

7. ELEMENTY PŁYTOWE. gdzie [N] oznacza przyjmowane funkcje kształtu, zdefinować odkształcenia i naprężenia: zdefiniować macierz sztywności:

7. ELEMENTY PŁYTOWE. gdzie [N] oznacza przyjmowane funkcje kształtu, zdefinować odkształcenia i naprężenia: zdefiniować macierz sztywności: 7. ELEMENTY PŁYTOWE 1 7. 7. ELEMENTY PŁYTOWE Rys. 7.1. Element płytowy Aby rozwiązać zadanie płytowe należy: zdefiniować geometrię płyty, dokonać podziału płyty na elementy, zdefiniować węzły, wprowadzić

Bardziej szczegółowo

Karta (sylabus) przedmiotu

Karta (sylabus) przedmiotu Karta (sylabus) przedmiotu [Budownictwo] Studia I stopnia Przedmiot: Metody obliczeniowe Rok: III Semestr: VI Rodzaj zajęć i liczba godzin: Studia stacjonarne Studia niestacjonarne Wykład 15 16 Ćwiczenia

Bardziej szczegółowo

Modelowanie w MES. Kolejność postępowania w prostej analizie MES w SWS

Modelowanie w MES. Kolejność postępowania w prostej analizie MES w SWS MES 5 Modelowanie w MES Część I Kolejność postępowania w prostej analizie MES w SWS Kroki analizy Zakładamy, że model już jest uproszczony, zdefiniowany został materiał, obciążenie i umocowanie (krok 0).

Bardziej szczegółowo

Wstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy

Wstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy Wstęp Numeryczne Modeowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Eementów Skończonych Metoda Eementów Skończonych służy do rozwiązywania probemów początkowo-brzegowych, opisywanych równaniami różniczkowymi

Bardziej szczegółowo

4. Elementy liniowej Teorii Sprężystości

4. Elementy liniowej Teorii Sprężystości 4. lementy liniowej Teorii Sprężystości 4.1. Podstawowe założenia i hipotezy liniowej TS. 4.2. Stan naprężenia w punkcie 4.3. Równania równowagi stanu naprężenia 4.4. Stan odkształcenia w punkcie 4.5.

Bardziej szczegółowo

Metody elementów skończonych

Metody elementów skończonych Metody elementów skończonych wykład 1 Metoda Elementów Skończonych (Finite Element Method) Matematyk przybliżona metoda rozwiązywania równań różniczkowych; przybliżona metoda minimalizacji funkcjonału;

Bardziej szczegółowo

9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI

9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 1 9. 9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 9.1. Pierwsze kroki Do tej pory zajmowaliśmy się w analizie ciał i konstrukcji tylko analizą sprężystą. Nie zastanawialiśmy się, co

Bardziej szczegółowo

I. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU

I. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU I. KARTA PRZEDMIOTU. Nazwa przedmiotu: KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE PROJEKTOWANIA Z CAD 2. Kod przedmiotu: Ko 3. Jednostka prowadząca: Wydział Mechaniczno-Elektryczny 4. Kierunek: Mechanika i budowa maszyn

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie zagadnień nieliniowych

Rozwiązywanie zagadnień nieliniowych Rozwiązywanie zagadnień nieliniowych Wykład 4 dla kierunku Budownictwo, specjalności DUA+TOB/BIM+BIŚ+BOI Jerzy Pamin Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej Politechnika Krakowska Podziękowania:

Bardziej szczegółowo

DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI

DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI (Wprowadzenie) Drgania elementów konstrukcji (prętów, wałów, belek) jak i całych konstrukcji należą do ważnych zagadnień dynamiki konstrukcji Przyczyna: nawet niewielkie drgania

Bardziej szczegółowo

MES1 Metoda elementów skończonych - I Finite Element Method - I. Mechanika i Budowa Maszyn I stopień ogólnoakademicki

MES1 Metoda elementów skończonych - I Finite Element Method - I. Mechanika i Budowa Maszyn I stopień ogólnoakademicki KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2016/2017 MES1 Metoda elementów skończonych - I Finite Element Method - I A. USYTUOWANIE

Bardziej szczegółowo

DYNAMIKA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH

DYNAMIKA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH DYNAMIKA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH Roman Lewandowski Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 2006 Książka jest przeznaczona dla studentów wydziałów budownictwa oraz inżynierów budowlanych zainteresowanych

Bardziej szczegółowo

Defi f nicja n aprę r żeń

Defi f nicja n aprę r żeń Wytrzymałość materiałów Stany naprężeń i odkształceń 1 Definicja naprężeń Mamy bryłę materialną obciążoną układem sił (siły zewnętrzne, reakcje), będących w równowadze. Rozetniemy myślowo tę bryłę na dwie

Bardziej szczegółowo

Rozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Teoria Maszyn i Mechanizmów

Rozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Teoria Maszyn i Mechanizmów Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Rozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Teoria Maszyn i Mechanizmów Prof. dr hab. inż. Janusz Frączek Instytut

Bardziej szczegółowo

Mechanika i wytrzymałość materiałów Kod przedmiotu

Mechanika i wytrzymałość materiałów Kod przedmiotu Mechanika i wytrzymałość materiałów - opis przedmiotu Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Mechanika i wytrzymałość materiałów Kod przedmiotu 06.9-WM-IB-P-22_15W_pNadGenRDG4C Wydział Kierunek Wydział Mechaniczny

Bardziej szczegółowo

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć Nazwa modułu: Mechanika techniczna i wytrzymałość materiałów Rok akademicki: 2012/2013 Kod: STC-1-105-s Punkty ECTS: 3 Wydział: Energetyki i Paliw Kierunek: Technologia Chemiczna Specjalność: Poziom studiów:

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia wytrzymałości materiałów. Statyczna próba rozciągania metali. Warunek nośności i użytkowania. Założenia

Podstawowe pojęcia wytrzymałości materiałów. Statyczna próba rozciągania metali. Warunek nośności i użytkowania. Założenia Wytrzymałość materiałów dział mechaniki obejmujący badania teoretyczne i doświadczalne procesów odkształceń i niszczenia ciał pod wpływem różnego rodzaju oddziaływań (obciążeń) Podstawowe pojęcia wytrzymałości

Bardziej szczegółowo

KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA

KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA I. 1 Nazwa modułu kształcenia Mechanika Budowli Informacje ogólne 2 Nazwa jednostki prowadzącej moduł Państwowa Szkoła Wyższa im. Papieża Jana Pawła II,Katedra Nauk Technicznych,

Bardziej szczegółowo

DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPUTEROWA

DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPUTEROWA DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPTEROWA Parametry przekrojów belek: E=205MPa=205 10 6 kn m 2 =205109 N m 2 1 - IPE 220 Pręty: 1, 3, 4: I y =2770cm 4 =0,00002770 m 4 EI =5678500 Nm 2 A=33,4 cm 4 =0,00334 m 2 EA=684700000

Bardziej szczegółowo

2. Pręt skręcany o przekroju kołowym

2. Pręt skręcany o przekroju kołowym 2. Pręt skręcany o przekroju kołowym Przebieg wykładu : 1. Sformułowanie zagadnienia 2. Warunki równowagi kąt skręcenia 3. Warunek geometryczny kąt odkształcenia postaciowego 4. Związek fizyczny Prawo

Bardziej szczegółowo

Wytrzymałość materiałów

Wytrzymałość materiałów Wytrzymałość materiałów IMiR - IA - Wykład Nr 1 Wprowadzenie. Pojęcia podstawowe. Literatura, podstawowe pojęcia, kryteria oceny obiektów, założenia wytrzymałości materiałów, siły wewnętrzne i ich wyznaczanie,

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2. Drgania punktu materialnego. Wykład Nr 8. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

MECHANIKA 2. Drgania punktu materialnego. Wykład Nr 8. Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 Wykład Nr 8 Drgania punktu materialnego Prowadzący: dr Krzysztof Polko Wstęp Drgania Okresowe i nieokresowe Swobodne i wymuszone Tłumione i nietłumione Wstęp Drgania okresowe ruch powtarzający

Bardziej szczegółowo

PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ

PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ Jakub Kałużny Ryszard Klauza Grupa B3 Semestr

Bardziej szczegółowo

METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH

METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH PROJEKT Wykonali: Kucal Karol (TPM) Muszyński Dawid (KMU) Radowiecki Karol (TPM) Prowadzący: Dr hab. Tomasz Stręk Rok akademicki: 2012/2013 Semestr: VII 1 Spis treści: 1.Analiza

Bardziej szczegółowo

Wytrzymałość Materiałów

Wytrzymałość Materiałów Wytrzymałość Materiałów Podstawowe pojęcia Wytrzymałość materiałów, projektowanie konstrukcji, siły wewnętrzne, siły przekrojowe, naprężenie Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości,

Bardziej szczegółowo