RUCH FALOWY. Ruch falowy to zaburzenie przemieszczające się w przestrzeni i zmieniające się w

Transkrypt

1 RUCH FALOWY Ruch alowy to zaburzenie przemiezczające ię w przetrzeni i zmieniające ię w czaie. Podcza rozchodzenia ię al mechanicznych elementy ośrodka ą wytrącane z położeń równowagi i z powodu właności prężytych ośrodka to odkztałcenie obejmuje coraz dalze jego części. Energia ruchu alowego jet przenozona w potaci ograniczonego ruchu czątek ośrodka ( energia kinetyczna ) oraz w potaci odkztałcenia elementów ośrodka ( energia potencjalna ). Fale można klayikować na wiele różnych poobów np. Ze względu na kztałt czoła ali: - ale płakie z Miejca geometryczne punktów o jednakowym y wychyleniu od położeń równowagi to płazczyzny. - ale kulite miejcem geometrycznym punktów o jednakowym wychyleniu ą wpółśrodkowe ery. - ale kolite ( cylindryczne ) Ze względu na długość trwania zaburzenia - impul alowy - ciąg alowy kończony - ciąg alowy niekończony Ze względu na ilość wymiarów geometrycznych potrzebnych do opiania ali: 1-, -, 3 wymiarowe. Ze względu na kierunek ruchu czątek ośrodka względem kierunku ruchu ali 1

2 - ale podłużne - ale poprzeczne Ogólna właność równania ali płakiej Równanie opiujące zaburzenie ośrodka w unkcji wpółrzędnych i czau yzt (,,, ) nazywamy równaniem ali. Zaburzenie yzt (,,, ) czyli równanie ali mui pełniać równanie alowe, które poznamy później. Jeśli w płazczyźnie = zaburzenie opiane jet unkcją (, t) = ( t), y y z z 1 1 to po czaie t1 =, gdzie jet prędkością ali, znajdzie ię ono w płazczyźnie o wpółrzędnej. Widać, że zaburzenie w punkcie 1 1 pełnia równanie t t t t 1 ( 1, ) = ( 1) = ( ). Dla dowolnego mamy t (, ) = ( t ). (9.1) Ograniczyliśmy ię tu do wyidealizowanego jednowymiarowego przypadku, kiedy brak jet tłumienia ali.

3 Równanie płakiej monochromatycznej ali harmonicznej równaniem Jeżeli w płazczyźnie = wzbudzimy drgania harmoniczne czątek ośrodka opiane (, t) = co( ωt+ ϕ), (9.) to wkutek prężytości ośrodka rozchodzi ię w nim ala. W płazczyźnie równanie ali zgodnie z (9.1) będzie miało potać ω t (, ) = co ω t + ϕ = co ωt + ϕ. (9.3) W powyżzym równaniu argument koinua nazywamy azą ali Φ ω Φ = ωt + ϕ. Długością ali λ nazywamy najmniejzą odległość punktów ośrodka, dla których natęptwo ruchu czątek ośrodka jet identyczne, czyli różnica az wynoi π Φ(, t) Φ (, t) = π, 1 ω ω ω( ) t + t + =, =, 1 1 ω ϕ ω ϕ π π a ponieważ z deinicji 1 = λ, otrzymamy relacje ωλ π λ λ = π, = π, λ =, =, (9.4) T gdzie to czętotliwość ali, a T to okre ali. Korzytając z związków (9.4) równanie ali można zapiać w potaci π t (, ) = co ωt + ϕ. λ (9.5) 3

4 Wielkość π nazywa ię liczbą alową albo modułem wektora alowego k. Wektor alowy λ deiniujemy, jako π π k e =, (9.6) λ λ wkazuje on jednocześnie długość i kierunek rozchodzenia ali. Równanie ali może być, więc zapiane, jako t (, ) = co( ωt k+ ϕ). (9.7) Prędkością azową ali nazywamy prędkość, z którą rozchodzi ię utalona aza zaburzenia alowego Φ (, t) = ωt k + ϕ = cont. Po zróżniczkowaniu po czaie otrzymamy d d ω ω k = = =. (9.8) dt dt k Równanie (9.7) przedtawia płaką monochromatyczną (utalone ω ) alę harmoniczną poruzającą ię wzdłuż oi - ów. Użycie wektora alowego k pozwala zapiać równanie ali płakiej biegnącej w dowolnym kierunku. Należy wtedy zatąpić w równaniu (9.7) iloczyn k przez iloczyn kalarny kr kr = k + k y + k z, y z gdzie k, ky, k z to kładowe wektora alowego k. Równanie ali płakiej w ogólnym przypadku ma, więc potać rt (, ) = co( ωt kr+ ϕ). (9.9) 4

5 Równania al: kulitej i kolitej (cylindrycznej) Falę kulitą można opiać równaniem ( r ) r rt (,) = ()co( r ωt kr+ ϕ), (9.1) Z () r = r, r = + y + z. r Falę kolitą (cylindryczną) opiuje w przybliżeniu równanie rt (,) = ()co( r ωt kr+ ϕ), (9.11) r r r y r () =, = +. Amplitudy () r tych al, w przeciwieńtwie do amplitudy ali płakiej, zależą od odległości r od źródła, ponieważ powierzchnia jednakowej azy taje ię coraz to więkza przy tałej mocy źródła. Fala tojąca przeciwnie Fala tojąca powtaje, jako rezultat nałożenia ię dwóch jednakowych al biegnących = co( ωt k+ ϕ ), 1 1 = co( ωt+ k+ ϕ ), ϕ ϕ1 ϕ1+ ϕ = 1+ = co k+ co ωt+. (9.1) Równanie to przedtawia alę tojącą o amplitudzie A, która zależy od położenia ϕ ϕ1 A= co k+. (9.13) 5

6 Miejca gdzie amplituda A ma wartość to trzałki, a miejca o zerowej amplitudzie to węzły ali tojącej. ϕ ϕ1 k + = nπ trzalki, n =, ± 1, ±, (9.14) ϕ ϕ1 π k + = (n + 1) węzly. (9.15) t t + T 4 π π 3 5 π π 3π π t + T k + ϕ ϕ Równanie alowe Jeżeli obliczymy pochodne i równania ali płakiej = ( ωt k+ ϕ ) co to otrzymamy = ω in ( ωt k + ϕ), 1 = ω co ( ωt k+ ϕ) = ω, =, ω = k in ( ωt k + ϕ), 1 = k co ( ωt k+ ϕ) = k, =. k Można zauważyć, że zachodzi związek ω =, =. (9.16) k 6

7 Równanie (9.16) nazywa ię jednowymiarowym równaniem alowym. W ogólnym przypadku, kiedy do opiu ali trzeba użyć trzech wymiarów równanie to przybiera potać =. + + (9.17) y z Zwartość zapiu uzykamy używając operatora Laplace a (w układzie kartezjańkim) y z Δ= = + +, wtedy równanie alowe ma potać =. Δ (9.18) Równanie to należy rozumieć w ten poób, że jeśli w rozpatrywanym zagadnieniu izycznym wielkość charakteryzująca to zjawiko () pełnia równanie typu (9.18) to oznacza to, że jet alą, a pierwiatek ze tałej przed Δ jet prędkością tej ali. Równanie alowe w akutyce Fala dźwiękowa w ośrodku gazowym to naprzemienny ciąg zagęzczeń i rozrzedzeń ośrodka. Pokażemy teraz, że odchylenia czątek ośrodka od położeń równowagi pełniają równanie alowe i otrzymamy wyrażenie na prędkość dźwięku w gazie. Bierzemy pod uwagę element ośrodka gazowego o przekroju A rozciągający ię od do +Δ. Ryunek poniżej przedtawia ten element w równowadze. p A p + Δ p - ciśnienie równowagowe 7

8 Natępny ryunek przedtawia ten element w obecności zaburzenia t (, ) rozchodzącego ię w kierunku oi - ów. A p ( + (, t)) p ( + Δ + ( +Δ, t)) + t (,) + Δ +Δ + ( +Δt, ) Δ λ, p - ciśnienie w obecności ali dźwiękowej. Na element ośrodka działa iła ( (, )) ( (, )) F = Ap +Δ + +Δ t + Ap + t. Rozwijamy i p w zereg, przybliżając ( +Δt, ) t (, ) + Δ, p ( + Δ + ( +Δ, t) ) p + (, t) +Δ (1 + ) p p p ( + (, t) ) + Δ (1 + ) p ( + (, t) ) + Δ. Otrzymamy p F A Δ. (9.19) Z drugiej trony na podtawie II zaady dynamiki =Δ Δ (9.) F ma ρ A, t gdzie ρ to gętość gazu. Równania (9.19) i (9.) prowadzą do zależności p = ρ. (9.1) 8

9 W dalzym ciągu uzykamy związek między ciśnieniem p w obecności dźwięku i wychyleniem czątek środka. Założymy, że prężanie i rozprężanie elementów ośrodka podlega przemianie adiabatycznej. pv κ κ = p V, ( ) V = AΔ, V = A +Δ + ( +Δ, t ( + (, t))) A Δ (1 + ) = V(1 + ), κ κ κ pv = p V (1 + ), κ p = p(1 + ) p p(1 κ ), p p= p κ. (9.) Różnica p p nazywa ię ciśnieniem akutycznym. Jet to nadwyżka ciśnienia gazu w obecności dźwięku nad ciśnieniem p gazu bez dźwięku. Iloczyn pκ = B noi nazwę wpółczynnika prężytości objętościowej gazu. Po zróżniczkowaniu równania (9.) otrzymamy p = pκ (9.3) i w końcu dochodzimy do równania alowego korzytając z (9.1) i (9.3) pκ ρ =, (9.4) co świadczy o tym, że zaburzenie pκ t (, ) jet alą o prędkości =, a ponieważ ρ μ p ρ = (równanie tanu gazu dokonałego) otrzymamy RT 9

10 κ RT =. (9.5) μ m Wtawiając dane dla powietrza o temperaturze 73 K otrzymamy 33, co jet w dobrej zgodności z wynikiem doświadczalnym. p ( t, ) Podobne równanie jak dla ali przemiezczeń t (, ) można uzykać dla ali ciśnienia p κ p p ρ =, (9.6) gdzie p to ciśnienie gazu w obecności ali, a p to ciśnienie gazu bez ali. wynoi Dla al podłużnych rozchodzących ię w ciele tałym prędkość ali akutycznej E =, (9.7) ρ gdzie E - moduł Younga, ρ - gętość ciała. Dla al poprzecznych w ciele tałym τ =, (9.8) ρ gdzie τ to moduł prężytości poprzecznej. W naprężonej trunie rozchodząca ię ala poprzeczna ma prędkość σ =, (9.9) ρ gdzie σ to naprężenie, czyli iloraz iły naprężającej trunę do powierzchni jej poprzecznego przekroju A ( F σ = ). A 1