P. Litewka Efektywny element skończony o dużej krzywiźnie

Transkrypt

1 4.5. Macierz mas Macierz mas elementu wyprowadzić można według (.4) wykorzystując wielomianowe funkcje kształtu (4. 4.). W tym przypadku wzór ten przyjmie postać: [ m~ ] 6 6 ~ ~ ~ ~ ~ ~ gdzie: m = [ N N + N N + i N N ] ~ M = µ a ij, (4.4) ~ d ξ ij ui uj vi Po podstawieniu funkcji kształtu i wyeliminowaniu wyrażeń zawierających wyższe potęgi kąta rozwarcia elementu α ostatecznie przyjęto następującą postać składników elementowej macierzy mas (obliczenia przeprowadzono wykorzystując program Maple V Release ): Wartości ~ ( xy) ij m oraz ~ ( ϕ) ij vj ~ ~ ( xy) ~ ( ϕ) m ij = mij + i mij ϕi m dla przypadku belki zakrzywionej Eulera-Bernoulliego (d = e = 0) przedstawiono na wydrukach z programu Maple V (Załącznik ). Przyjęto następujące oznaczenia: ~ ( ϕ) m ij mfiij =, ~ ( xy) m ij mxyij =, al =α. Ponadto: m~ ~ 4 = m5, m ~ ~ 4 = m6, m~ ~ 5 = m6, m ~ ~ 44 = m, m~ ~ 45 = m, m ~ ~ 46 = m, m ~ ~ 55 = m, m~ ~ 56 = m, m ~ ~ 66 = m, m ~ = ji m~. ij 4.6. Weryfikacja elementu wielomianowego w zadaniach dynamiki Przykład 4.5 (por. Przykład.5) W tym przykładzie wykonuje się obliczenia częstości kołowych drgań własnych n dla pierścienia kołowego przedstawionego na Rys. 4.5a przy rosnącej liczbie. Rozważa się tylko te postacie drgań własnych, które charakteryzują się parzystą liczbą n pełnych fal na obwodzie pierścienia. Wyniki obliczeń dla dwóch różnych grubości pierścienia, ha oraz hb, porównuje się z wynikami przedstawionymi w [9] nex. Dotyczą one obliczeń analitycznych wykonanych bez uwzględnienia wpływu sił osiowych, sił poprzecznych oraz silnego zakrzywienia pręta. Pomimo tego porównanie takie jest uzasadnione, gdyż proporcja h/r jest tak mała, że wyżej wymienione wpływy są pomijalne. Z uwagi na symetrię obliczenia przeprowadza się dla ćwiartki pierścienia przedstawionej na Rys. 4.5b. ϕj 87

2 R Rys. 4.5a Rys. 4.5b Do obliczeń przyjmuje się następujące dane: promień krzywizny R = in = 0, 048 m, wysokość przekroju ha = 0, 5 in = 0, 0065 m, h A / R = 0,008() (przypadek A), hb = 0, 075 in = 0, m, hb / R = 0, 005 (przypadek B), moduł Younga E 6 = 9 0 lbf / in =, 0 Pa, gęstość materiału ρ= 0, 7 0 lb / in = 4, 7 kg / m. Wyniki obliczeń dla obu przypadków grubości pierścienia przedstawiono w Tabelach 4. i 4.. Tabela 4.. Przypadek A (ćwiartka pierścienia) ex,059,09,0055 6,008 0,9999,0050,0046 0,9976 0,9999 4,0045 0,9977 0, ,0045 0,9978 0,9979 Tabela 4.. Przypadek B (ćwiartka pierścienia) ex,048,059,005 6,07,005,004,007 0,9994 0, ,9989 0, ,000 0,9989 0, ex 4 4ex 6 6ex 6 6ex 88

3 Wyniki obliczeń przeprowadzonych w tym przykładzie potwierdzają poprawność sformułowania elementu wielomianowego dla przypadku łuków o małej grubości (a więc o małej krzywiźnie). Nawet dla podziału na małą liczbę otrzymuje się wyniki zgodne z rozwiązaniem ścisłym. Nie można niestety zweryfikować wyników obliczeń dla łuków silnie zakrzywionych, gdyż w literaturze nie znaleziono dla tych przypadków rozwiązań analitycznych. Przykład 4.6 Analizuje się łuk obustronnie utwierdzony, przedstawiony na Rys Rys. 4.6 Do obliczeń przyjmuje się następujące dane: moduł Younga E = Pa, współczynnik Poissona ν=07,, gęstość materiału ρ=400 kg / m, promień krzywizny R = m, przekrój prostokątny h 04, m, κ=,, wysokość przekroju ha m (h A / R = 0, 04 ) (przypadek A), hb m B / R = 0, ) (przypadek B), całkowity kąt rozwarcia łuku α = π/. Dla obu przypadków badana jest zbieżność wartości trzech pierwszych częstości kołowych drgań własnych i, obliczanych dla rosnącej liczby wykorzystując wielomianowy (przypadek I), liniowy (przypadek II) i diagonalny (przypadek III) model masy, do wartości dokładnych obliczonych przy wykorzystaniu trygonometrycznych iex (patrz Przykład.8, przypadek IA i IB). Wyniki przedstawiono w Tabelach 4., 4.4, 4.5, 4.6, 4.7 i 4.8. Tabela 4.. Przypadek IA ex 89 ex 4,0006,0609, , ,99847, ,9984 0,99876,0046 0, ,999608,00095 ex

4 64 0, ,999897,

5 Tabela 4.4. Przypadek IIA ex ex ex 4,57005,59864, ,04974,06, ,0660,0755,05,005,006865,098 64,000749,00654,00 Tabela 4.5. Przypadek IIIA ex ex ex 4 0, ,8598, , , , , , , , , , , , ,99979 Tabela 4.6. Przypadek IB ex ex ex 4,009990,066, ,000087,00654, ,9994 0,99968,0005 0, , , ,9998 0,9998 0, Tabela 4.7. Przypadek IIB ex ex ex 4,45,0680,8855 8,04709,057,0870 6,00898,006670,005,006,0048, ,000544,0008,

6 Tabela 4.8. Przypadek IIIB ex ex 4 0, ,9694 0, , ,9948 0, ,9999 0, , , , , , , , ex Przykład 4.7 Analizuje się łuk wspornikowy, przedstawiony na Rys Rys. 4.7 Do obliczeń przyjmuje się następujące dane: moduł Younga E = Pa, współczynnik Poissona ν=07,, gęstość materiału ρ=400 kg / m, promień krzywizny R = m, przekrój prostokątny h 04, m, κ=,, wysokość przekroju ha = 0, m, (ha / R = 004), (przypadek A), hb = 06, m, (hb / R = 0), (przypadek B), całkowity kąt rozwarcia łuku α = π/. Dla obu przypadków badana jest zbieżność wartości trzech pierwszych częstości kołowych drgań własnych i, obliczanych dla rosnącej liczby wykorzystując wielomianowy (przypadek I), liniowy (przypadek II) i diagonalny (przypadek III) model masy, do wartości dokładnych obliczonych przy wykorzystaniu 4 trygonometrycznych iex (patrz Przykład.8, przypadek IIA i IIB). Wyniki przedstawiono w Tabelach 4.9, 4.0, 4., 4., 4. i

7 Tabela 4.9. Przypadek IA ex ex ex 0, ,99466, ,9909 0,9946, , , , , ,9997 0, ,9998 0,999840,00048 Tabela 4.0. Przypadek IIA ex ex ex,0565,079890, ,0040,050,09066,00057,006576, ,999980,0069, ,999966,0007,0046 Tabela 4.. Przypadek IIIA ex ex ex 0, , , ,994 0, ,960 0, , , , , , , ,9998 0,99876 Tabela 4.. Przypadek IB ex ex ex,04495,007998, , ,99987,0065 0, , , , , , , , ,

8 Tabela 4.. Przypadek IIB ex ex,00085,0775,87 6,00007,09,0580,00009,00688, ,00000,0058, ,000000,0006,00044 ex Tabela 4.4. Przypadek IIIB ex ex 0, ,8876 0, , ,9697 0,9487 0, ,997 0, , , , ,9998 0, , ex We wszystkich przypadkach rozważanych w Przykładach 4.6 i 4.7 obserwuje się bardzo dobrą zbieżność wartości częstości kołowych drgań własnych obliczonych przy użyciu masy wielomianowej do rozwiązań dokładnych. Rozwiązane przykłady potwierdzają efektywność opracowanego elementu do obliczeń dynamicznych. Analiza wyników dla łuków o różnych wysokościach przekroju pozwala ponownie stwierdzić, że opracowany element jest wolny od numerycznych zjawisk blokady ścinania i membranowej. Warto także zauważyć, że połączenie wielomianowego modelu sztywności z najprostszym modelem masy masa skupiona w węzłach, daje bardzo dobre rezultaty. Nieco gorszą zbieżność otrzymuje się w przypadku masy liniowej, z wyjątkiem przypadku B dla łuku wspornikowego Macierz geometryczna Macierz geometryczną elementu wyprowadzić można według wzoru (.48). W przypadku wielomianowych funkcji kształtu (4. 4.) wzór ten przyjmie postać: [ g~ ] 6 6 ~ S G, (4.5) = α ij R 0D ~ ~ gdzie: ~ dn ~ dn vi vj ~ gij = + Nui + Nuj dξ dξ dξ 94

9 Po podstawieniu funkcji kształtu i wyeliminowaniu wyrażeń zawierających wyższe potęgi kąta rozwarcia elementu α otrzymuje się ostateczne wartości g ~, które w zapisie mają złożoną postać. Elementy macierzy geometrycznej dla przypadku belki zakrzywionej Eulera-Bernoulliego (d = e = 0) przedstawiono na wydrukach z programu Maple V (Załącznik ). Przyjęto następujące oznaczenia: 68α mgij = 0 g~ ij, 5 al0 =α 0. Ponadto: g~ ~ 4 = g5, g ~ ~ 4 = g6, g~ ~ 5 = g 6, g ~ ~ 44 = g, g~ ~ 45 = g, g ~ ~ 46 = g, g ~ ~ 55 = g, g~ ~ 56 = g, g ~ ~ 66 = g, g ~ = ji g~. ij 4.8. Weryfikacja elementu wielomianowego w zadaniach stateczności Przykład 4.8 (por. Przykład.0) Dla kołowego łuku obustronnie utwierdzonego, obciążonego parciem hydrostatycznym (Rys. 4.8) oblicza się krytyczny mnożnik obciążenia. C q ij Rys. 4.8 Do obliczeń przyjęto następujące dane: moduł Younga E = kpa, współczynnik Poissona ν=07,, promień krzywizny R = m, przekrój prostokątny: h m, κ=,, wysokość przekroju ha = 00, m, ha / R = 0, 0 (przypadek A), hb = 0, m, hb / R = 0, (przypadek B), hc = 05, m, hc / R = 0, 5 (przypadek C), całkowity kąt rozwarcia łuku α = π (przypadek I), α = π/ (przypadek II), α = 4π/ 9 (przypadek III). Obciążenie jest definiowane w postaci: q = p EI R 95

10 skąd krytyczny mnożnik obciążenia: R pkr = qkr. EI Wyniki obliczeń wartości w porównaniu z wartościami mnożnika obliczonymi dla trygonometrycznych ( ex ) dla poszczególnych przypadków w zależności od liczby pkr w postaci proporcji pkr = przedstawiono w Tabelach 4.5, 4.6 i 4.7. pkrex Tabela 4.5. Przypadek A przypadek I przypadek II przypadek III 4,0,008,008 8,056,006,00 6,0057,000,000,0057,0000,0000 Tabela 4.6. Przypadek B przypadek I przypadek II przypadek III 4,074,05,04 8,008,00, ,9984 0,9994,0007 0,9990 0,9994 0,9997 Tabela 4.7. Przypadek C przypadek I przypadek II przypadek III 4,0,007,0065 8,006,05,00 6 0,9994,009,004 0,9986 0,999 0,9997 Przykład 4.9 (por. Przykład.) Dla kołowego łuku dwuprzegubowego, obciążonego parciem hydrostatycznym (Rys. 4.9) oblicza się krytyczny mnożnik obciążenia 96

11 C q Rys. 4.9 Do obliczeń przyjęto dane jak w Przykładzie 4.8. Wyniki obliczeń wartości w porównaniu z wartościami mnożnika obliczonymi dla trygonometrycznych ( ex ) dla poszczególnych przypadków w zależności od liczby pkr w postaci proporcji pkr = przedstawiono w Tabelach 4.8, 4.9 i pkrex Tabela 4.8. Przypadek A przypadek I przypadek II przypadek III 4,474,059,0049 8,050,0055,0007 6,048,0004,0000,009,0000,0000 Tabela 4.9. Przypadek B przypadek I przypadek II przypadek III 4,068,008,04 8 0,996 0,9986, ,990 0,9986 0,9995 0,9990 0,9994 0,9997 Tabela Przypadek C przypadek I przypadek II przypadek III 4 0,989,087, ,9878,008, ,9956 0,9997,004 0,9985 0,999 0,

12 Przykład 4.0 (por. Przykład.) Dla kołowego pierścienia, obciążonego parciem hydrostatycznym (Rys. 4.0a) oblicza się krytyczny mnożnik obciążenia. Z uwagi na symetrię układu rozpatruje się ćwiartkę pierścienia (Rys. 4.0b). q q R Rys. 4.0a Rys. 4.0b Do obliczeń przyjęto dane jak w Przykładzie 4.8. Wyniki obliczeń wartości w porównaniu z wartościami mnożnika obliczonymi dla 0 trygonometrycznych ( ex ) dla poszczególnych przypadków w zależności od liczby pkr w postaci proporcji pkr = przedstawiono w Tabeli 4.4. pkrex Tabela 4.4 przypadek A przypadek B przypadek C 5,05 0,9989 0,9958 0,008 0,9986 0,9985 5,0007 0,999 0,999 0,0000 0,9997 0,9997 Wyniki obliczeń w Przykładach 4.8, 4.9, 4.0 dowodzą efektywności opracowanego elementu wielomianowego w wyznaczaniu wartości obciążeń krytycznych. We wszystkich rozpatrywanych przypadkach obserwuje się dobrą zbieżność wyników do rozwiązań dokładnych. Porównanie otrzymanych rezultatów z wynikami obliczeń z Przykładów.0,. i. pozwala stwierdzić, że opracowany element daje poprawne rozwiązania dla problemu stateczności początkowej łuków kołowych i nie wykazuje nie pożądanych efektów blokady ścinania i blokady membranowej. 98