Elektrodynamika. Część 6. Elektrodynamika. Ryszard Tanaś. Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Transkrypt

1 Elektrodynamika Część 6 Elektrodynamika Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM Spis treści 7 Elektrodynamika Siła elektromotoryczna Indukcja elektromagnetyczna Równania Maxwella

2 7 Elektrodynamika 7.1 Siła elektromotoryczna Prawo Ohma f siła działająca na jednostkowy ładunek σ przewodność elektryczna właściwa J =σf, substancji ρ = 1/σ opór elektryczny właściwy substancji J = σ(e + v B) siła elektromagnetyczna J =σe prawo Ohma Wewnątrz przewodnika E = 0; jest to prawdą dla ładunków stacjonarnych (J 0); E = J/σ = 0 dlaσ. V =IR inna postać prawa Ohma E = 1 σ J = 0 dla prądu stałego i jednorodnegoσ; gęstość ładunku jest równa zeru P =VI =I 2 R prawo Joule a;p moc wydzielana

3 7.1.2 Siła elektromotoryczna f = f źr + E dwie siły porzymujące prąd E f dl = f źr dl siła elektromotoryczna f = 0 E = f źr dla idealnego źródła (σ ) V = b a E dl = b a f źr dl =E różnica potencjałów pomiędzy biegunami baterii SEM przewodnika poruszającego się w polu magnetycznym b c B x h R v a d E = Φ f magn dl =vbh B da strumień magnetyczny Φ =Bhx

4 dφ =Bh dx = Bhv E = dφ reguła strumienia 7.2 Indukcja elektromagnetyczna Prawa Faradaya B I v v B I B I zmienne pole magnetyczne E = dφ Zmiana pola magnetycznego indukuje pole elektryczne! E = E dl = dφ E dl = B da

5 E = B prawo Faradaya E = dφ uniwersalna reguła strumienia Reguła Lenza: Natura nie znosi zmiany strumienia Indukowany prąd będzie płynął w takim kierunku, że dodatkowy strumień powstały w wyniku jego przepływu sprzeciwia się zmianie pierwotnego strumienia Indukowane pole elektryczne E = B B =µ 0 J E = 0 dla pola czysto faradayowskiego (ρ = 0) B = 0 zawsze Pole elektryczne indukowane ( przez ) zmiany pola magnetycznego określone jest wielkością dokładnie w taki sam sposób, jak B indukcja pola magnetostatycznego przezµ 0 J

6 B dl =µ 0 I c E dl = dφ Przykład: Jednorodne pole magnetyczne o indukcji B(t) skierowane pionowo do góry wypełnia kołowy obszar zaznaczony kolorem na rysunku. Jakie pole elektryczne się indukuje, jeśli indukcja magnetyczna B zmienia się w czasie? B(t) s kontur Ampère a E dl =E(2πs) = dφ = d [πs2 B(t)] = πs 2 db E = s 2 db ˆφ

7 Przykład: Ładunek o gęstości liniowej λ przyklejony jest do obwodu koła o promieniu b położonego w płaszczyźnie poziomej, które może swobodnie się obracać (szprychy koła wykonane są z izolatora). W obszarze środkowym, ograniczonym promieniem a, indukcja pola magnetycznego B 0 jest skierowana pionowo ku górze. Nagle pole magnetyczne zostaje wyłączone. Co będzie się działo z kołem? B 0 E a kierunek obrotu b dl λ E dl = dφ = πa2 db r F bλe dl moment siły działający na dl N =bλ N = λπa 2 b E dl = bλπa 2 db 0 B 0 db =λπa 2 bb 0 całkowity moment siły moment pędu jaki zyskuje koło To pole elektryczne powoduje obrót koła. Siły magnetyczne nie wykonują pracy.

8 7.2.3 Indukcyjność B 1 B 1 B 1 pętla 2 dl 2 pętla 2 dl 1 pętla 1 I 1 pętla 1 B 1 = µ 0 4π I dl1 ˆR 1 R 2 indukcja B 1 wytwarzana prze pętlę 1 Φ 2 = B 1 da 2 strumień przez pętlę 2 Φ 2 =M 21 I 1, M 21 współczynnik indukcyjności wzajemnej Φ 2 = A 1 = µ 0I 1 4π Φ 2 = µ 0I 1 4π B 1 da 2 = dl1 R ( ) dl1 dl 2 R ( A 1 ) da 2 = A 1 dl 2 M 21 = µ 0 4π dl1 dl 2 R wzór Neumanna M 21 =M 12 =M jest wielkością czysto geometryczną

9 E 2 = dφ 2 = M di 1 zmieniamy natężenie prądu w pętli 1 Zmiana natężenia prądu w pętli 1 indukuje SEM w pętli 2, pomimo tego, że pomiędzy pętlami nie ma połączenia elektrycznego! Zmiana natężenia prądu indukuje SEM także w tej samej pętli, w której zmienia się natężenie prądu. Φ =LI E = L di, L indukcyjność własna obwodu Energia pola magnetycznego Praca wykonana nad jednostkowym ładunkiem przeciw przeciwstawnej SEM podczas jednego obiegu obwodu jest równa E dw = EI =LI di całkowita praca wykonana w jednostce czasu W = 1 2 LI2 Φ = B da = ( A) da = A dl LI = S A dl S P

10 W = 1 2 I W = 1 2 V W = 1 2µ 0 A dl = 1 2 (A J) dτ (A I) dl B =µ 0 J A ( B) dτ prawo Ampère a (A B) = B ( A) A ( B) pochodne iloczynów A ( B) = B B (A B) W = 1 2µ 0 = 1 2µ 0 [ V B 2 dτ B 2 dτ S ] (A B) dτ (A B) da W el = 1 2 W magn = 1 2 W = 1 2µ 0 cała przestrzeń (Vρ) dτ = ǫ 0 E 2 dτ 2 (A J) dτ = 1 B 2 dτ 2µ 0 B 2 dτ

11 Przykład: Przez długi kabel koncentryczny płynie prąd o natężeniu I (prąd płynie w prawo po powierzchni wewnętrznego walca o promieniuaiwraca po powierzchni zewnętrznego walca o promieniu b. Znaleźć energię pola magnetycznego zmagazynowaną na odcinku kabla o dłuości l. I b a I B = µ 0I 2πs ˆφ w obszarze pomiędzy walcami ( ) 2 1 µ0 I = µ 0I 2 2µ 0 2πs 8π 2 s 2 gęstość energii ( µ0 I 2 ) 8π 2 s 2 2πls ds = µ 0I 2 ( ) l ds energia w powłoce o promieniu 4π s s i grubości ds W = µ 0I 2 ( ) l b 4π ln a L = µ 0l 2π ln ( b a )

12 7.3 Równania Maxwella Elektrodynamika przed Maxwellem (i) E = 1 ǫ 0 ρ (prawo Gaussa) (ii) B = 0 (bez nazwy) (iii) E = B (prawo Faradaya) (iv) B =µ 0 J (prawo Ampère a) ( ) ( E) = }{{} =0 ( B) }{{} =0 B =µ 0 ( J }{{}) problem! 0 = ( B }{{}) OK =0 kontur Ampère a kondensator ładowanie kondensatora I bateria B dl =µ 0 I c dla zielonej powierzchnii c =I dla niebieskiej powierzchnii c = 0 Prawo Ampère a załamuje się w przypadku gdy prądy nie są stałe.

13 7.3.2 Jak Maxwell poprawił prawo Ampère a J = ρ ( ) = (ǫ E 0 E) = ǫ 0 B =µ 0 J +µ 0 ǫ 0 E Zmiana pola elektrycznego indukuje pole magnetyczne. J p ǫ 0 E gęstość prądu przesunięcia kontur Ampère a kondensator ładowanie kondensatora I bateria E = 1 ǫ 0 σ = 1 ǫ 0 Q A E = 1 ǫ 0 A dq = 1 ǫ 0 A I natężenie pola pomiędzy okładkami kondensatora B dl =µ 0 I c +µ 0 ǫ 0 ( E ) da =µ 0 I dla obu powierzchni

14 7.3.3 Równania Maxwella (i) E = 1 ǫ 0 ρ (prawo Gaussa) (ii) B = 0 (bez nazwy) (iii) (iv) E = B (prawo Faradaya) B =µ 0 J +µ 0 ǫ 0 E (prawo Ampère a z poprawką Maxwella) F =q(e + v B) siła Lorentza Równania Maxwella wraz z równaniem na siłę Lorentza oraz odpowiednimi warunkami brzegowymi opisują całą klasyczną elektrodynamikę. Równania Maxwella (i) E = 1 ǫ 0 ρ (prawo Gaussa) (ii) B = 0 (bez nazwy) (iii) (iv) E + B = 0 B µ 0 ǫ 0 E =µ 0 J (prawo Faradaya) (prawo Ampère a z poprawką Maxwella) Bardziej logiczny zapis równań Maxwella: źródła pól ρ i J znajdują się po prawej stronie, a wytwarzane pola po lewej stronie równań.

15 7.3.4 Równania Maxwella w materii ρ zw = P ładunki związane J zw = M prądy związane da P przypadek niestacjonarny: zmiana polaryzacji elektrycznej +σ zw σ zw di = σ zw da = P da J p = P gęstość prądu polaryzacji J = P p = ( P ) = ρ zw równanie ciągłości ρ =ρ sw +ρ zw =ρ sw P J = J sw + J zw + J p = J sw + M + P E = 1 ǫ 0 (ρ sw P ) prawo Gaussa D =ρ sw

16 D ǫ 0 E + P B =µ 0 ( J sw + M + P ) +µ 0 ǫ 0 E H = J sw + D H 1 µ 0 B M Równania Maxwella w materii (i) D =ρ sw (prawo Gaussa) (ii) B = 0 (bez nazwy) (iii) (iv) E = B (prawo Faradaya) H = J sw + D (prawo Ampère a z poprawką Maxwella) Równania materiałowe (ośrodki liniowe) P =ǫ 0 χ e E, M =χ m H D =ǫe, H = 1 µ B

17 ǫ ǫ 0 (1 +χ e ), µ µ 0 (1 +χ m ) J p = D prąd przesunięcia Warunki brzegowe Równania Maxwella w postaci całkowej (i) D da =Q sw S po dowolnej zamkniętej (ii) B da = 0 powierzchni S S (iii) E dl = d B da po dowolnej powierzchni P S (iv) H dl =I swc + d S, której brzegiem jest D da zamknięta krzywa P P S

18 a D 1 σ sw D 2 D 1 a D 2 a =σ sw a D 1 D 2 =σ sw B 1 B 2 = 0 ˆn l K sw E 1 l E 2 l = d S B da E 1 E 2 = 0 H 1 l H 2 l =I swc I swc = K sw ( ˆn l) = (K sw ˆn) l

19 H 1 H 2 = K sw ˆn Ośrodki liniowe (i) ǫ 1 E 1 ǫ 2E 2 =σ sw (ii) B 1 B 2 = 0 (iii) E 1 E 2 = 0 (iv) 1 µ 1 B 1 1 µ 2 B 2 = K sw ˆn

20