Zasada prac przygotowanych

Transkrypt

1 1 Ćwiczenie 20 Zasada prac przygotowanych Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z praktycznym zastosowaniem zasady prac przygotowanych przy rozpatrywaniu równowagi układu o dwóch stopniach swobody Podstawy teoretyczne Jeśli układ n punktów materialnych poddany jest działaniu więzów holonomicznych i doskonałych, to warunkiem koniecznym i dostatecznym równowagi układu jest aby praca sił zewnętrznych F 1, F i, F n na przesunięciach przygotowanych δr 1, δr i, δr n była równa zeru. δl = F i δr i = 0 (1) δl = (F ix δ ix + F iy δ iy + F iz δ iz ) = 0 gdzie δ ix, δ iy, δ iz - wariacje odpowiadające współrzędnym prostokątnym Zasada prac przygotowanych jest zasadą wariacyjną gdyż bierze się w niej niejedna konfiguracja układu, lecz zbiór różnych konfiguracji otrzymanych w wyniku wykonania przesunięć przygotowanych dopuszczalnych przez więzy. Zaletą zasady prac przygotowanych jest to, że wszystkie warunki równowagi można wyrazić za pomocą jednego równania. W sform7uowaniu zasady prac przygotowanych nie występują reakcje więzów a więc przy badaniu równowagi układu w oparciu o tę zasadę nie ma potrzeby wyznaczania reakcji.

2 2 Przedstawmy wzór (1) wyrażający zasadę prac przygotowanych we współrzędnych uogólnionych q 1, q 2, q j, q s współrzędne uogólnione określające układ o s stopniach swobody niech r i = r i(q 1 q j q s ) to δr i = j=s r i j=1 q j δq j δq 1 δq j δq s - niezależne wariacje współrzędnych uogólnionych F i j=s r i q j j 1 wprowadzamy oznaczenia j=s δq j = δq j j 1 F i r i q j = 0 Q j = F i r i q j j = 1, s wielkości Q j (j=1, s), nazywamy siłami uogólnionymi otrzymujemy więc δl = Q j δq j = 0 (2) Wzór (2) wyraża zasadę prac przygotowanych we współrzędnych uogólnionych. Skoro wariacje δq 1 δq j δq s są niezależne to ze wzoru ( ) wynika, że Q j = 0, (j = 1, s). Wobec tego warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu materialnego o więzach holonomicznych skleronomicznych i idealnych jest, aby siły uogólnione Q j odpowiadające niezależnym współrzędnym uogólnionym q j były równe zeru. Stąd wynika, że możemy otrzymać tyle warunków równowagi ile stopni swobody posiada rozważany układ.

3 Opis stanowiska Na rys. przedstawiono wahadło podwójne składające się z dwóch jednorodnych, połączonych ze sobą przegubowo prętów o długościach równych odpowiednio l 1 i l 2 i masach m 1 i m 2. x y c 1 1 l 1 c 1 y c 2 m1g A 1 2 c 2 l 2 m 2 g A 2 F x A2 y Do końca A 2 dolnego pręta wahadła przyłożona jest poziomo siła F. Wyznaczymy siły uogólnione Q 1 i Q 2 odpowiadające współrzędnym uogólnionym q 1 = φ 1 i q 2 = φ 2 tj. kątami między osiami prętów wahadła i pionem. W położeniu równowagi δl =0, w rozpatrywanym przypadku otrzymujemy

4 4 δl = Q 1 δφ 1 + Q 2 δφ 2 siły uogólnione liczymy z zależności: Q 1 = F x A2 Q 2 = F x A2 + m 1 g y c1 + m 2 g y c2 + m 1 g y c1 + m 2 g y c2 (3a) (3b) z rysunku y c1 = l 1 2 cos φ 1 ; y c2 = l 1 cos φ 1 + l 2 2 cos φ 2 ; x A2 = l 1 sin φ 1 + l 2 sin φ 2 stąd x A2 = l 1 cosφ 1 ; x A2 = l 2 cosφ 2 ; y c1 = l 1 2 sin φ 1; y c1 = 0 y c2 = l 1 sin φ 1 ; po podstawieniu do wzoru 3a i 3b, otrzymujemy: y c2 = l 2 2 sin φ 2; Q 1 = [Fcosφ 1 ( 1 2 m 1 + m 2 ) gsinφ 1 ] l 1 Q 2 = (Fcosφ m 2gsinφ 2 ) l 2 warunek równowagi układu j=s L = Q j δq j = 0 j=1 jest to możliwe gdy spełnione są równania Q 1 = 0 ; Q 2 = 0 ponieważ δφ 1 i δφ 2 0 stąd tgφ 1 = F ; tgφ ( 1 2 m 1 = 2F 1+m 2 )g m 2 g (4)

5 Przebieg ćwiczenia 1. Dokonać pomiarów prętów 2. Wyznaczyć ciężar prętów 3. Trzykrotnie pomierzyć kąty przy założeniu ciężarka Q I 4. Trzykrotnie pomierzyć kąty przy założeniu ciężarka Q II 5. Obliczyć wartości kątów z zależności (4) dla F=Q I i F=Q II 6. Wyniki doświadczalne pomiarów kątów porównać z wartościami wyznaczonymi teoretycznie 7. Wyniki pomiarów i obliczeń zamieścić w tabeli 1 i 2. Tabela 1 pręt 1 l 1 = [mm] a 1 = [mm] b 1 = [mm] V 1 = ρ 1 = G 1 = [N] pręt 2 L 2 = [mm] a 2 = [mm] b 2 = [mm] V 2 = ρ 2 = G 2 = [N] Tabela 2 F 1 pręt m 1 pręt m 2 φ 1,1 = φ 1,1 = φ 1,1 = φ śr = φ 2,1 = φ 2,1 = φ 2,1 = φ śr = F 2 φ 1,2 = φ 1,2 = φ 1,2 = φ śr = φ 2,2 = φ 2,2 = φ 2,2 = φ śr = Wykonanie sprawozdania Sprawozdanie winno zawierać: 1. Cel ćwiczenia 2. Schemat stanowiska 3. Wypełnione tabele pomiarów 4. Obliczenia wyznaczonych wartości 5. Analiza wyników i wnioski

6 Bibliografia 1. Leyko J. Mechanika ogólna t.ii. Wydawnictwo Naukowe PWN W-wa Jarzębowska E., Jarzębowski W. Mechanika ogólna. Wydawnictwo Naukowe PWN W-wa Gutowski R. Mechanika analityczna PWN W-wa Szabelski K., Warmiński J. Laboratorium dynamiki i drgań układów mechanicznych. Wydawnictwo Politechniki Lubelskiej, 2006