Mechanika analityczna. Małe drgania układów zachowawczych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Mechanika analityczna. Małe drgania układów zachowawczych"

Transkrypt

1 Mechanika analityczna. Małe drgania układów zachowawczych. Drgania swobodne układów o jednym stopniu swobody.. Wprowadzenie teoretyczne Załóżmy, że układ materialny o jednym stopniu swobody i więzach idealnych, skleronomicznych i holonomicznych znajduje się w zachowawczym polu sił. Zakładamy małe wychylenie układu z położenia równowagi i współrzędną q odmierzać będziemy właśnie od tego położenia. Zatem w położeniu q = 0 energia potencjalna osiąga minimum. Punktem wyjścia naszych rozważań jest równanie d dt T q ) T q + V q = 0. Rozwińmy V = V q) w szereg Taylora wokół położenia równowagi q = 0): ) dv V = V q=0 + q + d ) V dq q=0! dq q + d 3 ) V q=0 3! dq 3 q q=0 Wobec powyższych założeń oraz V q=0 = V min = 0, ) dv = 0 warunek konieczny równowagi) dq q=0 Zakładamy ponadto, że q jest małą pierwszego rzędu, więc pozostawiając pierwszy niezerowy wyraz rozwinięcia mamy w przybliżeniu V = d ) V dq q q=0 Oznaczając mamy d ) V dq = c > 0 minimum) q=0 V = cq Energię kinetyczną przy poczynionych założeniach można zapisać następująco: T = f q) q. Podobnie jak współrzędną q, prędkość q będziemy również traktować jako małą rzędu pierwszego. Rozwijamy teraz f q) w szereg Taylora wokół punktu q = 0: ) d f f q) = f q=0 + q + d ) f dq q=0 dq q +... q=0

2 Pomijając małe wyższych rzędów i wstawiając to rozwinięcie do wyrażenia na energię, mamy T = f q) q=0 q lub T = a q Zatem energia kinetyczna zależy tylko od prędkości uogólnionej. Obliczając odpowiednie pochodne V q = cq, T q = a q, ) d T = a q, dt q T q = 0 i wstawiając do równania Lagrange a, otrzymujemy a q + cq = 0 Wprowadzając stałą k = c/a, mamy Rozwiązaniem tego równania jest q + k q = 0. q = λ coskt + ε) τ = π k = π a c okres drgań.. Przykład Energia potencjalna: V = mg l cosϕ) lub w przybliżeniu do małych rzędu drugiego: V = 4 mglϕ, gdyż ) cosϕ = ϕ! + ϕ4 4!... ϕ

3 Energia kinetyczna w ruchu płaskim: T = I S ϕ, gdzie I S to moment bezwładności pręta względem chwilowego środka obrotu: ) I S = I C + m SC = ml l + m = 3 ml, czyli Równanie Lagrange a: T = 6 ml ϕ ) d T T dt ϕ ϕ + V ϕ = 0 ϕ + 3 g k = l ϕ = 0 3g l τ = π k = π l 3g. Drgania swobodne układów o wielu stopniach swobody.. Wprowadzenie teoretyczne Rozważamy nieswobodny układ o s stopniach swobody. Po odpowiednim rozwinięciu w szerego Taylora energia kinetyczna i potencjalna bedą miały postać T = a jk q j q k, a jk = a k j, j,k =,,..., s V = c jkq j q k, c jk = c k j, j,k =,,..., s Korzystając z równań Lagrange a ) d T T = V, dt q j q j q j otrzymujemy układ równań różniczkowych drgań a jk q k + c jk q k = 0. Rozwiązania układu szukamy w postaci q k = C k e λt. Stąd a jk λ + c jk ) Ck = 0. Jest to układ algebraicznych równań jednorodnych ze względu na λ. Posiada on nietrywialne rozwiązanie, jeśli λ) = det a jk λ + c jk ) = 0. 3

4 λ) jest równaniem charakterystycznym układu równań różniczkowych. Równanie to jest stopnia s względem λ, czyli posiada s pierwiastków tzw. wartości własnych) λ α, α =,,..., s Jeśli do λ) wstawimy pierwiastek λ α, otrzymamy zależności między amplitudami C k : a jk λ α + c jk ) Ck = 0, ) gdzie C k to amplituda odpowiadająca wartości własnej λ α. Rozwiązanie ogólne równań różniczkowych drgań przedstawiamy w postaci ) q k = Re Ck α eλ at. Jeżeli na układ działają tylko siły potencjalne, to pierwiastki wartości własne) muszą być urojone. Ponieważ układ równań charakterystycznych jest stopnia s, to mamy pary sprzężonych pierwiastków gdzie ω α to częstości własne. Stąd q k = Re λ + α = iω α, λ α = iω α, [ C α k )+ e iω at + C α k ) e iω at ]. ) Żeby układ równań algebraicznych ) miał rozwiązanie nietrywialne, przynajmniej jedna amplituda C α k powinna być różna od zera. Niech będzie to C α s. Wówczas przenosząc na prawą stronę układu ), zgodnie ze wzorami Cramera mamy C α p = α p α Cs α, p =,..., s s gdzie α p jest dopełnieniem algebraicznym elementu z p-tej kolumny i dowolnego wiersza wyznacznika równania charakterystycznego obliczonego dla λ = λ α. Ponieważ amplituda Ck α nie jest określona, to oznaczając mamy C α = Cα s α s gdzie C α jest dowolną stałą. Postawiając 3) do ), otrzymujemy, C α k = C α α k, 3) q k = Re [ C + α k iω α )e iω at +C α k iω α )e iω at ]. Ponieważ zadane siły są potencjalne, równanie charakterystyczne i wszystkie dopełnienia algebraiczne zawierają tylko parzyste potęgi. Stąd wszystkie k są rzeczywiste oraz czyli uwzględniając, że możemy zapisać ogólne rozwiązanie w postaci k iω α ) = k iω α ), 4) Re [ C + α e iω at +C α e iω at ] = A α cosω α t + β α ), q k = k iω α )θ α, 5) gdzie θ α = A α cosω α t + β α ). 4

5 Nie należy utożsamiać którejkolwiek częstości własnej ω α z częstością własną któregoś z punktów układu. Tak jest tylko wtedy, gdy punkty układu nie oddziałują ze sobą każdy ma jeden stopień swobody). Częstości własne charakteryzują ruch układu jako całości. Zawsze można zadać warunki początkowe tak, by wszystkie współrzędne zmieniały się harmonicznie względem czasu z jedną z częstości własnych układu. Z ogólnego rozwiązania q k = k iω α )θ α wynika, że jako współrzędne uogólnione można przyjąć wielkości θ α, ponieważ rozwiązanie to przedstawia liniowe przekształcenie θ α na q k. Współrzędne θ α nazywa się współrzędnymi normalnymi. Odpowiednio drgania harmoniczne zachodzące z częstościami własnymi układu nazywa się drganiami normalnymi. Oczywiście współrzędne normalne spełniają równania θ α + ω αθ α = 0. Jeśli pewna częstość własna ω α = 0, to zgodnie z powyższym równaniem θ α = θ α0 t + θ α0. Mamy wówczas do czynienia z tak zwanymi drganiami zerowymi. Ma to miejsce wtedy, gdy energia potencjalna osiąga minimum nie w jednym punkcie, a w pewnym obszarze, tj. w tym przypadku, gdy energia potencjalna nie ma właściwego minimum... Drgania układu o dwóch stopniach swobody Rozważmy układ o dwóch stopniach swobody opisywany współrzędnymi q i q. Dla q = q = 0 układ znajduje się w równowadze. Energia potencjalna: ) ) V V V q,q ) = V q =q =0 + q + q + q q =q =0 q q =q =0 [ + ) V! q q ) V + q q + q =q q =0 q q =q =0 ) ] V q q q =q =0 Ponieważ więc gdzie V q =q =0 = 0, ) V q q =q =0 V = c q + c q q + c q ), ) V = = 0, q q =q =0 ) V ) V c = q c = q =q =0 q ) V c = c = q q q =q =0 q =q =0 5

6 Jeśli energia V ma osiągać minimum, to Energia knetyczna będzie postaci c > 0, c > 0, c c c > 0. T = a q + a q q + a q ), wynikającej z ogólnej postaci energii kinetycznej dla więzów skleronomicznych i holonomicznych. Musi być ona oczywiście dodatnio określona, czyli Ponieważ a > 0, a > 0, a a a > 0. T = T = 0, q q więc równania Lagrange a przyjmą postać ) d T dt q d T dt q Biorąc pod uwagę, że + V q = 0 ) + V q = 0 T = a q + a q, q V = c q + c q, q T = a q + a q, q V = c q + c q, q otrzymujemy { a q + a q + c q + c q = 0 a q + a q + c q + c q = 0 Rozwiązań tego układu będziemy poszukiwać w postaci q = A cosωt + β) q = A cosωt + β) Założonym rozwiązaniom odpowiada pewien szczególny rodzaj drgań. Obie współrzędne zmieniają się z tym samym okresem oraz w tej samej fazie o amplitudach odpowiednio A i A. Drgania te nazywamy drganiami normalnymi. Wstawiając rozwiązania do równań mamy { [ c a ω ) A + c a ω ) A ] cosωt + β) = 0 [ c a ω ) A + c a ω ) A ] cosωt + β) = 0 Stąd otrzymujemy układ równań na wartości własne: { c a ω ) A + c a ω ) A = 0 c a ω ) A + c a ω ) A = 0 ) Jest to układ równań jednorodnych, więc wyznacznik musi być równy zero: = c a ω c a ω c a ω c a ω = 0. 6

7 Po jego rozwinięciu otrzymujemy równanie dwukwadratowe ze względu na częstość ω. Pierwiastki oznaczmy przez ω i ω. Oba są dodatnie, czyli otrzymujemy rzeczywiste wartości własne dla częstości drgań normalnych. Ponieważ zmiana ω na ω nie prowadzi do nowych niezależnych rozwiązań, będziemy w dalszym ciągu uwzględniać tylko wartości dodatnie. Ponadto wyłączamy szczególny przypadek pierwiastka podwójnego. Mamy więc dwie postaci drgań normalnych o okresach τ = π ω, Rozwiązania szczególne dla ω będą teraz postaci τ = π ω. q ) = A ) cosω t + β ), q ) = A ) cosω t + β ). Ale amplitudy A ) i A ) nie są od siebie niezależne. Ich stosunek można wyznaczyć z jakiegokolwiek równania z układu ). Z pierwszego mamy Stąd rozwiązania szczególne dla ω : A ) = c a ω c a ω A ). q ) = A ) cosω t + β ), Podobnie postępując dla częstości ω, otrzymujemy q ) = c a ω c a ω A ) cosω t + β ). q ) = A ) cosω t + β ), q ) = c a ω c a ω A ) cosω t + β ). Otrzymaliśmy cztery całki szczególne wyjściowego układu równań różniczkowych. Rozwiązanie ogólne jest zatem ich superpozycją: q = A ) cosω t + β ) + A ) cosω t + β ) q = c a ω c a ω A ) cosω t + β ) c a ω c a ω A ) cosω t + β ) Małe drgania układu o dwóch stopniach swobody możemy więc rozpatrywać jako superpozycję dwóch drgań normalnych, które są drganiami harmonicznymi. Należy jednak podkreślić, że ruch wypadkowy nie jest na ogół ruchem okresowym..3. Przykład: Podwójne wahadło matematyczne Energia potencjalna: Ze względu na małe kąty można przyjąć V = m gl cosϕ )+ + m g[l cosϕ ) + l cosϕ )]. cosϕ ϕ, cosϕ ϕ, 7

8 Zgodnie z teorią Energię kinetyczną określa wzór V = [ m + m )l gϕ + m l gϕ ]. c = m + m )l g, c = m l g, c = 0 T = m v + m v ), gdzie oraz v = l ϕ, v = u + w u = v = l ϕ w = l ϕ prędkość unoszenia) prędkość względna) Wektory u i w tworzą ze sobą kąt ϕ ϕ, stąd v = u + w + uwcosϕ ϕ ) = l ϕ + l ϕ + l l ϕ ϕ cosϕ ϕ ). Energia kinetyczna będzie więc postaci T = { m l ϕ + m [ l ϕ + l ϕ + l l ϕ ϕ cosϕ ϕ ) ]}. Powyższy wzór dotyczy dowolnych ruchów wahadła. Dla małych wychyleń przyjmujemy przybliżoną postać T przy założeniu ϕ ϕ = 0. Jest to tym bardziej uzasadnione, że w potencjalnym polu sił energia kinetyczna jest formą kwadratową wyłącznie prędkości uogólnionych. Mamy zatem Współczynniki a jk będą T = [ m + m )l ϕ + m l l ϕ ϕ + m l ] ϕ. a = m + m )l, a = a = m l l, a = m l. Wstawiając T i V do równan Lagrange a otrzymujemy { m + m )l ϕ + m l l ϕ + m + m )l gϕ = 0 m l l ϕ + m l ϕ + m l gϕ = 0 8

9 Rozwiązania szczególne mają postać ϕ = A cosωt + β), ϕ = A cosωt + β), czyli { [ m + m )l g m + m )l ω] A m l l ω A = 0 m l l ω A + m l g m l ω) A = 0 Równanie na częstości własne ma postać [ m + m )l g m + m )l ω ] m l g m l ω ) m l l ω 4 = 0. ) Dla prostoty załóżmy, że m = m = m, l = l = l. Wówczas po podzieleniu powyższego równania przez m l 4 mamy g l ω) ω 4 = 0. Stąd ω = l ) g, ω = + l ) g. Częstości kołowe drgań wahadła są ω = ) l g, ω = + ) l g, natomiast okresy: τ = π π l = ω g ), τ = π π l = ω + g ). Zbadamy jeszcze postaci drgań normalnych. Zacznijmy od drgań o mniejszej częstości. Stosunek amplitud A ) i A ) wyznaczymy z pierwszego równania układu ): ) A ) ) A ) = 0, A ) A ) = > 0 Rozwiązania szczególne są więc następujące: ϕ ) = A ) cos[ ) l g t + β [ ϕ ) = A ) cos ) l g t + β Z otrzymanych wyrażeń wynika, że ϕ i ϕ mają takie same znaki, czyli obie części wahadła wychylają się w tę samą stronę. Dla drgań o częstości ω = + ) l g ], ]. 9

10 otrzymujemy oraz A ) A ) = < 0. ϕ ) = A ) cos[ + ) l g t + β [ ϕ ) = A ) cos + ) l g t + β ], ]. Współrzędne mają teraz znaki przeciwne, czyli obie części wahadła wychylają się w przeciwne strony. 3. Drgania poprzeczne 3.. Wprowadzenie teoretyczne Rozpatrzmy belkę, na której umieszczono dwie masy punktowe. Do obliczenia energii potencjalnej 0

11 układu skorzystamy z wyrażenia znanego z wytrzymałości materiałów: V = P z + P z, które przedstawia energię potencjalną zginanej belki; z i z to przemieszczenia punktów w miejscach przyłożenia sił. Na podstawie twierdzenia Bettiego-Maxwella między siłami i przemieszczeniami zachodzą związki: z = c P + c P, z = c P + c P, ) gdzie c ik są współczynnikami wpływowymi c ik = c ki ). Wyliczając z ) siły, mamy gdzie P = c z c z ), P = c z c z ), = c c c c = c c c Wstawiając teraz siły P i P do energii potencjalnej, otrzymujemy Energia kinetyczna w naszym przypadku będzie V = c z c z z + c z ). T = m ż + m ż. Korzystając z równań Lagrange a, po pewnych przekształceniach otrzymujemy następujące równania ruchu: { c m z + c m z + z = 0 c m z + c m z + z = 0 Przyjmiemy teraz, że każda z mas wykonuje ruch harmoniczny prosty o tej samej częstosci z = acosωt ψ), z = bcosωt ψ). Wstawiamy z i z do równań ruchu { [ c m ω ) a c m ω b ] cosωt ψ) = 0 [ c m ω a + c m ω ) b ] cosωt ψ) = 0 ) i stąd otrzymujemy równanie częstości: c m ω c m ω c m ω c m ω = 0 Mamy więc równanie algebraiczne 4 stopnia: c c c ) m m ω 4 c m + c m )ω + = 0. Dla prostoty oznaczmy ω = µ, c c c ) m m = A, c m + c m ) = B, = C.

12 Wówczas Aµ + Bµ +C = 0 = B 4AC = c m c m ) + 4c m m > 0 Rozwiązując równanie kwadratowe ze względu na µ, mamy µ I,II = B ± A Ponieważ µ I,II = ω I,II, to formalnie możemy zapisać = c m + c m ) ± c m c m ) + 4c m m c c c) m m ω I,II = µ I,II, ω III,IV = µ I,II. Częstość nie może być ujemna, więc odrzucamy ω III,IV. Ostatecznie ω I = c m + c m ) c m c m ) + 4c m m c c c) m m ω II = c m + c m ) + c m c m ) + 4c m m c c c) m m 3) Okazało się, że badany układ posiada dwie częstości: niższą, zwaną częstościa podstawowa, oraz wyższą w przypadku wiekszej liczby stopni swobody istnieje więcej częstości). W celu zbadania postaci drgań piszemy proporcję wynikającą z dowolnego z równań ruchu. Z pierwszego mamy a b = c m ω c m ω lub Zatem przy częstosci ω I mamy Podobnie dla drugiej częstości a b = c m µ c m µ a I b I = a II b II = c m µ I c m µ I c m µ II c m µ II Zbadajmy iloczyn obu stosunków w celu ustalenia jego znaku Ze wzorów Viete a mamy a I a II = c m µ I c m µ II = 4) b I b II c m µ I c m µ II c = m µ Iµ II c m µ I + µ II ) + c m µ Iµ II µ I µ II = C A = c c c ) m m, µ I + µ II = B A = c m + c m ) c c c m m

13 Wykorzystując te związki, otrzymujemy Ponieważ stosunek mas nie może być ujemny, więc a I b I a II b II = m m. Stąd a I b I a II b II < 0 a I b I > 0, a II b II < 0, czyli przy częstości ω I drgania są zgodne, a przy ω II przeciwne. W przypadku większej liczby stopni swobody analiza jest taka sama, rośnie jedynie ilość równań, czyli częstości i postaci drgań. 3.. Przykład Wyznaczyć częstość podstawową i postaci drgań belki obciążonej symetrycznie. Dane: Q = Q = 00 kg E =, 0 6 kg cm l =,5 m przekrój prostokątny b h : b = cm, h = 5 cm Najpierw musimy obliczyć liczby wpływowe c ik ze statyki belek. 3

14 W tym celu należy wyznaczyć strzałki ugięcia f ik z równania ugięcia belki. Zginanie wywołane jest momentem, stąd równanie EJ d y = M x) dx Ponieważ równanie to jest prawdziwe jedynie w przedziałach między zmianą obciążenia, należy ułożyć dwa różne równania dla naszej belki, która posiada przecież dwa przedziały. Wyznaczmy reakcje w podporach: R A + R B P =0 P 3 l R Bl =0 R A = 3 P, R B = 3 P Przedział lewy L): 0 x 3 l M α = 3 Px + M α x) = 0 M α x) = 3 Px EJ d y dx = 3 Px EJ dy dx = 6 Px +C EJ y = 8 Px3 +C x + D 4

15 Przedział prawy P): l x l 3 M β = 3 Px + P x ) 3 l + M β x) = 0 M β x) = Px l) 3 EJ d y dx = Px l) 3 EJ dy dx = 6 Px 3 Plx +C EJ y = 8 Px3 6 Plx +C x + D Warunki brzegowe dla układu równań na stałe C, D, C, D są następujące: y0) = 0, yl) = 0, y L l a ) = y P l a ), dy dx l a ) = dy L dx l a ). P Mamy więc cztery niewiadome i cztery warunki. Po wyliczeniu stałych całkowania równanie ugięcia dla lewego przedziału ma postać Stąd strzałki ugięcia f i f będą y = Pa x l a x ). 6l EJ f = y 3 l f = y 3 l ) = 7 ) = 8 l EJ P l EJ P Z zasady Bettiego-Maxwella wynika, że f = f, a ponadto z pełnej symetrii wynika, że f = f. Wobec tego liczby wpływowe wynoszą: Podstawiając dane liczbowe: c = f P = 8 c = f P = 7 l EJ P = f P = c l EJ P = f P = c J = bh3 = 0,8 cm4, EJ = 43, kg cm, m = m = Q g = Q g = 0,0 kg s cm, 5

16 mamy c = c = cm kg c = c = cm kg Teraz możemy przystąpić do wyznaczania częstości i postaci drgań. W tym celu wykorzystamy od razu rozwiązania 3). Dodatkowo uwzględnić możemy następujące tożsamości: c m + c m = c m, c m c m = 0 oraz c m c m ) + 4c m m = c m, c c c ) m m = c c ) m = c + c )c c )m. Ostatecznie otrzymujemy ω I = ω II = c m c m c ) = c m c c )m c c )m c c ) m = c + c )m Po podstawieniu danych liczbowych mamy ω I 64 s, ω II 47 s Badamy amplitudy: a I b I = c m ω I c m ω I =, a II b II = c m ω II c m ω II = Postaci drgań będą zatem następujące: 4. Drgania podłuzne 4.. Wprowadzenie teoretyczne Rozpatrzmy drgania podłużne dwóch mas zawieszonych na sprężynie i połączonych sprężyną. Masy i sztywności sprężyn wynoszą odpowiednio m, m, κ, κ. 6

17 Energia potencjalna układu jest następująca: a energia kinetyczna: V = κ x + κ x x ), T = m ẋ + m ẋ. Współrzędnymi uogólnionymi są x i x. Korzystając z równań Lagrange a, otrzymujemy układ różniczkowych równań ruchu: { m ẍ + κ x κ x x ) = 0 m ẍ + κ x x ) = 0 Wprowadźmy oznaczenie κ = κ + κ. Wówczas równania ) przyjmą postać { m ẍ = κx + κ x m ẍ = κ x κ x ) Zakładamy, jak poprzednio, że każda masa wykonuje ruch harmoniczny prosty: x = acosωt ψ), x = bcosωt ψ). Po wstawieniu tych wyrażeń do równań ruchu mamy { [ κ m ω ) a κ b ] cosωt ψ) = 0 [ κ a + κ m ω ) b ] cosωt ψ) = 0 ) czyli { κ m ω ) a κ b = 0 κ a + κ m ω ) b = 0 Po rozwinięciu wyznacznika otrzymanego układu uzyskujemy równanie częstości m m ω 4 m κ + m κ)ω + κ κ = 0. Stąd m κ + m κ) m κ + m κ) 4m m κ κ ω I,II = m m Podobnie jak przy drganiach poprzecznych można określić postaci drgań: dla ω I = ω min a I > 0 b I dla ω II > ω I aii < 0 b II masy drgają współbieżnie) masy drgają przeciwbieżnie) 7

18 4.. Przykład Podać wzór na częstość drgań oraz zbadać postać drgań układu pokazanego na rysunku. Układ ten różni się od wcześniej rozważanego jedynie brakiem jednej sprężyny tej umocowanej do więzów skleronomicznych). Możemy zatem skorzystać z równań ruchu ), przyjmując κ = 0 i κ = κ: Z dodania powyższych równań wynika zależność Zauważmy, że czyli drgania są zawsze przeciwzwrotne. Rozwiązania równań przyjmujemy w postaci { m ẍ κ x x ) = 0 m ẍ + κ x x ) = 0 ẍ ẍ = m m. m m > 0 ẍ ẍ < 0, x = a sinωt), x = a sinωt). Stąd oraz równanie częstości Mamy zatem dwa rozwiązania {[ m ω κ ) a + κa ] sinωt) = 0 [ κa + m ω κ ) a ] sinωt) = 0 3) [ m m ω κ m + m ) ] ω = 0 ω I = 0, ω II = κ m + m ) m m Częstość ω I odpowiada sztywnemu przesunięciu obu mas. Układ posiada więc tylko jedną częstość. Z równań 3) wynika a κ = a m ω κ = m ω κ κ Podstawiając otrzymaną częstość ω II, mamy κ m + m ) m a m = m a κ κ = m m < 0, co potwierdza, że masy wykonują drgania przeciwbieżne. 8

19 5. Drgania skrętne Rozważmy drgania skrętne nieważkiego pręta, do którego sztywno zamocowano krążki o masach m i m. Stałą sprężystą przy skręcaniu oznaczmy przez κ. Niech współrzędnymi uogólnionymi będą kąty ϕ i ϕ. Energia kinetyczna układu ma postać T = I ϕ + I ϕ, natomiast energia potencjalna V = κ ϕ ϕ ) Stosując równania Lagrange a II rodzaju ) d T dt ϕ d T dt ϕ T ϕ = V ϕ ) T ϕ = V ϕ otrzymujemy { I ϕ κ ϕ ϕ ) = 0 I ϕ + κ ϕ ϕ ) = 0 ) Zakładamy rozwiązania w postaci ϕ = α sinωt), ϕ = α sinωt). Stąd I ω κ ) α + κα = 0 κα + I ω κ ) α = 0 Równanie częstości będzie [ I I ω κ I + I ) ] ω = 0. Dla ω = 0 mamy ruch sztywny czysty obrót), natomiast drugi pierwiastek: κ I + I ) ω = I I Omawiany przypadek drgań jest podobny do przykładu dotyczącego drgań podłużnych. Przez analogię otrzymamy następujące związki α κ = α I ω κ = I ω κ κ 9

20 Wstawiając wyrażenie na ω, mamy α α = κ I κ I + I ) I I κ = I I Ponieważ I > 0, to α < 0. Zatem krążki drgają w przeciwnych kierunkach. Na tej podstawie wnioskujemy, że na odcinku między krążkami musi znajdować się przekrój niepodlegający obrotowi. I α Niech węzeł drgań dzieli odcinek l na części a i b. W tym przypadku długości obu części a tym samym położenie węzła znajdujemy z warunku, że części układu rozdzielone węzłem wykonują przeciwskrętne drgania o tej samej częstości w przypadku układów o większej liczbie stopni swobody położenie węzłów wyznacza się ogólnie z warunku zerowania funkcji określającej przemieszczenie). Oznaczając częstość drgań odcinka a przez ω a, natomiast odcinka b przez ω b, warunek ten będzie: ω a = ω b Ponieważ każda z części układu podzielonego węzłem reprezentuje układ o jednym stopniu swobody, więc κa κb ω a =, ω b = I I Z porównania prawych stron mamy κ a = I κ b I Uwaga: Jeśli w pierwszym z równań ) pominiemy ϕ, otrzymamy równanie drgań skrętnych dla układu o jednym stopniu swobody, w którym ω = κ/i. Dla pręta pryzmatycznego o długości l mamy ϕ = Ml oraz κ = M C s ϕ = C s, l gdzie C s jest sztywnością skręcania np. dla przekroju kołowego C s = I 0 G). W rozważanym przypadku κ a = C s a, κ b = C s b, skąd otrzymujemy b a = I I Zatem węzeł będzie położony bliżej krążka o większym momencie bezwładności. Momenty bezwładności masowe) krążków można wyrazić jako I = Q D 8g, I = Q D 8g, gdzie D, D oraz Q, Q są odpowiednio średnicami i ciężarami krążków. Stąd b a = Q Q ) D 0 D

21 Pamiętając, że l = a + b, otrzymujemy następujące związki: Jeśli I = I, to a = b = l/. a = l + I = I + b = l + I = I + l ) ) Q D Q l D ) ) Q D Q D

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 8 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład

Bardziej szczegółowo

Drgania układu o wielu stopniach swobody

Drgania układu o wielu stopniach swobody Drgania układu o wielu stopniach swobody Rozpatrzmy układ składający się z n ciał o masach m i (i =,,..., n, połączonych między sobą i z nieruchomym podłożem za pomocą elementów sprężystych o współczynnikach

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej

MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2. Drgania punktu materialnego. Wykład Nr 8. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

MECHANIKA 2. Drgania punktu materialnego. Wykład Nr 8. Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 Wykład Nr 8 Drgania punktu materialnego Prowadzący: dr Krzysztof Polko Wstęp Drgania Okresowe i nieokresowe Swobodne i wymuszone Tłumione i nietłumione Wstęp Drgania okresowe ruch powtarzający

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd 7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy

Bardziej szczegółowo

Symetrie i prawa zachowania Wykład 6

Symetrie i prawa zachowania Wykład 6 Symetrie i prawa zachowania Wykład 6 Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 1/29 Rola symetrii Największym

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ

WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ ĆWICZENIE 12 WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ Cel ćwiczenia: Wyznaczanie modułu sztywności drutu metodą sprężystych drgań obrotowych. Zagadnienia: sprężystość, naprężenie ścinające, prawo

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający

Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Ruch skutkiem działania

Bardziej szczegółowo

VII. Drgania układów nieliniowych

VII. Drgania układów nieliniowych VII. Drgania układów nieliniowych 1. Drgania anharmoniczne spowodowane symetryczna siła zwrotna 1.1 Różniczkowe równanie ruchu Rozważamy teraz drgania swobodne masy m przytwierdzonej do sprężyny o współczynniku

Bardziej szczegółowo

2. Pręt skręcany o przekroju kołowym

2. Pręt skręcany o przekroju kołowym 2. Pręt skręcany o przekroju kołowym Przebieg wykładu : 1. Sformułowanie zagadnienia 2. Warunki równowagi kąt skręcenia 3. Warunek geometryczny kąt odkształcenia postaciowego 4. Związek fizyczny Prawo

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Zasada prac przygotowanych

Zasada prac przygotowanych 1 Ćwiczenie 20 Zasada prac przygotowanych 20.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z praktycznym zastosowaniem zasady prac przygotowanych przy rozpatrywaniu równowagi układu o dwóch stopniach

Bardziej szczegółowo

mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej

mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej ver-28.06.07 współrzędne uogólnione punkt materialny... wektor wodzący: prędkość: przyspieszenie: liczba

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys. Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny

Bardziej szczegółowo

Fizyka 11. Janusz Andrzejewski

Fizyka 11. Janusz Andrzejewski Fizyka 11 Ruch okresowy Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywa się ruchem okresowym lub drganiami. Drgania tłumione ruch stopniowo zanika, a na skutek tarcia energia mechaniczna

Bardziej szczegółowo

Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie

Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Rozciąganie lub ściskanie Zginanie Skręcanie Ścinanie 1. Pręt rozciągany lub ściskany

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice.

Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice. Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice. 1 Wahadło matematyczne. Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m zawieszony na długiej, cienkiej

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Mechaniki Technicznej

Laboratorium Mechaniki Technicznej Laboratorium Mechaniki Technicznej Ćwiczenie nr 5 Badanie drgań liniowych układu o jednym stopniu swobody Katedra Automatyki, Biomechaniki i Mechatroniki 90-924 Łódź, ul. Stefanowskiego 1/15, budynek A22

Bardziej szczegółowo

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Moment bezwładności Prawa ruchu Energia ruchu obrotowego Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Przypomnienie Równowaga bryły

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego

MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl

Bardziej szczegółowo

STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH

STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH Część. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH.. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH Rozwiązując układy niewyznaczalne dowolnie obciążone, bardzo często pomijaliśmy wpływ sił normalnych i

Bardziej szczegółowo

BADANIE STANÓW RÓWNOWAGI UKŁADU MECHANICZNEGO

BADANIE STANÓW RÓWNOWAGI UKŁADU MECHANICZNEGO Ćwiczenie 3 BADANIE STANÓW RÓWNOWAGI UKŁADU MECHANICZNEGO 3.. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest teoretyczne i doświadczalne wyznaczenie położeń równowagi i określenie stanu równowagi prostego układu mechanicznego

Bardziej szczegółowo

Mechanika Analityczna

Mechanika Analityczna Mechanika Analityczna Wykład 2 - Zasada prac przygotowanych i ogólne równanie dynamiki Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej 29 lutego 2016 Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

Przykłady (twierdzenie A. Castigliano)

Przykłady (twierdzenie A. Castigliano) 23 Przykłady (twierdzenie A. Castigiano) Zadanie 8.4.1 Obiczyć maksymane ugięcie beki przedstawionej na rysunku (8.2). Do obiczeń przyjąć następujące dane: q = 1 kn m, = 1 [m], E = 2 17 [Pa], d = 4 [cm],

Bardziej szczegółowo

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2 Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,

Bardziej szczegółowo

lim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a

lim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą

Bardziej szczegółowo

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH. Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH. Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji Numer ćwiczenia: 8 Laboratorium

Bardziej szczegółowo

3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach

3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach 3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach 3.1 Drgania układu o jednym stopniu swobody Rozpatrzmy elementarny układ drgający, nazywany też oscylatorem harmonicznym, składający się ze sprężyny

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI. ĆWICZENIE NR 1 Drgania układów mechanicznych

LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI. ĆWICZENIE NR 1 Drgania układów mechanicznych LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI ĆWICZENIE NR Drgania układów mechanicznych Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z właściwościami układów drgających oraz metodami pomiaru i analizy drgań. W ramach

Bardziej szczegółowo

Linie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej

Linie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej Prof. Mieczysław Kuczma Poznań, styczeń 215 Zakład Mechaniki Budowli, PP Linie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej (Przykład liczbowy) Zacznijmy od zdefiniowania pojęcia linii wpływu (używa się też

Bardziej szczegółowo

Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego

Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego Nazwisko i imię: Zespół: Data: Cel ćwiczenia: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego wyznaczenie momentów bezwładności brył sztywnych Literatura

Bardziej szczegółowo

Fizyka 12. Janusz Andrzejewski

Fizyka 12. Janusz Andrzejewski Fizyka 1 Janusz Andrzejewski Przypomnienie: Drgania procesy w których pewna wielkość fizyczna na przemian maleje i rośnie Okresowy ruch drgający (periodyczny) - jeżeli wartości wielkości fizycznych zmieniające

Bardziej szczegółowo

Kinematyka: opis ruchu

Kinematyka: opis ruchu Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (B+C) Wykład IV: Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch harmoniczny Ruch po okręgu Klasyfikacja ruchów Ze względu na tor wybrane przypadki szczególne prostoliniowy, odbywajacy

Bardziej szczegółowo

Metoda rozdzielania zmiennych

Metoda rozdzielania zmiennych Rozdział 12 Metoda rozdzielania zmiennych W tym rozdziale zajmiemy się metodą rozdzielania zmiennych, którą można zastosować, aby wyrazić jawnymi wzorami rozwiązania pewnych konkretnych równań różniczkowych

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH dr inż. Robert Szmit Przedmiot: MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH WYKŁAD nr Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Katedra Geotechniki i Mechaniki Budowli Opis stanu odkształcenia i naprężenia powłoki

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA II. Drgania wymuszone

MECHANIKA II. Drgania wymuszone MECHANIKA II. Drgania wymuszone Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 1 / 30 Układ drgajacy o jednym stopniu swobody

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Równanie przewodnictwa cieplnego (I) Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca

Bardziej szczegółowo

m Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki):

m Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki): Ruch drgający -. Ruch drgający Ciało jest sprężyste, jeżei odzyskuje pierwotny kształt po ustaniu działania siły, która ten kształt zmieniła. Właściwość sprężystości jest ograniczona, to znaczy, że przy

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe II rzędu

Równania różniczkowe liniowe II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu Definicja równania różniczkowego liniowego II rzędu Warunki początkowe dla równania różniczkowego II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu jednorodne (krótko

Bardziej szczegółowo

{H B= 6 kn. Przykład 1. Dana jest belka: Podać wykresy NTM.

{H B= 6 kn. Przykład 1. Dana jest belka: Podać wykresy NTM. Przykład 1. Dana jest belka: Podać wykresy NTM. Niezależnie od sposobu rozwiązywania zadania, zacząć należy od zastąpienia podpór reakcjami. Na czas obliczania reakcji można zastąpić obciążenie ciągłe

Bardziej szczegółowo

Więzy i ich klasyfikacja Wykład 2

Więzy i ich klasyfikacja Wykład 2 Więzy i ich klasyfikacja Wykład 2 Karol Kołodziej (przy współpracy Bartosza Dziewita) Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Drgania. Siła harmoniczna

Wykład 6 Drgania. Siła harmoniczna Wykład 6 Drgania Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okresowym (periodycznym). Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można wyrazić za pomocą funkcji sinus albo

Bardziej szczegółowo

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w

Bardziej szczegółowo

DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI

DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI (Wprowadzenie) Drgania elementów konstrukcji (prętów, wałów, belek) jak i całych konstrukcji należą do ważnych zagadnień dynamiki konstrukcji Przyczyna: nawet niewielkie drgania

Bardziej szczegółowo

Drgania wymuszone - wahadło Pohla

Drgania wymuszone - wahadło Pohla Zagadnienia powiązane Częstość kołowa, częstotliwość charakterystyczna, częstotliwość rezonansowa, wahadło skrętne, drgania skrętne, moment siły, moment powrotny, drgania tłumione/nietłumione, drgania

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2. Praca, moc, energia. Wykład Nr 11. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

MECHANIKA 2. Praca, moc, energia. Wykład Nr 11. Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 Wykład Nr 11 Praca, moc, energia Prowadzący: dr Krzysztof Polko PRACA MECHANICZNA SIŁY STAŁEJ Pracą siły stałej na prostoliniowym przemieszczeniu w kierunku działania siły nazywamy iloczyn

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

METODA SIŁ KRATOWNICA

METODA SIŁ KRATOWNICA Część. METDA SIŁ - RATWNICA.. METDA SIŁ RATWNICA Sposób rozwiązywania kratownic statycznie niewyznaczalnych metodą sił omówimy rozwiązują przykład liczbowy. Zadanie Dla kratownicy przedstawionej na rys..

Bardziej szczegółowo

Mechanika Analityczna

Mechanika Analityczna Mechanika Analityczna Wykład 1 - Organizacja wykładu (sprawy zaliczeniowe, tematyka). Więzy i ich klasyfikacja Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej

Bardziej szczegółowo

Część ZADANIA - POWTÓRKA ZADANIA - POWTÓRKA. Zadanie 1

Część ZADANIA - POWTÓRKA ZADANIA - POWTÓRKA. Zadanie 1 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 6. 6. ZADANIA - POWTÓRKA Zadanie Wykorzystując metodę przemieszczeń znaleźć wykres momentów zginających dla ramy z rys. 6.. q = const. P [m] Rys. 6.. Rama statycznie niewyznaczalna

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Dynamiki Maszyn

Laboratorium Dynamiki Maszyn Laboratorium Dynamiki Maszyn Laboratorium nr 5 Temat: Badania eksperymentane drgań wzdłużnych i giętnych układów mechanicznych Ce ćwiczenia:. Zbudować mode o jednym stopniu swobody da zadanego układu mechanicznego.

Bardziej szczegółowo

I. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

I. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO I. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO A. RÓŻNICZKOWE RÓWNANIA RUCHU A1. Bryła o masie m przesuwa się po chropowatej równi z prędkością v M. Podać dynamiczne równania ruchu bryły i rozwiązać je tak, aby wyznaczyć

Bardziej szczegółowo

1. METODA PRZEMIESZCZEŃ

1. METODA PRZEMIESZCZEŃ .. METODA PRZEMIESZCZEŃ.. Obliczanie sił wewnętrznych od obciążenia zewnętrznego q = kn/m P= kn Rys... Schemat konstrukcji φ φ u Rys... Układ podstawowy metody przemieszczeń Do wyliczenia mamy niewiadome:

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe opisujące ruch fotela z pilotem:

Równania różniczkowe opisujące ruch fotela z pilotem: . Katapultowanie pilota z samolotu Równania różniczkowe opisujące ruch fotela z pilotem: gdzie D - siłą ciągu, Cd współczynnik aerodynamiczny ciągu, m - masa pilota i fotela, g przys. ziemskie, ρ - gęstość

Bardziej szczegółowo

Stabilność II Metody Lapunowa badania stabilności

Stabilność II Metody Lapunowa badania stabilności Metody Lapunowa badania stabilności Interesuje nas w sposób szczególny system: Wprowadzamy dla niego pojęcia: - stabilności wewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu przy zerowym wejściu, czyli

Bardziej szczegółowo

Jan Awrejcewicz- Mechanika Techniczna i Teoretyczna. Statyka. Kinematyka

Jan Awrejcewicz- Mechanika Techniczna i Teoretyczna. Statyka. Kinematyka Jan Awrejcewicz- Mechanika Techniczna i Teoretyczna. Statyka. Kinematyka SPIS TREŚCI Przedmowa... 7 1. PODSTAWY MECHANIKI... 11 1.1. Pojęcia podstawowe... 11 1.2. Zasada d Alemberta... 18 1.3. Zasada prac

Bardziej szczegółowo

III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.

III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił.

Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił. Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił. Wektor główny układu sił jest równy Moment główny układu wynosi Przykład

Bardziej szczegółowo

Wykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie

Wykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.

Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Joanna Szulczyk Politechnika Warszawska Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki

Bardziej szczegółowo

Siły wewnętrzne - związki różniczkowe

Siły wewnętrzne - związki różniczkowe Siły wewnętrzne - związki różniczkowe Weźmy dowolny fragment belki obciążony wzdłuż osi obciążeniem n(x) oraz poprzecznie obciążeniem q(x). Na powyższym rysunku zwroty obciążeń są zgodne z dodatnimi zwrotami

Bardziej szczegółowo

Politechnika Białostocka

Politechnika Białostocka Politechnika Białostocka WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA Katedra Geotechniki i Mechaniki Konstrukcji Wytrzymałość Materiałów Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych Ćwiczenie nr 6 Temat ćwiczenia:

Bardziej szczegółowo

Równa Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym

Równa Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym Mechanika ogólna Wykład nr 14 Elementy kinematyki i dynamiki 1 Kinematyka Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA II. Dynamika układu punktów materialnych

MECHANIKA II. Dynamika układu punktów materialnych MECHANIKA II. Dynamika układu punktów materialnych Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl

Bardziej szczegółowo

3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ

3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ 3. ÓWNOWG PŁSKIEGO UKŁDU SIŁ Zadanie 3. elka o długości 3a jest utwierdzona w punkcie zaś w punkcie spoczywa na podporze przegubowej ruchomej, rysunek 3... by belka była statycznie wyznaczalna w punkcie

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Wstęp Część I STATYKA

Spis treści. Wstęp Część I STATYKA Spis treści Wstęp... 15 Część I STATYKA 1. WEKTORY. PODSTAWOWE DZIAŁANIA NA WEKTORACH... 17 1.1. Pojęcie wektora. Rodzaje wektorów... 19 1.2. Rzut wektora na oś. Współrzędne i składowe wektora... 22 1.3.

Bardziej szczegółowo

Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, Spis treści

Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, Spis treści Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, 2010 Spis treści Część I. STATYKA 1. Prawa Newtona. Zasady statyki i reakcje więzów 11 1.1. Prawa Newtona 11 1.2. Jednostki masy i

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podsta Automatyki Transmitancja operatorowa i widmowa systemu, znajdowanie odpowiedzi w dziedzinie s i w

Bardziej szczegółowo

Drgania - zadanka. (b) wyznacz maksymalne położenie, prędkość i przyspieszenie ciała,

Drgania - zadanka. (b) wyznacz maksymalne położenie, prędkość i przyspieszenie ciała, Zadania do przeliczenia na lekcji. Drgania - zadanka 1. Ciało o masie m = 0.5kg zawieszono na nieważkiej nitce o długości l = 1m a następne wychylono o 2cm z położenia równowagi (g = 10 m s 2), (a) oblicz

Bardziej szczegółowo

Opis ćwiczenia. Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Henry ego Katera.

Opis ćwiczenia. Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Henry ego Katera. ĆWICZENIE WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA REWERSYJNEGO Opis ćwiczenia Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2 Wykład Nr 9 Dynamika układu punktów materialnych

MECHANIKA 2 Wykład Nr 9 Dynamika układu punktów materialnych MECHANIKA 2 Wykład Nr 9 Dynamika układu punktów materialnych Prowadzący: dr Krzysztof Polko Dynamiczne równania ruchu układu punktów materialnych Układem punktów materialnych nazwiemy zbiór punktów w sensie

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych

Bardziej szczegółowo

- prędkość masy wynikająca z innych procesów, np. adwekcji, naprężeń itd.

- prędkość masy wynikająca z innych procesów, np. adwekcji, naprężeń itd. 4. Równania dyfuzji 4.1. Prawo zachowania masy cd. Równanie dyfuzji jest prostą konsekwencją prawa zachowania masy, a właściwie to jest to prawo zachowania masy zapisane dla procesu dyfuzji i uwzględniające

Bardziej szczegółowo

Wytrzymałość Materiałów

Wytrzymałość Materiałów Wytrzymałość Materiałów Zginanie Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach i ramach, analiza stanu naprężeń i odkształceń, warunek bezpieczeństwa Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości,

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE.

WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE. 1 WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE. Współrzędne wewnętrzne 2 F=-fq q ξ i F i =-f ij x j U = 1 2 fq2 U = 1 2 ij f ij ξ i ξ j 3 Najczęściej stosowaną metodą obliczania drgań

Bardziej szczegółowo

Pierwsze dwa podpunkty tego zadania dotyczyły równowagi sił, dla naszych rozważań na temat dynamiki ruchu obrotowego interesujące będzie zadanie 3.3.

Pierwsze dwa podpunkty tego zadania dotyczyły równowagi sił, dla naszych rozważań na temat dynamiki ruchu obrotowego interesujące będzie zadanie 3.3. Dynamika ruchu obrotowego Zauważyłem, że zadania dotyczące ruchu obrotowego bardzo często sprawiają maturzystom wiele kłopotów. A przecież wystarczy zrozumieć i stosować zasady dynamiki Newtona. Przeanalizujmy

Bardziej szczegółowo

gęstością prawdopodobieństwa

gęstością prawdopodobieństwa Funkcja falowa Zgodnie z hipotezą de Broglie'a, cząstki takie jak elektron czy proton, mają własności falowe. Własności falowe cząstki (lub innego obiektu) w mechanice kwantowej opisuje tzw. funkcja falowa(,t)

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2. Wykład Nr 3 KINEMATYKA. Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

MECHANIKA 2. Wykład Nr 3 KINEMATYKA. Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ. Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 Wykład Nr 3 KINEMATYKA Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ Prowadzący: dr Krzysztof Polko Pojęcie Ruchu Płaskiego Rys.1 Ruchem płaskim ciała sztywnego nazywamy taki ruch, w którym wszystkie

Bardziej szczegółowo

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXI: Statyka Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXI: Statyka Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXI: Statyka Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego Typ równowagi zależy od zmiany położenia środka masy ( Równowaga Statyka Bryły sztywnej umieszczonej

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości

Bardziej szczegółowo

6. WYZNACZANIE LINII UGIĘCIA W UKŁADACH PRĘTOWYCH

6. WYZNACZANIE LINII UGIĘCIA W UKŁADACH PRĘTOWYCH Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6. 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6.. Wyznaczanie przemieszczeń z zastosowaniem równań pracy wirtualnej w układach prętowych W metodzie pracy

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

Układy fizyczne z więzami Wykład 2

Układy fizyczne z więzami Wykład 2 Układy fizyczne z więzami Wykład 2 Karol Kołodziej (przy współpracy Bartosza Dziewita) Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna

Bardziej szczegółowo

Drgania i fale II rok Fizyk BC

Drgania i fale II rok Fizyk BC 00--07 5:34 00\FIN00\Drgzlo00.doc Drgania złożone Zasada superpozycji: wychylenie jest sumą wychyleń wywołanych przez poszczególne czynniki osobno. Zasada wynika z liniowości związku między wychyleniem

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie

Bardziej szczegółowo