Mechanika analityczna. Małe drgania układów zachowawczych
|
|
- Henryka Jaworska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Mechanika analityczna. Małe drgania układów zachowawczych. Drgania swobodne układów o jednym stopniu swobody.. Wprowadzenie teoretyczne Załóżmy, że układ materialny o jednym stopniu swobody i więzach idealnych, skleronomicznych i holonomicznych znajduje się w zachowawczym polu sił. Zakładamy małe wychylenie układu z położenia równowagi i współrzędną q odmierzać będziemy właśnie od tego położenia. Zatem w położeniu q = 0 energia potencjalna osiąga minimum. Punktem wyjścia naszych rozważań jest równanie d dt T q ) T q + V q = 0. Rozwińmy V = V q) w szereg Taylora wokół położenia równowagi q = 0): ) dv V = V q=0 + q + d ) V dq q=0! dq q + d 3 ) V q=0 3! dq 3 q q=0 Wobec powyższych założeń oraz V q=0 = V min = 0, ) dv = 0 warunek konieczny równowagi) dq q=0 Zakładamy ponadto, że q jest małą pierwszego rzędu, więc pozostawiając pierwszy niezerowy wyraz rozwinięcia mamy w przybliżeniu V = d ) V dq q q=0 Oznaczając mamy d ) V dq = c > 0 minimum) q=0 V = cq Energię kinetyczną przy poczynionych założeniach można zapisać następująco: T = f q) q. Podobnie jak współrzędną q, prędkość q będziemy również traktować jako małą rzędu pierwszego. Rozwijamy teraz f q) w szereg Taylora wokół punktu q = 0: ) d f f q) = f q=0 + q + d ) f dq q=0 dq q +... q=0
2 Pomijając małe wyższych rzędów i wstawiając to rozwinięcie do wyrażenia na energię, mamy T = f q) q=0 q lub T = a q Zatem energia kinetyczna zależy tylko od prędkości uogólnionej. Obliczając odpowiednie pochodne V q = cq, T q = a q, ) d T = a q, dt q T q = 0 i wstawiając do równania Lagrange a, otrzymujemy a q + cq = 0 Wprowadzając stałą k = c/a, mamy Rozwiązaniem tego równania jest q + k q = 0. q = λ coskt + ε) τ = π k = π a c okres drgań.. Przykład Energia potencjalna: V = mg l cosϕ) lub w przybliżeniu do małych rzędu drugiego: V = 4 mglϕ, gdyż ) cosϕ = ϕ! + ϕ4 4!... ϕ
3 Energia kinetyczna w ruchu płaskim: T = I S ϕ, gdzie I S to moment bezwładności pręta względem chwilowego środka obrotu: ) I S = I C + m SC = ml l + m = 3 ml, czyli Równanie Lagrange a: T = 6 ml ϕ ) d T T dt ϕ ϕ + V ϕ = 0 ϕ + 3 g k = l ϕ = 0 3g l τ = π k = π l 3g. Drgania swobodne układów o wielu stopniach swobody.. Wprowadzenie teoretyczne Rozważamy nieswobodny układ o s stopniach swobody. Po odpowiednim rozwinięciu w szerego Taylora energia kinetyczna i potencjalna bedą miały postać T = a jk q j q k, a jk = a k j, j,k =,,..., s V = c jkq j q k, c jk = c k j, j,k =,,..., s Korzystając z równań Lagrange a ) d T T = V, dt q j q j q j otrzymujemy układ równań różniczkowych drgań a jk q k + c jk q k = 0. Rozwiązania układu szukamy w postaci q k = C k e λt. Stąd a jk λ + c jk ) Ck = 0. Jest to układ algebraicznych równań jednorodnych ze względu na λ. Posiada on nietrywialne rozwiązanie, jeśli λ) = det a jk λ + c jk ) = 0. 3
4 λ) jest równaniem charakterystycznym układu równań różniczkowych. Równanie to jest stopnia s względem λ, czyli posiada s pierwiastków tzw. wartości własnych) λ α, α =,,..., s Jeśli do λ) wstawimy pierwiastek λ α, otrzymamy zależności między amplitudami C k : a jk λ α + c jk ) Ck = 0, ) gdzie C k to amplituda odpowiadająca wartości własnej λ α. Rozwiązanie ogólne równań różniczkowych drgań przedstawiamy w postaci ) q k = Re Ck α eλ at. Jeżeli na układ działają tylko siły potencjalne, to pierwiastki wartości własne) muszą być urojone. Ponieważ układ równań charakterystycznych jest stopnia s, to mamy pary sprzężonych pierwiastków gdzie ω α to częstości własne. Stąd q k = Re λ + α = iω α, λ α = iω α, [ C α k )+ e iω at + C α k ) e iω at ]. ) Żeby układ równań algebraicznych ) miał rozwiązanie nietrywialne, przynajmniej jedna amplituda C α k powinna być różna od zera. Niech będzie to C α s. Wówczas przenosząc na prawą stronę układu ), zgodnie ze wzorami Cramera mamy C α p = α p α Cs α, p =,..., s s gdzie α p jest dopełnieniem algebraicznym elementu z p-tej kolumny i dowolnego wiersza wyznacznika równania charakterystycznego obliczonego dla λ = λ α. Ponieważ amplituda Ck α nie jest określona, to oznaczając mamy C α = Cα s α s gdzie C α jest dowolną stałą. Postawiając 3) do ), otrzymujemy, C α k = C α α k, 3) q k = Re [ C + α k iω α )e iω at +C α k iω α )e iω at ]. Ponieważ zadane siły są potencjalne, równanie charakterystyczne i wszystkie dopełnienia algebraiczne zawierają tylko parzyste potęgi. Stąd wszystkie k są rzeczywiste oraz czyli uwzględniając, że możemy zapisać ogólne rozwiązanie w postaci k iω α ) = k iω α ), 4) Re [ C + α e iω at +C α e iω at ] = A α cosω α t + β α ), q k = k iω α )θ α, 5) gdzie θ α = A α cosω α t + β α ). 4
5 Nie należy utożsamiać którejkolwiek częstości własnej ω α z częstością własną któregoś z punktów układu. Tak jest tylko wtedy, gdy punkty układu nie oddziałują ze sobą każdy ma jeden stopień swobody). Częstości własne charakteryzują ruch układu jako całości. Zawsze można zadać warunki początkowe tak, by wszystkie współrzędne zmieniały się harmonicznie względem czasu z jedną z częstości własnych układu. Z ogólnego rozwiązania q k = k iω α )θ α wynika, że jako współrzędne uogólnione można przyjąć wielkości θ α, ponieważ rozwiązanie to przedstawia liniowe przekształcenie θ α na q k. Współrzędne θ α nazywa się współrzędnymi normalnymi. Odpowiednio drgania harmoniczne zachodzące z częstościami własnymi układu nazywa się drganiami normalnymi. Oczywiście współrzędne normalne spełniają równania θ α + ω αθ α = 0. Jeśli pewna częstość własna ω α = 0, to zgodnie z powyższym równaniem θ α = θ α0 t + θ α0. Mamy wówczas do czynienia z tak zwanymi drganiami zerowymi. Ma to miejsce wtedy, gdy energia potencjalna osiąga minimum nie w jednym punkcie, a w pewnym obszarze, tj. w tym przypadku, gdy energia potencjalna nie ma właściwego minimum... Drgania układu o dwóch stopniach swobody Rozważmy układ o dwóch stopniach swobody opisywany współrzędnymi q i q. Dla q = q = 0 układ znajduje się w równowadze. Energia potencjalna: ) ) V V V q,q ) = V q =q =0 + q + q + q q =q =0 q q =q =0 [ + ) V! q q ) V + q q + q =q q =0 q q =q =0 ) ] V q q q =q =0 Ponieważ więc gdzie V q =q =0 = 0, ) V q q =q =0 V = c q + c q q + c q ), ) V = = 0, q q =q =0 ) V ) V c = q c = q =q =0 q ) V c = c = q q q =q =0 q =q =0 5
6 Jeśli energia V ma osiągać minimum, to Energia knetyczna będzie postaci c > 0, c > 0, c c c > 0. T = a q + a q q + a q ), wynikającej z ogólnej postaci energii kinetycznej dla więzów skleronomicznych i holonomicznych. Musi być ona oczywiście dodatnio określona, czyli Ponieważ a > 0, a > 0, a a a > 0. T = T = 0, q q więc równania Lagrange a przyjmą postać ) d T dt q d T dt q Biorąc pod uwagę, że + V q = 0 ) + V q = 0 T = a q + a q, q V = c q + c q, q T = a q + a q, q V = c q + c q, q otrzymujemy { a q + a q + c q + c q = 0 a q + a q + c q + c q = 0 Rozwiązań tego układu będziemy poszukiwać w postaci q = A cosωt + β) q = A cosωt + β) Założonym rozwiązaniom odpowiada pewien szczególny rodzaj drgań. Obie współrzędne zmieniają się z tym samym okresem oraz w tej samej fazie o amplitudach odpowiednio A i A. Drgania te nazywamy drganiami normalnymi. Wstawiając rozwiązania do równań mamy { [ c a ω ) A + c a ω ) A ] cosωt + β) = 0 [ c a ω ) A + c a ω ) A ] cosωt + β) = 0 Stąd otrzymujemy układ równań na wartości własne: { c a ω ) A + c a ω ) A = 0 c a ω ) A + c a ω ) A = 0 ) Jest to układ równań jednorodnych, więc wyznacznik musi być równy zero: = c a ω c a ω c a ω c a ω = 0. 6
7 Po jego rozwinięciu otrzymujemy równanie dwukwadratowe ze względu na częstość ω. Pierwiastki oznaczmy przez ω i ω. Oba są dodatnie, czyli otrzymujemy rzeczywiste wartości własne dla częstości drgań normalnych. Ponieważ zmiana ω na ω nie prowadzi do nowych niezależnych rozwiązań, będziemy w dalszym ciągu uwzględniać tylko wartości dodatnie. Ponadto wyłączamy szczególny przypadek pierwiastka podwójnego. Mamy więc dwie postaci drgań normalnych o okresach τ = π ω, Rozwiązania szczególne dla ω będą teraz postaci τ = π ω. q ) = A ) cosω t + β ), q ) = A ) cosω t + β ). Ale amplitudy A ) i A ) nie są od siebie niezależne. Ich stosunek można wyznaczyć z jakiegokolwiek równania z układu ). Z pierwszego mamy Stąd rozwiązania szczególne dla ω : A ) = c a ω c a ω A ). q ) = A ) cosω t + β ), Podobnie postępując dla częstości ω, otrzymujemy q ) = c a ω c a ω A ) cosω t + β ). q ) = A ) cosω t + β ), q ) = c a ω c a ω A ) cosω t + β ). Otrzymaliśmy cztery całki szczególne wyjściowego układu równań różniczkowych. Rozwiązanie ogólne jest zatem ich superpozycją: q = A ) cosω t + β ) + A ) cosω t + β ) q = c a ω c a ω A ) cosω t + β ) c a ω c a ω A ) cosω t + β ) Małe drgania układu o dwóch stopniach swobody możemy więc rozpatrywać jako superpozycję dwóch drgań normalnych, które są drganiami harmonicznymi. Należy jednak podkreślić, że ruch wypadkowy nie jest na ogół ruchem okresowym..3. Przykład: Podwójne wahadło matematyczne Energia potencjalna: Ze względu na małe kąty można przyjąć V = m gl cosϕ )+ + m g[l cosϕ ) + l cosϕ )]. cosϕ ϕ, cosϕ ϕ, 7
8 Zgodnie z teorią Energię kinetyczną określa wzór V = [ m + m )l gϕ + m l gϕ ]. c = m + m )l g, c = m l g, c = 0 T = m v + m v ), gdzie oraz v = l ϕ, v = u + w u = v = l ϕ w = l ϕ prędkość unoszenia) prędkość względna) Wektory u i w tworzą ze sobą kąt ϕ ϕ, stąd v = u + w + uwcosϕ ϕ ) = l ϕ + l ϕ + l l ϕ ϕ cosϕ ϕ ). Energia kinetyczna będzie więc postaci T = { m l ϕ + m [ l ϕ + l ϕ + l l ϕ ϕ cosϕ ϕ ) ]}. Powyższy wzór dotyczy dowolnych ruchów wahadła. Dla małych wychyleń przyjmujemy przybliżoną postać T przy założeniu ϕ ϕ = 0. Jest to tym bardziej uzasadnione, że w potencjalnym polu sił energia kinetyczna jest formą kwadratową wyłącznie prędkości uogólnionych. Mamy zatem Współczynniki a jk będą T = [ m + m )l ϕ + m l l ϕ ϕ + m l ] ϕ. a = m + m )l, a = a = m l l, a = m l. Wstawiając T i V do równan Lagrange a otrzymujemy { m + m )l ϕ + m l l ϕ + m + m )l gϕ = 0 m l l ϕ + m l ϕ + m l gϕ = 0 8
9 Rozwiązania szczególne mają postać ϕ = A cosωt + β), ϕ = A cosωt + β), czyli { [ m + m )l g m + m )l ω] A m l l ω A = 0 m l l ω A + m l g m l ω) A = 0 Równanie na częstości własne ma postać [ m + m )l g m + m )l ω ] m l g m l ω ) m l l ω 4 = 0. ) Dla prostoty załóżmy, że m = m = m, l = l = l. Wówczas po podzieleniu powyższego równania przez m l 4 mamy g l ω) ω 4 = 0. Stąd ω = l ) g, ω = + l ) g. Częstości kołowe drgań wahadła są ω = ) l g, ω = + ) l g, natomiast okresy: τ = π π l = ω g ), τ = π π l = ω + g ). Zbadamy jeszcze postaci drgań normalnych. Zacznijmy od drgań o mniejszej częstości. Stosunek amplitud A ) i A ) wyznaczymy z pierwszego równania układu ): ) A ) ) A ) = 0, A ) A ) = > 0 Rozwiązania szczególne są więc następujące: ϕ ) = A ) cos[ ) l g t + β [ ϕ ) = A ) cos ) l g t + β Z otrzymanych wyrażeń wynika, że ϕ i ϕ mają takie same znaki, czyli obie części wahadła wychylają się w tę samą stronę. Dla drgań o częstości ω = + ) l g ], ]. 9
10 otrzymujemy oraz A ) A ) = < 0. ϕ ) = A ) cos[ + ) l g t + β [ ϕ ) = A ) cos + ) l g t + β ], ]. Współrzędne mają teraz znaki przeciwne, czyli obie części wahadła wychylają się w przeciwne strony. 3. Drgania poprzeczne 3.. Wprowadzenie teoretyczne Rozpatrzmy belkę, na której umieszczono dwie masy punktowe. Do obliczenia energii potencjalnej 0
11 układu skorzystamy z wyrażenia znanego z wytrzymałości materiałów: V = P z + P z, które przedstawia energię potencjalną zginanej belki; z i z to przemieszczenia punktów w miejscach przyłożenia sił. Na podstawie twierdzenia Bettiego-Maxwella między siłami i przemieszczeniami zachodzą związki: z = c P + c P, z = c P + c P, ) gdzie c ik są współczynnikami wpływowymi c ik = c ki ). Wyliczając z ) siły, mamy gdzie P = c z c z ), P = c z c z ), = c c c c = c c c Wstawiając teraz siły P i P do energii potencjalnej, otrzymujemy Energia kinetyczna w naszym przypadku będzie V = c z c z z + c z ). T = m ż + m ż. Korzystając z równań Lagrange a, po pewnych przekształceniach otrzymujemy następujące równania ruchu: { c m z + c m z + z = 0 c m z + c m z + z = 0 Przyjmiemy teraz, że każda z mas wykonuje ruch harmoniczny prosty o tej samej częstosci z = acosωt ψ), z = bcosωt ψ). Wstawiamy z i z do równań ruchu { [ c m ω ) a c m ω b ] cosωt ψ) = 0 [ c m ω a + c m ω ) b ] cosωt ψ) = 0 ) i stąd otrzymujemy równanie częstości: c m ω c m ω c m ω c m ω = 0 Mamy więc równanie algebraiczne 4 stopnia: c c c ) m m ω 4 c m + c m )ω + = 0. Dla prostoty oznaczmy ω = µ, c c c ) m m = A, c m + c m ) = B, = C.
12 Wówczas Aµ + Bµ +C = 0 = B 4AC = c m c m ) + 4c m m > 0 Rozwiązując równanie kwadratowe ze względu na µ, mamy µ I,II = B ± A Ponieważ µ I,II = ω I,II, to formalnie możemy zapisać = c m + c m ) ± c m c m ) + 4c m m c c c) m m ω I,II = µ I,II, ω III,IV = µ I,II. Częstość nie może być ujemna, więc odrzucamy ω III,IV. Ostatecznie ω I = c m + c m ) c m c m ) + 4c m m c c c) m m ω II = c m + c m ) + c m c m ) + 4c m m c c c) m m 3) Okazało się, że badany układ posiada dwie częstości: niższą, zwaną częstościa podstawowa, oraz wyższą w przypadku wiekszej liczby stopni swobody istnieje więcej częstości). W celu zbadania postaci drgań piszemy proporcję wynikającą z dowolnego z równań ruchu. Z pierwszego mamy a b = c m ω c m ω lub Zatem przy częstosci ω I mamy Podobnie dla drugiej częstości a b = c m µ c m µ a I b I = a II b II = c m µ I c m µ I c m µ II c m µ II Zbadajmy iloczyn obu stosunków w celu ustalenia jego znaku Ze wzorów Viete a mamy a I a II = c m µ I c m µ II = 4) b I b II c m µ I c m µ II c = m µ Iµ II c m µ I + µ II ) + c m µ Iµ II µ I µ II = C A = c c c ) m m, µ I + µ II = B A = c m + c m ) c c c m m
13 Wykorzystując te związki, otrzymujemy Ponieważ stosunek mas nie może być ujemny, więc a I b I a II b II = m m. Stąd a I b I a II b II < 0 a I b I > 0, a II b II < 0, czyli przy częstości ω I drgania są zgodne, a przy ω II przeciwne. W przypadku większej liczby stopni swobody analiza jest taka sama, rośnie jedynie ilość równań, czyli częstości i postaci drgań. 3.. Przykład Wyznaczyć częstość podstawową i postaci drgań belki obciążonej symetrycznie. Dane: Q = Q = 00 kg E =, 0 6 kg cm l =,5 m przekrój prostokątny b h : b = cm, h = 5 cm Najpierw musimy obliczyć liczby wpływowe c ik ze statyki belek. 3
14 W tym celu należy wyznaczyć strzałki ugięcia f ik z równania ugięcia belki. Zginanie wywołane jest momentem, stąd równanie EJ d y = M x) dx Ponieważ równanie to jest prawdziwe jedynie w przedziałach między zmianą obciążenia, należy ułożyć dwa różne równania dla naszej belki, która posiada przecież dwa przedziały. Wyznaczmy reakcje w podporach: R A + R B P =0 P 3 l R Bl =0 R A = 3 P, R B = 3 P Przedział lewy L): 0 x 3 l M α = 3 Px + M α x) = 0 M α x) = 3 Px EJ d y dx = 3 Px EJ dy dx = 6 Px +C EJ y = 8 Px3 +C x + D 4
15 Przedział prawy P): l x l 3 M β = 3 Px + P x ) 3 l + M β x) = 0 M β x) = Px l) 3 EJ d y dx = Px l) 3 EJ dy dx = 6 Px 3 Plx +C EJ y = 8 Px3 6 Plx +C x + D Warunki brzegowe dla układu równań na stałe C, D, C, D są następujące: y0) = 0, yl) = 0, y L l a ) = y P l a ), dy dx l a ) = dy L dx l a ). P Mamy więc cztery niewiadome i cztery warunki. Po wyliczeniu stałych całkowania równanie ugięcia dla lewego przedziału ma postać Stąd strzałki ugięcia f i f będą y = Pa x l a x ). 6l EJ f = y 3 l f = y 3 l ) = 7 ) = 8 l EJ P l EJ P Z zasady Bettiego-Maxwella wynika, że f = f, a ponadto z pełnej symetrii wynika, że f = f. Wobec tego liczby wpływowe wynoszą: Podstawiając dane liczbowe: c = f P = 8 c = f P = 7 l EJ P = f P = c l EJ P = f P = c J = bh3 = 0,8 cm4, EJ = 43, kg cm, m = m = Q g = Q g = 0,0 kg s cm, 5
16 mamy c = c = cm kg c = c = cm kg Teraz możemy przystąpić do wyznaczania częstości i postaci drgań. W tym celu wykorzystamy od razu rozwiązania 3). Dodatkowo uwzględnić możemy następujące tożsamości: c m + c m = c m, c m c m = 0 oraz c m c m ) + 4c m m = c m, c c c ) m m = c c ) m = c + c )c c )m. Ostatecznie otrzymujemy ω I = ω II = c m c m c ) = c m c c )m c c )m c c ) m = c + c )m Po podstawieniu danych liczbowych mamy ω I 64 s, ω II 47 s Badamy amplitudy: a I b I = c m ω I c m ω I =, a II b II = c m ω II c m ω II = Postaci drgań będą zatem następujące: 4. Drgania podłuzne 4.. Wprowadzenie teoretyczne Rozpatrzmy drgania podłużne dwóch mas zawieszonych na sprężynie i połączonych sprężyną. Masy i sztywności sprężyn wynoszą odpowiednio m, m, κ, κ. 6
17 Energia potencjalna układu jest następująca: a energia kinetyczna: V = κ x + κ x x ), T = m ẋ + m ẋ. Współrzędnymi uogólnionymi są x i x. Korzystając z równań Lagrange a, otrzymujemy układ różniczkowych równań ruchu: { m ẍ + κ x κ x x ) = 0 m ẍ + κ x x ) = 0 Wprowadźmy oznaczenie κ = κ + κ. Wówczas równania ) przyjmą postać { m ẍ = κx + κ x m ẍ = κ x κ x ) Zakładamy, jak poprzednio, że każda masa wykonuje ruch harmoniczny prosty: x = acosωt ψ), x = bcosωt ψ). Po wstawieniu tych wyrażeń do równań ruchu mamy { [ κ m ω ) a κ b ] cosωt ψ) = 0 [ κ a + κ m ω ) b ] cosωt ψ) = 0 ) czyli { κ m ω ) a κ b = 0 κ a + κ m ω ) b = 0 Po rozwinięciu wyznacznika otrzymanego układu uzyskujemy równanie częstości m m ω 4 m κ + m κ)ω + κ κ = 0. Stąd m κ + m κ) m κ + m κ) 4m m κ κ ω I,II = m m Podobnie jak przy drganiach poprzecznych można określić postaci drgań: dla ω I = ω min a I > 0 b I dla ω II > ω I aii < 0 b II masy drgają współbieżnie) masy drgają przeciwbieżnie) 7
18 4.. Przykład Podać wzór na częstość drgań oraz zbadać postać drgań układu pokazanego na rysunku. Układ ten różni się od wcześniej rozważanego jedynie brakiem jednej sprężyny tej umocowanej do więzów skleronomicznych). Możemy zatem skorzystać z równań ruchu ), przyjmując κ = 0 i κ = κ: Z dodania powyższych równań wynika zależność Zauważmy, że czyli drgania są zawsze przeciwzwrotne. Rozwiązania równań przyjmujemy w postaci { m ẍ κ x x ) = 0 m ẍ + κ x x ) = 0 ẍ ẍ = m m. m m > 0 ẍ ẍ < 0, x = a sinωt), x = a sinωt). Stąd oraz równanie częstości Mamy zatem dwa rozwiązania {[ m ω κ ) a + κa ] sinωt) = 0 [ κa + m ω κ ) a ] sinωt) = 0 3) [ m m ω κ m + m ) ] ω = 0 ω I = 0, ω II = κ m + m ) m m Częstość ω I odpowiada sztywnemu przesunięciu obu mas. Układ posiada więc tylko jedną częstość. Z równań 3) wynika a κ = a m ω κ = m ω κ κ Podstawiając otrzymaną częstość ω II, mamy κ m + m ) m a m = m a κ κ = m m < 0, co potwierdza, że masy wykonują drgania przeciwbieżne. 8
19 5. Drgania skrętne Rozważmy drgania skrętne nieważkiego pręta, do którego sztywno zamocowano krążki o masach m i m. Stałą sprężystą przy skręcaniu oznaczmy przez κ. Niech współrzędnymi uogólnionymi będą kąty ϕ i ϕ. Energia kinetyczna układu ma postać T = I ϕ + I ϕ, natomiast energia potencjalna V = κ ϕ ϕ ) Stosując równania Lagrange a II rodzaju ) d T dt ϕ d T dt ϕ T ϕ = V ϕ ) T ϕ = V ϕ otrzymujemy { I ϕ κ ϕ ϕ ) = 0 I ϕ + κ ϕ ϕ ) = 0 ) Zakładamy rozwiązania w postaci ϕ = α sinωt), ϕ = α sinωt). Stąd I ω κ ) α + κα = 0 κα + I ω κ ) α = 0 Równanie częstości będzie [ I I ω κ I + I ) ] ω = 0. Dla ω = 0 mamy ruch sztywny czysty obrót), natomiast drugi pierwiastek: κ I + I ) ω = I I Omawiany przypadek drgań jest podobny do przykładu dotyczącego drgań podłużnych. Przez analogię otrzymamy następujące związki α κ = α I ω κ = I ω κ κ 9
20 Wstawiając wyrażenie na ω, mamy α α = κ I κ I + I ) I I κ = I I Ponieważ I > 0, to α < 0. Zatem krążki drgają w przeciwnych kierunkach. Na tej podstawie wnioskujemy, że na odcinku między krążkami musi znajdować się przekrój niepodlegający obrotowi. I α Niech węzeł drgań dzieli odcinek l na części a i b. W tym przypadku długości obu części a tym samym położenie węzła znajdujemy z warunku, że części układu rozdzielone węzłem wykonują przeciwskrętne drgania o tej samej częstości w przypadku układów o większej liczbie stopni swobody położenie węzłów wyznacza się ogólnie z warunku zerowania funkcji określającej przemieszczenie). Oznaczając częstość drgań odcinka a przez ω a, natomiast odcinka b przez ω b, warunek ten będzie: ω a = ω b Ponieważ każda z części układu podzielonego węzłem reprezentuje układ o jednym stopniu swobody, więc κa κb ω a =, ω b = I I Z porównania prawych stron mamy κ a = I κ b I Uwaga: Jeśli w pierwszym z równań ) pominiemy ϕ, otrzymamy równanie drgań skrętnych dla układu o jednym stopniu swobody, w którym ω = κ/i. Dla pręta pryzmatycznego o długości l mamy ϕ = Ml oraz κ = M C s ϕ = C s, l gdzie C s jest sztywnością skręcania np. dla przekroju kołowego C s = I 0 G). W rozważanym przypadku κ a = C s a, κ b = C s b, skąd otrzymujemy b a = I I Zatem węzeł będzie położony bliżej krążka o większym momencie bezwładności. Momenty bezwładności masowe) krążków można wyrazić jako I = Q D 8g, I = Q D 8g, gdzie D, D oraz Q, Q są odpowiednio średnicami i ciężarami krążków. Stąd b a = Q Q ) D 0 D
21 Pamiętając, że l = a + b, otrzymujemy następujące związki: Jeśli I = I, to a = b = l/. a = l + I = I + b = l + I = I + l ) ) Q D Q l D ) ) Q D Q D
DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu
Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 8 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Drgania układu o wielu stopniach swobody
Drgania układu o wielu stopniach swobody Rozpatrzmy układ składający się z n ciał o masach m i (i =,,..., n, połączonych między sobą i z nieruchomym podłożem za pomocą elementów sprężystych o współczynnikach
MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej
MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
MECHANIKA 2. Drgania punktu materialnego. Wykład Nr 8. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 8 Drgania punktu materialnego Prowadzący: dr Krzysztof Polko Wstęp Drgania Okresowe i nieokresowe Swobodne i wymuszone Tłumione i nietłumione Wstęp Drgania okresowe ruch powtarzający
Wykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Symetrie i prawa zachowania Wykład 6
Symetrie i prawa zachowania Wykład 6 Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 1/29 Rola symetrii Największym
WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ
ĆWICZENIE 12 WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ Cel ćwiczenia: Wyznaczanie modułu sztywności drutu metodą sprężystych drgań obrotowych. Zagadnienia: sprężystość, naprężenie ścinające, prawo
Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający
Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Ruch skutkiem działania
VII. Drgania układów nieliniowych
VII. Drgania układów nieliniowych 1. Drgania anharmoniczne spowodowane symetryczna siła zwrotna 1.1 Różniczkowe równanie ruchu Rozważamy teraz drgania swobodne masy m przytwierdzonej do sprężyny o współczynniku
2. Pręt skręcany o przekroju kołowym
2. Pręt skręcany o przekroju kołowym Przebieg wykładu : 1. Sformułowanie zagadnienia 2. Warunki równowagi kąt skręcenia 3. Warunek geometryczny kąt odkształcenia postaciowego 4. Związek fizyczny Prawo
Układy równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Zasada prac przygotowanych
1 Ćwiczenie 20 Zasada prac przygotowanych 20.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z praktycznym zastosowaniem zasady prac przygotowanych przy rozpatrywaniu równowagi układu o dwóch stopniach
mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej
mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej ver-28.06.07 współrzędne uogólnione punkt materialny... wektor wodzący: prędkość: przyspieszenie: liczba
Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.
Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny
Fizyka 11. Janusz Andrzejewski
Fizyka 11 Ruch okresowy Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywa się ruchem okresowym lub drganiami. Drgania tłumione ruch stopniowo zanika, a na skutek tarcia energia mechaniczna
Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie
Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Rozciąganie lub ściskanie Zginanie Skręcanie Ścinanie 1. Pręt rozciągany lub ściskany
Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice.
Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice. 1 Wahadło matematyczne. Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m zawieszony na długiej, cienkiej
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Laboratorium Mechaniki Technicznej
Laboratorium Mechaniki Technicznej Ćwiczenie nr 5 Badanie drgań liniowych układu o jednym stopniu swobody Katedra Automatyki, Biomechaniki i Mechatroniki 90-924 Łódź, ul. Stefanowskiego 1/15, budynek A22
Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka
Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Moment bezwładności Prawa ruchu Energia ruchu obrotowego Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Przypomnienie Równowaga bryły
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie
napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.
MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego
MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl
STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH
Część. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH.. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH Rozwiązując układy niewyznaczalne dowolnie obciążone, bardzo często pomijaliśmy wpływ sił normalnych i
BADANIE STANÓW RÓWNOWAGI UKŁADU MECHANICZNEGO
Ćwiczenie 3 BADANIE STANÓW RÓWNOWAGI UKŁADU MECHANICZNEGO 3.. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest teoretyczne i doświadczalne wyznaczenie położeń równowagi i określenie stanu równowagi prostego układu mechanicznego
Mechanika Analityczna
Mechanika Analityczna Wykład 2 - Zasada prac przygotowanych i ogólne równanie dynamiki Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej 29 lutego 2016 Plan wykładu
Przykłady (twierdzenie A. Castigliano)
23 Przykłady (twierdzenie A. Castigiano) Zadanie 8.4.1 Obiczyć maksymane ugięcie beki przedstawionej na rysunku (8.2). Do obiczeń przyjąć następujące dane: q = 1 kn m, = 1 [m], E = 2 17 [Pa], d = 4 [cm],
1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
lim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a
Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona
Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii
Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą
Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH. Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji
Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji Numer ćwiczenia: 8 Laboratorium
3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach
3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach 3.1 Drgania układu o jednym stopniu swobody Rozpatrzmy elementarny układ drgający, nazywany też oscylatorem harmonicznym, składający się ze sprężyny
LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI. ĆWICZENIE NR 1 Drgania układów mechanicznych
LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI ĆWICZENIE NR Drgania układów mechanicznych Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z właściwościami układów drgających oraz metodami pomiaru i analizy drgań. W ramach
Linie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej
Prof. Mieczysław Kuczma Poznań, styczeń 215 Zakład Mechaniki Budowli, PP Linie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej (Przykład liczbowy) Zacznijmy od zdefiniowania pojęcia linii wpływu (używa się też
Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego
Nazwisko i imię: Zespół: Data: Cel ćwiczenia: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego wyznaczenie momentów bezwładności brył sztywnych Literatura
Fizyka 12. Janusz Andrzejewski
Fizyka 1 Janusz Andrzejewski Przypomnienie: Drgania procesy w których pewna wielkość fizyczna na przemian maleje i rośnie Okresowy ruch drgający (periodyczny) - jeżeli wartości wielkości fizycznych zmieniające
Kinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (B+C) Wykład IV: Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch harmoniczny Ruch po okręgu Klasyfikacja ruchów Ze względu na tor wybrane przypadki szczególne prostoliniowy, odbywajacy
Metoda rozdzielania zmiennych
Rozdział 12 Metoda rozdzielania zmiennych W tym rozdziale zajmiemy się metodą rozdzielania zmiennych, którą można zastosować, aby wyrazić jawnymi wzorami rozwiązania pewnych konkretnych równań różniczkowych
MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH
dr inż. Robert Szmit Przedmiot: MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH WYKŁAD nr Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Katedra Geotechniki i Mechaniki Budowli Opis stanu odkształcenia i naprężenia powłoki
MECHANIKA II. Drgania wymuszone
MECHANIKA II. Drgania wymuszone Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 1 / 30 Układ drgajacy o jednym stopniu swobody
Równanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
m Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki):
Ruch drgający -. Ruch drgający Ciało jest sprężyste, jeżei odzyskuje pierwotny kształt po ustaniu działania siły, która ten kształt zmieniła. Właściwość sprężystości jest ograniczona, to znaczy, że przy
Równania różniczkowe liniowe II rzędu
Równania różniczkowe liniowe II rzędu Definicja równania różniczkowego liniowego II rzędu Warunki początkowe dla równania różniczkowego II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu jednorodne (krótko
{H B= 6 kn. Przykład 1. Dana jest belka: Podać wykresy NTM.
Przykład 1. Dana jest belka: Podać wykresy NTM. Niezależnie od sposobu rozwiązywania zadania, zacząć należy od zastąpienia podpór reakcjami. Na czas obliczania reakcji można zastąpić obciążenie ciągłe
Więzy i ich klasyfikacja Wykład 2
Więzy i ich klasyfikacja Wykład 2 Karol Kołodziej (przy współpracy Bartosza Dziewita) Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna
Wykład 6 Drgania. Siła harmoniczna
Wykład 6 Drgania Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okresowym (periodycznym). Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można wyrazić za pomocą funkcji sinus albo
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI
DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI (Wprowadzenie) Drgania elementów konstrukcji (prętów, wałów, belek) jak i całych konstrukcji należą do ważnych zagadnień dynamiki konstrukcji Przyczyna: nawet niewielkie drgania
Drgania wymuszone - wahadło Pohla
Zagadnienia powiązane Częstość kołowa, częstotliwość charakterystyczna, częstotliwość rezonansowa, wahadło skrętne, drgania skrętne, moment siły, moment powrotny, drgania tłumione/nietłumione, drgania
MECHANIKA 2. Praca, moc, energia. Wykład Nr 11. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 11 Praca, moc, energia Prowadzący: dr Krzysztof Polko PRACA MECHANICZNA SIŁY STAŁEJ Pracą siły stałej na prostoliniowym przemieszczeniu w kierunku działania siły nazywamy iloczyn
( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x
Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy
Wykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
METODA SIŁ KRATOWNICA
Część. METDA SIŁ - RATWNICA.. METDA SIŁ RATWNICA Sposób rozwiązywania kratownic statycznie niewyznaczalnych metodą sił omówimy rozwiązują przykład liczbowy. Zadanie Dla kratownicy przedstawionej na rys..
Mechanika Analityczna
Mechanika Analityczna Wykład 1 - Organizacja wykładu (sprawy zaliczeniowe, tematyka). Więzy i ich klasyfikacja Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej
Część ZADANIA - POWTÓRKA ZADANIA - POWTÓRKA. Zadanie 1
Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 6. 6. ZADANIA - POWTÓRKA Zadanie Wykorzystując metodę przemieszczeń znaleźć wykres momentów zginających dla ramy z rys. 6.. q = const. P [m] Rys. 6.. Rama statycznie niewyznaczalna
Laboratorium Dynamiki Maszyn
Laboratorium Dynamiki Maszyn Laboratorium nr 5 Temat: Badania eksperymentane drgań wzdłużnych i giętnych układów mechanicznych Ce ćwiczenia:. Zbudować mode o jednym stopniu swobody da zadanego układu mechanicznego.
I. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
I. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO A. RÓŻNICZKOWE RÓWNANIA RUCHU A1. Bryła o masie m przesuwa się po chropowatej równi z prędkością v M. Podać dynamiczne równania ruchu bryły i rozwiązać je tak, aby wyznaczyć
1. METODA PRZEMIESZCZEŃ
.. METODA PRZEMIESZCZEŃ.. Obliczanie sił wewnętrznych od obciążenia zewnętrznego q = kn/m P= kn Rys... Schemat konstrukcji φ φ u Rys... Układ podstawowy metody przemieszczeń Do wyliczenia mamy niewiadome:
Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Równania różniczkowe opisujące ruch fotela z pilotem:
. Katapultowanie pilota z samolotu Równania różniczkowe opisujące ruch fotela z pilotem: gdzie D - siłą ciągu, Cd współczynnik aerodynamiczny ciągu, m - masa pilota i fotela, g przys. ziemskie, ρ - gęstość
Stabilność II Metody Lapunowa badania stabilności
Metody Lapunowa badania stabilności Interesuje nas w sposób szczególny system: Wprowadzamy dla niego pojęcia: - stabilności wewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu przy zerowym wejściu, czyli
Jan Awrejcewicz- Mechanika Techniczna i Teoretyczna. Statyka. Kinematyka
Jan Awrejcewicz- Mechanika Techniczna i Teoretyczna. Statyka. Kinematyka SPIS TREŚCI Przedmowa... 7 1. PODSTAWY MECHANIKI... 11 1.1. Pojęcia podstawowe... 11 1.2. Zasada d Alemberta... 18 1.3. Zasada prac
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił.
Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił. Wektor główny układu sił jest równy Moment główny układu wynosi Przykład
Wykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.
Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Joanna Szulczyk Politechnika Warszawska Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki
Siły wewnętrzne - związki różniczkowe
Siły wewnętrzne - związki różniczkowe Weźmy dowolny fragment belki obciążony wzdłuż osi obciążeniem n(x) oraz poprzecznie obciążeniem q(x). Na powyższym rysunku zwroty obciążeń są zgodne z dodatnimi zwrotami
Politechnika Białostocka
Politechnika Białostocka WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA Katedra Geotechniki i Mechaniki Konstrukcji Wytrzymałość Materiałów Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych Ćwiczenie nr 6 Temat ćwiczenia:
Równa Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym
Mechanika ogólna Wykład nr 14 Elementy kinematyki i dynamiki 1 Kinematyka Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez
MECHANIKA II. Dynamika układu punktów materialnych
MECHANIKA II. Dynamika układu punktów materialnych Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl
3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ
3. ÓWNOWG PŁSKIEGO UKŁDU SIŁ Zadanie 3. elka o długości 3a jest utwierdzona w punkcie zaś w punkcie spoczywa na podporze przegubowej ruchomej, rysunek 3... by belka była statycznie wyznaczalna w punkcie
Spis treści. Wstęp Część I STATYKA
Spis treści Wstęp... 15 Część I STATYKA 1. WEKTORY. PODSTAWOWE DZIAŁANIA NA WEKTORACH... 17 1.1. Pojęcie wektora. Rodzaje wektorów... 19 1.2. Rzut wektora na oś. Współrzędne i składowe wektora... 22 1.3.
Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, Spis treści
Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, 2010 Spis treści Część I. STATYKA 1. Prawa Newtona. Zasady statyki i reakcje więzów 11 1.1. Prawa Newtona 11 1.2. Jednostki masy i
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podsta Automatyki Transmitancja operatorowa i widmowa systemu, znajdowanie odpowiedzi w dziedzinie s i w
Drgania - zadanka. (b) wyznacz maksymalne położenie, prędkość i przyspieszenie ciała,
Zadania do przeliczenia na lekcji. Drgania - zadanka 1. Ciało o masie m = 0.5kg zawieszono na nieważkiej nitce o długości l = 1m a następne wychylono o 2cm z położenia równowagi (g = 10 m s 2), (a) oblicz
Opis ćwiczenia. Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Henry ego Katera.
ĆWICZENIE WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA REWERSYJNEGO Opis ćwiczenia Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego
MECHANIKA 2 Wykład Nr 9 Dynamika układu punktów materialnych
MECHANIKA 2 Wykład Nr 9 Dynamika układu punktów materialnych Prowadzący: dr Krzysztof Polko Dynamiczne równania ruchu układu punktów materialnych Układem punktów materialnych nazwiemy zbiór punktów w sensie
1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
- prędkość masy wynikająca z innych procesów, np. adwekcji, naprężeń itd.
4. Równania dyfuzji 4.1. Prawo zachowania masy cd. Równanie dyfuzji jest prostą konsekwencją prawa zachowania masy, a właściwie to jest to prawo zachowania masy zapisane dla procesu dyfuzji i uwzględniające
Wytrzymałość Materiałów
Wytrzymałość Materiałów Zginanie Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach i ramach, analiza stanu naprężeń i odkształceń, warunek bezpieczeństwa Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości,
WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE.
1 WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE. Współrzędne wewnętrzne 2 F=-fq q ξ i F i =-f ij x j U = 1 2 fq2 U = 1 2 ij f ij ξ i ξ j 3 Najczęściej stosowaną metodą obliczania drgań
Pierwsze dwa podpunkty tego zadania dotyczyły równowagi sił, dla naszych rozważań na temat dynamiki ruchu obrotowego interesujące będzie zadanie 3.3.
Dynamika ruchu obrotowego Zauważyłem, że zadania dotyczące ruchu obrotowego bardzo często sprawiają maturzystom wiele kłopotów. A przecież wystarczy zrozumieć i stosować zasady dynamiki Newtona. Przeanalizujmy
gęstością prawdopodobieństwa
Funkcja falowa Zgodnie z hipotezą de Broglie'a, cząstki takie jak elektron czy proton, mają własności falowe. Własności falowe cząstki (lub innego obiektu) w mechanice kwantowej opisuje tzw. funkcja falowa(,t)
Definicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
MECHANIKA 2. Wykład Nr 3 KINEMATYKA. Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 3 KINEMATYKA Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ Prowadzący: dr Krzysztof Polko Pojęcie Ruchu Płaskiego Rys.1 Ruchem płaskim ciała sztywnego nazywamy taki ruch, w którym wszystkie
Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXI: Statyka Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego
Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXI: Statyka Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego Typ równowagi zależy od zmiany położenia środka masy ( Równowaga Statyka Bryły sztywnej umieszczonej
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
6. WYZNACZANIE LINII UGIĘCIA W UKŁADACH PRĘTOWYCH
Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6. 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6.. Wyznaczanie przemieszczeń z zastosowaniem równań pracy wirtualnej w układach prętowych W metodzie pracy
Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału
Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,
Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Układy fizyczne z więzami Wykład 2
Układy fizyczne z więzami Wykład 2 Karol Kołodziej (przy współpracy Bartosza Dziewita) Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna
Drgania i fale II rok Fizyk BC
00--07 5:34 00\FIN00\Drgzlo00.doc Drgania złożone Zasada superpozycji: wychylenie jest sumą wychyleń wywołanych przez poszczególne czynniki osobno. Zasada wynika z liniowości związku między wychyleniem
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................
FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c
FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie