Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1064, 2008/09

Transkrypt

1 1 Rachunk Prawdopodobiństwa MAP1064, 008/09 Wydział Elktroniki Wykładowca: dr hab. Agniszka Jurlwicz Listy zadań nr 10-1 Opracowani: dr hab. Agniszka Jurlwicz Litratura: [1] A. Plucińska, E. Pluciński, Rachunk prawdopodobiństwa. Statystyka matmatyczna. Procsy stochastyczn, WNT, Warszawa, 000 [] T. Inglot, T. Ldwina, Z. Ławniczak, Matriały do ćwiczń z rachunku prawdopodobiństwa i statystyki matmatycznj, Wydawnictwo Politchniki Wrocławskij, Wrocław 1979 [3] W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilwski, Rachunk prawdopodobiństwa i statystyka matmatyczna w zadaniach, część I, PWN, Warszawa, 1995 [4] J. Ombach, Wstęp do rachunku prawdopodobiństwa, Wydawnictwo Instytutu Matmatyki AGH, Kraków, 1997 [5] W. Kordcki, Rachunk prawdopodobiństwa i statystyka matmatyczna. Dfinicj, twirdznia, wzory, GiS, Wrocław 00 [6] H. Jasiulwicz, W. Kordcki, Rachunk prawdopodobiństwa i statystyka matmatyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 003 [7] Y. Viniotis, Probability and Random Procsss for Elctrical Enginrs, McGraw-Hill, Boston, 1998 [8] J. Jakubowski,, R. Sztncl, Wstęp do torii prawdopodobiństwa SCRIPT, Warszawa, 001 [9] J. Stojanow, I. Mirazczijski, C. Ignatow, M. Tanuszw Zbiór zadań z rachunku prawdopodobiństwa, PWN, Warszawa, 1991 [10] A. Papoulis, Prawdopodobiństwo, zminn losow i procsy stochastyczn, WNT, Warszawa, 197

2 Lista 10. Zminn losow dwuwymiarow. Rozkłady łączn, brzgow, warunkow. Warunkowa wartość oczkiwana. Nizalżność zminnych losowych. Momnty. Współczynnik korlacji. Zadani 10.1 (a) Wktor losowy (X, Y ) ma następujący rozkład łączny: P (X = 0, Y = 1) = C; P (X = 0, Y = 0) = 0; P (X = 0, Y = 1) = 0, 15; P (X = 1, Y = 1) = P (X = 1, Y = 0) = 0, 5; P (X = 1, Y = 1) = 0,. Wyznaczyć stałą C oraz rozkłady brzgow tgo wktora losowgo. Czy X i Y są nizalżn? (b) Znalźć rozkład łączny wktora losowgo (X, Y ), gdzi X i Y są nizalżnymi zminnymi losowymi o rozkładach P (X = 1) = 0, 3; P (X = ) = 0, 7; P (Y = 0) = 0, 75; P (Y = 1) = 0, 5. Zadani (a) Funkcja f(x, y) = 9 y3 (5x + ) dla 0 < x < 1, 0 < y < 1 jst gęstością wktora losowgo (X, Y ). Obliczyć P ((X, Y ) ), gdzi to obszar 0 y 1, 0 x y. Wyznaczyć rozkłady brzgow wktora losowgo (X, Y ). Czy X i Y są nizalżn? x y dla x > 0, y > 0 (b) Funkcja f(x, y) = jst gęstością wktora losowgo (X, Y ). Obliczyć P (1 < X <, 1 < Y < 1). Wyznaczyć rozkłady brzgow wktora losowgo (X, Y ). Czy X i Y są nizalżn? C dla (x, y) K (c) Dobrać stałą C tak, aby funkcja f(x, y) = gdzi K to półokrąg o środku 0 poza tym, w punkci (0, 0) i prominiu 1, położony nad osią Ox, była gęstością pwngo wktora losowgo (X, Y ). Obliczyć następni P (X + Y 1/4). Wyznaczyć rozkłady brzgow wktora losowgo (X, Y ). Czy X i Y są nizalżn? (d) Dobrać stałą C tak, aby funkcja f(x, y) = Cxy( x y) dla 0 x 1, 0 y 1, 0 poza tym była gęstością pwngo wktora losowgo (X, Y ). Obliczyć następni P ((X, Y ) ), gdzi to trójkąt 0 x 1/, 0 y x. Wyznaczyć rozkłady brzgow wktora losowgo (X, Y ).

3 3 Zadani 10.3 Wyznaczyć wktor wartości oczkiwanych oraz macirz kowariancji wktora losowgo (X, Y ) o podanym rozkładzi. Obliczyć współczynnik korlacji zminnych losowych X i Y, któr są składowymi tgo wktora. (a) x n , 15 0, 5 ; 0 0 0, 5 1 0, 15 0, x n 1 (b) 0 0, 5 0, , 075 0, 175 (c) rozkład o gęstości f(x, y) = (d) rozkład o gęstości f(x, y) = 8 9 y3 (5x + ) dla 0 < x < 1, 0 < y < 1 x y dla x > 0, y > 0 dla (x, y) K () rozkład o gęstości f(x, y) = π 0 poza tym, (0, 0) i prominiu 1, położony nad osią Ox. gdzi K to półokrąg o środku w punkci (f) rozkład o gęstości f(x, y) = Czy X i Y są nizalżn? 6xy( x y) dla 0 x 1, 0 y 1,

4 4 Lista 11. Sumowani nizalżnych zminnych losowych i jgo związk z splotm gęstości i transformatami Laplac a i Fourira. Prawo wilkich liczb. Zadani 11.1 (a) Zminn losow X i Y są nizalżn, przy czym X ma rozkład wykładniczy Exp(3), a Y rozkład normalny N (, 3). Znalźć wartość oczkiwaną i wariancję zminnj losowj Z = 3X 5Y 3. (b) Zminn losow X i Y są nizalżn, przy czym X ma rozkład Poissona P(3), a Y rozkład Brnoulligo B(10; 0, ). Znalźć wartość oczkiwaną i wariancję zminnj losowj Z = 3X 5Y + 7. (c) Nich Y = X +N, gdzi X ma rozkład zrojdynkowy z paramtrm p = 0, 3; a N ma rozkład normalny N (0, ), przy czym zminn losow X i N są nizalżn. Obliczyć współczynnik korlacji ρ XY. Zadani 11. (a) Zminn X i Y są nizalżn, przy czym X ma rozkład Cauchy go C(0, 1), a Y rozkład normalny N (3, 5). Jaka jst funkcja charaktrystyczna rozkładu zminnj losowj X + Y, a jaka zminnj losowj X 3Y? (b) Zminn X i Y są nizalżn, przy czym X ma rozkład Poissona P(3), a Y rozkład wykładniczy Exp(). Jaka jst funkcja charaktrystyczna rozkładu zminnj losowj 5X Y? (c) Pokazać, ż suma dwóch nizalżnych zminnych losowych odpowidnio o rozkładach Poissona P(1) i P(3) ma równiż rozkład Poissona P(λ). Podać wartość paramtru λ. (d) Nich X 1 i X będą nizalżnymi zminnymi losowymi o jdnakowym rozkładzi normalnym N (0, ). Znalźć rozkład zminnj losowj Y = X 1 + X. Zadani 11.3 (a) Zminn losow X 1, X,... są nizalżn o jdnakowym rozkładzi wykładniczym Exp(). Do czgo jst zbiżna śrdnia arytmtyczna X X n? W snsi jakij zbiżności? n (b) Nich X 1, X,... będzi ciągim nizalżnych zminnych losowych o jdnakowym rozkładzi jdnostajnym U(0, 1). Zdfiniujmy n Z i równa jst 0,5 czy 0,5 z prawdopodobiństwm 1? Odpowidź uza- i=1 1 Czy granica n lim n sadnić. Z n = 0 dla n = 1, 3, 5,... X n dla n =, 4, 6,...

5 5 Lista 1. Twirdzni d Moivr a-laplac a. Cntraln Twirdzni Graniczn Lindbrga-Lévy go. Zadani 1.1 (a) W pwnym dużym okręgu wyborczym ma zostać przprowadzon rfrndum w sprawi budowy lktrowni atomowj. Wśród uprawnionych do głosowania miszkańców 45% popira tę inwstycję, a 55% jst przciw. Na podstawi tw. Moivr a Laplac a oszacować, jaki jst prawdopodobiństwo odrzucnia projktu w rfrndum, w których wźmi udział tylko 00 osób wybranych losowo. Oszacować błąd przybliżnia. (b) Jśli gracz wyrzuci kostką 6 oczk, to wygrywa 4 zł. Jśli ni, przgrywa 1 zł. Oszacować prawdopodobiństwo tgo, ż w 1000 rzutach gracz przgra co najwyżj 0 zł. Oszacować błąd przybliżnia. (c) W pwnym towarzystwi ubzpiczniowym jst ubzpiczonych samochodów. Każdy z właścicili płaci roczną składkę 50 zł za samochód. Śrdnio 9 na 1000 samochodów ulga uszkodzniu w ciągu roku. Właścicilowi uszkodzongo pojazdu towarzystwo wypłaca 5000 zł. Na podstawi tw. Moivr a Laplac a oszacować, jaki jst prawdopodobiństwo, ż w ciągu roku towarzystwo ni ponisi strat. Oszacować błąd przybliżnia. (d) Prawdopodobiństwo, ż dowolna osoba odpowi na przsłaną pocztą rklamę i zamówi towar, wynosi 0,03. Rklamę wysłano do 00 osób. Na podstawi tw. Moivr a Laplac a oszacować prawdopodobiństwo, ż (1) dokładni 5 osób, () mnij niż 5 osób przyśl zamówinia. Oszacować błąd przybliżnia. Porównać wyniki z otrzymanymi w zadaniu 7.3(a) mtodą dokładną i przybliżoną z tw. Poissona. Zadani 1. (a) Czas oczkiwania na tramwaj linii 14 jst zminną losową o rozkładzi wykładniczym o śrdnij 0 minut. Pan Piotr codzinni w dni robocz dojżdża nim do pracy. Oszacować na podstawi CTG Lindbrga Lévy go prawdopodobiństwo, ż pan Piotr traci w ciągu 160 koljnych dni roboczych na czkani na tramwaj linii 14 więcj niż 500 minut. (b) Czas pracy lampy pwngo typu ma rozkład wykładniczy o śrdnij 100 dni. Na podstawi tw. Lindbrga Lévy go oszacować, czy wystarczy mić w zapasi 169 lamp, aby z prawdopodobiństwm 0,9 wystarczyło ich na dni niprzrwanj pracy. (Przyjmujmy, ż spalona lampa jst natychmiast wyminiana na nową.) (c) Pwna konstrukcja składa się z 500 jdnakowych lmntów. Na podstawi CTG Lindbrga Lévy go oszacować prawdopodobiństwo, ż całkowita masa tj konstrukcji ni przkroczy 1755 kg, jśli rozkład masy lmntów, z których jst złożona, ma wartość oczkiwaną 3,5 kg i odchylni standardow 0,5 kg? (d) Samolot zabira na pokład 70 osób. Waga pasażrów ma pwin rozkład o wartości oczkiwanj 75 kg i wariancji 5 kg. Oszacować na podstawi CTG Lindbrga Lévy go prawdopodobiństwo, ż łączna waga pasażrów przkroczy 5300 kg. () W grupi studnckij przprowadza się tst, w którym można uzyskać do 100 punktów. Śrdni wynik uzyskiwany przz studnta wynosi 40 pkt, a wariancja 0. Wyniki studntów są nizalżn i o takim samym rozkładzi. Oszacować na podstawi CTG Lindbrga Lévy go prawdopodobiństwo tgo, ż przciętna liczba punktów przypadająca na jdngo studnta w grupi 150 osób zawira się w przdzial od 35 do 45 pkt.

6 6 Odpowidzi i wskazówki: Lista nr 10: x n 0 1 r.brzg. Y 10.1 (a) C = 0, 15; 1 0, 15 0, 5 0, , 5 0, 5 1 0, 15 0, 0, 35 r.brzg.x 0, 3 0, 7 = 1 x n 1 r.brzg. Y (b) 0 0, 5 0, 55 0, , 075 0, 175 0, 5 r.brzg.x 0, 3 0, 7 = 1 ; X i Y ni sa nizalżn; 10. (a) P ((X, Y ) ) = 13 0, 989; f 160 X(x) = 4y 3 dla 0 < y < 1,, X i Y są nizalżn; (d) C = 6; P ((X, Y ) ) = 0, 065; f X (x) = 4y 3y dla 0 < y < 1, f Y (y) = (/9)(5x + ) dla 0 < x < 1, 0 dla pozostalych x., f Y (y) = x dla x > 0, 0 dla pozostalych x., (b) P (1 < X <, 1 < Y < 1) = +1 0, 1470; f 3 X (x) = y dla y > 0, f Y (y) =, X i Y są nizalżn; (c) C = ; P π (X + Y 0, 5) = 0, 5; f X (x) = π 1 x dla 1 < x < 1, 0 dla pozostalych x., 4 f Y (y) = π 1 y dla 0 < y < 1, ; X i Y ni są nizalżn; 4x 3x dla 0 < x < 1, 0 dla pozostalych x., 10.3 (a) (EX, EY ) = (0, 7; 0, 05); macirz kowariancji to 0, 015 0, 1 0, , 0379; [ 0, 1 0, 015 0, 015 0, 7475 ρ XY = 0, 1 0 (b) (EX, EY ) = (1, 7; 0, 5); macirz kowariancji to ; ρ 0 0, 1875 XY = 0; 109/ (c) (EX, EY ) = (16/7; 4/5); macirz kowariancji to ; ρ 0 /75 XY = 0; 1 0 (d) (EX, EY ) = (1; 1); macirz kowariancji to ; ρ 0 1 XY = 0; 0, 5 0 () (EX, EY ) = (0; 4 ); macirz kowariancji to 3π 9π 0 16 ; ρ XY = 0 [ 36π ] 43/70 1/144 (f) (EX, EY ) = (7/1; 7/1); macirz kowariancji to ; 1/144 43/70 ρ XY = 5/43 0, , więc X i Y ni są nizalżn; ] ;

7 7 Lista nr 11: 11.1 (a) EZ = 1, D Z = 6; (b) EZ = 6, D Z = 67; (c) ρ XY = 0, 1/ 0, 1 16, 1 0, (a) ϕ X+Y (t) = t 3it 5t /, ϕ X 3Y (t) = t 9it 5t / ; (b) ϕ 5X Y (t) = 3(5it 1) /(1+it); (c) λ = 4; (d) jst to rozkład N (0, ) 11.3 (a) do 4/3 z prawdop. 1; (b) do 0,5. Lista nr 1: 1.1 (a) 0, 9319±0, 06; (b) 0, 0064±0, 05; (c) 0, 9996±0, 03; (d) (1) 0, 149±0, 64; () 0, 676±0, 3 1. (a) 0, 997; (b) tak; (c) 0, 447; (d) 0, 1170; () 0, 9978