A. Zaborski, Rozciąganie proste. Rozciąganie

Transkrypt

1 . Zborski, Rozciągnie proste Rozciągnie rzkłd Zprojektowć pręt i tk, b przemieszczenie węzł nie przekroczło dopuszczlnej wrtości mm. Dne: R = 50 M, E = 0 G. 5 m m 4 m 80 k Rozwiąznie: równni sttki: sin sin cos cos sin = , cos = 0.47, sin = 0., cos = 0.8, skąd: = 48.0 k, =.5 k z wrunku wtrzmłościowego: F.7 cm, F. 78 cm. R R obliczenie przemieszczeni węzł : l l wdłużeni prętów l m, l m. EF EF pln przemieszczeń przemieszczenie węzł : Skoro =. 0 - m > dop. dop, to obliczm: , F 0.00 l sin cos l sin cos cos cos sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos F 0 F dop dop F rzkłd Dne: = m, = /, = 5 k, F = cm, F = 4 cm, F = 5.5 cm, E = 0 G. Szukne: sił w prętch,,

2 . Zborski, Rozciągnie proste Rozwiąznie:. ln przemieszczeń wirtulnch. Węzeł posid stopnie swobod n płszczźnie: przemieszczenie poziome i pionowe. rzemieszczenie węzł z położeni do położeni dobierm njzupełniej dowolnie le tk, b długość kżdego z prętów uległ zminie. (Złożenie, że długość jkiegoś pręt nie uleg zminie jest równoznczne z przjęciem w tkim pręcie sił podłużnej równej zero!). Wdłużeni (skróceni) prętów - otrzmm rzutując położenie punktu (przed lbo po odksztłceniu) prostopdle n kierunki prętów. Kierunki te są znne, poniewż zkłdm o nich, że nie ulegją zminie. Rzutując prmetr i n wdłużeni (skróceni) prętów otrzmujem równni: cos sin cos sin Z równń tch eliminujem prmetr i, otrzmując równnie geometrczne (nierozdzielności), wiążące ze sobą wdłużeni (skróceni) prętów: cos 0. Tkich równń musim zpisć tle, ile jest ndliczbowch niewidomch (hipersttcznch) czli tle ile brkuje nm równń sttki. Wkorzstując związki Hooke, przechodzim z niewidomch kinemtcznch n niewidome sttczne, otrzmując dodtkowe równnie do wznczeni ndliczbowch niewidomch: l l l cos 0. () EF EF EF. ln sił. Musi bć zgodn z przjętm plnem przemieszczeń wirtulnch, tzn. że jeśli złożliśm wdłużenie (skrócenie) jkiegoś pręt, to sił w nim musi bć odpowiednio do tego rozciągjąc (ściskjąc). Z równń sttki dl zbieżnego ukłdu sił (X=0, Y=0), mm dw równni 0 () ( )cos 0 (). Bilns: mm równni z niewidommi, które rozwiązujem otrzmując poszukiwne sił w prętch. rzkłd Zdnie z tzw. luzem montżowm : Określić sił w prętch orz ich wdłużeni (skróceni), przjmując E = 0 G. Dne: = [mm], F = cm, F = cm, F =.5 cm, kąt = /.

3 . Zborski, Rozciągnie proste Rozwiąznie: przemieszczenie węzł n plnie przemieszczeń oznczm współrzędnmi orz : sin cos skąd: sin cos czli: l l l EF EF EF pln sił (musi bć zgodn z plnem przemieszczeń): skąd: X 0 :( Y 0 :( ) sin ) cos 0 0 poniewż: l l 4 m, l l.44 m, otrzmujem osttecznie:.9 k,. k. leż podkreślić, że kolejność postępowni (njpierw pln przemieszczeń potem zgodn z nim pln sił) wnik stąd, że nie kżdemu (dowolnie przjętemu) ukłdowi sił odpowid spójn pln przemieszczeń. iektóre kombincje sił są wkluczone, bo dl przkłdu nie d się nrsowć w rozptrwnm ukłdzie tkiego przemieszczeni węzł, które odpowidłob końcowemu skróceniu prętów orz wdłużeniu pręt. Tką niekonsekwencję możn b co prwd usunąć poprzez odpowiednie znkownie sił i wdłużeń, le jk pokzuje doświdczenie łtwo o błęd. Tmczsem w proponownm lgortmie sprw znkowni jest prost: wnik dodtni ozncz zwrot tki jk złożono znk ujemn ozncz zwrot przeciwn do złożonego. rzkłd 4 Ukłd jk w przkłdzie, le zmist obciążeni siłą mm przrost tempertur t = 5C. Rozwiąznie: ln przemieszczeń i pln sił podobnie jk poprzednio: Zmieniją się jednie związki fizczne. Oprócz związków Hooke n wdłużenie pręt uwzględnim dodtkowo rozszerzlność cieplną: i lit, gdzie jest współcznnikiem rozszerzlności cieplnej. leż ili EFi podkreślić, że nprężeni termiczne powstną jednie w ukłdzie sttcznie niewznczlnm. rzkłd 5 Sztwn płt stlow zostł podwieszon n 4 linch i obciążon pionową siłą skupioną, przłożoną w punkcie (rs.). Określić dopuszczlne obciążenie siłą, zniedbując ciężr włsn płt i przjmując przekrój kżdej z lin równ 4 cm orz R = 0 M.

4 . Zborski, Rozciągnie proste m Rozwiąznie: Zdnie jest jednokrotnie sttcznie niewznczlne, poniewż lin wstrczłb do przeniesieni obciążeni (i geometrcznej niezmienności ukłdu, uwzględnijąc jednie ruch w pionie). oszukujem więc dodtkowego równni geometrcznego. Otrzmm je, jeśli uzmsłowim sobie, że punkt,, i 4 leżą n płszczźnie (sztwn płt). Do ogólnego równni płszczzn: + b + cz + d = 0, podstwim kolejno współrzędne poszczególnch punktów (zkłdm, że wszstkie lin prcują wdłużjąc się, oś z skierowujem w dół): (-, -0.5, ), (-, 0.5, ), (, -0.5, ), 4(, 0.5, 4 ). Otrzmujem ukłd 4 równń: 0.5b c d 0 0.5b c d 0 0.5b c d 0 0.5b 4c d 0 z którego rugujem niewidome prmetr, b, c orz d, otrzmując równnie geometrczne wiążące wdłużeni lin: 4 0, skąd, po przejściu n niewidome sttczne, mm od rzu: 4 0. () Dołączm nietrwilne równni sttki: Z 0 : () 4 0: M 0 : M (). (4) Rozwiązując ukłd równń, mm: = 0.075, = 0.75, = 0.5, 4 = jwiększ sił wstępuje w linie nr 4, nprężenie w niej musi bć mniejsze od wtrzmłości obliczeniowej R: (4) R, F F skąd otrzmujem dopuszczlne obciążenie: rzkłd dop RF k. Sztwn trcz jest unieruchomion 4 wiotkimi prętmi i obciążon jk n rsunku. Określić sił w odksztłclnch prętch. Znn jest geometri ukłdu (w tm pol przekroju prętów) orz włściwości mechniczne (moduł Young E, wtrzmłość obliczeniow R).

5 . Zborski, Rozciągnie proste b 4 Rozwiąznie: Trcz n płszczźnie posid stopnie swobod: przesunięci i obrót. oniewż istnieje dowolność przjęci stopni swobod, dobierm je tk, b uprościć możliwie obliczeni. rzjmujem obrót trcz o kąt wokół punktu, trnslcję poziomą orz trnslcję pionową. Wówczs, rzutując nowe położeni punktów n nie zmienione kierunki prętów, wnioskujem że (kąt jest znnm kątem nchleni prętów i 4 do poziomu): pręt skróci się o = pręt skróci się o = cos + sin pręt skróci się o = + b sin pręt 4 skróci się o 4 = cos + sin + b sin sin, skąd 4 = + b sin sin = + ( - ) sin. Jk widć, po wrugowniu z powższch zleżności kolejno, orz sin, otrzmujem poszukiwne dodtkowe równnie geometrczne. rzechodzim n niewidome sttczne (ze związków Hooke ), dołączm równni sttki dl plnu sił zgodnego z plnem przemieszczeń wirtulnch (we wszstkich prętch złożono skrócenie, czli sił ściskjące) i rozwiązujem otrzmn ukłd 4 równń z 4 niewidommi.