MES W ANALIZIE SPRĘŻYSTEJ UKŁADÓW PRĘTOWYCH

Transkrypt

1 MES W ANALIZIE SPRĘŻYS UKŁADÓW PRĘOWYCH Prykłady obliceń Belki Lidia FEDOROWICZ Jan FEDOROWICZ Magdalena MROZEK Dawid MROZEK Gliwice 7r.

2 6-4 Lidia Fedorowic, Jan Fedorowic, Magdalena Mroek, Dawid Mroek Rowiąanie adań Rodiału 6 BELKI Niniejsy tekst jest cęścią skryptu pt.: MES w analiie sprężystej układów prętowych. Prykłady obliceń i stanowi predłużenie rodiału 6 skryptu. W pliku awarto scegółowo predstawione krok po kroku rowiąania trech pokaanych poniżej adań belek wykorystaniem MES. Numeracja adań w pliku jest kontynuacją numeracji e skryptu. Numeracja rysunków, tablic i worów ropocyna się od dołąconym numerem rodiału skryptu. Wsystkie koniecne odwołania do treści awartych w skrypcie są wyraźnie anacone i opisane podaniem nr rodiału i odpowiedniego numeru woru bądź rysunku i napisane są ccionką pochyłą koloru różowego. Wsystkie onacenia używane w pliku, algorytm postępowania pry rowiąywaniu adań ora podstawy teoretycne MES podano w skrypcie.

3 MES w analiie sprężystej układów prętowych. Prykłady. Rodiał 6. Belki 6-5 BELKI adania rowiąane w pliku 6.. Zadanie k Stosując MES, oblicyć siły wewnętrne w układie. 4. D=. m 6.3. Zadanie 3 k 3 k 5 Stosując MES, oblicyć siły wewnętrne w układie. 4. D 3 4. D Zadanie 4. f Stosując MES, oblicyć siły wewnętrne w układie. k 3 k

4 6-6 Lidia Fedorowic, Jan Fedorowic, Magdalena Mroek, Dawid Mroek 6 BELKI 6. Zadanie DANE: Dana jest belka pokaana na Rys. 6-. Stosując MES, oblicyć siły wewnętrne w układie. k 4. D=.5m Rys. 6- Schemat statycny belki adania KROK (A): Zdefiniowanie modelu MES Pryjmujemy do rowiąania element skońcony w postaci prostego odcinka pręta dwoma węłami, po dwa stopnie swobody w każdym węźle rodiał, Rys. -. Pryjmujemy globalny układ współrędnych XOY (np. jak pokaano na Rys. 6-), numerujemy węły ora pręty układu. W oblicnym układie mamy jeden ES odpowiadający prętowi Rys. 6-. W ES pryjmujemy pocątek elementu ora wiąany nim układ współrędnych lokalnych Oy, wg asad opisanych w rodiale p..5. Na podstawie Rys. 6- widać, lokalny układ współrędnych jest równoległy do globalnego układu współrędnych. Onaca to, że kąt transformacji układu lokalnego równy jest eru, a maciere transformacji ES są równe macierom jednostkowym. Dla uproscenia obliceń w adaniu pryjęto wartość stywności =const., a /k =n=6. Y y U k U 3 U 4 X U 4. D=.5m Rys. 6-. Model MES belki adania ; numeracja węłów, elementów skońconych, pryjęcie układów współrędnych ora definicja niewiadomych w globalnym układie współrędnych

5 MES w analiie sprężystej układów prętowych. Prykłady. Rodiał 6. Belki 6-7 Wynacamy licbę stopni swobody i wprowadamy numerację stopni swobody układu wiąaną globalnym układem współrędnych. W adaniu mamy dwa węły. Zatem licbę stopni swobody oblicamy jako: sw = w= = 4, (6-) a więc nas układ statycny ma 4 stopnie swobody, a wektor premiesceń układu można definiować w globalnym układie współrędnych następująco: U = U U U U (6-) 3 4. Pryjętą numerację stopni swobody w rowiąywanym adaniu pokaano na Rys. 6-. Definiujemy wektory premiesceń węłów poscególnych ES. Ponieważ wektory te są identycne w obu układach współrędnych możemy je apisać raem (wór (-94) Rys. 6-3a): Y a) b) Y U u y u 4 U 4 X F f y f 4 F 4 X u U U 3 u 3 f F 3 F f 3 Rys Wektory premiescenia węłów i sił węłowych w układach współrędnych lokalnym i globalnym u = v f v f = u u u3 u4, U = v f v3 f3 = U U U3 U4 Podobnie definiujemy wektory sił diałających w ES. Wektory te również w obu układach współrędnych mają taką samą postać (wór (-) Rys. 6-3b): f = V y M Vy M = f f f3 f4 F = V y M Vy M = F F F3 F4 Zatem układ równań MES w nasym adaniu składa się 4 równań liniowych, które w apisie macierowym mają postać: K U = F, (6-5) gdie: [K] macier stywności całego układu o wymiarach (4 4), {U} wektor posukiwanych premiesceń węłów w postaci (6-), {F} wektor obciążenia układu o wymiarach ( 4)..,. (6-3) (6-4) KROK (B): Budowa maciery stywności układu W kroku obliceń rowiąujemy kolejne elementy skońcone godnie procedurą predstawioną w rodiale 3 ora budujemy macier układu równań MES całego układu statycnego. Rowiąanie elementu skońconego preprowadamy w lokalnym układie współrędnych. Na podstawie Rys. 6- widać, że lokalne układy współrędnych i Oy i

6 6-8 Lidia Fedorowic, Jan Fedorowic, Magdalena Mroek, Dawid Mroek poscególnych elementów skońconych odpowiadają globalnemu układowi współrędnych XOY, a więc nie ma potreby dokonywania transformacji rowiąania elementu skońconego do układu globalnego. Element skońcony nr ES-: macier stywności ES- w lokalnym układie współrędnych dla ES- wg (-8) pry L=4. m ma postać: [ k ] L = = = = [ k ] G, wektor alokacji ES- Rys. 6-3: { } { 3 4}, = (6-6) al = (6-7) macier topologii ES- ora macier transponowana topologii ES- (wór (3-7) ora rys. 3- ): [ A ] =, [ A ] =, (6-8) poserenie ora wpisanie maciery stywności ES- apisanej w układie lokalnym do wymiarów maciery stywności całego układu (wór (3-8)): [ k ] w[ K ] = A k A. G = Ponieważ w rowiąywanym układie występuje podparcie sprężyste budujemy godnie procedurą opisaną w rodiale 3 macier [K s ] o wymiarach maciery [K] awierającą charakterystyki sprężystości podpór. [ K S ] = k (6-9) (6-) KROK (C): Budowa wektora obciążeń układu W rowiąywanym adaniu jako obciążenia występuje osiadanie podparcia sprężystego. Zgodnie podaną w rodiale 3 procedurą równowarte obciążenie statycne będie równe

7 MES w analiie sprężystej układów prętowych. Prykłady. Rodiał 6. Belki 6-9 obciążeniu węłowemu w postaci siły skupionej pryłożonej w węźle nr (Rys. 3-6) o wartości: Pr = k D = D = (.) =.5, (6-) n 6 a wektor obciążeń węłowych układu będie miał postać: w F = P =.5. (6-) r Zatem wektor obciążenia całego układu będie miał postać: w = =.5. (6-3) F F KROK (D): Wprowadenie warunków bregowych Układ równań MES (6-5) rowiąywanego adania apisujemy w postaci: k K, wk [ ] S U = F (6-4) W rowiąywanym adaniu warunki bregowe (Rys. 6-) apisemy w postaci U = U =, (6-5) a po ich uwględnieniu (sposobem trecim rodiał 3) i wykonaniu diałań wg (6-4) ptrymujemy: U U k = = U3.5 U 4 (6-6) KROK (E): Rowiąanie układu równań MES Rowiąanie układu równań (6-3) ma postać: U U U. = U = 3.49 U (6-7) KROK (F): Oblicenie prekrojowych sił wewnętrnych Zgodnie algorytmem podanym w p. 3.. rodiału 3 skryptu siły wewnętrne oblicamy w układie lokalnym (w globalnym są takie same). Wobec tego w pierwsej kolejności określamy wektory premiesceń węłów poscególnych ES: element nr (wyrażenia (6-8) i (6-7)): f = = =,.49 v.486 f u U A U v Siły wewnętrne, wynacone na podstawie premiesceń (6-8) ora wyrażenia (6-6) wynosą: element nr : (6-8)

8 6- Lidia Fedorowic, Jan Fedorowic, Magdalena Mroek, Dawid Mroek f = k u = L.5357 ( u, ) a wobec braku obciążenia elementu ES- sumarycne siły wewnętrne są równe: u, (6-9) V y (, ) ( o) M f = f f = =, Vy M (6-) Stosując nakowanie sił wewnętrnych mechaniki budowli na Rys. 6-4 pokaano uyskane rowiąanie w postaci wykresów sił wewnętrnych k = = n 6 k = = n 6 M [kn m] V [kn] D=. m N s =.5357 D=. m Rys Wykresy momentów ginających (M) i sił tnących (V) w belce adania nr.

9 MES w analiie sprężystej układów prętowych. Prykłady. Rodiał 6. Belki Zadanie 3 DANE: Dana jest belka pokaana na Rys Stosując MES, oblicyć siły wewnętrne w układie. k 3 k 5 4. D 3 4. D 5 Rys Schemat statycny belki adania 3 KROK (A): Zdefiniowanie modelu MES Pryjmujemy do rowiąania element skońcony w postaci prostego odcinka pręta dwoma węłami, po dwa stopnie swobody w każdym rodiał, Rys. -. Pryjmujemy globalny układ współrędnych XOY (np. jak pokaano na Rys. 6-6), numerujemy węły ora pręty układu. Dyskretyację układu wprowadamy popre podiał układu na ctery elementy skońcone, odpowiadające prętom Rys. 6-. W każdym elemencie skońconym pryjmujemy pocątek elementu ora wiąany nim układ współrędnych lokalnych Oy, wg asad opisanych w rodiale p..5. Na podstawie Rys. 6-6 widać, że wsystkie lokalne układy współrędnych są równoległe do globalnego układu współrędnych. Onaca to, że kąt transformacji układu lokalnego równy jest eru, a maciere transformacji wsystkich ES są równe macierom jednostkowym. Do obliceń w adaniu pryjęto wartość stywności =const. =const. pry cym. / =n e =. ora k 3 = /n 3 i k 5 = /n 5. hdie n 3 =n 5 =4.. Y y U U 3 U 5 y U 4 U 6 3 k 3 k 5 X U 4. D 3 4. D 5 Rys Model MES belki adania 3 numeracja węłów, ES, pryjęcie układów współrędnych ora definicja niewiadomych w globalnym układie współrędnych, dyskretyacja układu, lokalne układy współrędnych i pocątki ES Wynacamy licbę stopni swobody i wprowadamy numerację stopni swobody układu wiąaną

10 6- Lidia Fedorowic, Jan Fedorowic, Magdalena Mroek, Dawid Mroek globalnym układem współrędnych. W adaniu mamy try węły,. Zatem licbę stopni swobody oblicamy jako: = w= 3 = 6, (6-) sw a więc nas układ statycny ma 6 stopni swobody, a wektor premiesceń układu można definiować w globalnym układie współrędnych następująco: U = U U U U U U (6-) Pryjętą numerację stopni swobody w rowiąywanym adaniu pokaano na Rys. 6-. Definiujemy wektory premiesceń węłów poscególnych ES ( ). Ponieważ wektory te są identycne w obu układach współrędnych możemy je apisać raem (wór (-94) Rys. 6-7): U u y u U 3 U u 4 u 3 U 4 U u Y X O y 3 u U 3 U u 4 u 3 Rys Wektory premiescenia węłów w układach współrędnych lokalnych i globalnym U 4 u = v f v f = u u u3 u4, u = v f v3 f3 = u u u3 u4, U = v f v f = U U U3 U4, U = v f v3 f3 = U U U3 U 4. (6-3) Podobnie definiujemy wektory sił diałających w węłach poscególnych elementów skońconych ( ). Wektory te również w obu układach współrędnych mają taką samą postać (wór (-) Rys. 6-8): F f y f 4 F 4 3 f F 3 F f 3 Y X O F f y f 4 3 f F 3 Rys Wektory sił węłowych ES w układach współrędnych lokalnych i globalnym F f 3 F 4 f = V y M Vy M = f f f3 f4, f = V y M Vy3 M 3 = f f f3 f4 F = V y M Vy M = F F F3 F4, F = V y M Vy3 M 3 = F F F3 F4,. (6-4) Zatem układ równań MES w nasym adaniu składa się 6 równań liniowych, które w apisie macierowym mają postać: K U = F, (6-5) gdie:

11 MES w analiie sprężystej układów prętowych. Prykłady. Rodiał 6. Belki 6-3 [K] macier stywności całego układu o wymiarach (6 6), {U} wektor posukiwanych premiesceń węłów w postaci (6-), {F} wektor obciążenia układu o wymiarach ( 6). KROK (B): Budowa maciery stywności układu W kroku obliceń rowiąujemy kolejne elementy skońcone godnie procedurą predstawioną w rodiale 3 skryptu ora budujemy macier układu równań MES całego układu statycnego. Rowiąanie kolejnych elementów skońconych preprowadamy w lokalnym układie współrędnych. Na podstawie Rys. 6- widać, że lokalne układy współrędnych i Oy i poscególnych elementów skońconych odpowiadają globalnemu układowi współrędnych XOY, a więc nie ma potreby dokonywania transformacji rowiąania elementu skońconego do układu globalnego. Element skońcony nr ES-: macier stywności ES- w lokalnym układie współrędnych dla ES- wg (-8) dla L=4. m ma postać: [ k ] L = = = = [ k ] G, wektor alokacji ES- Rys. 6-7: { } { 3 4}, = (6-6) al = (6-7) macier topologii ES- ora macier transponowana topologii ES- (wór (3-7) ora rys. 3- ): =, A = A (6-8) poserenie ora wpisanie maciery stywności ES- apisanej w układie lokalnym do wymiarów maciery stywności całego układu (wór (3-8)):

12 6-4 Lidia Fedorowic, Jan Fedorowic, Magdalena Mroek, Dawid Mroek k [ A ] k [ A ] = w[ K ] = L (6-9) Element skońcony nr ES-: macier stywności ES- w lokalnym układie współrędnych wg (-8) dla L=4. m ma postać: [ k ] L = = = = [ k ] G, wektor alokacji ES- Rys. 6-7: { } { }, = (6-3) al = (6-3) macier topologii ES- ora macier transponowana topologii ES- (wór (3-7) ora rys. 3- ): A, A = = (6-3) poserenie ora wpisanie maciery stywności ES- apisanej w układie lokalnym do wymiarów maciery stywności całego układu (wór (3-8)): k [ A ] k [ A ] = w[ K ] = L (6-33)

13 MES w analiie sprężystej układów prętowych. Prykłady. Rodiał 6. Belki 6-5 KROK (C): Budowa wektora obciążeń układu W rowiąywanym adaniu obciążenie ustroju powodowane jest osiadaniem sprężystych podparć w węłach nr i 3. Zastępce obciążenie równowarte statycnie oblicymy w sposób omówiony w rodiale 3 skrptu. Wynosi ono: - Siła skupiona obciążająca węeł nr : P3 375 D = D3 k3 = D3 =.5 =. (6-34) n3 4 - Siła skupiona obciążająca węeł nr 3: n P5 e D = D5 k5 = D5 = D5 =. =.. (6-35) n5 n5 4 Wektor obciążeń węłowych dla modelu MES oblicanej belki ma postać: w F =.375. =.375., (6-36) yatem wektor obciążenia całego układu będie miał postać: w F = F =.375. (6-37) KROK (D): Wprowadenie warunków bregowych Macier [K] układu równań (6-5) rowiąywanego adania apisujemy w postaci: K k k K (6-38) cyli gdie K = w[ K] w[ K] = k co daje ostatecnie S k.5 k5.5 3 = = s k S (6-39) (6-4)

14 6-6 Lidia Fedorowic, Jan Fedorowic, Magdalena Mroek, Dawid Mroek K = (6-4) W rowiąywanym adaniu warunki bregowe (Rys. 6-6) apisemy w postaci U = U, (6-4) = a po ich uwględnieniu (sposobem trecim rodiał 3 skryptu) układ równań (6-5) pryjmie postać:.88e U.375.e U U = U U U 6 (6-43) KROK (E): Rowiąanie układu równań MES Rowiąanie układu równań (6-43) ma postać: U U U U U U U = = (6-44) 4 5 6

15 MES w analiie sprężystej układów prętowych. Prykłady. Rodiał 6. Belki 6-7 KROK (F): Oblicenie prekrojowych sił wewnętrnych Zgodnie algorytmem podanym w p. 3.. siły wewnętrne oblicamy w układie lokalnym (w globalnym są takie same). Wobec tego w pierwsej kolejności określamy wektory premiesceń węłów poscególnych ES: element nr i element nr (wyrażenia (6-8), (6-3) i (6-44)): f = = =,.67 v.37 f U u A U v (6-45).67 v.37 f. U = u = A U =.466 v3.38 f 3 Siły wewnętrne, wynacone na podstawie premiesceń (6-45) ora wyrażeń (6-6), (6-3) wynosą: element nr i element nr : f k u L f k u = = = = L ( u, ) (, ) u, o Sumarycne siły wewnętrne uwagi na brak obciążenia ES i f f ( u, f ) ( u, f ) = o = = wyniosą: V y o M, = = = Vy M f f f V y o M f f f =. = Vy3 M 3 (6-46) (6-47)

16 6-8 Lidia Fedorowic, Jan Fedorowic, Magdalena Mroek, Dawid Mroek Stosując nakowanie sił wewnętrnych mechaniki budowli na Rys. 6-9 pokaano uyskane rowiąanie w postaci wykresów sił wewnętrnych V,39 k 3 k R 3 =+.84 R 5 = M k k 3 R 3 R 5 Rys Wykresy momentów ginających (M) i sił tnących (V) w belce adania nr 3.

17 MES w analiie sprężystej układów prętowych. Prykłady. Rodiał 6. Belki Zadanie 4 DANE: Dana jest belka pokaana na Rys. 6-. Stosując MES, oblicyć siły wewnętrne w układie. Do obliceń w adaniu pryjęć wartość stywności =const. =const., pry cym / =n e =. ora k 3 = /n 3 i k 5 = /n 5. hdie n 3 =n 5 =4... f Y k 3 k 5 O X Rys. 6-. Schemat statycny belki adania 4 KROK (A): Zdefiniowanie modelu MES Schemat statycny adania nr 4 ora dane materiałowe i prekroje prętów są takie same jak w adaniu nr 3. Wobec tego pryjmujmiemy typ elementu skońconego, układ współrędnych globalnych, podiał na elementy skońcone, układy współrędnych lokalnych ora numerację stopni swobody takie jak w adaniu nr 3 Rys. 6-6 do Rys Stosując taką samą dyskretyację (pokaano to na Rys. 6-) licba stopni swobody i macier stywności całego układu [K] będie identycna jak w wyrażeniu (6-43). Mamy:.88e e = K (6-48) Y. y U U 3 U 5 y U 4 U 6 3 k 3 k 5 X U Rys. 6-. Model MES belki adania 4, numeracja węłów, ES, pryjęcie układów współrędnych ora definicja niewiadomych w globalnym układie współrędnych i dyskretyacja układu

18 6- Lidia Fedorowic, Jan Fedorowic, Magdalena Mroek, Dawid Mroek ak więc nas układ statycny ma 6 stopni swobody, a wektor premiesceń układu można definiować w globalnym układie współrędnych następująco: U = U U U U U U (6-49) Wektory premiesceń węłów ES układu ora wektory sił węłowych ES mają również postać pokaaną worami (6-3) i (6-4), warunki bregowe wg (6-4), a układ równań MES w układie globalnym ma postać (6-5). KROK (C): Budowa wektora obciążeń układu W rowiąywanym adaniu jako obciążenie ES występuje błąd montażowy w postaci ałomu osi pręta o kąt w połowie ropiętości ES-, natomiast ES- nie jest obciążony Element skońcony nr ES-: Statycnie równowarte obciążenie węłowe ES- wynacymy tak jak w prykładie 4 rodiału 8 wory na Rys Pryjmując a=b=l/ mamy Rys. 6-: l M = f3 = b a = = l l l (6-5) l M = f6 = b a = = l l l (6-5) 6 V = V = f = f4 = 3 a a = l (6-5) M = f = l M = f4 = l V =f = V =f 3= Rys. 6-. Zastępce, statycnie równowarte obciążenie węłowe ES- atem wektor obciążeń węłowych ES- apisemy: o f = f = M M = = l l =.5.5 =.5.5, (6-53) a wektor obciążenia całego układu wynikający obciążenia ES- ma postać: ( ) = (6-54) F ().5.5.

19 MES w analiie sprężystej układów prętowych. Prykłady. Rodiał 6. Belki 6- Element skońcony nr ES-: ES- nie jest obciążony wobec tego mamy: ora o f =, (6-55) ( o) F = (6-56) (). Wobe braku obciążeń węłowych układu wektor obciążenia całego układu będie miał postać: ( ) ( ) w o F = F F F =.5.5. () () (6-57) KROK (D): Wprowadenie warunków bregowych Uwględniając macier (6-48), wektor niewiadomych (6-49) układ równań MES (6-5) dla rowiąywanego adania apisujemy w postaci:.88e U.375. e U U = U 6 3 U 4.5 U 5 (6-58) KROK (E): Rowiąanie układu równań MES Rowiąanie układu równań (6-43) ma postać: U U U U.5. (6-59) 3 = = U 4. U 5.44 U.66 6

20 6- Lidia Fedorowic, Jan Fedorowic, Magdalena Mroek, Dawid Mroek KROK (F): Oblicenie prekrojowych sił wewnętrnych Zgodnie algorytmem podanym w p. 3.. siły wewnętrne oblicamy w układie lokalnym (w globalnym są takie same). Wobec tego w pierwsej kolejności określamy wektory premiesceń węłów poscególnych ES: element nr i element nr (wyrażenia (6-8), (6-3) i (6-59)): v f U = u = A U =,.5 v. f (6-6).5 v. f. U = u = A U =..44 v3.66 f 3 Siły wewnętrne, wynacone na podstawie premiesceń (6-6) ora wyrażeń (6-6), (6-3) wynosą: element nr i element nr : (, ).56 (, ).44 f u f k u u, L.39 f f k u = = = = (6-6) L.36.6 Sumarycne siły wewnętrne uwagi na brak obciążenia ES i o f = wyniosą: y o M, = = = Vy M ( u, f ) ( u, f ) f f f Vy o M f = f f = = Vy M 3 3 V (6-6)

21 MES w analiie sprężystej układów prętowych. Prykłady. Rodiał 6. Belki 6-3 Zachowując nakowanie sił wewnętrnych mechaniki budowli na Rys. 6-3 pokaano uyskane rowiąanie w postaci wykresów sił wewnętrnych k 3 k5 M k 3 k 5 V R 3 R 5 R 3 =+.3 R 5 =.36 Rys Wykresy momentów ginających (M) i sił tnących (V) w belce adania nr 4.