Zadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć:

Transkrypt

1 adanie 3. elki statycznie wyznaczalne. 15K la belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych na rysunkach rys., rys., wyznaczyć: 18K 0.5m 1.5m 1. składowe reakcji podpór, 2. zapisać funkcje sił przekrojowych, 3. sporządzić wykresy : rys.. elka wspornikowa momentów zginających (), 4K 4K/m sił poprzecznych (), sił podłużnych (). 8Km 1.0 m 2.0 m 2.0 m 1.0 m rys.. elka wolnopodparta 1/10

2 . elka wspornikowa a rys.1 przedstawiona jest belka w aksonometrii o przekroju prostokątnym, utwierdzona jednym końcem w ścianie, obciążona w płaszczyźnie z. a rys.2 przedstawiony jest schemst statyczny belki z oznaczonymi punktami charakterystycznymi belki punkt podporowy oraz punkty przyłożenia obciążenia:,. o dalszych obliczeń przyjęty jest prawoskrętny układ osi współrzędnych, y, z. oś pręta 18K 15K płaszczyzna obciążenia = K 15K 0.5m 1.5m rys.1. elka wspornikowa rysunek w aksonometrii rys.2. elka wspornikowa schemat statyczny 1. Wyznaczenie reakcji: 15K 1.1.Usuwamy myślowo podporę (utwierdzenie) i zastępujemy jej działanie poszukiwanymi reakcjami przyjmując dowolnie ich zwroty rys.3 R 18K rys W celu ułatwienia obliczeń siły o kierunkach ukośnych zastepujemy ich składowymi równoległymi do osi przyjętego układu współrzędnych rys.4 12K Składowa pozioma: 15 cosϕ = 15 cos = 9 K Składowa pionowa: 15 sinϕ = 15 sin = 12K 18K 9K H 0.5m 1.5m V rys.4 2/10

3 1.3. Układając równania równowagi przyjmuje się zwykle jako dodatnie siły poziome zwrócone w prawo, siły pionowe zwrócone w góre, a momenty sił zwrócone zgodnie z ruchem wskazówek zegara. 12K = 18Km Jeżeli przyjety zwrot reakcji jest zgodny z rzeczywistym, to w wyniku obliczeń otrzymujemy dodatnią wartość tej siły. Jeżeli przyjety zwrot reakcji jest niezgodny z rzeczywistym, to w wyniku obliczeń otrzymujemy ujemną wartość tej siły. Ustawiamy odpowiednie trzy równania równowagi z których wyznaczamy niewiadome reakcje ( rys.5 ): 18K 0.5m 9K 1.5m H = 9K V = 6K rys.5 1. Σ = 0 9 H = 0 H = 9 K 2. Σ = V = 0 V = 6 K 3. Σ = = 0 = 18 Km mieniam zwroty reakcji tak, aby ich wartości były dodatnie rys.6 Sprawdzenie ( rys.6 ): Σ = = 0 12K 18K 0.5m 9K 1.5m = 18Km H = 9K V = 6K rys.6 2. Wyznaczenie funkcji sił przekrojowych (), (), () w poszczególnych przedziałach osi belki. Wartość momentu zginającego () w rozpatrywanym przekroju pręta (belki) równa się sumie algebraicznej momentów wszystkich sił zewnętrznych działajacych na układ z lewej lub prawej strony danego przekroju względem jego środka ciężkości. Wartość siły poprzecznej () w rozpatrywanym przekroju pręta (belki) równa się sumie algebraicznej składowych prostopadłych do osi preta wszystkich sił działających z lewej lub prawej strony danego przekroju. Wartość siły podłużnej () w rozpatrywanym przekroju pręta (belki) równa się sumie algebraicznej składowych równoległych do osi preta wszystkich sił działających z lewej lub prawej strony danego przekroju. Przy znakowaniu siły przekrojowych (), (), () posługujemy się prawoskrętnym układem osi współrzędnych rys.7. la przekroju o normalnej zewnętrznej dodatniej (strona lewa rys.8), za dodatnie będziemy uważali te siły przekrojowe, których wektory mają zwroty zgodne ze zwrotem odpowiedniej osi układu współrzędnych. la przekroju o normalnej zewnetrznej ujemnej (strona prawa rys.9) za dodatnie będziemy uważali te siły przekrojowe, których wektory mają zwroty przeciwne do zwrotu odpowiedniej osi układu współrzędnych. 3/10 rys.7

4 a rysunku rys.8 pokazane są dodatnie wektory,, dla przekroju o dodatniej normalnej zewnętrznej, przy prawoskrętnym układzie współrzednych strona lewa a rysunku rys.9 pokazane są dodatnie wektory,, dla przekroju o ujemnej normalnej zewnętrznej, przy prawoskrętnym układzie współrzednych strona prawa 12K = 18Km 18K 12K 9K = 18Km H = 9K 0.5m 1.5m V = 6K 18K 9K H = 9K 0.5m 1.5m V = 6K = 18Km H = 9K V = 6K rys.8 rys.9 a rysunkach rys.10, rys.11 przedstawiony jest wycięty na dowolnym odcinku element belki dwoma przekrojami, oraz pokazano dodatnie wektory,,, przy prawoskrętnym układzie współrzednych. ożemy również powiedzieć, że za dodatnie momenty zginajace przyjmuje się takie, które przy zginaniu prętów (belek) wywołują rozciąganie ich włókien dolnych tzw. spodów ( na rysunkach spody zaznaczone są przerywaną kreską ); przy takim założeniu momenty sił tworzą dodatnie momenty zginajace, jeżeli na lewo od przekroju mają zwrot zgodny z ruchem wskazówek zegara, a na prawo od przekroju mają zwrot przeciwny do ruchu wskazówek zegara. rys10 12K 18K 0.5m 9K 1.5m = 18Km H = 9K V = 6K rys /10

5 2.1. Przedział rys () = 18 (=0) = 0 (=0.5) = 9 Km 0 < 0.5 = 18 K = 0 18K rys.12 () [Km] 3. Wykresy momentów zginających (), sił poprzecznych (), sił podłużnych () rys.14 18K 12K 0.5m 1.5m V = 6K 9.0 9K 18.0 = 18Km H = 9K 2.2. Przedział rys13 () [K] 12K () = 18 12(0.5) (=0.5) = 9 Km (=2.0) = 18 Km 18K 0.5 9K < 2.0 = 6 K = 9 K rys.13 () [K] /10 rys.14

6 . elka wolnopodparta 1.. Wyznaczenie reakcji : W pierwszej kolejności oznaczamy punkty charakterystyczne belki punkty podporowe, oraz punkty przyłożenia obciążenia :,, E rys.15. nakowanie sił zewnętrznych zgodne z p.1.3. ze strony 3. ane obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone przedstawione w postaci prostokąta, zastępujemy siłą skupioną zaczepioną w środku ciężkości prostakąta. 1. Σ = 0 H = 0 H = 0 4K 1.0 m R 4K/m 2.0 m 8Km 2.0 m V H E 1.0 m rys Σ =0 4 5 R = 0 R = 9 K 4K 4K/m 3. Σ = V = 0 V = 3 K Sprawdzenie rys.16: Σ = = m 9 K 2.0 m E 8Km 2.0 m 1.0 m 3 K rys Wyznaczenie funkcji sił przekrojowych (), (), () w poszczególnych przedziałach osi belki 2.1.Wyrażnie podkreślamy spody belki za pomocą linii przerywanej rys.17 odatnie wartości sił przekrojowych przedstawione są na rysunku rys 10 znajdującym się na stronie 4. la wygody ryunek ten jest pokazany jeszcze raz poniżej. rys. 10 ze strony 4. 4K 1.0 m 4K/m 2.0 m R = 9 K 8Km 2.0 m E 1.0 m V = 3K rys /10

7 2.2. a rysunku rys.18 przedstawione są wszystkie przedziały belki idąc od lewej strony. 4K 4K/m E 8Km 1.0 m 2.0 m 2.0 m 1.0 m R = 9 K V = 3K rys.18 0 < < 1 1 < < 3 3 < < 5 5 < < 2.3. Przedział rys Przedział rys () = 4 (=0) = 0 (=1) = 4 Km 0 < < 1 = 4 K 4K 1 < 3 4( 1) 2 () = 4 9( 1) 2 ( = 1) = 4 ( = 3) = 2 1 < 3 () = 4 9 4( 1) ( = 1) = 5 4K 4K/m 1 1 9K 4K ( = 3) = 3 4(1) Obiczenie etremum momentu 9K 0.5( 1) () = 4 9 4( 1) = 0 1 rys.19 = 2.25m rys.20 4( 1) 2 ( = 2.25) = 4 9( 1) = 0.875Km 2 etr. = Km 7/10

8 2.5. Przedział rys.21 3 < < 5 () = 4 9( 1) 4 * 2( 2) 8 ( = 3) = 6 ( = 5) = 0 3 <5 = * 2 = Przedział E rys.22 5 < < 6 () = 4 9( 1) 4*2( 2) 8 3( 5) 3 ( = 5) = 3 ( = 6) = 3 5 < 6 = * 2 3 = 0 4K 4K/m 4K 4K/m 9K 1 8Km 2 3 9K 1 8Km 3K K 8Km 9K 4*2=8K rys.21 4K 9K 1 8Km 4*2=8K K 5 rys /10

9 2.7. W celu uproszczenia obliczeń przy wyznaczaniu powyższych równań, postępujemy tak, aby ilość członów składowych wywodzacych się od obciążeń zewnętrznych była jak najmniejsza. W naszym przykładzie opłaca się to uczynić już w przedziale i E. mieniamy położenie osi ów, zakładamy początek osi ów w punkcie E przyjmując dodatni zwrot tej osi w lewo. by odróżnic tę oś od poprzedniej, oznaczamy ją przez 1. odatnie wartości sił przekrojowych przyjmujemy tak jak w punkcie 2 strony: 3 i 4, zgodnie z przedstawionym jeszcze raz poniżej rysunkiem rys. 10 ze str. 4: rys. 10 ze str Przedział E rys Przedział rys.24 0 < 1 < 1 1 < 1 < 3 ( 1 ) = 3 ( 1 =0) = 3 Km ( 1 =1) = 3 Km = 0 1 E rys.23 ( 1 ) = 3 3 3( 1 1) ( 1 =1) = 0 ( 1 =3) = 6 Km 1 < 1 < 3 = 3 K 3K E rys /10

10 3. Wykresy momentów zginających () i sił poprzecznych () rys.25 4K 4K/m E 8Km 1.0 m 2.0 m 2.0 m 1.0 m R = 9 K V = 3K E ( E 10/10 rys.25