10. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI KONSTRUKCJI

Transkrypt

1 . WYBRE ZGDIEI SECZOŚCI KOSRUKCJI. WYBRE ZGDIEI SECZOŚCI KOSRUKCJI Zagadnienia stateczności konstrukcji odbiegają w zasadzie od tematki niniejszego opracowania, które poświęcone jest zastosowaniom metod elementów skończonch w liniowej mechanice konstrukcji. Równania teorii stateczności są bowiem nieliniowe. Dla pewnch zachowań konstrukcji równania te można linearzować, dochodząc do tzw. liniowej teorii stateczności, którą zajmiem się w niniejszm rozdziale. Przpomnim krótko podstaw teorii stateczności konstrukcji oraz podam na przkładzie konstrukcji prętowch i płtowch sposób analiz liniowej stateczności-metodą elementów skończonch.. Podstawowe element teorii stateczności konstrukcji eoria stateczności konstrukcji zajmuje się wznaczaniem obciążeń i stanów krtcznch konstrukcji, stanó którm towarzszą gwałtowne zmian postaci jej deformacji lub wartości przemieszczeń pewnch jej punktów. W teorii stateczności wróżnia się dwa tp utrat stateczności (czli obciążeń wwołującch te stan): utrata stateczności przez osiągnięcie punktu granicznego (maksimum obciążenia) i utrata stateczności przez wboczenie bi-furkacjne. Oba te stan zilustrowano na rsunku., gdzie w osiach: parametr obciążenia i przemieszczenie reprezentatwnego stopnia swobod pokazano tzw. ścieżki równowagi. W rzeczwistości takie proste zachowanie nie zawsze jest spotkane. Przedstawione krzwe jednak dobrze ilustrują wiele przpadków zachowania się modeli konstrukcji. W celu zanalizowania zjawiska osiągnięcia punktu granicznego (punkt G na rs..) należ badać nieliniowe zachowanie się konstrukcji. W procesie obciążania sztwność konstrukcji maleje (maleje kąt nachlenia stcznej do wkresu -d). W chwili osiągnięcia punktu granicznego krzwa ta osiąga maksimum. Jeżeli intenswność obciążenia nie zmienia się, to następuje przeskok do nowej konfiguracji i konstrukcja może ulec zniszczeniu na skutek dużch odkształceń. Przpadek ten zachodzi dla mało-wniosłch łuków i przekrć powłokowch. W punkcie granicznm następuje przeskok do nowej konfiguracji o przeciwnej krzwiźnie łuku lub powłoki, w związku z czm użwam również termin: punkt przeskoku. Rs... Możliwe ścieżki równowagi w zagadnieniach stateczności konstrukcji ermin wboczenie bifurkacjne odnosi się do innego tpu zjawiska. W punkcie bifurkacji, czli rozdwojenia ścieżki równowagi (punkt B na rs..) konstrukcja zaczna się deformować w nowej formie, która jest całkiem odmienna od postaci deformacji przed wboczeniem (punktem bifurkacji). W przpadku, gd nowa forma deformacji charakterzuje się ujemną stczną do krzwej -d, to może nastąpić zniszczenie konstrukcji, podobnie jak dla punktu przeskoku. Obszerne omówienie zastosowań MES do analiz statecz- omasz Łodgowski, Witold Kąkol Metoda elementów skończonch w wbranch zagadnieniach mechaniki konstrukcji inżnierskich

2 . WYBRE ZGDIEI SECZOŚCI KOSRUKCJI ności konstrukcji zawiera praca [4]. W kontekście omawianch zagadnień stateczności można metodę elementów skończonch zastosować do analiz prznajmniej czterech przpadków: - nieliniowego zachowania się przedkrtcznego, - wznaczeniu punktów bifurkacji, - wznaczeniu punktów granicznch, - analiz pokrtcznej. Jak wspomnieliśm wżej, zajmiem się wznaczaniem punktów krtcznch tpu biurkacjnego, gdż do analiz punktów granicznch wmagana jest pełna analiza nieliniowa. Stan przedkrtczn otrzmam z liniowego zachowania się konstrukcji, pamiętając, że popełniam w tm miejscu pewien błąd, któr w zasadzie trudno a priori określić. Założm zatem, że w stanie przed wboczeniowm można aproksmować związki geometrczne tlko ich liniowmi członami. Pokażem również w jaki sposób można zwerfikować otrzmane wniki, tj. oszacować ewentualn błąd wnikając z linearzacji stanu przed- krtcznego.. Stan krtczne układów zachowawczch Do analiz stanu krtcznego układów zachowawczch (tj. takich, dla którch praca nie zależ od historii obciążenia) można stosować podejście statczne, które polega na badaniu sąsiednich położeń równowagi. Podejście statczne jest na ogól prostsze od podejścia bardziej ogólnego jakim jest podejście dnamiczne, w którm analizuje się drgania swobodne układu. Podejście statczne wstarcza do analiz stateczności większości konstrukcji inżnierskich. Krterium statczne bazuje na twierdzeniu Lagrange'a- Dirichleta, według którego stan równowagi układu zachowawczego jest stateczn wted, gd energia potencjalna jest w tm stanie dodatnio określona (w stanie równowagi wstępuje minimum energii potencjalnej). W liniowch układach zachowawczch twierdzenie Lagrange'a-Dirichleta jest koniecznm i wstarczającm warunkiem osiągnięcia stanu równowagi statecznej. awiązując do tego twierdzenia można określić stan krtczn równowagi na podstawie warunków: δ Π = i δ Π = (.) które nazwa się krterium energetcznm. W bliskim otoczeniu stanu krtcznego przrost energii potencjalnej można zapisać jako 3 Π = δ Π + δ Π + δ Π + K (.)! 3! Ponieważ w stanie krtcznm pierwsza i druga wariacja są równe zeru, tzn. δπ = δ π =, to o stateczności bądź niestateczności stanu krtcznego decdują wższe wariacje; wówczas 3 4 Π = δ Π + δ Π + K (.3) 3! 4! Krterium energetczne, do którego ograniczm się w obliczeniach określa tlko stan krtczn równowagi bez informacji, jakiego rodzaju jest ten stan (stateczn cz niestateczn). Bilans energii potencjalnej można w układach odkształcalnch zapisać w postaci: Π ( d, λ) = U ( d) W ( d, λ), (.4) gdzie przez U oznaczono energię odkształcenia, a przez W - energię obciążeń zewnętrzch. Praca obciążeń zewnętrznch zależ od wektora parametrów obciążenia. Dla przpadku obciążenia jednoparametrowego, do którego ograniczm się dalej, określonego skalarnm mnożnikiem, równanie (.4) można zapisać w postaci: omasz Łodgowski, Witold Kąkol Metoda elementów skończonch w wbranch zagadnieniach mechaniki konstrukcji inżnierskich

3 . WYBRE ZGDIEI SECZOŚCI KOSRUKCJI 3 Π ( d, λ) = U ( d) λw *( d), (.5) gdzie W jest porównawczą pracą obciążenia zewnętrznego (obliczoną np. dla λ = ). W przpadku zagadnień liniowej stateczności U i W są formami kwadratowmi. Podkreślm jeszcze raz, że opis liniow pozwala obliczć jednie obciążenia krtczne, bowiem do analiz stanu pokrtcznego musielibśm stosować sformułowanie nieliniowe. Równania (.) zatem wznaczają tlko punkt krtczne na ścieżkach równowagi. W analizie stateczności wróżnia się - prz podejściu statcznm - trz tp punktów bifurkacji: niesmetrczn, smetrczn stateczn i smetrczn niestateczn. Punkt te zilustrowano na rsunku.. Klasfikacja powższa dotcz tzw. układów idealnch, tzn. takich, dla którch są spełnione pewne założenia o idealności w odniesieniu do geometrii (prostoliniowość prętó idealnie płaskie płt), sposobu obciążenia (brak mimośrodów) oraz właściwości materiałów (jednorodność). Odstępstwa od założeń układu idealnego są nazwane imperfekcjami (niedokładnościami). Imperfekcje mogą wpłwać na obniżenie, podwższenie lub nawet brak obciążeń krtcznch, które został obliczone dla konstrukcji idealnch. a rsunku. przedstawiono również efekt wstępowa nią imperfekcji (a) dla układów idealnch. Wkres te ilustrują zjawisko braku punktów bifurkacji równowagi w układach rzeczwistch (z imperfekcjami). W przpadku bifurkacji niestatecznch zastępowane są one przez punkt graniczne (maksimum obciążenia). Mówim, że układ jest wrażliw na imperfekcje, gd ich narastanie obniża wartość obciążenia krtcznego, obliczonego dla układu idealnego. Widać więc, że układ charakterzujące się niestatecznmi punktami bifurkacji będą wrażliwe na początkowe imperfekcje. Rs... Klasfikacja punktów bifurkacji Wdawać się zatem może, że analiza bifurkacjna nie ma większego znaczenia praktcznego. Znajomość punktów bifurkacji jest nie tlko bardzo użteczna w analizie nieliniowej ale daje w wielu przpadkach wniki zbliżone do rzeczwistego zachowania się konstrukcji. Jest prz tm "tania" w porównaniu z pełną analizą nieliniową i czasem ze względu na ten fakt stanowi jedną informację o krtcznm zachowaniu się konstrukcji. Przejdźm teraz do przedstawienia sposobu wznaczania obciążeń bifurkacjnch (krtcznch), czli do podstawowego zadania liniowej stateczności konstrukcji. Rozwiązanie problemu prześledzim na przkładzie wboczenia konstrukcji prętowch i płtowch..3. Sformułowanie macierz dla płaskiego elementu belkowego Przed przstąpieniem do formułowania stosownch macierz wstępującch w zagadnieniu stateczności prętów przpomnijm, że w liniowej analizie statcznej macierz sztwności elementu belkowego otrzmaliśm, wkorzstując w związkach geometrcznch (e-d) tlko człon liniowe. b uwzględnić efekt działania sił osiowej na zginanie, należ uwzględnić w tch związkach pewne człon nieliniowe, które wiążą odkształcenie osiowe z obrotem przekroju wwołanm poprzecznmi przemieszczeniami (zginaniem). Zakładam ponownie, że obowiązuje hipoteza Bernoulliego. W stanie przedkrtcznm pręt jest obciążon siłą osiową tak że tensor naprężeń redukuje się do naprężenia normalnego <r stałego w przekroju. Odkształcenie odpowiadające temu naprężeniu wnosi: omasz Łodgowski, Witold Kąkol Metoda elementów skończonch w wbranch zagadnieniach mechaniki konstrukcji inżnierskich

4 . WYBRE ZGDIEI SECZOŚCI KOSRUKCJI 4 ε = ε + κ = ( u, v, ) + u, + v,, (.6) gdzie u i v oznaczają przemieszczenia osi pręta. W wrażeniu powższm pojawił się dodatkowe człon nieliniowe, które można otrzmać z analiz długości pręta przed wboczeniem i w chwili wboczenia (rs..3). Człon.5u, można w większości przpadków pominąć, ponieważ przejście pręta ze stanu prostoliniowego (przedkrtcznego) do giętnego na skutek wboczenia jest wwołane przede wszstkim zginaniem pręta, w związku z czm człon ten w porównaniu z.5v, jest wielkością małą. Człon.5v, d określa przemieszczenie osiowe wwołane obrotem przekroju pręta. Rs..3. Duże odkształcenie elementarnego wcinka pręta Do dalszch rozważań przjmiem odkształcenie osiowe w postaci: ε = u, v, + v,. (.7) Bilans energii dla analizowanego układu wnosić będzie: Π = L E( u, v, ) d d + L v, d. (.8) Pierwsza całka prowadzi do znanej już nam macierz sztwności k e. Druga całka przedstawia pracę sił na przroście przemieszczenia -.5v, d i otrzmam z niej tzw. macierz początkowch naprężeń, nazwaną również macierzą geometrczną. Przjmując, podobnie jak w rozdziale 5, aproksmację pola przemieszczeń w postaci v [ ] φ v = d = 3 4, (.9) v φ gdzie macierz zawiera wielomian Hermita, nieliniową część odkształcenia zapiszem w postaci:, v, = ( d) = d d. (.) omasz Łodgowski, Witold Kąkol Metoda elementów skończonch w wbranch zagadnieniach mechaniki konstrukcji inżnierskich

5 . WYBRE ZGDIEI SECZOŚCI KOSRUKCJI 5 Zakładając że siła jest stała, drugi składnik wrażenia na energię (.8) zapiszem jako d d d = d σ d d, (.) gdzie macierz o- jest w tm przpadku skalarem. Stosując teraz twierdzenie o minimum energii potencjalnej, otrzmamam, podobnie jak w rozdziale 5, wrażenie ( k + k σ ) d = R, (.) gdzie macierz k jest dobrze znaną liniową macierzą sztwności, zaś k jest macierzą początkowch naprężeń, której współcznniki dla pręta o stałm przekroju poprzecznm wnoszą: k σ = 36 3L d = 3 L 36 3L 3L 4L 3L L 36 3L 36 3L 3L L. (.3) 3L 4L Zauważm, że macierz k nie zależ od własności sprężstch pręta, lecz jest funkcją geometrii pręta i wewnętrznch sił (w naszm przpadku sił osiowej). Uzasadniona więc jest stosowana czasem nazwa tej macierz: macierz sztwności geometrcznej. Jej wraz mają fizczną interpretację: są to dodatkowe sił powstające prz jednostkowch przemieszczeniach węzłów powstałe prz obecności sił osiowej. Macierz k można uprościć do postaci: k σ =. (.4) L Przjmując w (.)' v, = /L (d 5.- d ). v, oznacza zmianę nachlenia cięciw łączącej oba węzł. Zainteresowani Cztelnic moglib wkazać, że macierz postaci (.4) jest równa macierz geometrcznej dla pręta kratownic płaskiej. Równanie (.) opisuje stan równowagi dla elementu prętowego. Dokonując agregacji elementó można ostateczn układ równań zapisać w postaci: Stan krtczn otrzmam obliczając wariację (.5): ( k + k σ ) d = R. (.5) skąd mam ( σ δ Π = k + k ) δd =, (.6) det( K + K σ ) =. (.7) Zgodnie z krterium energetcznm (.) warunkiem koniecznm utrat stateczności układu jest zerowanie się drugiej wariacji energii potencjalnej układu δ n, tzn. omasz Łodgowski, Witold Kąkol Metoda elementów skończonch w wbranch zagadnieniach mechaniki konstrukcji inżnierskich

6 . WYBRE ZGDIEI SECZOŚCI KOSRUKCJI 6 [( ) ] σ k + k d R = [( ) ] σ k + k δd = δ, (.8), (.9) co oznacza, że w stanie krtcznm macierz (k O + k σ ) jest osobliwa. Do równania (.9) można dojść również inną drogą. Przjmijm mianowicie, że ustalonemu obciążeniu R odpowiadają dwa różne rozwiązania d i d (będzie to zatem punkt bifurkacji), które spełniają równania: k + k σ *) d = R * k + k σ *) d = R *, (.) ( ( gdzie przez K(σ) oznaczono zależność macierz od naprężeń. Po odjęciu tch równań stronami, otrzmujem: σ ( K + K *) v = gdzie v = d - d. iezerowe rozwiązanie tego równania wstępuje w przpadku, gd (.) det( K + K σ *) = (.) W analizie stateczności konstrukcji inżnierskich przjmujem zazwczaj następujące założenia: - obciążenie R jest proporcjonalne do parametru λ, czli R = λ R, gdzie jest mnożnikiem obciążenia, zaś wektor R -pewnm obciążeniem porównawczm, - naprężenia σ otrzmujem z rozwiązania liniowego zadania statki: czli k d = R *, (.3) σ = λσ * i d = λd *. Równanie (.) stanowi równanie tzw. stateczności początkowej konstrukcji i odpowiada klascznemu sformułowaniu problemu stateczności (Eulera). Jak widać równanie to opisuje uogólnione zagadnienie własne, szczegółowo opisane w rozdziale 9 prz okazji analiz drgań układów sprężstch. Rozwiązaniem równania jest ciąg par złożonch z wartości i wektorów własnch (λ, v ), (λ, v ), (λ n, v n ). Ze względów praktcznch interesuje nas najmniejsza wartość λ MI =λ KR zwana krtcznm mnożnikiem obciążenia. Obciążenie wwołujące bifurkację stanu równowagi wnosi zatem: R kr = λ R *. (.4) kr Wektor własn, odpowiadając tej wartości określa postać wboczenia względem rozwiązania liniowego d (przedkrtcznego). Równanie (.) sprowadza się zwkle, podobnie jak w przpadku dnamicznm, do postaci standardowej (porównaj (9.3) w rozdz.9), korzstając z rozkładu macierz K σ lub K. W drugim przpadku interesować nas będzie największa wartość własna η= /λ MI. skąd λ KR = λ MI =/η Podsumujm powższe rozumowanie w postaci algortmu liniowego problemu stateczności:. Rozwiązujem liniow problem statki: K d = R* d* = ( K. Obliczam σ* na podstawie wektora d* 3. Budujem macierz początkowch naprężeń K(σ*) 4. Rozwiązujem problem własn: ) R* omasz Łodgowski, Witold Kąkol Metoda elementów skończonch w wbranch zagadnieniach mechaniki konstrukcji inżnierskich

7 . WYBRE ZGDIEI SECZOŚCI KOSRUKCJI 7 z którego obliczam ( K + λ K( σ*)) v =, λ kr = λ min i Rkr = λkrr * Podkreślm jeszcze raz, że analiza stateczności początkowej nie określa tpu punktu bifurkacjl. Zadanie to wchodzi w zakres analiz nieliniowej, która nie jest przedmiotem rozważań w tm opracowaniu..4 Sformułowanie macierz dla elementu płtowego Zagadnienie stateczności liniowej cienkich płt jest ze względu na powszechność stosowania tch konstrukcji (element niemal wszstkich metalowch konstrukcji cienkościennch) praktcznie bardzo ważn. W rozdziale 5 wznaczliśm macierze sztwności dla kilku elementów skończonch płtowch. Poniżej podam sposób budow macierz sztwności dla prostokątnego elementu płtowego. Sposób wznaczania macierz geometrcznej jest bardzo podobn do tego, któr stosowaliśm dla elementu belkowego. Rs..4. Definicja sił wewnętrznch dla elementu płtowego Przjmijm, że element płtow Jest obciążon w swojej płaszczźnie środkowej siłami,,, jak na rsunku.4. ieliniowe człon w związkach geometrcznch, jakie należ uwzględnić w analizowanm zadaniu, wnoszą: ε, = w, ε, = w, γ = ( w, + ). (.5) Można wkazać, że wraz te wznacza się podobnie jak w przpadku belki, z tą tlko różnicą, że należ uwzględnić jeszcze drugi kierunek. Wrażenia (.5) określają odkształcenia membranowe, wnikające z poprzecznch przemieszczeń w. ieliniową cześć odkształceń (.5) zapiszem w postaci: gdzie przjęto ponownie, że ε ε = ε = d (.6) γ + omasz Łodgowski, Witold Kąkol Metoda elementów skończonch w wbranch zagadnieniach mechaniki konstrukcji inżnierskich

8 . WYBRE ZGDIEI SECZOŚCI KOSRUKCJI 8 w = d = d. (.7) 3 Energię związaną z tm odkształceniem zapiszem jako: gdzie U = σ τ τ σ ) + τ [ ] = ( σ ( ) + σ ( G = d. ) dd = G σ Gdd (.8) Wkonując odpowiednie całkowania i obliczając pierwszą wariację wrażenia (.8), dochodzim do macierz: lub gdzie k k k σ k = k + k + k, σ k = dd, = σ = σ = τ dd, dd, dd, (.9) W powższch wrażeniach założono, że naprężenia są stale w obszarze elementu. Gd do wznaczenia macierz stosuje się całkowanie numerczne, to naprężenia obliczone w punktach całkowania mogą bć różne. Rozbicie macierz (.9) na trz składniki jest uzasadnione tm, że w wielu przpadkach praktcznch interesuje nas wboczenie płt obciążonej tlko jednm tpem sił krawędziowch. W ten sposób nie wkonuje się niepotrzebnch operacji całkowania i mnożenia. Ponieważ założliśm, że obciążenia są proporcjonalne, to warunek stateczności układu wkorzstując ten sam sposób zapisu, co w punkcie poprzednim, możem zapisać następująco: lub ( K + K( σ *)) v =, (.3) ( K + ( K( σ *) + K( σ *) + K( τ *) ) v = λ. Przjęcie dekompozcji macierz geometrcznej w postaci (.9) umożliwia, w łatw sposób, ustalenie proporcji obciążeń σ, σ, τ Zauważm jeszcze na koniec, że macierze geometrczne (.3) i (.9) mają w zasadzie tę samą postać. Podobną postać miałb macierze geometrczne dla innch elementów. Macierze te zawsze będą zależeć w sposób liniow od naprężeń. en fakt pozwolił na opracowanie prostej i ogólnej metod analiz wboczenia metodą elementów skończonch. omasz Łodgowski, Witold Kąkol Metoda elementów skończonch w wbranch zagadnieniach mechaniki konstrukcji inżnierskich

9 . WYBRE ZGDIEI SECZOŚCI KOSRUKCJI 9.5. Uwagi końcowe Przpomnijm na koniec ograniczenia przedstawionej powżej analiz. Założliśm, że stan przedkrtczn jest linio tzn. relacja siła-przemieszczenie jest linią prostą. Fakt ten zaznaczono na rsunku.5 linią prostą OE (w przpadku prętów prostch i płt idealnie płaskich prosta OE pokrwa się z osią pionową O). Punkt bifurkacji wznaczliśm z równania klascznego problemu wtoczenia, czli z równania tzw. stateczności początkowej. Śledzenie ścieżki E jest możliwe tlko teoretcznie, na przkład w trakcie ekspermentu numercznego. Ścieżki F, G i H są ścieżkami pobifurkacjnmi (pokrtcznmi), które zawsze się otrzmuje przekraczając punkt krtczn λ KR,. Postać tch ścieżek zależ od tpu analizowanej konstrukcji. Ścieżka G charakterzuje tzw. stateczne pokrtczne zachowanie, podczas gd ścieżka H prowadzi do punktu przeskoku dla λ < λ KR. naliza nieliniowa (tutaj nie przedstawiona) prowadzi do ścieżki OB poniżej punktu bifurkacji dla układu idealnego, a do ścieżki OC - dla układu z imperfekcjami. Rs..5. Różne ścieżki równowagi w zagadnieniach stateczności konstrukcji Sztwność układu charakterzowana przez macierz (K + K σ ), bła wznaczana dla konfiguracji początkowej układu (konfiguracji nieodkształconej). Proces obciążania układu powoduje, oczwiście, jego deformowanie się i w zasadzie postać krzwch λ-d ma charakter ścieżek OB i OC. Zachowanie się układu pod działaniem obciążenia jest zatem zależne od deformacji. Musim pamiętać, że w przedstawionm algortmie pomijaliśm te efekt. Otrzmwane rozwiązania są tlko rozwiązaniami przbliżonmi. Oczwiście będą one tm bliższe rozwiązaniom dokładnm im odejście ścieżek O i OB będzie mniejsze. b się jednak o tm przekonać, należ dokonać analiz nieliniowej lub prznajmniej rozwiązać problem zlinearzowanej stateczności, polegając na uwzględnieniu wpłwu początkowch przemieszczeń (deformacji powstałej na skutek przłożenia obciążenia) na wartości obciążenia bifurkacjnego. Zainteresowanch tą tematką odsłam do literatur. Zadania. W wrażeniu (.8) uwzględnić nieliniow człon wnikając ze skrócenia osi pręta i obliczć odpowiednią poprawkę do macierz początkowch naprężeń.. Rozwiązać za pomocą jednego a następnie dwóch elementów zagadnienie wboczenia pręta swobodnie podpartego na obu końcach i o stałm El. Porównać otrzmane wniki z wartością dokładną. 3. Rozwiązać zadanie dla dwóch, a następnie czterech, elementów wkorzstując smetrię zadania. 4. Znaleźć zależność P-S dla kratownic Misesa, przedstawionej na rsunku. omasz Łodgowski, Witold Kąkol Metoda elementów skończonch w wbranch zagadnieniach mechaniki konstrukcji inżnierskich

10 . WYBRE ZGDIEI SECZOŚCI KOSRUKCJI omasz Łodgowski, Witold Kąkol Metoda elementów skończonch w wbranch zagadnieniach mechaniki konstrukcji inżnierskich