R o z w i ą z a n i e Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P x i P y

Transkrypt

1 Przykład 1 Dane są trzy siły: P 1 = 3i + 4j, P 2 = 2i 5j, P 3 = 7i + 3j (składowe sił wyrażone są w niutonach), przecinające się w punkcie A (1, 2). Wyznaczyć wektor wypadkowej i jej wartość oraz kąt α nachylenia linii działania względem osi Ox układu. Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P x i P y Wektor i wartość wypadkowej wynoszą Kierunek wypadkowej określa kąt α, który wyznaczamy z następującego wzoru Ponieważ składowe wypadkowej są następujące: P x < 0, P y > 0, to kąt α = 135º. Linia działania wypadkowej przechodzi przez punkt A pod kątem α = 135º do osi Ox.

2 Przykład 2 Wzdłuż dwóch boków i głównej przekątnej sześcianu działają siły P 1, P 2, P 3. Wartości tych sił są równe: P 1 = P 2 = Q, P 3 = 3Q. Wyznaczyć ich wypadkową. Cosinusy kierunkowe sił P 1, P 2, P 3 wynoszą Wyznaczamy składowe wypadkowej Wartość wypadkowej wyznaczamy z następującego wzoru a jej cosinusy kierunkowe i kąty wynoszą odpowiednio

3 Linia działania wypadkowej przebiega przez punkt przecięcia się linii działania sił P 1, P 2, P 3 pod kątami α, β i γ do osi układu współrzędnych Oxyz.

4 Przykład 3 Na punkt materialny o ciężarze G, leżący na gładkiej równi pochyłej o kącie pochylenia α, działają dwie siły S tak, jak przedstawiono na rysunku. Wyznaczyć siłę S oraz reakcję równi, jeżeli punkt znajduje się w spoczynku. Metoda analityczna. Na punkt materialny działają cztery siły, które są w równowadze. Na podstawie warunków równowagi sił zbieżnych można napisać następujące równania równowagi Z równania pierwszego otrzymamy Po podstawieniu do drugiego równania Stąd Metoda geometryczna. Na rysunku przedstawiono zamknięty wielobok sił utworzony z czterech sił działających na punkt materialny, z którego wyznaczono wartości siły S i reakcji R

5 Przykład 4 Nieważka belka AB o długości l opiera się jednym końcem A na stałej podporze przegubowej A. Drugi koniec B tej belki jest zamocowany na podporze przegubowej przesuwnej (rysunek). Wyznaczyć reakcje podpór A i B, jeżeli belka jest obciążona w punkcie C siłą P. Metoda analityczna. Na rysunku b belka została uwolniona od więzów i przyłożone zostały reakcje R Ax, R Ay i R B. Ponieważ belka jest obciążona trzema siłami R A, R B i P, wobec tego ich linie działania muszą przecinać się w jednym punkcie D, zaś trójkąt sił musi być zamknięty (rys. c). W przyjętym układzie współrzędnych Axy równania równowagi będą następujące Ponadto gdzie Z rozwiązania powyższego układu trzech równań otrzymamy Metoda geometryczna. Na rysunku c przedstawiono trójkąt sił R A, R B i P. Na podstawie twierdzenia równań sinusów otrzymamy

6 Stąd

7 Przykład 5 Walec o promieniu r i ciężarze G spoczywa na gładkiej równi pochyłej o kącie pochylenia α = 30º i jest utrzymywany w położeniu równowagi za pomocą liny OA, zgodnie z rysunkiem. Do środka walca zamocowano drugą linę, którą przerzucono przez nieważki krążek. Na końcu tej liny zawieszono ciężar P. Obliczyć wartość reakcji N w punkcie E zetknięcia się walca z równią oraz napięcie w linie OA, jeżeli lina OB jest pozioma, a lina OA tworzy z poziomem kąt β = 45º. Metoda analityczna. Na walec działają siły P, G, S i N. Równania równowagi walca są następujące Stąd Metoda geometryczna. Na rysunku b przedstawiono zamknięty wielobok sił, utworzony ze wszystkich sił działających na walec. Korzystając z odpowiednich trójkątów otrzymamy Z rozwiązania tych równań otrzymamy takie same wartości sił S i N, jak przy zastosowaniu metody analitycznej.

8 Przykład 6 Ciało o ciężarze G jest zawieszone na wsporniku składającym się z trzech prętów połączonych przegubowo w sposób pokazany na rysunku. Pręty AO i BO, leżące w płaszczyźnie prostopadłej do pionowej ściany, tworzą z tą ścianą kąty β = 45º. Pręt CO tworzy z pionową ścianą kąt α = 60º i również leży w płaszczyźnie prostopadłej do tej ściany. Obliczyć siły w prętach, pomijając ich ciężary własne oraz tarcie w przegubach. Metoda analityczna. Na przegub O działają siły wynikające z oddziaływania prętów OA, OB i OC: S 1, S 2 i S 3 oraz ciężar G. Na podstawie warunków równowagi otrzymujemy następujące równania Po rozwiązaniu powyższego układu równań otrzymamy

9 Przykład 7 Wyznaczyć siły w prętach konstrukcji pokazanej na rysunku. Nieważkie pręty AB, AC, BC, BE, CE i CD są połączone przegubowo w węzłach A, B, C, D i E. W węźle B działają dwie siły: 2P w kierunku pionowym i siła P w kierunku pręta BC. Metoda analityczna. Na węzeł B działają reakcje S 1, S 2 i S 3, wynikające z oddziaływania prętów AB, BE i BC oraz siły P i 2P. Równania równowagi tego węzła są następujące Na węzeł C działają reakcje S 3, S 4, S 5 i S 6 oraz siła P. Równania równowagi rozpatrywanego węzła są równe Po rozwiązaniu powyższego układu równań otrzymamy