XXII OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP I Zadanie doświadczalne

Transkrypt

1 XXII OLIMPIADA FIZYCZNA EAP I Zadanie doświadczane ZADANIE D Nazwa zadania: Młoek w wannie Zmierz okres drań sosunkowo masywneo ciała żeazneo o kszałcie w miarę opływowym (np łówki młoka), zawieszoneo na dłuiej nici i zanurzoneo w wodzie (np w wannie ub dużej miednicy odpowiednio usawionej) Zasanów się, czy wykonany pomiar okresu wahań może służyć do wyznaczenia sosunku ciężaru właściweo żeaza do ciężaru właściweo wody ROZWIĄZANIE ZADANIA D Narzuca się myś, że obecność siły wyporu powinna zmienić warość okresu drań wahadła zanurzoneo w cieczy w porównaniu z okresem drań wahadła w powierzu Przyjmijmy więc na razie, że jes o jedyna siła, kórą rzeba uwzędnić (obok, oczywiście, siły ciężkości) Równanie ruchu przyjmie posać: ma = m sin ϕ () Równanie ruchu wahadła w powierzu (czyi prakycznie w próżni) jes ma = m sinϕ () Różnica między nimi poea jedynie na ym, że współczynnik w równaniu () zasąpiony jes współczynnikiem w równaniu () Oczywise jes,że wzór na okres wahań wynikający z równania () jes idenyczny ze znanym wzorem zasąpimy przez ak więc = π, jeśi w ym osanim ' = π O, = π (3) Dzieąc sronami oba powyższe równania i podnosząc do kwadrau dosaniemy: O =, ' co po prosym przekszałceniu można zapisać w posaci = (4) ' Pomiar wykonany da zwykłeo młoka zawieszoneo na sznurku o dłuości ponad m dał w wyniku

2 4 = = 0, 79, ' 7 co po podsawieniu do (4) prowadzi do ęsości (wzędnej) żeaza = = 4,8 0, Jes o wynik różniący się znacznie od rzeczywisej warości ęsości żeaza równej 7,8-7,9 (w zaeżności od obróbki) W ej syuacji nie waro zajmować się nawe oszacowaniem błędu przypadkoweo pomiaru, dyż jes jasne, że poważny błąd musi kwić w samej meodzie Być może zaniedbanie oporu epkieo wody wprowadziło ak duży błąd? Posarajmy się oszacować wpływ eo czynnika Rozważmy w ym ceu ruch ciała, na kóre działają dwie siły - siła proporcjonana do wychyenia, pod wpływem kórej ciało wykonywałoby drania z częsoiwością ω 0, i siła oporu epkieo proporcjonana do prędkości Równanie ruchu eo ciała ma posać: d d = ω α, (5) 0 dzie α jes pewną sałą charakeryzującą wiekość oporu Nie będziemy u sosowai oónej meody rozwiązywania akieo równania, kóra przekracza niewąpiwie możiwość ucznia, ae posaramy się wyciąnąć pewne wnioski odwołując się częściowo do doświadczenia Z doświadczenia wiadomo, że równanie akie opisuje drania łumione o ampiudzie maejącej w czasie Zasanówmy się, czy można na podsawie bardzo oónych arumenów wykazać, jaki musi być charaker ych zmian Wyobraźmy sobie, że wychyiiśmy punk maeriany do położenia i puściiśmy o swobodnie Po wykonaniu pełneo wahnienia punk powruci do położenia odełeo od środka drań o jakieś < Rozpoczyna się nowy cyk ruchu, ym razem z wychyeniem począkowym, kóry zakończy się położeniem 3 Co można powiedzieć o 3? Wyobraźmy sobie, że przyrzymaiśmy na chwię wahadło w położeniu i zmieniiśmy na świecie układ jednosek, mianowicie skróciiśmy dłuość wzorca mera w proporcji Liczba wyrażająca w rzeczywisości mniejszą dłuość będzie w nowym sysemie miar równa iczbie opisującej dłuość w sarym sysemie miar W nowym układzie skaa czasu pozosaje a sama - nie zmieni się więcω 0, Nie zmieni się również współczynnik α mający podobnie jak ω 0 wymiar s Nie zmieni się więc i równanie (5) W nowej syuacji mamy rozwiązać idenyczne z przypadkiem poprzednim równanie z idenycznym (iczbowo - choć nie fizycznie) wychyeniem począkowym W wyniku - jako końcowe wychyenie, po wykonaniu pełneo wahnięcia, musimy dosać ę samą co poprzednio iczbę, opisującą odełość 3 w nowym układzie miar Odełość a po powrocie do zwykłeo sysemu meryczneo wyrazi się iczbą mniejszą od o czynnik zamiany skai Osaecznie 3 =,

3 czyi 3 = Rozumowanie powyższe odnosi się do każdych 3, koejnych wychyeń - dochodzimy więc do wniosku, że koejne ampiudy maeć muszą w posępie eomerycznym Ampiudy e są razem wychyeniami w koejnych czasach rosnących wedłu posępu eomeryczneo Oznaczając n-ą ampiudę symboem A, a iość posępu ierą q, można napisać n n n ( n ) = q = q An = Zasępując wyrażenie n czasem bieżącym, możemy napisać równanie słuszne jedynie da czasów będących wieokronością okresu ( ) = q b b nc a Korzysając ze znaneo wzoru a = c słuszneo da dowoneo c>0 i wybierając da wyody c = e (równe podsawie oarymów nauranych) możemy napisać n q λ q = e = e dzie λ jes nową sałą zasępującą i ak nie wyznaczoną na razie sałą q A co można powiedzieć o wychyeniu pomiędzy chwiami czasu n i (n+)? Przyjmiemy dość naurane założenie, kóre za chwię powierdzimy, że w ych chwiach pośrednich ampiudę A() rzeba pomnożyć przez funkcję cosω opisującą drania harmoniczne: ( ) = e λ cosω (6) eraz naeży wsawić ę posać funkcji do równania (5) i sprawdzić, czy można ak dobrać sałe λ i ω, by równanie o było isonie spełnione Pozwoi o nam nie yko przekonać się o słuszności rozumowania prowadząceo do (6), ae i wyznaczyć nową częsość ω i sałą łumienia λ Obiczamy pochodne: d λ λ = λe cosω ωe sin ω, d λ λ = λ e cosω + ωλe sin ω ω e i wsawiamy do równania (5) Dosajemy: λ e λ cosω ωλ sinω ω cosω 0 [ ] = λ cosω λ λ λ = ω e cosω + αλe cosω + αωe sinω λ Po podzieeniu obu sron przez e i uporządkowaniu, dosajemy ( λ ω + ω0 αλ ) cosω + ( ωλ αω ) sinω = 0 Równanie o będzie spełnione we wszyskich chwiach czasu wedy i yko wedy, dy oba nawiasy sojące przy funkcjach sinω i cos ω będą z osobna równe zeru Dosajemy: α λ = ' ω = ω λ (7) 0

4 Osani wzór świadczy o ym, że uwzędnienie siły oporu prowadzi nie yko do zmniejszenia się z upływem czasu ampiudy, ae i do zmiany częsości drań ω w porównaniu z warością ω 0 da oscyaora niełumioneo Wróćmy eraz do naszeo młoka Jakościowa obserwacja wskazuje, że po jednym okresie ampiuda zmniejsza się nie więcej niż o - 3% Przyjmijmy da większej pewności nawe 0% Oznacza o, że e λ > 0,9, czyi λ < n 0 n 9,30,0 = 0, (8) Równanie (7) możemy przepisać w posaci: λ = ω0 ω = 4π, 0 co po pomnożeniu przez daje λ = 4π 0 Korzysając z oszacowania (8) dosajemy ( λ ) 0,0 = < 0, π 4π Przekonujemy się, że wpływ łumienia na okres wahań jes w naszym przypadku całkowicie zaniedbywany Nie łumienie jes więc przyczyną poważnej rozbieżności między warością ęsości żeaza wyznaczoną przez nas warością abicową Jes jeszcze jeden czynnik całkowicie przez nas doychczas zaniedbany Zauważmy, że kiedy młoek zaczyna przemieszczać się w wodzie, o i woda musi wykonywać ruch, pewna porcja wody musi bowiem zająć wcześniejsze położenie młoka, a inna część wody musi usąpić robiąc miejsce poruszającemu się młokowi Gdybyśmy podchodzii do naszeo zaadnienia drań od srony enereycznej obiczając enerię kineyczną i poencjaną całeo układu - o musieibyśmy koniecznie uwzędnić enerię kineyczną ruchu wody Eneria poencjana wody zosała już przez nas uwzędniona poprzez prawo Archimedesa, co wyraziło się zasąpieniem przez w równaniu ruchu Enerię kineyczną ruchu wody możemy uwzędnić przyjmując, że przy prędkości ciała v, porusza się nie yko masa m, ae i pewna efekywna masa wody, kóra powinna być proporcjonana do objęości zajmowanej przez młoek v v O Ekin m m m = + γ = + γ Zaem obecność wody nie yko zmniejsza siłę sprowadzającą wahadło do położenia równowai, co wyraża dodakowy czynnik we wzorze (3), ae ponao zwiększa bezwładność wahadła Korzysając ze znanej posaci wzoru na m okres drań oscyaora = π, widzimy, że aki wzros bezwładności powinien k zmodyfikować wzór (3) do posaci:

5 + O γ ' = π (8) O Ponieważ nie dysponujemy żadnym prosym sposobem obiczania γ, dochodzimy do przekonania, że meodą badań okresu wahań wahadła w wodzie nie można wyznaczyć ęsości maeriału, z kóreo wahadło zosało wykonane Skoro już jednak wykonaiśmy pomiary, a wiekość ławo znaeźć w abicach, o możemy posłużyć się ymi wynikami do obiczenia warości γ, czyi masy wody unoszonej wraz z wahadłem Posłuując się danymi, kóre uzyskał doświadczanie auor ej książeczki, orzymuje się =, ' + γ czyi ' 7 γ = = ( 7,8 ) 7,8 0,8, 4 O co zadza się z naszą inuicją Warość γ = oznaczałaby, że masa wody dołączona do ruchu młoka równa się po prosu masie wody wyparej przez młoek Obiczenia eoreyczne da ciała o kszałcie kui dają warość γ = / Waro dodać, że warość γ zaeży w sposób isony od kszału ciała i da bryły ak niereuarnej - z maemayczneo punku widzenia - jak łówka młoka, obiczeń dokonać by można jedynie na kompuerze, sosując cały złożony apara maemayczny hydrodynamiki Źródło: Zadanie pochodzi z Oimpiady fizyczne XXI i XXII Auor: Andrzej Szymacha Komie Okręowy Oimpiady Fizycznej w Szczecinie wwwofszcp