O 2 O 1. Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

Transkrypt

1 msg M Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Zagadnienia: prawa dynamiki Newtona, moment sił, moment bezwładności, dynamiczne równania ruchu wahadła fizycznego, opis ruchu wahadła w przybliżeniu oscylacji harmonicznych, okres oscylacji. Koncepcja: Okres oscylacji wahadła zależny jest od położenia ruchomej masy m. Zgodnie z modelem teoretycznym istnieje takie położenie, przy którym okres oscylacji wokół obydwu osi obrotu jest jednakowy i wyraża się formułą zależną jedynie od odległości pomiędzy osiami obrotu oraz od przyspieszenia ziemskiego, którego wartość można wtedy wyznaczyć. Zadanie: A. Wyznaczanie okresu oscylacji wahadła w zależności od położenia masy ruchomej. Analiza otrzymanych zależności pozwala wyznaczyć okres oscylacji jednakowy dla obydwu osi obrotu, co z kolei pozwala na obliczenie przyspieszenia ziemskiego. Układ pomiarowy i procedura wykonania cm O 1 masa nieruchoma O 2 m x l m l x O cm O 1 masa nieruchoma Rys.1. Wahadło rewersyjne zawieszone w pozycji obrotu wokół osi O 1 oraz w odwróconej pozycji zawieszenia pozwalającego na obrót wokół osi O 2. W każdej pozycji mierzona jest wartość x odległości masy ruchomej m od tej samej osi obrotu O 1.

2 msg M W zestawie doświadczalnym, oprócz wahadła rewersyjnego, znajduje się elektroniczny przyrząd do pomiaru czasu oraz miarka milimetrowa do pomiaru odległości x masy ruchomej m od osi obrotu O 1. Podczas pomiarów masa nieruchoma powinna być zamocowana na stałe w odległości cm od osi obrotu O 1. Odległość pomiędzy osiami obrotu O 1 i O 2 wynosi =109,5 cm, natomiast odpowiadającą temu pomiarowi niepewność maksymalną należy przyjąć Δ 1 mm ;2 mm. Amplituda wychyleń wahadła (maksymalny kąt odchylenia wahadła od położenia równowagi) podczas pomiarów powinna być możliwie mała, tak by nie przekraczała wartości 0,1 rad (czyli dla 6 ). Zadanie A A.1. Przygotowujemy wahadło mocując na stałe nieruchomą masę w położeniu spełniającym podany powyżej warunek (Rys.1). Mniejszą masę ruchomą umieszczamy również na pręcie wahadła i mocujemy ją w odległości =10 cm od osi obrotu O 1 wskazanej na tym samym Rys.1. Przed tymi czynnościami można dokonać pomiaru odległości pomiędzy osiami obrotu O 1 i O 2 =... A.2. Wahadło powinno być zawieszone za pomocą metalowego pryzmatu w uchwycie w taki sposób, aby swobodnie mogło odchylać się z położenia równowagi. A.3. Odchylamy zawieszone wahadło z położenia równowagi o kąt nie przekraczający 10, a najlepiej ok. 6 i pozwalamy na jego swobodne oscylacje. A.4. Celem jest wyznaczenie czasu = 20 trwania = 20 kolejnych pełnych cykli oscylującego wahadła. Jako początek liczenia czasu najwygodniej przyjąć moment, w którym wahadło przyjmuje pozycję maksymalnego wychylenia, natomiast koniec pierwszego cyklu następuje w chwili powrotu wahadła do pozycji wyjściowej. Wynik pomiaru rejestrujemy w tabeli: Oś obrotu O 1 Oś obrotu O 2 x [cm] =20 [s] [s] =20 [s]! [s] A.5. Pomiary A.4 powtarzamy dla wszystkich możliwych odległości od osi O 1 ruchomej masy " dla wahadła zawieszonego na osi O 1. A.6. Kolejnym etapem jest odwrócenie wahadła i zawieszenie go na osi O 2, a następnie powtórzenie serii pomiarów czasu =20 dla tych samych odległości od osi O 1 ruchomej masy ", analogicznie jak w A.4. i A.5. A.7. Oszacowane według oceny eksperymentatora niepewności maksymalne: Niepewność maksymalna Δ e pomiaru czasu t = n T trwania n okresów oscylacji ( Δ e 0,3 s ;0,6 s ) Δ e =.. Niepewność maksymalna Δ pomiaru odległości pomiędzy osiami obrotu ( Δ 1 mm ;2 mm ) Δ =

3 msg M A.8. W ramach opracowania należy sporządzić wykresy zawierające wyniki pomiarów &',! &' zależności okresów oscylacji od położenia masy ruchomej oraz odpowiednie linie regresji dla tych zależności. W oparciu o skalowane wykresy można wyznaczyć taką wartość okresu oscylacji wahadła, który jest jednakowy dla obu osi obrotu przy tej samej wartości. Wyznaczony okres oraz zmierzona wartość odległości pomiędzy osiami obrotu pozwalają na wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego ( zgodnie z procedurą opisaną w dalszej części instrukcji. A.9. W oparciu o oszacowania niepewności maksymalnych pomiaru czasu i wyznaczenia okresu oraz odległości między osiami obrotu wyznaczyć należy metodą typu B niepewność standardową )&(' a następnie niepewność rozszerzoną *&('=2 )&(' dla obliczonej wartości ( przyspieszenia ziemskiego.

4 msg M Teoria i wyniki pomiarów. Doświadczenie pokazuje, że dowolna bryła sztywna zawieszona na osi O nieprzechodzącej przez środek masy S rozpoczyna oscylacje wokół położenia równowagi, po początkowym wychyleniu jej z tego położenia, o ile działa na nią siła grawitacji F. O r φ S F Rys.2 Wahadło fizyczne. Prawa dynamiki Newtona zastosowane do opisu ruchu bryły sztywnej pozwalają na opis takich oscylacji wokół położenia równowagi. Możliwe jest ponadto wyznaczenie okresu tych oscylacji, który w przybliżeniu nieskończenie małych amplitud wychylenia z położenia równowagi, wyraża się formułą: &,'=-. / (, =-. S+/,! / (,, &1' w której. S oznacza moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy i równoległej do osi obrotu O wokół której bryła wychyla się, natomiast / oznacza całkowitą masę bryły,, jest odległością środka masy od osi obrotu, ( oznacza przyspieszenie ziemskie. Przytoczoną powyżej formułę można zastosować do opisu okresu oscylacji wahadła rewersyjnego w taki sposób, aby pokazać zależność tego okresu od położenia ruchomej masy " przy zawieszeniu wahadła na dwóch różnych osiach. S aktualny środek masy całego wahadła, przy określonym położeniu x ruchomej masy m S 0 - środek masy części wahadła bez masy ruchomej m d 0 O 1 S 0 d M - całkowita masa wahadła (obliczona razem z częścią ruchomą o masie m ) l - odległość pomiędzy osiami obrotu O 1 i O 2 S x d 0 - odległość środka masy S 0 od osi O 1 l x - odległość masy ruchomej m od osi obrotu O 1 m O 2 d(x) - odległość środka masy S od osi obrotu O 1 zależna od położenia x masy m 2&'= &/ "' 2 4+" / =2 4 + " / & 2 4' &2' I 0 - moment bezwładności całego wahadła względem osi w punkcie S 0 dla położenia x = d 0 masy ruchomej m Rys.3 Wahadło rewersyjne oraz definicje parametrów, za pomocą których opisana jest zależność momentu bezwładności od położenia ruchomej masy ".

5 msg M Moment bezwładności I S (x) całego wahadła względem osi przechodzącej przez aktualny środek masy S, czyli dla ustalonego położenia x ruchomej masy m wyraża się formułą:. S &'=. 4 +&/ "' 2&' 2 4! +" & 2 4 '! = =. 4 +" 51+ " &/ "' /! 6 & 2 4 '! &3' Momenty bezwładności względem osi obrotu O 1 i O 2, po wykorzystaniu twierdzenia Steinera, wyrażają się wzorami:. =. S &'+/ 2! &'.! =. S &'+/ 2&'! (4) Zgodnie z przytoczoną wcześniej formułą (1) dla okresu oscylacji bryły o masie M i momencie bezwładności I względem osi obrotu O będącej w odległości r od środka masy S (w przybliżeniu nieskończenie małych amplitud wychylenia) &,'=-. / (, okresy wahań wokół osi O 1 i O 2 określone są wzorami: &'=2π -. S&'+/ 2! &' / ( 2&'! &'=2π -. S&'+/ 2&'! / ( 2&' (5) T T A,T B T 1 (x) T 2 (x) Rys.4 Przewidywana zależność okresów oscylacji &' i! &' od położenia x ruchomej masy m. x A x B x Jeśli dla jakiegoś położenia x ruchomej masy m okresy wahań na obu osiach O 1 i O 2 są jednakowe, czyli &'=! &', to warunek ten oznacza, że dla tej wartości x spełnione musi być równanie:. S &'=/ 2&' 2&', &6' którego wykorzystanie we wzorach (5) określających okresy &' i! &' prowadzi do tego, iż są one równe okresowi wyznaczonemu przez formułę: &'=! &'= 4 =2π - (, &7' gdzie odległość pomiędzy osiami obrotu wahadła O 1 i O 2 staje się w tym przypadku tzw. długością zredukowaną wahadła.

6 msg M Równanie określające wartość odległości x, dla której zachodzi równość tych okresów, jest równaniem kwadratowym względem (x d 0 ), a tym samym względem x, co oznacza istnienie dwóch rozwiązań x A i x B (Rys.4). Dla tych położeń okresy oscylacji powinny być jednakowe A = B = 4, i takie same dla obydwu osi obrotu. Dokładniejsze rozwiązanie równań ruchu wahadła prowadzi do wyznaczenia okresu oscylacji T zależnego również od amplitudy φ m wychyleń z położenia równowagi: 4 =1+> 1! 2? sin!! 2 +> ? sin B! 2 +> ? sin C + E (8) 2 gdzie T 0 oznacza okres obliczony w przybliżeniu nieskończenie małych wychyleń z położenia równowagi, jako niezależny od amplitudy wychylenia 4 =2π - (, (9) natomiast T jest okresem oscylacji wahadła zależnym od amplitudy wychyleń. Rozwiązanie powyższe nadal nie uwzględnia oporów ruchu wahadła prowadzących do efektu tłumienia oscylacji. Dla małych amplitud wychylenia wahadła z położenia równowagi 0,1 rad (czyli dla 6 ) można wykorzystać przybliżone wyrażenie dla okresu oscylacji: 4 =1+> 1! 2? sin!! 2 E 2π - ( =1+ 16 E (10) Do wyznaczenia wartości przyspieszenia ziemskiego ( wystarczy zatem znana wartość okresu spełniającego, określony równaniem (7), warunek równości okresów oscylacji ()=! (), wartość odległości pomiędzy osiami obrotu oraz amplitudy m wychyleń z położenia równowagi. Zadanie A Polega na wyznaczeniu wartości przyspieszenia ziemskiego w oparciu o analizę wyników pomiaru okresów oscylacji wahadła, przy zmieniającym się położeniu środka masy oraz dla dwóch różnych osi obrotu. Wykorzystując otrzymane w doświadczeniu wyniki pomiarów okresów oscylacji sporządzamy wykresy (),! () - na tle zaznaczonych punktów odpowiadających pomiarom wykreślamy linie regresji odpowiadające zależnościom tych okresów od położenia masy ruchomej. Z wykresów, w oparciu o podziałkę osi czasu, odczytujemy wartości A i B odpowiadające równości okresów oscylacji na obu osiach obrotu (Rys.5), by następnie wyznaczyć wartość przybliżoną =0,5 ( A + B ) okresu oscylacji. Znając podziałkę skali osi czasu na wykresie, oceniamy również niepewność maksymalną Δ d, z jaką odczytane zostały wartości A i B. Dla przykładowych danych pomiarowych przedstawionych na wykresie (Rys.5) otrzymano następujące wartości: Odczytane z wykresu wartości A i B Obliczona wartość =0,5 ( A + B ) A =2,12 s ; B =2,07 s =2,095 s Procedura obliczenia metodą typu B złożonej niepewności standardowej )() tak wyznaczonego okresu wymaga zastosowania następującej formuły:

7 msg M )&'=- 1 2 =&Δ G'! 3 + &Δ H'! E, 3 w której należy wykorzystać oszacowane niepewności maksymalne (podane poniżej wartości dotyczą danych z prezentowanego na Rys.5 przykładu): Niepewność maksymalna Δ d odczytu wartości okresów A i B Niepewność maksymalna Δ G pomiaru czasu =20 okresów Niepewność maksymalna pomiaru jednego okresu Δ G = Δ G &11' Δ d =0,01 s Δ G =0,4 s Δ G =0,02 s Dla zmierzonej wartości =1,095 m odległości pomiędzy osiami obrotu wahadła O 1 i O 2 wyznaczyć należy metodą typu B niepewność standardową: Niepewność maksymalna (przykładowo): Niepewność standardowa )()= Δ 3 Δ =0,002 m )()=. 2,40 Wykres zawierający dane pomiarowe T 1 (x) i T 2 (x) okresów oscylacji wahadła dla dwóch osi obrotu oraz linie regresji dla tych zależności w funkcji położenia x masy ruchomej () 2,30! () T [s] 2,20 2,10 2,00 1,90 1, x [cm] Rys.5 Wykres prezentujący przykładowe wyniki pomiarów oraz linie regresji dla zależności okresów oscylacji (),! () od położenia ruchomej masy ". Na wykresie zaznaczono liniami przerywanymi odczytywane wartości okresów A i B, z których każdy jest jednakowy dla obu osi obrotu wahadła.

8 msg M Ostatecznie, przyspieszenie ziemskie ( wyznaczamy w oparciu o formułę (10), w której uwzględniono małą poprawkę związaną z amplitudą wychyleń m (do obliczeń możemy przyjąć np. 0,1 rad), czyli zgodnie ze wzorem: ( = 4π!! =1+! m 16 E. &12' Przy oszacowaniu złożonej niepewności standardowej )&(' dla wyznaczonej wartości przyspieszenia ( pomijamy niepewność oszacowania amplitudy wychyleń φ m, jako mającą zaniedbywalnie mały udział, wykorzystując formułę:! )&('=( -> )&'!? +4 > )&'!?. &13' Otrzymaną w wyniku obliczeń wartość ( przyspieszenia ziemskiego podajemy wraz z niepewnością rozszerzoną *&('=2 )&(' (dla poziomu ufności p 95% ). Wykorzystanie przykładowych wyników pomiaru i obliczeń daje następujący rezultat: (±*&(' ( =& 9,86±0,17 ' m s -2 Wyniki końcowe dla niepewności wyniku podajemy z dokładnością dwóch cyfr znaczących i stosownie do tego zaokrąglamy wartość wyniku pomiaru. Obliczenia pośrednie wykonujemy jednakże z dokładnością co najmniej trzech cyfr znaczących, a najlepiej czterech cyfr, aby dopiero w końcowym wyniku można było dokonać stosownych zaokrągleń. Dla porównania z otrzymanym wynikiem pomiaru wartość standardowa przyspieszenia ziemskiego, obliczona dla szerokości geograficznej tego laboratorium z uwzględnieniem odpowiedniej wysokości nad poziomem morza, wynosi (=9,8106 m s -2. Literatura H. Szydłowski Pracownia Fizyczna, PWN Warszawa 1973 i późn. J. Orear Fizyka, T.1 i 2, WNT Warszawa 1990 R.Resnick, D.Halliday, J.Walker Podstawy fizyki, Materiały pomocnicze dostępne w formie elektronicznej: o Instrukcje opisujące algorytm opracowania wyników pomiaru, o Jednostki, stałe fizyczne, liczby, o Metody oszacowania niepewności pomiaru. Opracowanie: M.Gajdek, Katedra Fizyki, PŚk