I.1. Paradoksy Zenona z Elei.

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "I.1. Paradoksy Zenona z Elei."

Karol Dudek
7 lat temu
Przeglądów:

1 I.1. Paradoksy Zenona z Eei. Janusz B. Kępka Ruch absouny i wzgędny Arysoees ze Sagiry w swej FIZYCE mówi o paradoksach Zenona z Eei (fiozof grecki, ok p.n.e.): Isnieją czery argumeny Zenona doyczące ruchu a będące źródłem udręki da ych, kórzy je pragną rozgryźć. Omówimy u dwa najbardziej znane paradoksy (argumeny) Zenona z Eei. Czy Achies dogoni żółwia? Niech Achies ściga się z żółwiem. Załóżmy, że Achies biegnie 10 razy szybciej niż żółw, i niech począkowa odegłość między nimi wynosi 10 kroków, dając w en sposób for da z założenia przegranego żółwia. Jednak można wykazać, że Achies nie yko, że nie prześcignie żółwia, ecz nawe go nie dogoni! Rzeczywiście. Jeżei Achies przebiegnie 10 kroków dzieące go od żółwia, o w ym samym czasie żółw przebędzie odegłość 1 kroku. Jeżei z koei Achies przebędzie en jeden krok, o w ym samym czasie żółw przebędzie 1/10 kroku..., id. id... Tak więc, Achies będzie zbiżał się do żółwia nieskończenie bisko, ae nigdy go nie dogoni! Zauważmy więc, że biegnący Achies porusza się z dwiema prędkościami: z prędkością c wzgędem bieżni, oraz z prędkością w 1 wzgędem żółwia. Podobnie, żółw porusza się z prędkością v wzgędem bieżni, oraz z prędkością w 1 wzgędem Achiesa. W powyższym sensie, prędkość w 1 ma charaker prędkości wzajemnej. Naomias prędkości c oraz v są prędkościami wzgędnymi (wzgędem bieżni). Możemy więc napisać: v 1 β (I.1.1.) c 10 W ym przypadku, prędkość wzajemna w 1 jes aka, że w 1 (c v). Mamy więc: w1 K (1 β ) (I.1.2.) c Jeżei żółw Ż jes nieruchomy wzgędem bieżni, o Achies A biegnąc z prędkością c przebywa odegłość AŻ do żółwia w czasie akim, że (Fig. I.1.): c (I.1.3.) Naomias wzgędem biegnącego żółwia Achies przebywa odegłość z inną prędkością 1 w wzgędem żółwia, oraz w innym czasie 1.

2 Janusz B. Kępka Ruch absouny i wzgędny Mamy więc: w (I.1.4.) 1 1 (c v) 1 Fig. I.1. a) jeżei żółw Ż ucieka przed Achiesem A, o Achies dogoni żółwia w miejscu Ż 1 ; b) jeżei Achies i żółw biegną naprzeciwko siebie, o spokają się w miejscu Ż 2. Naomias wzgędem bieżni, czyi w układzie wzgędnym, Achies porusza się z prędkością c, i po czasie 1 dogoni żółwia, przebywając odegłość 1 aką, że: 1 c 1 (I.1.5.) Ae w ym samym czasie 1, w ym samym układzie wzgędnym (na bieżni), żółw przebył odegłość s: s (I.1.6.) 1 (c w1 )1 v 1 Z powyższego wynika, że czas 1 ma charaker niezmienniczy, ponieważ w ym samym czasie 1 Achies przebywa odegłość 1 w układzie wzgędnym (na bieżni) oraz odegłość w układzie poruszającego się obserwaora (wzgędem żółwia). Dzieąc obydwie srony zaeżności (I.1.6.) przez zaeżność (I.1.5.), oraz uwzgędniając zaeżności (I.1.1.) oraz (I.1.2.), znajdujemy: w v 1 1 c c s w c 1 oraz K ( 1 β ) Z powyższego znajdujemy: 1 β (I.1.7.) (I.1.8.) c 1 c 1 (I.1.9.) 1 β 1 β Znaeźiśmy więc prosą zaeżność między odegłościami 1 oraz. Z koei dzieąc obydwie srony powyższej zaeżności przez c consan, znajdujemy:

3 Janusz B. Kępka Ruch absouny i wzgędny 1 (I.1.10.) 1 β W ym samym czasie 1 invarian żółw przebył odegłość s aką, że: s 1 v 1 β v 1 β 1 β Oczywiście, możemy rozparywać przypadek, gdy Achies i żółw biegną naprzeciwko siebie (Fig. 1.1b.). Rozumując jak powyżej, znajdujemy: β 1 + β Tak więc, spokanie nasąpi po czasie 2, a Achies przebędzie odegłość 2. W powyższym prędkość wzajemna w 2 jes aka, że: w 2 (c + v). Rozwiązania od (I.1.9.) do (I.1.11.) zwane są uaj ransformacjami Zenona z Eei. (I.1.11.) Jednak wbrew pozorom, przedsawione wyżej rozwiązania nie są pełnym rozwiązaniem paradoksu Zenona z Eei! Na czym więc poega paradoks? Lub inaczej: jaki probem chciał wskazać Zenon z Eei? Oóż, w paradoksie ym zaware są dwie różne syuacje fizyczne. Różność ych syuacji poega na sposobie doganiania żółwia. Pierwszy sposób, zawary w pierwszej części paradoksu, poega zgodnie z doświadczeniem na doganianiu żółwia, czyi spokaniu się Achiesa z żółwiem w konkrenym miejscu i czasie: Achies i żółw biegną jednocześnie do ego miejsca. Oznacza o, że Achies biegnie nie do żółwia, ecz do miejsca spokania z żółwiem! Jes o syuacja fizyczna, w kórej jednoska odegłości usaona jes w układzie poruszającego się obserwaora, a nie w układzie wzgędnym (wzgędem bieżni). Naomias druga część wywodu Zenona z Eei poega na zasugerowaniu innego sposobu doganiania żółwia: Achies najpierw przebywa począkową odegłość, nasępnie odegłość /10, nasępnie /100, id., id. Jes o syuacja fizyczna zupełnie różna od poprzedniej a mianowicie, Achies biegnie do koejnych miejsc, kóre żółw opuścił, a nie do żółwia! Lub inaczej: Achies koejno przebywa w układzie wzgędnym różne jednoski odegłości o podziae β, w różnych czasach akże o podziae β. Powyższe rozróżnienie jes właśnie reścią i rozwiązaniem paradoksu Zenona z Eei. Aby biżej o wyjaśnić, zasąpmy Achiesa i żółwia odpowiednio koem i myszą. Warunki zawodów są akie same: skok myszy jes zawsze 10 razy krószy niż skok koa, oraz ko i mysz skaczą jednocześnie. Jeżei więc ko skoczy na odegłość w miejsce gdzie znajduje się mysz, o jednocześnie mysz odskoczy na odegłość /10, id, id. Tak więc, Zenon z Eei miał rację: ą meodą ko nigdy nie złapie myszy. Ae co się naskacze! Może ak skakać nieskończenie długo, zbiżając się do myszy nieskończenie bisko, co z koei wpros sugeruje i podsuwa uogónienie w posaci pojęcia nieskończoności. Zauważmy, że wiee wieków później, ego samego rodzaju probem (paradoks) rozwiązywai w szczegóny sposób niezaeżnie od siebie, Sir Isaac Newon ( )

4 Janusz B. Kępka Ruch absouny i wzgędny oraz Gofried Wihem baron Leibniz ( ), dokonując wynaazku w posaci rachunku różniczkowego: warość pochodnej funkcji y f(x) da danej warości x o zmiennej niezaeżnej x, jes równa granicy iorazu y/ x, gdy x 0, oraz jes równa angensowi kąa α sycznej do krzywej y f (x) w danym punkcie (x o, y o ): y f( x) gα im x 0 x Powyższe zawiera w sobie reści dyskuowanego uaj paradoksu Zenona: pojęcie kierunkowości w układzie obserwaora, i.e. Achies biegnie do miejsca spokania, a nie do żółwia; oraz pojęcie granicy w nieskończoności w układzie wzgędnym, i.e. Achies biegnie do żółwia, a nie do miejsca spokania. Można więc dojść do zaskakującego wniosku, że w rachunku różniczkowym zachowane zosały wszyskie cechy paradoksu Zenona z Eei, łącznie z brakiem wskazania rozwiązania! A ak, przy okazji. Zasady rachunku różniczkowego znał już w III w. p.n.e. niejaki Archimedes! Srzała wypuszczona z łuku soi w miejscu Obecnie rozparzmy inny, nie mniej znany paradoks Zenona z Eei: Skoro wszysko, abo zawsze znajduje się w sanie spoczynku, abo w ruchu i że jes w spoczynku, gdy zajmuje równą sobie przesrzeń, a o co znajduje się w ruchu, znajduje się zawsze w jakimś eraz, wobec ego srzała wypuszczona z łuku soi w miejscu. (według przekładu K. Leśniaka, Bibioeka Kasyków Fiozofii, PWN, Warszawa 1968). W pierwszej części ego paradoksu przedsawia się, że równorzędnymi cechami świaa maerianego jes ruch oraz brak ruchu ( san spoczynku ). W ogóności, wierdzenie powyższe nie jes prawdziwe. Odnosi się yko do ruchu wzajemnego. Naomias w drugiej części paradoksu sugeruje się, że czas jes sumą dowonej iości eraz, na przykład chwi o warości zerowej każda. Ponieważ srzała wypuszczona jes w jakimś eraz, czyi w chwii o warości zero, o powiedzmy po 20 chwiach srzała eż znajduje się w jakimś eraz, czyi w chwii o warości zero, czyi srzała... soi w miejscu, czyi w ogóe nie zosała wypuszczona z łuku. Jednak czas τ jes funkcją częsoiwości ν, kóra jes miarą powarzaności zjawisk fizycznych, jako absounie pierwonej, wręcz definicyjnej cechy ego świaa maerianego. Da ν 0 jes, że τ. Oznacza o brak powarzaności ( znajduje się zawsze w jakimś eraz ), a akże brak ruchu (v 0). Możemy więc przyjąć, że v 0, czyi srzała jes w spoczynku, gdy zajmuje równą sobie przesrzeń, jak o sugeruje Zenon z Eei. Ergo: nie ma ruchu! Możemy o zanoować w posaci: v 0 ν 0 ( τ ) (I.1.12.) W powyższym paradoksie zawara jes sugesia równoważności jakiegoś eraz da dowonego sanu ruchu srzały, w ym akże da braku ruchu (srzała jes nieruchoma). Tym samym, zawara jes sugesia, że san spoczynku (brak ruchu) jes dokładnie równoważny sanowi ruchu.

5 Janusz B. Kępka Ruch absouny i wzgędny Ae da sanu spoczynku (brak ruchu, v 0) brak jes powarzaności (ν 0), a ym samym czas jako funkcja częsoiwości nie isnieje (formanie nieskończenie duży). Z ego wzgędu, nieisniejący czas nie ma charakeru chwii ( jakiegoś eraz ). Coś co nie isnieje nie może mieć innego coś co jes zaprzeczeniem ego coś. Z ego właśnie wzgędu, że w nieskończoności nie ma jakiegoś eraz, wcześniej czy później. Zauważmy, że Zenon z Eei wyraźnie wskazuje, że yko ciało będące w spoczynku zajmuje równą sobie przesrzeń. A o sugeruje, że w ruchu zajmuje inną przesrzeń. A o z koei wpros pokazuje, że san ruchu o nie jes o samo co san bezruchu. Ergo: srzała wypuszczona z łuku nie soi w miejscu!

Podobne dokumenty

II.1. Zagadnienia wstępne.

II.1. Zagadnienia wstępne. II.1. Zagadnienia wsępne. Arysoeles ze Sagiry wyraźnie łączy ruch z czasem: A jes niemożliwe, żeby zaczął się albo usał ruch, gdyż jak powiedzieliśmy ruch jes wieczny, a ak samo i czas, bo czas jes albo