E k o n o m e t r i a S t r o n a 1. Nieliniowy model ekonometryczny

Transkrypt

1 E k o n o m e r i a S r o n a Nieliniowy model ekonomeryczny Jednorównaniowy model ekonomeryczny ma posać = f( X, X,, X k, ε ) gdzie: zmienna objaśniana, X, X,, X k zmienne objaśniające, ε - składnik losowy, f posać modelu. Model en jes wyznaczany na podsawie bazy danych saysycznych w posaci: X X... X k X X... X k X X... X k n n X n X n... X kn Budowa nieliniowego modelu ekonomerycznego Posać funkcji f usalamy na podsawie znanych eorii lub na podsawie oceny wpływu zmiennych objaśniających na zmienną objaśnianą. Przykład. W bieżącym roku w grupie losowo wybranych 300 osób przeprowadzono badania doyczące wielkości miesięcznego spożycia warzyw i ich przeworów. Każda z badanych osób zosała przypisana do jednej z grup dochodowych. W abeli zapisanej w arkuszu kalkulacyjnym Excel podano: X warość średniego dochodu w grupie [zł], wielkość średniego miesięcznego spożycia warzyw i ich przeworów w grupie [zł]. Źródło: Wprowadzenie do ekonomerii w przykładach i zadaniach red. Kukuła K. Korzysając z powyższej bazy danych saysycznych zbudować ekonomeryczny model miesięcznego popyu na warzywa i ich przewory w zależności od średniego dochodu ( = f(x, ε )). Na podsawie prognoz eksperów średni dochód w przyszłym roku będzie wynosił

2 E k o n o m e r i a S r o n a 700 zł. miesięcznie na osobę. Korzysając ze zbudowanego modelu ekonomerycznego ocenić jaka będzie średnia miesięczna warość spożycia warzyw i ich przeworów na osobę w przyszłym roku. Korzysając z powyższej bazy danych uworzymy wykres zależności pomiędzy zmienną objaśnianą a zmienną objaśniającą X. W ym celu na pasku wybieramy Wsawianie, wykres punkowy, wynikiem naszego działania będzie pusa abelka. Klikamy w dowolnym jej punkcie prawym klawiszem myszy i orzymujemy: Wybieramy Zaznacz dane i orzymujemy: Wybieramy Dodaj i orzymujemy:

3 E k o n o m e r i a S r o n a 3 W orzymanej abelce Edyowanie serii wpisujemy kolejno: w okienko Nazwa serii nazwę, kóra ma się pojawić na wykresie, w okienko Warości X serii - adresy kolumny, w kórej znajdują się warości zmiennej objaśniającej X ( w naszym przykładzie C:C9), w okienko Warości serii - adresy kolumny, w kórej znajdują się warości zmiennej objaśnianej ( w naszym przykładzie D:D9). Akcepujemy OK wprowadzone dane i OK dla abeli Wybieranie źródła danych. Wynikiem naszych działań będzie poniższy wykres. Na podsawie analizy wykresu oraz znanej eorii ekonomicznej doyczącej popyu swierdzono, że wielkość miesięcznego spożycia warzyw i ich przeworów można przedsawić za pomocą mikroekonomicznej funkcji popyu na dobra podsawowe (funkcja Törnquisa I rodzaju ) w posaci: = α X X + α + ε Powyższa funkcja popyu ma asympoę poziomą o równaniu y = α. Nieznane paramery srukuralne α i α można oszacować meodą najmniejszych kwadraów. W meodzie ej wyznaczamy akie wielkości a i a (oszacowania paramerów α i α ) aby różnice pomiędzy warościami eoreycznymi wyznaczonymi ze wzoru

4 E k o n o m e r i a S r o n a 4 ˆ a X = () X + a a rzeczywisymi warościami zmiennej objaśnianej z bazy danych saysycznych były minimalne. Budujemy w ym celu funkcję G( a )= 8 = ( ˆ ) i poszukujemy jej minimum. Warości e = ˆ nazywamy reszami modelu. = Do znalezienia poszukiwanego minimum skorzysamy z narzędzie Solver w arkuszu kalkulacyjnym Excel. Uwaga. W przypadku nieliniowego modelu ekonomerycznego minimum funkcji G( a ) Solver znajduje meodami przybliżonymi. Aby wyznaczyć począkowe warości oszacowań paramerów a, wybieramy dowolne dwa punky (, X ) z bazy danych saysycznych. W naszym przykładzie wybierzemy punk drugi i siódmy X punk I 708, 6, punk II 7 40,6 5, a nasępnie rozwiązujemy liniowy układ dwóch równań o dwóch niewiadomych a w posaci: 8 = e Sąd a = 94,75 = 86,4. Wyliczone warości wpisujemy do arkusza ( w naszym przykładzie warość a wpisano do komórki B, warość a wpisano do komórki B3) a nasępnie ze wzoru () wyznaczamy ( w naszym przykładzie w kolumnie E:E9) warości Ŷ,

5 E k o n o m e r i a S r o n a 5 reszy e i ich kwadray. Warość funkcji G(94,75, 86,4) ( suma kwadraów resz ) jes równa 8,89. Do wyznaczenia minimalnej warości funkcji G skorzysamy z narzędzia Solver (narzędzie Solver w Excelu 007 znajduje się w Danych). Pola abelki Solver Paramery wypełniamy nasępująco: - Komórka celu wpisujemy adres sumy kwadraów resz ( w naszym przykładzie G0), - Równa zaznaczamy Min, - Komórki zmieniane zapisujemy adresy argumenów funkcji G ( w naszym przykładzie adresy paramerów a i a czyli B:B3).

6 E k o n o m e r i a S r o n a 6 Nasępnie naciskamy Rozwiąż i orzymujemy: W naszym przykładzie rozwiązaniem jes: a = 0,074, a = 3,8. Model eoreyczny popyu na warzywa i ich przewory więc ma posać: ˆ 0,074 X =. () X + 3,8 Warość a = 0,074 jes asympoą poziomą funkcji (). Oznacza o, że opierając się na naszych danych z bazy danych saysycznych, możemy swierdzić, że miesięczne wydaki na warzywa i ich przewory w naszym kraju, nie przekroczą warości 0,8 zł na osobę. Poniżej przedsawiono wykres warości oraz ˆ wyznaczonych na posawie wzoru () (w naszym przykładzie warości znajdują się w komórkach D:D9, warości ˆ w komórkach E:E9).

7 E k o n o m e r i a S r o n a 7 Dopasowanie modelu do danych z bazy danych saysycznych ocenimy za pomocą błędu RMSE : n ( ˆ ) ( e ) = = RMSE = =. n 8 8 Mamy RMSE =,5. Oznacza o, że warości ˆ ( =,, 8) wyznaczone za pomocą modelu eoreycznego () średnio różnią się od rzeczywisych warości miesięcznego popyu na warzywa i ich przewory o,5 zł. Aby ocenić wielkość błędu wyznaczymy warość RMSE *00%. RMSE, 508 * 00 % = * 00% = 4, 3%. 35, 04 Błąd RMSE sanowi zaem 4,3% średniego miesięcznego popyu na warzywa i ich przewory na osobę. Możemy więc przyjąć, że błąd RMSE jes niewielki więc zbudowany model eoreyczny () może zosać użyy do prognozowania średniego miesięcznego popyu na warzywa i ich przewory w przyszłym roku. Na podsawie modelu () wyznaczymy prognozę średniego spożycia warzyw i ich przeworów w przyszłym roku. 0,074 * 700 = 55, ,8 Średnia miesięczna wielkość spożycia warzyw i ich przeworów w przyszłym roku wyniesie 55,89 zł na osobę.

8 E k o n o m e r i a S r o n a 8 Uwaga. Począkowe warości oszacowań paramerów można akże znaleźć na podsawie wykresu. W ym celu do wykresu z warościami zmiennej objaśnianej należy dodać warości eoreyczne ˆ wyznaczone dla dowolnych warości a ( w naszym przykładzie przyjęo a =00 =00). Nasępnie należy zmieniać warości a ak aby wykresy oraz ˆ znalazły się jak najbliżej siebie. W naszym przykładzie można przyjąć warości począkowe a =00 =000.

9 E k o n o m e r i a S r o n a 9 Zadanie do wykonania. W abeli podano w kolejnych kwarałach kolejnych la warości produkcji ( w ys. zł.), wielkość zarudnienia oraz wielkość produkcyjnego mająku rwałego (w mln. zł) w zakładzie chemii spożywczej Na zdrowie. -nr kwarału - produkcja w ys. zł. X-mająek produkcyjny w mln. zł X- zarudnienie w osobach 864 3, , 7, ,8 8, , 3, ,6 4, ,6 4, ,7 8, ,7 3, , , , ,9 38, ,4 4, ,8 4, ,5 4, 707 Oszacować paramery funkcji produkcji Cobba Douglasa: α α = α 0 X X + ε =,,...,5. Firma Na zdrowie zakupiła nową linię produkcyjną i jej mająek produkcyjny w 6. kwarale wzrośnie do 5,4 mln. zł. Jakie powinno być zarudnienie w ym kwaraleby warość produkcji wzrosła w sosunku do poprzedniego kwarału o 0%. Do wyznaczenia wielkości zarudnienia posłużyć się zbudowanym modelem Cobba-Douglasa. Uwaga. Wszyskie paramery funkcji produkcji Cobba-Douglasa są dodanie.