3.1 Zagadnienie brzegowo-początkowe dla struny ograniczonej. = f(x, t) dla x [0; l], l > 0, t > 0 (3.1)

Transkrypt

1 Temat 3 Metoda Fouriera da równań hiperboicznych 3.1 Zagadnienie brzegowo-początkowe da struny ograniczonej Rozważać będziemy następujące zagadnienie. Znaeźć funkcję u (x, t) spełniającą równanie wraz z warunkami brzegowymi i warunkami początkowymi 1 u c t u = f(x, t) da x [; ], >, t > (3.1) u (, t) = α (t), u (, t) = β (t) da t > (3.) u (x, ) = ϕ (x), u t (x, ) = ψ (x) da x [; ]. (3.3) Zakładamy, że ϕ jest kasy C, ψ, α, β są kasy C 1. Zakładamy ponadto, że spełnione są tzw. warunki zgodności, tzn. ϕ () = α (), ϕ () = β (), ψ () = α (), ψ () = β (). Zagadnienie (3.1)-(3.3) rozwiążemy w kiku etapach, stosując tzw. metodę Fouriera zwaną także metodą separacji zmiennych Drgania swobodne struny zamocowanej Załóżmy, że struna jest zamocowana w punktach końcowych, tzn. spełnione są jednorodne warunki brzegowe postaci u(, t) = u(, t) = da t >, tzn. α i β (3.4) oraz f (brak siły zewnętrznej wymuszającej ruch). Najpierw rozwiążemy pewne zagadnienie pomocnicze. Znaeźć rozwiązanie równania (3.1) nie równe tożsamościowo zeru, spełniające warunki brzegowe (3.4) i przedstawiane w postaci u (x, t) = X (x) T (t), gdzie funkcje X i T zaeżą tyko od jednej zmiennej. 19

2 TEMAT 3. METODA FOURIERA DLA RÓWNAŃ HIPERBOLICZNYCH Podstawiając u (x, t) = X (x) T (t) do równania (3.1), gdzie f, otrzymujemy X (x) X (x) = 1 c T (t) T (t). (3.5) Ponieważ równość (3.5) zachodzić musi da wszystkich x i t z rozważanego zakresu, więc obie strony tej równości muszą być stałe. Oznaczając tę stałą przez λ dostajemy równość która prowadzi do układu równań X (x) X (x) = 1 c T (t) T (t) = λ, X (x) + λx (x) = (3.6) T (t) + c λt (t) = (3.7) Z warunków brzegowych (3.4) wynika, że X () = X () = (w przeciwnym razie T (t) i u ). Da funkcji X (x) otrzymaiśmy tzw. zagadnienie Sturma-Liouvie a poegające na wyznaczeniu takich wartości λ, zwanych wartościami własnymi, przy których istnieją niezerowe rozwiązania równania (3.6), zwane funkcjami własnymi, spełniające warunki X () = X () =. W ceu wyznaczenia wartości własnych zagadnienia naeży rozważyć trzy następujące przypadki. 1 λ <. Wówczas rozwiązaniem równania (3.6) jest funkcja postaci X (x) = C 1 e x λ + C e x λ. Z warunków X () = X () = wynika, że C 1 = C =, zatem X (x) i u. λ =. Wówczas X (x) = ax + b i warunki X () = X () = znów impikują, że a = b =, zatem X (x) i u. 3 λ >. Teraz X (x) = C 1 cos x λ + C sin x λ i da istnieją niezerowe funkcje λ n = ( πn ) da n = 1,, 3,... (3.8) X n (x) = sin πn x (3.9) będące rozwiązaniami równania (3.6) z warunkami X () = X () =. Liczby λ n są wartościami własnymi rozważanego zagadnienia. Z równania (3.7) da λ = λ n otrzymujemy, że T n = A n cos πnc t + B n sin πnc t. (3.1) W takim razie rozwiązaniem zagadnienia pomocniczego (3.1), (3.4) są funkcje ( u n (x, t) = A n cos πnc t + B n sin πnc ) t sin πn x. (3.11)

3 TEMAT 3. METODA FOURIERA DLA RÓWNAŃ HIPERBOLICZNYCH 1 Aby skonstruować rozwiązanie spełniające także zadane warunki początkowe (3.3) tworzymy szereg u(x, t) = u n (x, t) = ( A n cos πnc t + B n sin πnc ) t którego współczynniki, zgodnie z teorią szeregów Fouriera, okreśone są wzorami sin πn x, (3.1) A n = ϕ(s) sin πns ds, B n = nπc ψ(s) sin πns ds. (3.13) T w i e r d z e n i e Jeżei ϕ jest kasy C, ϕ () = ϕ () =, ψ jest kasy C 1, ψ () = ψ () =, to szereg (3.1) ze współczynnikami okreśonymi wzorami (3.13) jest rozwiązaniem zagadnienia (3.1) da f, z warunkami (3.3)-(3.4). P r z y k ł a d 1 Rozwiązać omówione powyżej zagadnienie da =, c = 1, ϕ(x) = x( x), ψ(x) =. Ze wzorów (3.13) wynika, że tak więc rozwiązanie okreśone jest wzorem A n = 16 n 3 π 3 [1 ( 1)n ], B n =, u(x, t) = 16 π 3 [1 ( 1) n ] n 3 sin π nx cos π nt. Funkcja u(x, t) jest funkcją okresową w czasie, o okresie 4. Poniższy rysunek przedstawia kształt początkowy struny. Struna wyprostowuje się w chwiach t = 1, 3, 5,... P r z y k ł a d Rozwiązać omówione powyżej zagadnienie da =, c = 1, ϕ(x) = x ( x), ψ(x) =.

4 TEMAT 3. METODA FOURIERA DLA RÓWNAŃ HIPERBOLICZNYCH Z podanych wzorów wynika, że tak więc rozwiązanie okreśone jest wzorem A n = 3 n 3 π 3 [ ( 1) n+1 1 ], B n = u(x, t) = 3 π 3 [( 1) n+1 1] n 3 sin π nx cos π nt. Funkcja u(x, t) jest funkcją okresową w czasie, o okresie 4. Poniższy rysunek przedstawia kształt początkowy struny Drgania wymuszone struny zamocowanej Rozważmy teraz zagadnienie (3.1), (3.3), (3.4) poegające na wyznaczeniu funkcji u (x, t) spełniającej równanie (3.1), z dowonymi warunkami początkowymi i jednorodnymi warunkami brzegowymi. Rozwiązanie tego zagadnienia może być zapisane w postaci sumy dwóch funkcji, z których jedna jest rozwiązaniem równania jednorodnego (f ) z dowonymi warunkami początkowymi (zagadnienie to zostało omówione w poprzednim punkcie), zaś druga funkcja jest rozwiązaniem równania niejednorodnego (f ), ae z jednorodnymi warunkami początkowymi (ϕ, ψ ) i jednorodnymi warunkami brzegowymi. Wystarczy zatem wyznaczyć funkcję u spełniającą równanie z warunkami 1 u c t u = f(x, t) da x [; ], >, t > (3.14) u (x, ) =, u t (x, ) = da x [; ], (3.15) u(, t) = u(, t) = da t >. (3.16) W tym ceu załóżmy, że funkcja dana f (x, t) da x [; ] może być zapisana w postaci sinusowego szeregu Fouriera wzgędem zmiennej x f (x, t) = f n (t) sin πn x, (3.17)

5 TEMAT 3. METODA FOURIERA DLA RÓWNAŃ HIPERBOLICZNYCH 3 gdzie f n (t) = f (s, t) sin πn sds da n = 1,,.... Rozwiązania zagadnienia (3.14)-(3.16) poszukujemy w postaci u (x, t) = T n (t) sin πn x, (3.18) gdzie T n (t) są niewiadomymi funkcjami. Zakładając, że dozwoone jest różniczkowanie szeregu (3.18) wyraz po wyrazie, z równania (3.14) i przedstawienia (3.17) otrzymujemy a zatem ( T n (t) + ωnt n (t) ) sin πn + x = c f n (t) sin πn x, T Z warunków (3.15) wynika ponadto, że n (t) + ωnt n (t) = c f n (t), gdzie ω n = πnc. (3.19) T n () = T n () = da n = 1,,.... (3.) Rozwiązanie zagadnienia (3.19)-(3.) można przedstawić w postaci T n (t) = c πn t f (s, r) sin πn sds sin ω n (t r) dr da n = 1,,.... (3.1) T w i e r d z e n i e Jeżei funkcja f jest kasy C oraz f (, t) = f (, t) = da każdego t, to szereg (3.18) ze współczynnikami okreśonymi wzorami (3.1) jest rozwiązaniem zagadnienia (3.14)-(3.16) Przypadek ogóny Rozważmy teraz ogóne zagadnienie (3.1)-(3.3). W ceu rozwiązania tego zagadnienia wprowadzamy funkcję pomocniczą w (x, t) = α (t) + [β (t) α (t)] x (3.) i poszukujemy rozwiązania zagadnienia w postaci u (x, t) = w (x, t) + v (x, t). Ponieważ ze wzoru (3.) wynika, że w (, t) = α (t) i w (, t) = β (t), więc v (, t) = v (, t) =, tzn. funkcja v (x, t) jest rozwiązaniem pewnego zagadnienia postaci (3.1), (3.3), (3.4) z jednorodnymi warunkami brzegowymi. Zagadnienie wyznaczenia takiej funkcji v (x, t) zostało omówione w poprzednim punkcie.

6 TEMAT 3. METODA FOURIERA DLA RÓWNAŃ HIPERBOLICZNYCH 4 3. Równanie drgań membrany swobodnej Rozważmy jednorodne równanie drgań płaskiej membrany 1 c u t u =, gdzie u = u + u y (3.3) rozważane da (x, y) D R, t >. Załóżmy, że spełnione są warunki początkowe u (x, y, ) = ϕ (x, y), u t (x, y, ) = ψ (x, y) da (x, y) D (3.4) oraz, że ϕ jest kasy C, ψ jest kasy C Membrana prostokątna Załóżmy teraz, że D jest prostokątem, D = (; A) (; B) oraz, że membrana jest zamocowana na brzegu, tzn. u (, y, t) = u (A, y, t) = u (x,, t) = u (x, B, t) = da t. (3.5) W ceu rozwiązania tego zagadnienia postępujemy anaogicznie jak w przypadku drgań swobodnych struny zamocowanej. Stosując metodę separacji zmiennych w postaci u (x, y, t) = X (x) Y (y) T (t), otrzymujemy ostatecznie rozwiązanie zagadnienia (3.3)-(3.5) w postaci sumy szeregu podwójnego u (x, y, t) = k, sin πk πn x sin A B y (a k,n cos ω k,n t + b k,n sin ω k,n t), (3.6) gdzie k ω k,n = π A + n da k, n = 1,,..., B o współczynnikach a k,n i b k,n okreśonych wzorami a k,n = 4 AB b k,n = A dx 4 ABω k,n c B A ϕ (x, y) sin πk A dx B ψ (x, y) sin πk A πn x sin ydy, (3.7) B πn x sin ydy. (3.8) B P r z y k ł a d Rozwiązać zagadnienie drgań membrany prostokątnej da A = B = 1, c = 1, ϕ(x, y) = (x x )(y y ), ψ(x, y) =. Zgodnie ze wzorami (3.7), (3.8), całkując przez części wyznaczamy współczynniki a k,n i b k,n ( ) 1 + ( 1) k+1 (1 + ( 1) n+1 ) a k,n = 16, b k 3 n 3 π 6 k,n =, a zatem rozwiązanie zagadnienia jest postaci u(x, y, t) = 16 π 6 k, 1 + ( 1) k ( 1) n+1 sin kπx sin nπy cos (tπ ) k k 3 n + n. 3

7 TEMAT 3. METODA FOURIERA DLA RÓWNAŃ HIPERBOLICZNYCH 5 Poniższy rysunek przedstawia wygąd membrany i kształt jej przekroju wzdłuż przekątnej kwadratu D w chwii t =. Koejny rysunek przedstawia drgania punktu środkowego (x = y =, 5) membrany jako funkcję zmiennej t. 3.. Membrana kołowa Załóżmy teraz, że D jest kołem, D = {(x, y) : x + y < a } oraz, że membrana jest zamocowana na brzegu, tzn. u(x, y, t) = da x + y = a, da t. (3.9) Załóżmy, że funkcje ϕ i ψ opisujące warunki początkowe (3.4) spełniają zaeżność ϕ(x, y) = ϕ(r), ψ(x, y) = ψ(r), gdzie r = x + y, (3.3) tzn. warunki te są kołowo symetryczne. O funkcjach danych załóżmy, że ϕ jest kasy C, pochodna ϕ istnieje i jest przedziałami ciągła, ϕ(a) =, ψ jest kasy C 1, pochodna ψ istnieje i jest przedziałami ciągła, ψ(a) =. Z symetrii równania i warunków wynika, że rozwiązanie u może być poszukiwane w postaci u = u(r, t). Przechodząc do współrzędnych biegunowych (r, θ), przekształcamy wyjściowe równanie do postaci (przyjmujemy, że u nie zaeży od θ) u r + 1 r r 1 u =. (3.31) c t

8 TEMAT 3. METODA FOURIERA DLA RÓWNAŃ HIPERBOLICZNYCH 6 Stosując metodę Fouriera (separacji zmiennych) da u(r, t) = R(r)T (t) otrzymujemy dwa równania R (r) + 1 r R (r) R(r) = T (t) c T (t) = λ = const. Z warunków brzegowych wynika, że stały parametr może przyjmować wartości λ = λ n = x n, da n = 1,,... a gdzie (x n ) jest ciągiem dodatnich zer funkcji Bessea J. Funkcje Bessea J k okreśone są wzorem J k (z) = n= ( 1) n ( z ) n+k, n! (n + k)! a ich zera (x n ) są stabearyzowane. Poniższy rysunek przedstawia wykres funkcji J. W takim razie funkcja ( r ) [ ( ) ( )] ct ct u n (x, t) = J x n A n cos x n + B n sin x n a a a da n = 1,,... (3.3) i dowonych stałych A n, B n jest rozwiązaniem rozważanego równania (3.31) spełniającym jednocześnie warunek brzegowy (3.9). Pełnym rozwiązaniem zagadnienia, spełniającym także warunki początkowe (3.3), jest funkcja u(r, t) okreśona jako suma szeregu u(r, t) = gdzie stałe A n i B n wyznaczone są za pomocą wzorów A n = a ( rϕ(r)j a J1 (x n ) ( r ) [ ( ) ( )] ct ct J x n A n cos x n + B n sin x n a a a r x n a ) dr, B n = a ( rψ(r)j ax n cj1 (x n ) r x n a (3.33) ) dr (3.34)

9 TEMAT 3. METODA FOURIERA DLA RÓWNAŃ HIPERBOLICZNYCH 7 da n = 1,,..., J 1 (x) = J (x). P r z y k ł a d Rozwiązać zagadnienie drgań membrany kołowej da a = 1, ϕ(r) = 1 r, ψ(r) =. Z danych zadania wynika, że B n =, A n = Korzystając z własności funkcji Bessea 1 r(1 r )J J1 (x n r)dr da n = 1,,... (x n ) i wzoru rekurencyjnego d dx [xn J n (x)] = x n J n 1 (x) J k 1 (x) + J k+1 (x) = k x J k (x) oraz stosując wzór na całkowanie przez części otrzymujemy ostatecznie A n = 4J (x n ) x nj 1 (x n ) = 8 x 3 nj 1 (x n ), a zatem rozwiązanie zagadnienia wyraża się wzorem u(r, t) = 8 1 x 3 nj 1 (x n ) J (x n r) cos(x n ct). Poniższy rysunek przedstawia wygąd memebrany i kształt jej przekroju osiowego w chwii t =.

10 TEMAT 3. METODA FOURIERA DLA RÓWNAŃ HIPERBOLICZNYCH 8 Koejny rysunek przedstawia drgania punktu położonego na osi symetrii membrany jako funkcję zmiennej t Membrana nieograniczona Załóżmy teraz, że rozważamy równanie drgań membrany (3.3) da (x, y) R. Oznacza to, że dane są tyko warunki początkowe opisujące początkowy kształt membrany i prędkość początkową drgań (3.4), nie ma zaś warunków brzegowych. Następujące twierdzenie okreśa warunki dostateczne da istnienia rozwiązania i podaje jego postać (tzw. wzór Poissona). T w i e r d z e n i e Jeżei funkcje ϕ i ψ są odpowiednio kasy C 3 i C, to funkcja u postaci u(x, y, t) = 1 ψ(p, q)dpdq πc c t (p x) (q y) + 1 ϕ(p, q)dpdq t πc c t (p x) (q y) K ct K ct gdzie K ct jest kołem o środku w punkcie (x, y) i promieniu ct, zagadnienia. jest rozwiązaniem rozważanego P r z y k ł a d Rozwiązać zagadnienie drgań membrany nieograniczonej da danych: c = 1, ϕ(x, y) = 1, ψ(x, y) =. 1 + x + y Stosując we wzorze Poissona zamianę zmiennych w całce podwójnej p = x + r cos α, q = y + r sin α otrzymujemy wzór na funkcję u w postaci u(x, y, t) = 1 π t r ϕ(x + r cos α, y + r sin α) t π t r drdα = = 1 π t 1 r t π 1 + x + y + r + xr cos α + yr sin α t r drdα

11 TEMAT 3. METODA FOURIERA DLA RÓWNAŃ HIPERBOLICZNYCH 9 Poniższy rysunek przedstawia wygąd membrany w chwii t =. Na następnym rysunku widoczne są kształty przekrojów osiowych membrany da t =, t =, 5, t =, 6, t = 1, t = 3, t = 6.

12 TEMAT 3. METODA FOURIERA DLA RÓWNAŃ HIPERBOLICZNYCH 3 Koejny rysunek przedstawia drgania punktu położonego na osi symetrii membrany jako funkcję zmiennej t. 3.3 Drgania poprzeczne beki Metoda separacji zmiennych może być stosowana do rozwiązywania zagadnień granicznych da równań różniczkowych cząstkowych rzędu wyższego niż drugi. Przykładem takiego zagadnienia jest zagadnienie drgającej beki opisane równaniem rzędu czwartego z warunkami początkowymi u tt + c u xxxx =, da x (; ), t > (3.35) u (x, ) = ϕ (x), u t (x, ) = ψ (x) (3.36) opisującymi kształt początkowy beki i początkową prędkość drgań oraz warunkami brzegowymi postaci u (, t) = u (, t) = u xx (, t) = u xx (, t) =. (3.37) Podobnie jak w przypadku struny, poszukujemy niezerowych rozwiązań równania (3.35) spełniających jednocześnie warunki brzegowe (3.37), w postaci u (x, t) = X (x) T (t). Prowadzi to do probemu wyznaczenia wartości własnych λ, da których istnieją niezerowe funkcje X (x) spełniające równanie z warunkami X (4) (x) X (x) = T (t) c T (t) = λ R (3.38) X () = X () = X () = X () =. (3.39) Z rozważań anaogicznych do przypadku omówionego da struny jednowymiarowej wynika, że jedynymi iczbami λ o tej własności są iczby ( πn ) 4 λ n = da n = 1,,..., którym odpowiadają funkcje X n (x) = sin πn x, T n (t) = A n sin [ c ( πn ) ] [ t + B n cos c ( πn ) ] t.

13 TEMAT 3. METODA FOURIERA DLA RÓWNAŃ HIPERBOLICZNYCH 31 Rozwiązanie zagadnienia (3.35)-(3.37) możemy zatem zapisać w postaci u (x, t) = X n (x) T n (t) = { [ A n sin c ( πn ) ] [ t + B n cos c ( πn ) ]} t gdzie współczynniki A n i B n szeregu (3.4) wyznaczamy z warunków początkowych ϕ (x) = skąd wynika ostatecznie, że A n = cn π 3.4 Zadania 1. Rozwiązać równanie B n sin πn + x, ψ (x) = ( πn ) πn A n c sin x, ψ (x) sin πn xdx, B n = u t u a = b sinh x przy jednorodnych warunkach początkowych i brzegowych. Rozwiązać równanie u (, t) =, u (, t) =. u t u = bx (x ) przy jednorodnych warunkach początkowych i brzegowych 3. Rozwiązać równanie u (, t) =, u (, t) =. u t u = t x (x ) przy jednorodnych warunkach początkowych i brzegowych 4. Rozwiązać równanie u (, t) =, u (, t) =. u t u a h t b u = ϕ (x) sin πn xdx, da n = 1,,.... przy jednorodnych warunkach początkowych oraz u (, t) = A, u (, t) =. sin πn x, (3.4)

14 TEMAT 3. METODA FOURIERA DLA RÓWNAŃ HIPERBOLICZNYCH 3 5. Rozwiązać równanie przy jednorodnych warunkach brzegowych i warunkach początkowych u t u a = u (, t) =, u (, t) = u (x, ) =, t (x, ) = sin π x. 6. Rozwiązać równanie i warunkach początkowych 7. Rozwiązać równanie i warunkach początkowych 8. Rozwiązać równanie u t u a = u (, t) =, u (x, ) = sin 5π x, u (x, ) = x, (, t) = u t u a = u (, t) =, t (x, ) = cos π x. (, t) = t (x, ) = sin π 3π x + sin x. i warunkach początkowych u t u a = (, t) =, u (x, ) = x, (, t) = (x, ) = 1. t

15 TEMAT 3. METODA FOURIERA DLA RÓWNAŃ HIPERBOLICZNYCH Rozwiązać równanie przy jednorodnych warunkach brzegowych i jednorodnych warunkach początkowych u t u a = A exp ( t) sin π x u (, t) =, u (, t) = u (x, ) =, (x, ) =. t 1. Rozwiązać równanie u t u a = Ax exp ( t) przy jednorodnych warunkach brzegowych u (, t) =, u (, t) = i jednorodnych warunkach początkowych u (x, ) =, (x, ) =. t 11. Rozwiązać równanie u t u a = A sin t u (, t) =, i jednorodnych warunkach początkowych u (x, ) =, (, t) = (x, ) =. t 1. Rozwiązać równanie u t u =, < x < π, t > u (, t) = t, u (π, t) = t 3 i warunkach początkowych u (x, ) = sin x, (x, ) =. t

16 TEMAT 3. METODA FOURIERA DLA RÓWNAŃ HIPERBOLICZNYCH Rozwiązać równanie u t u =, < x < π, t > u (, t) = exp ( t), u (π, t) = t i warunkach początkowych u (x, ) = sin x cos x, (x, ) = 1. t 14. Rozwiązać równanie i warunkach początkowych 15. Rozwiązać równanie i warunkach początkowych 16. Rozwiązać równanie u t u =, < x < π, t > u (, t) = t, u (x, ) = sin 1 x, (π, t) = 1 (x, ) = 1. t u t u a = sin t, < x <, t > (, t) =, u (x, ) =, (, t) = sin sin t a a t (x, ) = cos x a. t u a =, < x <, t > u (, t) =, u (, t) = i warunku początkowym { u (x, ) = x da < x 1 x da 1 < x <.

17 TEMAT 3. METODA FOURIERA DLA RÓWNAŃ HIPERBOLICZNYCH Rozwiązać równanie t u a =, < x <, t > i warunku początkowym 18. Rozwiązać równanie u (, t) =, u (, t) = u (x, ) = cx ( x). t u a =, < x <, t > i warunku początkowym 19. Rozwiązać równanie u (, t) =, u (, t) = u (x, ) = Ax. t u a =, < x <, t > i warunku początkowym. Rozwiązać równanie (, t) =, u (, t) = u (x, ) = A ( x). t u a =, < x <, t > i warunku początkowym 1. Rozwiązać równanie (, t) =, (, t) = u (x, ) = U = Const. t u a =, < x <, t > i warunku początkowym u (, t) = T, u (x, ) =. u (, t) = U