KATEDRA AUTOMATYKI, BIOMECHANIKI I MECHATRONIKI. Laboratorium. Mechaniki Technicznej

Transkrypt

1 KATEDRA AUTOMATYKI, BIOMECHANIKI I MECHATRONIKI Laboratorium Mechaniki Technicznej Ćwiczenie 4 Badanie masowych momentów bezwładności

2 Ce ćwiczenia Wyznaczanie masowego momentu bezwładności bryły metodą wahadła fizycznego i metodą drgań skrętnych. Porównanie wybranych wyników z metodą obiczeniową wg wymiarów i mas eementów badanej bryły. 1 Wyznaczanie momentu bezwładności metodą wahadła fizycznego 1.1 Opis urządzenia pomiarowego Urządzenie pokazane na rysunku 1 składa się z pryzmy 1, uchwytu, statywu 3 i badanej bryły 4 (na rysunku widoczny jest korbowód z dwoma otworami). Uchwyt zamocowany jest do statywu 3 za pomocą śruby 5. Uwaga: podczas zmiany punktu zawieszenia naeży wysunąć pryzmę 1 z uchwytu przeciwnie do oznaczonego kierunku wsuwania (otwory w uchwycie mają zróżnicowane średnice, aby umożiwić zakeszczenie pryzmy na czas pomiaru). Rysunek 1. Stanowisko badania momentów bezwładności da metody wahadła fizycznego. 1. Wprowadzenie teoretyczne Korbowód (ub inne ciało sztywne) zawieszony w punkcie A ub B (zob. rysunek ) jest wahadłem fizycznym o długości zredukowanej (da zawieszenia w punkcie A) =, (1) gdzie: B1 moment bezwładności wzgędem punktu zawieszenia A, m masa korbowodu, a odegłość środka masy od osi zawieszenia.

3 Rysunek. Korbowód jako wahadło fizyczne. Zakłada się tutaj, że badane ciało sztywne posiada płaszczyznę symetrii prostopadłą do osi zawieszenia. W takim razie może być ono traktowane jako płaskie, datego często mówimy o punkcie zawieszenia, rozumiejąc przez to oś przechodzącą przez dany punkt zawieszenia i prostopadłą do płaszczyzny symetrii. Okres drgań wahadła fizycznego wynosi: Wstawiając (1) do () otrzymuje się: =. () = (3) ub =, (3a) gdzie Q=mg, stąd moment bezwładności korbowodu zawieszonego w punkcie A wzgędem osi zawieszenia =. (4) Moment bezwładności korbowodu zawieszonego w punkcie B wzgędem osi zawieszenia = (). (5) Stosując twierdzenie Steinera obicza się moment bezwładności korbowodu wzgędem osi przechodzącej przez środek masy (i równoegłej do poprzednich): B = B1 ma, 3

4 B = B m( - a ), (6) =, = () ( ). (6a) Po podstawieniu (4) i (5) do (6) i przyrównaniu stronami otrzymuje się stąd = () ( ), (7) =. (8) Wyznaczenie doświadczane wartości wiekości T1, T, Q i pozwaa na obiczenie wartości wiekości a i następnie z pierwszego z wzorów (6a) momentu bezwładności ciała sztywnego. 1.3 Przebieg ćwiczenia Przed przystąpieniem do pomiaru okresu wahań okreśa się następujące wartości: Q ciężar korbowodu ub innego ciała sztywnego (pomiar masy z dokładnością 0,05 g), odegłość między punktami podwieszenia A i B ( z dokładnością 0,1 mm). Po dokonaniu tych pomiarów ciało sztywne podwiesza się w punkcie A. Zostaje ono wprawione w ruch wahadłowy o kącie wahań +/-5 i mierzy się kikakrotnie (wg. wskazań prowadzącego) czas 50 wahnięć, notując wyniki w tabei. Taki sam pomiar przeprowadza się podwieszając ciało w punkcie B. Następnie za pomocą podanych wzorów zostają obiczone: położenie środka masy i moment bezwładności wzgędem osi prostopadłej do płaszczyzny symetrii ciała i przechodzącej przez środek masy oraz błąd pomiaru. W przypadku wyboru do badania ciała sztywnego złożonego z eementów o prostych i znanych wymiarach oraz gęstości, koejnym punktem ćwiczenia jest potwierdzenie wcześniej uzyskanych wyników przy użyciu wzorów na momenty bezwładności podstawowych brył sztywnych i twierdzenia Steinera (zob. rozdział 3). 1.4 Anaiza błędu gdzie Moment bezwładności obiczamy z wzoru (6a) =, (Q = mg ) = ( ). 4

5 Do wzorów tych wchodzą następujące wiekości mierzone: T1, T, Q i. Błędy pomiaru tych wiekości są od siebie niezaeżne i wynoszą: = 0,5%, = 0,5%, = 0,00005 kg, = 0,0001 m. Błąd wyznaczania momentu bezwładności okreśa wzór: = (9) Pochodne cząstkowe wchodzące do wzoru (9) = 1 +, = Błąd wzgędny pomiaru wynosi: = (), =, (10) (). 100%. (11) Wyznaczanie momentu bezwładności eementu metodą zawieszenia jednostrunowego.1 Opis urządzenia pomiarowego Urządzenie (zob. rysunek 3a) składa się z podstawy (1), struny (), uchwytu (3) i eementu badanego (4). Eement badany mocuje się w uchwycie tak, żeby jego główna oś pokrywała się z osią struny.. Wprowadzenie teoretyczne Badany eement zawieszony na strunie (zob. rysunek 3b) stanowi układ drgający, reaizujący drgania skrętne. Ruch układu opisuje równanie: gdzie: Σ = + Bo moment bezwładności uchwytu, B moment bezwładności eementu badanego, M moment reakcyjny wywołany skręceniem struny, Σ + = 0, (1) =, (13) 5

6 gdzie: φ kąt skręcenia struny, G moduł sprężystości poprzecznej, =, d- średnica struny, długość struny. ub a) b) Rysunek 3. Urządzenie pomiarowe (a) i badany eement (b). Uwzgędniając (13) w (1) + = 0 (14) + = 0. (14a) Oznaczając =, (15) otrzymujemy + = 0. (16) Jest to równanie drgań harmonicznych o częstości kołowej α. Okres drgań zostaje obiczony z zaeżności: 6

7 = = (17) skąd gdzie: Wiedząc, że = + i uwzgędniając (18) otrzymujemy Da samego uchwytu otrzymuje się =. (18) + =, (19) = Dzieąc równanie (19) przez (1) otrzymujemy. (0) =. (1 ) skąd =, ( ) = 1. (a) Uwzgędniając (1) w (0) można znaeźć: =. (3) Wzory (a) i (3) pozwaają na wyznaczenie wartości poszukiwanych wiekości B oraz G..3 Przebieg ćwiczenia 1. Pomiar długości (miarką) i średnicy d (mikromierzem) struny.. Zamocowanie badanego eementu w uchwycie tak, żeby jego główna oś pokrywała się z osią struny. 3. Wprowadzenie układu w ruch drgający (drgania skrętne); kąt obrotu +/ Pomiar czasu 50 pełnych wahnięć (kika razy, wg wskazań prowadzącego), okreśenie średniej z tych pomiarów i okresu T wahań. 5. Zdjęcie badanego eementu. 6. Pomiar czasu 50 pełnych wahnięć (kika razy, wg wskazań prowadząc) wprowadzonego w drgania samego uchwytu, okreśenie średniej z tych pomiarów i okresu wahań. 7. Obiczenie B za pomocą wzoru (a) 8. Obiczenie G za pomocą wzoru (3) 7

8 9. Obiczenie błędu pomiaru. Moment bezwładności przyjmujemy za dany..4 Anaiza błędu Moment bezwładności eementu badanego okreśamy z wzoru (a). Do wzoru wchodzą wiekości, i. Błędy tych wiekości wynoszą: - błąd metody geometrycznej, za pomocą której wyznaczono - błąd pomiaru = - błąd okreśenia momentu bezwładności = 1%, (4) = 0,5%, (5) = + +. (6) Pochodne cząstkowe wchodzące do wzoru (6): = 1 =, =, =. (7) Uwzgędniając (4) i (5) w (7) otrzymamy: = 0,01, = 0,01, (8) = 0,01, stąd błąd wyznaczenia momentu bezwładności: Błąd wzgędny wynosi = 0,01 + +, (9) = 1 + %, ub = 1 + %. (30) 8

9 3 Środek masy i moment bezwładności układów złożonych Położenie środka masy C układu złożonego, odmierzane wzgędem osi x (w kierunku y) można okreśić wzorem: = gdzie mi, ai oznaczają odpowiednio masę i odegłość środka masy eementu i., Rysunek 4. Przykładowe ciało sztywne. Pokazany na rysunku 4 przykładowy układ złożony jest z 3 eementów wykonanych z materiału o gęstości. Poniżej podano wzory okreśające masę, odegłość środka masy eementu od osi x oraz masowe momenty bezwładności wzgędem osi prostopadłych do płaszczyzny rysunku i przechodzących przez środek masy danego eementu: 1) prostopadłościan o grubości g1 z otworem d1: - masa prostopadłościanu m1p= g1 1 h1, - masa otworu m1o= g1 πd1 /4, - odegłość środka masy a1= h1/, - moment bezwładności B1= m1p (1 + h1 ) m1o d1, ) prostopadłościan o grubości g : - masa m= g h, - odegłość środka masy a=3 + h/, - moment bezwładności B= m ( + h ), 3) waec o średnicy d3 : - masa m3= 3 πd3 /4, - odegłość środka masy a3=3/, - moment bezwładności B3= m3 (3 + d3 ). 9

10 Środek masy całego układu obiczymy wg wzoru a=(m1p a1 m1o a1+m a+m3 a3)/(m1p m1o+m+m3). Moment bezwładności całego układu wzgędem osi prostopadłej do płaszczyzny rysunku przechodzącej przez środek masy C wyznaczymy korzystając z twierdzenia Steinera: B= B1+ (m1p m1o) (a + h1/) + B + m (a 3/) + B3 + m3 (3 a + h/). Tabea 1. Masowe momenty bezwładności najczęściej spotykanych brył (oznaczone symboem I - zamiast B jak w powyższym tekście). 10

11 4 Wymagania wstępne Przed przystąpieniem do ćwiczenia wymagana jest: - znajomość wzorów okreśających okres drgań wahadła fizycznego oraz umiejętność wyprowadzania wzorów okreśających masowy moment bezwładności metodą wahadła fizycznego oraz metodą zawieszenia jednostrunowego; - znajomość wzorów okreśających położenie środka ciężkości oraz masowy moment bezwładności złożonego układu (z wykorzystaniem twierdzenia Steinera) i umiejętność wyprowadzenia tych wzorów da układu złożonego z kiku prostych figur, - znajomość na pamięć wzorów okreśających moment bezwładności podstawowych ciał: punktu materianego, cienkiego pręta (oś w środku ub na końcu pręta), waca oraz prostopadłościanu. Przykładowe pytania: - podaj wzory na moment bezwładności da waca i prostopadłościanu - wyznacz wzór na odegłość środka masy prostego układu złożonego z kiku figur (podany będzie rysunek z wymiarami figur), - wyznacz wzór na moment bezwładności prostego układu złożonego z kiku figur (wg podanego rysunku), - wyprowadź wzór na odegłość środka masy od osi zawieszenia korbowodu (wg przykładu w rozdziae 1.) w funkcji okresów drgań T1 i T, - wyprowadź wzór na równanie drgań harmonicznych wykorzystywane w metodzie zawieszenia jednostrunowego. Literatura 1. J. Awrejcewicz: Mechanika. WNT, Warszawa Z. Towarek: Mechanika ogóna. Zagadnienia wybrane. Wydawnictwo PŁ, Łódź J. Leyko : Dynamika układów materianych. PWN, Warszawa M. E. Niezgodziński M.E., T. Niezgodziński T.: Wytrzymałość materiałów. PWN, Warszawa Z. Parszewski: Teoria maszyn i mechanizmów. WNT, Warszawa

12 .4) Wyznaczenie błędu pomiaru momentu bezwładności metodą wahadła fizycznego B 4T 1 = T 1 B 4T = T Aktuaizacja GW POLITECHNIKA ŁÓDZKA Katedra Automatyki, Biomechaniki i Mechatroniki Łódź, dnia... Ćwiczenie 4. Badanie masowych momentów bezwładności DZIEŃ ZAJĘĆ (pn., śr., czw.) GODZINA OCENA L.p. IMIĘ i NAZWISKO DATA: PODPIS: INDEKS L.p. PROWADZĄCY: DATA ODDANIA /PODPIS ODBIERAJĄCEGO DATA ODDANIA PO POPRAWIE / PODPIS ODBIERAJĄCEGO IMIĘ i NAZWISKO INDEKS B 4m = m B 4 = - błąd pomiaru B i błąd wzgędny ( B / B)100% 4B B 100% = 100% = UWAGA: WYNIKI WSZYSTKICH OBLICZEŃ PODAWAĆ Z DOKŁADNOŚCIĄ NIE MNIEJ NIŻ 3 I NIE WIĘCEJ NIŻ 5 CYFR ZNACZĄCYCH (OPTYMALNIE 4 CYFRY, np itp.) NIE MYLIĆ CYFR ZNACZĄCYCH Z LICZBĄ MIEJSC PO PRZECINKU! 1 ) Wyznaczanie momentu bezwładności tarczy metodą zawieszenia jednostrunowego statyw - uchwyt 3 - struna 4, 5 - wkręty mocujące strunę 6 - znacznik do obserwacji drgań Schemat układu pomiarowego struna odegłość między środkami wycięć na strunie długość struny [mm] =... eement badany uchwyt B B 0 Wyniki pomiarów okresu wahań: L.p. Czas 50 wahnięć samego uchwytu τ 0 [s] L.p. Czas 50 wahnięć uchwytu z badanym eementem [s] τ W N I O S K I 6 średnica struny [m] =... d[mm] - pomiar w 3 miejscach: Masowy moment bezwł. uchwytu OBLICZENIA: Stanowisko pomiarowe Wartość średnia d[m] =... B 0 = 0,00474 kg m wart. średnia τ wart. średnia τśr [s] 0śr [s] okres wahań T 0 [s] okres wahań T [s] B [ kg m ] = B T 0( - 1)= T ( ) 4B B [%]= 1 + T T T = 0 biegunowy mom. bezwładności przekroju struny I =... G [Pa]= 4 ¼ B 0 I T 0 =

13 .3) Obiczenia środka masy i momentu bezwładności wg wymiarów i mas eementów zadanej bryły..1) Pomiary okresu wahań zadanej bryły w punktach zawieszenia A i B WPISAĆ WYMIARY ELEMENTÓW da ZADANEJ BRYŁY C - środki ciężkości brył grubość 1 h1' h h3 1 3 h1' =...[mm] x y a C h1 =...[mm] 3 h1 A B 1 =...[mm] h=h3=...[mm] =3=...[mm] h4 h4 =...[mm] masa m [g]=... powierzchnia s1 [mm]=h1 1= powierzchnia s=s3 [mm]=h = powierzchnia s4 [mm]=h4 4= Wyniki pomiarów okresu wahań m [kg]=... Czas 50 wahnięć Czas 50 wahnięć przy zawieszeniu przy zawieszeniu L.p. L.p. w punkcie A w punkcie B τ1 [s] τ [s] odegłość między punktami zawieszenia A i B si - powierzchnia eementu i, s - łączna powierzchnia. łączna powierzchnia s=s1+s+s3+s4=.3.) s m1 [kg]= s1 m= 4 =...[mm] [mm] =... masa g1,,3,4=...[mm] [m] =... od. środka masy 4 grubość 1 1 h1 =...[mm] 3 h1 A.3.1) g1,,3,4=...[mm] 4 h h3 UWAGI: - Da uproszczenia zapisu obiczeń pośrednie wyniki wyznaczać da wymiarów w [mm]. Końcową wartość momentu bezwładności przeiczyć z [kg mm] na [kg m] - Grubości eementów 1-4 są jednakowe, zatem znając masę m całej mi = si/s m bryły możemy okreśić masy mi jej poszczegónych eementów ze wzoru: x y a C 3 1 =...[mm] h=h3=...[mm] B B1 [kg mm] =.3.3) h4 =...[mm] h4 4 moment bezwładności eementu 1 wzgędem osi przechodzącej przez jego własny środek masy: wartość okanego przyspieszenia ziemskiego g = 9.81 m/s =3=...[mm] 4 =...[mm] 4 masa s m=m3[kg]= s m= m i m3 od osi x (znak wg kierunku y): a=a3 [mm] = od. środka masy A wartość średnia wartość średnia τ1śr [s]... a m1 od osi x (znak wg kierunku y): a1 [mm] = τśr [s]... okres wahań okres wahań C T1= τ1śr 50 [s]... T= τśr 50 [s]... a [m]= gt { 4¼ g(t1 +T ){ 8¼ = C e 3 moment bezwładności eementu ub 3 wzgędem osi przechodzącej przez jego własny środek masy: B=B3 [kg mm] = UWAGA! Przy obiczaniu momentu bezwładności w punkcie.3.6, da eementów oraz 3 naeży wstawiać odegłość e jako odegłość punktu C od środka masy każdego z tych eementów..3.4) masa.) Obiczenie odegłości środka ciężkości i momentu bezwładności wg pomiarów okresów wahań - metoda wahadła fizycznego - odegłość środka masy a e1 + e1= 1 = e = a a = B KORBOWÓD e e s m4 [kg]= s4 m= od. środka masy m4 od osi x (znak wg kierunku y): a4 [mm] = moment bezwładności eementu 4 wzgędem osi przechodzącej przez jego własny środek masy: B4 [kg mm] =.3.5) Środek masy całej bryły wzgędem osi x : m a +m a +m a +m a a[mm]= = m.3.6) Masowy moment bezwładności całej bryły wzgędem osi prostopadłej do płaszczyzny rysunku przechodzącej przez środek masy C : - moment bezwładności B B [kg mm] = B [kg m ]= ma( T1 g 4¼ { a) = -6 B [kg m] = 10 B [kg mm] =