Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów. Etap szkolny 5 listopada 2013 Czas 90 minut

Transkrypt

1 Wojewódzki Konkurs Maemayczny dla uczniów gimnazjów. Eap szkolny 5 lisopada 2013 Czas 90 minu ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie 1. (1 punk) Liczby A = 0, 99, B = 0, 99 2, C = 0, 99 3, D = 0, 99, E=0, 99 1 usawiono w kolejności rosnącej. Zaem: a) B < A < D < C < E b) A < D < E < B < C c) C < B < A < D < E d) A < B < C < D < E e) E < D < C < B < A Zadanie 2. (1 punk) Na zabawie było 12 osób (chłopców i dziewczą). Jeżeli jeden chłopiec opuści zabawę o liczba sposobów doboru par ańczących zmniejszy o 7. Ile było dziewczą na ej zabawie? (uwaga: dziewczynki ańczą ylko z chłopcami) a) 7 b) 6 c) 5 d) 8 e) 9 Zadanie 3. (1 punk) Liera x w liczbie 28692x oznacza cyfrę jedności. Jaka o cyfra, jeżeli a liczba jes podzielna jednocześnie przez 3 i przez 4? a) 0 b) 3 c) 8 d) 4 e) 6 Zadanie 4. (1 punk) Wykres funkcji y = 2x + b przechodzi ylko przez I i III ćwiarkę układu współrzędnych. Jaki warunek musi spełniać b? a) b = 2 b) b = 0 c) b = 2 d) b = 1 2 e) b = 1 2 Zadanie 5. (1 punk) Ką wewnęrzny pewnego wielokąa foremnego ma miarę 162 o. Ile boków ma en wieloką? a) 10 b) 15 c) 18 d) 20 e) 22 Zadanie 6. (1 punk) Ile wynosi promień okręgu opisanego na rójkącie o bokach długości 6 cm, 8 cm, 10 cm? a) 4 cm b) 5 cm c) 10 cm d) 8 cm e) nie można ego obliczyć

2 Zadanie 7. (1 punk) Zbiór zawierający wszyskie dzielniki liczby 64 o: a) {1, 2, 3, 4, 8, 16, 32} b) {1, 2, 3, 4, 8, 16, 32, 64} c) {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64} d) {1, 2, 3, 4, 8, 16, 64} e) {2, 4, 8, 16, 32} Zadanie 8. (1 punk) Drogę przebyą przez ciało poruszające się ruchem jednosajnie przyspieszonym opisuje wzór s = s 0 + v 0 + a2 2, gdzie s 0 droga począkowa ciała, v 0 prędkość począkowa ciała, czas rwania ruchu, a przyspieszenie. Przyspieszenie jes równe: a) 2s 2(s 0+v 0 ) b) 2(s s 0) 3 2v 2 0 c) 2s (s 0+v 0 ) d) s 2(s 0+v 0 ) e) s (s 0+v 0 ) Zadanie 9. (1 punk) Pole zacieniowanego obszaru wynosi : a) 324 9π cm 2 b) π cm 2 c) 81(4 π) cm 2 d) 9(9 π) cm 2 e) 81π cm 2 Zadanie 10. (1 punk) Suma rzech kolejnych liczb nieparzysych wynosi Największą z ych liczb jes: a) 671 b) 672 c) 673 d) 669 e) 2015

3 ZADANIA OTWARTE Rozwiązania zadań od 11. do 15. należy zapisać w wyznaczonym miejscu pod ich reścią. Zadanie 11.(3 punky) Obwód przedniego koła wozu wynosi 35 dm, a ylnego 44 dm. Na drodze z A do B przednie koło wykonało o 387 obroów więcej niż ylne. Oblicz odległość między A i B. Rozwiązanie: s odległość między A i B ilość obroów wykonana przez koło przednie wynosi: x p = s 35, ilość obroów wykonana przez koło ylne wynosi: x = s 44, Zgodnie z warunkami zadania Orzymujemy równanie: Po przekszałceniach: Odp: Odległość między A i B wynosi dm. Punkacja: x p = x s 35 = s ( 1 s 35 44) 1 = 387, s = 387, 9 s = dm. 1. Prawidłowe określenie niewiadomych 1 punk, 2. Prawidłowe ułożenie równań 1 punk, 3. Rozwiązanie równania i orzymanie prawidłowego wyniku 1 punk.

4 Zadanie 12.(3 punky) W równoległoboku sosunek boków wynosi 1 : 2, ką osry ma miarę 60, a dłuższa przekąna ma długość 2 7. Oblicz długości boków równoległoboku. Długość boku BC zosała oznaczona przez x, w związku z ym długość boku AB wynosi 2x. Długość przekąnej AC zgodnie z reścią zadania wynosi 2 7. Z wierzchołka C zosała opuszczona wysokość równoległoboku CE. Trójką BCE jes rójkąem prosokąnym o kąach 30, 60 i 90 i przeciwprosokąnej x. W związku z ym odcinek BE ma długość x 3 naomias wysokość h (CE) ma długość x 2 2 Długość odcinka AE jes sumą długości odcinków AB i BE wynosi więc AE = 2x + x 2, AE = 5x 2 Korzysając z wierdzenia Piagorasa dla rójkąa ACE orzymujmy równanie: Po podniesieniu do kwadrau Sąd wynika, że ( ) ( ) ( ) = 2 x + 2 x. 28 = 25 4 x x2. x 2 = 4, x > 0, x = 2. Odp. Boki równoległoboku mają długości 4 oraz 2. Punkacja: 1. Poprawny rysunek i wyznaczenie wysokości równoległoboku 1 punk, 2. Zaznaczenie rójkąa prosokąnego zawierającego przekąną 1 punk, 3. Uzyskanie rozwiązania 1 punk. Błędy rachunkowe nie mające wpływu na ok rozumowania nie wpływają na ocenę zadania.

5 Zadanie 13.(3 punky) Kóra z liczb jes większa 1 Odpowiedź uzasadnić. + 1 czy 1 + 1? Sprowadzając pierwszą z liczb do wspólnego mianownika orzymujemy : = Sprowadzając drugą z liczb do wspólnego mianownika orzymujemy : = Obie liczby mają jednakowe liczniki równe 4025 ak więc należy porównać ich mianowniki. Mianownik pierwszej liczby: Mianownik drugiej liczby: = ( ) 2011 = = ( ) ( ) = Mianownik drugiej liczby jes większy od mianownika pierwszej liczby. Liczby mają jednakowe liczniki ak więc a kóra ma mniejszy mianownik jes większa. 1 Odp: Uwaga: + 1 > Wymnożenie liczb w mianowniku jes oczywiście eż poprawnym sposobem porównania mianowników, niemniej w rozwiązaniu powinien znajdować się zapis mnożenia (nie może być wykonane przy pomocy kalkulaora lub innego pomocnika ) Rozwiązanie przez bezpośrednie dzielenie i sumowanie może być również zaakcepowane pod warunkiem, że jes wykonane z odpowiednią dokładnością i wynik jes poprawny oraz zapis dzielenia i sumowania znajduje się w pracy. Jeżeli zadanie zosanie poprawnie rozwiązane powyżej wspomnianymi meodami lub inną poprawna meodą może zosać ocenione na maksymalną liczbę punków. W przypadku braku obliczeń prowadzących do wyniku, zadania należy ocenić jako nierozwiązane. Punkacja: 1. Sprowadzenie obu liczb do wspłnego mianownika 1 punk, 2. Zauważenie, że liczniki są równe 1 punk, 3. Uzyskanie poprawnego rozwiązania 1 punk.

6 Zadanie 14.(3 punky) Wiek Sasia w roku 1969 był równy sumie cyfr jego roku urodzenia. Kóre urodziny obchodzi Saś w roku 2013? Przedsawić sposób obliczenia. Wiek Sasia w roku 1969 nie przekraczał liczby 36 kóra jes sumą cyfr Wynika sąd, że najwcześniejszy rok, w kórym Saś mógł się urodzić o jes =1933. Tak więc na pewno dwie pierwsze cyfry roku urodzenia o są 1 i 9. Przyjmując, że cyfra dziesiąek roku urodzenia wynosi x, a cyfra jednosek y, rok urodzenia Sasia można zapisać jako x + y naomias wiek Sasia w roku 1969 można obliczyć jako x + y = 10 + x + y. Porównując wiek w roku 1969 orzymujemy równanie: 1969 ( x + y) = 10 + x + y, 69 10x y = 10 + x + y, 11x + 2y = 59. Rozwiązaniem ego równania powinny być jednocyfrowe liczby całkowie. Wyznaczając x z ego równania orzymujemy y = x, y powinnno być liczbą całkowią spełniającą nierówność 1 y 9, x 9. 2 Po przekszałceniach: x Jedynymi liczbami całkowiymi spełniającymi ę nierówność są 4 i 5. Obliczając y w przypadku x = 4 orzymujemy y = = Nie jes o liczba całkowia więc nie spełnia warunków zadania. Obliczając y w przypadku x = 5 orzymujemy y = = = 2 Liczba y = 2 spełnia warunki zadania, ak więc Saś urodził się w roku Odp. W roku 2013 Saś będzie obchodził sześćdziesiąe pierwsze urodziny. Punkacja: 1. Zgadnięcie roku urodzenia i odpowiedź na pyanie z zadania 2 punky, 2. Wykazanie, że jes o jedyne możliwe rozwiązanie 1 punk.

7 Zadanie 15.(3 punky) Ogrodzona łąka ma kszał prosokąa kórego jeden z boków ma długość 20 m. W jednym z rogów łąki (wierzchołku prosokąa) na łańcuchu o długości 20 2 m zaczepiona jes koza. Jaka jes długość drugiego boku łąki, jeżeli część łąki dosępna dla kozy sanowi połowę całej łąki? x długość nieznanego boku prosokąa. Część łąki w zasięgu kozy jes sumą wycinka koła o kącie 45 o i promieniu 20 2 oraz rójkąa prosokąnego równoramiennego o długości przyprosokąnych 20. Pole łąki w zasięgu kozy można obliczyć jako sumę wymienionych figur. Całkowie pole łąki jes równe Z warunków zadania wynika, że po podsawieniu orzymujemy P kozy = π(20 2) 2 P kozy = π 100 P = 20 x P = 2 P kozy 20 x = 2 (200 + π 100) Osaecznie x = π Odp Drugi bok łąki ma długość π m. 1. Wykonanie poprawnego rysunku 1 punk, 2. Zauważenie rójkąa równoramiennego 1 punk, 3. Napisanie poprawnego równania 1 punk. Błędy rachunkowe nie wpływające isonie na sposób rozwiązania nie wpływają na ocenę.