Analiza matematyczna. 1. Ciągi

Transkrypt

1 Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n tym wyrazem ciągu i oznaczamy an) = a n. Ciąg liczbowy oznaczamy przez {a n }. Definicja 1.2 Funkcję α: N N odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb naturalnych taką, że αn + 1) > αn) nazywamy podciągiem ciągu liczbowego. Uwaga 1.1 Podciąg można traktować jako złożenie funkcji a z funkcją α a α)k) = aαk)) = a nk) n = αk)) Przykład 1.1 Niech {a n } = 2n + 1, czyli {a n } = 3, 5, 7,..., 2n + 1,...) i niech αk) = k 2. Wtedy a α)k) = 2k 2 + 1, więc wyrazy podciągu to: 3, 9, 19, 33,...) Definicja 1.3 definicja granicy ciągu) Mówimy, że liczba g jest granicą ciągu {a n }, gdy spełniony jest warunek Liczbę g nazywamy granicą ciągu {a n }, jeśli dla każdej liczby dodatniej ε można tak dobrać liczbę naturalną p, że dla wszystkich wskaźników n > p wyrazy ciągu {a n } będą należeć do przedziału g ε, g + ε). Gdy g jest granicą ciągu {a n }, to piszemy lim a n = g n Twierdzenie 1.1 Jeśli g jest granicą ciągu {a n }, to g jest też granicą każdego podciągu a nk). Z istnienia granicy ciągu {a n } mamy: Ponieważ k n k jest rosnącym ciągiem liczb naturalnych, to istnieje liczba k taka, że k > p. Gdy k > k, to n k > p bo z własności podciągu n k > n k ). Stąd mamy k N a nk) g < ε n lim a nk) = g k>k

2 Twierdzenie 1.2 Każdy ciąg {a n } niemalejący a n a n+1 ) i ograniczony od góry jest zbieżny oraz g = lim n = sup{a n } Korzystając z definicji kresu górnego mamy: sup A ε < x sup A x A Przyjmijmy g = sup{a n }, wtedy g ε < a p g < g + ε co oznacza, że granicą ciągu {a n } jest liczba g. Twierdzenie 1.3 Każdy ciąg zbieżny {a n } jest ograniczony. n > p ) Ze zbieżności ciągu {a n } mamy: Ustalmy więc ε, wtedy dla n > p. Korzystając z własności modułów a b a b ) otrzymujemy a n g dla n > p, czyli a n < g + ε. Powyższa nierówność nie jest spełniona dla n = 1,..., p. Przyjmijmy zatem M = max{ a 1,..., a p, g + ε}. Wtedy a n < M dla wszystkich n. Twierdzenie 1.4 Jeśli g 0 jest granicą {a n }, to istnieją liczby ε 0, p takie, że: a n > g ε 0 dla n > p Ze zbieżności ciągu {a n } mamy: Ustalmy ε 0. Wtedy a n g 0 dla n > p. Z własności modułów mamy: b a b a = a b, więc g a n a n g < ε 0, czyli a n > g ε 0 dla n > p Twierdzenie 1.5 Jeśli ciąg {a n } ma granicę a i ciąg {b n } ma granicę b, to ciąg {a n +b n } ma granicę a+b Ze zbieżności ciągów {a n } i {b n } mamy: a n a < ε 2 b n b < ε 2 Niech p = max{s, t}. Wtedy dla n > p oba warunki są prawdziwe jednocześnie. Więc: a n + b n ) a + b) = a n a) + b n b) a n a + b n b < ε 2 + ε 2 = ε

3 Twierdzenie 1.6 Jeśli ciąg {a n } ma granicę a i ciąg {b n } ma granicę b, to ciąg {a n b n } ma granicę a b Twierdzenie 1.7 Jeśli ciąg {a n } ma granicę a i ciąg {b n } ma granicę b, to ciąg {a n b n } ma granicę ab Ze zbieżności ciągów {a n } i {b n } oraz z 1.3) mamy: a n a < ε b n b < ε M a n < M Niech p = max{s, t}. Wtedy dla n > p mamy: a n a < ε oraz b n b < ε. Więc dla n > p dostajemy: a n b n ab a n b n a n b + a n b ab = a n b n b + a n a b < Mε + ε b = ε Twierdzenie 1.8 Jeśli ciągi {a n } i {b n } mają granice a i b 0, to ciąg {a n }/{b n } ma granicę a/b Ze zbieżności ciągów {a n } i {b n } oraz z 1.4) mamy: a n a < ε b n b < ε v b n > b ε Niech p = max{s, t, v}. Wtedy dla n > p wszystkie warunki zachodzą jednocześnie. Wówczas dla n > p mamy: a n a b n b = a n b ab n b n b a n a b + a b n b < c b gdzie c = b ε Twierdzenie 1.9 o trzech ciągach) Jeśli g jest granicą ciągów {a n } i {b n }, to v N n>v a n x n b n lim n x n = g ε b + a ) c b = ε Ze zbieżności ciągów {a n } i {b n } mamy: g ε < a n < g + ε g ε < b n < g + ε Niech p = max{s, t, v}. Wtedy dla n > p mamy: g ε < a n x n b n < g + ε g ε < x n < g + ε lim n x n = g

4 Twierdzenie 1.10 Weierstrassa) Z każdego ograniczonego ciągu {a n } można wybrać podciąg zbieżny. Niech wyrazy ciągu {a n } leżą w przedziału [a, b], a s 1 niech będzie jego środkiem: s 1 = 1 2 a + b). Rozważmy przedziały [a, s 1] i [s 1, b]. Przynajmniej w jednym z nich leży nieskończenie wiele wyrazów {a n }. Oznaczmy go [l 1, p 1 ] i weźmy z niego pewien wyraz a n1), więc l 1 a n1) p 1. Niech s 2 będzie środkiem odcinka [l 1, p 1 ]. Rozważmy przedziały [l 1, s 2 ] i [s 2, p 1 ]. W przynajmniej jednym z nich leży nieskończenie wiele wyrazów {a n }. Oznaczmy ten przedział [l 2, p 2 ] i weźmy z niego element a n2) tak, by n 2 > n 1 warunek z def. podciągu). Mamy zatem l 2 a n2) p 2. Powtarzając to postępowanie otrzymujemy podciąg a n1), a n2),... wyrazów ciągu {a n } taki, że a nk) [l k, p k ], gdzie każdy kolejny przedział [l k, p k ] jest zawarty w poprzednim, a długość przedziału [l k, p k ] wynosi b a)/2 k. Zauważmy, że ciągi {l k },{p k } lewych i prawych końców tych przedziałów) są ograniczone [l k, p k ] [a, b]) i monotoniczne l k+1 = l k p k+1 p k ) l k+1 l k p k+1 = p k ) Ciąg {l k } jest niemalejący, a ciąg {p k } jest nierosnący, więc oba ciągi są zbieżne na mocy 1.2). Stąd istnieją granice l i p tych ciągów, przy czym l k. Ponieważ zaś 0 p k l k b a 2 k to na mocy tw. o trzech ciągach mamy, że {p k l k } 0, czyli l = p = g. Ponieważ l k a nk) p k i znów z tw. o trzech ciągach dostajemy {a nk) } g Rozpatrzymy teraz istnienie granicy lim ) n n n Pokażemy, że powyższy ciąg jest niemalejący. Skorzystamy z nierówności Bernoulli ego: 1 + x) n > 1 + nx, n N, n > 1, x > 1 podstawiając x = n 2. Wtedy 1 1 ) n ) n ) n 1 1 n 2 n n n n 1 + n) 1 n 1 n) 1 n 1) ) n n 1 = = ) n 1 n 1 n 1 Ponadto ciąg ten jest też ograniczony 1 + n) 1 n ) = + n 0 n 1 ) 1 n + n 2 ) 1 n nn 1) = nn 1) n 2 2! n n 1 n 1)! Ponieważ wszystkie ułamki są mniejsze od jedności to n ) n 1 n 1 n + n 1 ) n ! n 1)! + 1 n! < 3 ) n 1 n n = n + nn 1) n n 1 n! Pokazaliśmy, że badany ciąg jest monotoniczny i ograniczony, a zatem jest zbieżny. Granica tego ciągu jest nazywana liczbą Eulera i oznaczana literą e. lim ) = e n n

5 Definicja 1.4 Mówimy, że ciąg {a n } spełnia warunek Cauchy ego, jeśli a n a m < ε Twierdzenie 1.11 Jeśli ciąg {a n } spełnia warunek Cauchy ego, to jest ograniczony. Ustalmy ε 0. Wtedy a n a m < ε 0 Ustalmy m 0 N. Wówczas a n a m0) < ε 0 dla n > p. Z własności modułów mamy a n a m0) a n a m0) < ε 0 a n a m0) < ε 0 a n < a m0) + ε 0 Powyższej nierówności nie spełniają wyrazy a 1,... a p. Przyjmijmy więc M = max{ a 1,... a p, a m0) + ε 0 } Wówczas dla wszystkich n N mamy a n < M. Twierdzenie 1.12 Jeśli ciąg {a n } spełnia warunek Cauchy ego, to jest zbieżny. Z założenia twierdzenia oraz z twierdzenia 1.11) mamy a n a m < ε M N a n < M Ciąg {a n } jest ograniczony. Wybierzmy z niego podciąg zbieżny do pewnej liczby a R a nk) a < ε ) k>p Pokażemy, że {a n } a. Niech n > p i k > p. Wtedy n k > p. Niech m = n k. Wtedy a n a nk) < ε oraz a nk) a < ε, dla n, k > p. Wówczas a n a < a n a nk) + a nk) a < 2ε = ε lim n a n = a Copyright c Grzegorz Gierlasiński