Czym jest ciąg? a 1, a 2, lub. (a n ), n = 1,2,

Transkrypt

1 Ciągi liczbowe

2 Czym jest ciąg? Ciąg liczbowy, to funkcja o argumentach naturalnych, której wartościami są liczby rzeczywiste. Wartość ciągu dla liczby naturalnej n oznaczamy symbolem a n i nazywamy n-tym wyrazem ciągu. Ciąg oznaczamy symbolem lub a 1, a 2, (a n ), n = 1,2,

3 Suma częściowa ciągu Mając dany ciąg liczbowy (a n ), n = 1,2, możemy utworzyć nowy ciąg liczbowy zwany sumą częściową: wzorem (S n ), n = 1,2, S n = a 1 + a a n.

4 Ciągi monotoniczne Ciąg liczbowy (a n ) nazywamy rosnącym, gdy dla każdego indeksu naturalnego n zachodzi nierówność a n+1 > a n. Ciąg liczbowy (a n ) nazywamy malejącym, gdy dla każdego indeksu naturalnego n zachodzi nierówność a n+1 < a n. Ciąg (a n ) spełniający równość a n+1 = a n nazywamy stałym.

5 Przykłady a n = n 1 n + 1 a n+1 a n = n n + 2 n 1 n + 1 = n(n + 1) (n 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2) = 2 (n + 1)(n + 2) > 0. a n+1 > a n ciąg jest rosnący b n = log 2 (n) log 2 (n + 1) b n+1 b n = log 2 (n + 1) log 2 (n + 2) log 2 (n) + log 2 (n + 1) = log 2 (n + 1) 2 n(n + 2) = = log 2 n(n + 2) + 1 n(n + 2) > log 2 1 = 0 b n+1 < b n ciąg jest rosnący

6 Ciągi ograniczone Mówimy, że ciąg liczbowy (a n ) jest ograniczony z góry, gdy dla pewnej liczby M wszystkie wyrazy ciągu spełniają relację a n M. Mówimy, że ciąg liczbowy (a n ) jest ograniczony z dołu, gdy dla pewnej liczby m wszystkie wyrazy ciągu spełniają relację m a n. Ciąg ograniczony z góry i z dołu nosi miano ciągu ograniczonego.

7 Przykłady a n = n 1 n + 1 a n = n 1 n + 1 = n n + 1 = 1 2 n + 1 1, a n 0. Ciąg (a n ) jest ograniczony z góry przez 1 i ograniczony z dołu przez 0. b n = log 2 (n) log 2 (n + 1) b n = log 2 (n) log 2 (n + 1) = log 2 ( Ciąg (b n ) jest ograniczony z góry przez 0. b n = log 2 (n) log 2 (n + 1) = log 2 ( n n + 1 ) log 2 (1) = 0. Ciąg (b n ) jest ograniczony z dołu przez 1. n n + 1 ) log 2 (1/2) = 1.

8 Ciąg arytmetyczny Ciąg (a n ) nazywamy ciągiem arytmetycznym, gdy istnieje taka liczba r, że a n+1 a n = r. Liczbę r nazywamy wówczas różnicą ciągu arytmetycznego. n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: a n = a 1 + (n 1)r. średnia arytmetyczna: a n = a n 1 + a n+1 2. n-ta suma ciągu arytmetycznego: S n = a 1 + a n 2 n.

9 Przykład Załóżmy, że dysponujemy kwotą złotych w gotówce. Decydujemy się założyć w banku lokatę rentierską, tzn. odsetki z zainwestowanego kapitału nie są kapitalizowane na rachunku rentierskim, lecz są przelewane na nasz rachunek osobisty. Jeśli przyjmiemy najniższą stopę oprocentowania takich lokat (na dzień dzisiejszy 2,5% w skali rocznej), to odkładane co miesiąc na naszym rachunku osobistym kwoty będą układać się w ciąg arytmetyczny: 250, 500, 750, Różnicą tego ciągu jest 250, pierwszym wyrazem również 250.

10 Ciąg geometryczny Ciąg (a n ) nazywamy ciągiem geometrycznym, gdy istnieje taka liczba q, że a n+1 : a n = q. Liczbę q nazywamy wówczas ilorazem ciągu geometrycznego. n-ty wyraz ciągu geometrycznego: a n = a 1 q n 1. średnia geometryczna: a n = a n 1 a n+1. n-ta suma ciągu geometrycznego: S n = a 1 1 qn 1 q, q 1. n-ta suma ciągu geometrycznego: S n = n a 1, q = 1.

11 Przykład Załóżmy, że dysponujemy kwotą złotych w gotówce. Decydujemy się założyć w banku lokatę o stałym oprocentowaniu, tzn. odsetki z zainwestowanego kapitału są kapitalizowane na rachunku lokaty i przelewane na nasz rachunek osobisty dopiero po zakończeniu okresu na jaki ulokowano kapitał. Jeśli przyjmiemy roczną stopę oprocentowania r = 2%, to kapitalizowane co miesiąc kwoty wraz z odsetkami będą układać się w ciąg geometryczny: (1+ r 12 ), (1+ r 12 )2, (1+ r 12 )3, Ilorazem tego ciągu jest 1 + r/12, pierwszym wyrazem

12 Elementy matematyki finansowej Odsetki proste i złożone

13 Oznaczenia PV - wartość obecna, bieżąca (Present Value) FV - wartość przyszła (Future Value) I - wielkość odsetek uzyskanych w danym okresie I = FV PV. t - okres czasu (czas trwania lokaty lub umowy kredytu) r - stopa procentowa

14 Odsetki proste Kwota odsetek uzyskanych w okresie t I = PV r t. Wartość przyszła danej kwoty kapitału FV = PV + I = PV (1 + r t). Wartość obecna danej kwoty kapitału PV = FV 1 + r t.

15 Przykład Ulokowano w banku kwotę 5000 złotych. Jaką kwotę odsetek i jaką przyszłą wartość uzyska się po 10 miesiącach, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi r roczna = 2%. Dane: PV = 5000, r roczna = 4 %, Szukane: I =? FV =? t = 10 miesięcy, Ponieważ zadanie dotyczy lokaty bankowej musimy obliczyć faktyczną roczną stopę procentową r faktyczna = 0,04 (1 0,19) = 0,04 0,81 = 0,0324 = 3,24 %.

16 Przykład Ulokowano w banku kwotę 5000 złotych. Jaką kwotę odsetek i jaką przyszłą wartość uzyska się po 10 miesiącach, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi r roczna = 2%. Dane: PV = 5000, r roczna = 4 %, Szukane: I =? FV =? t = 10 miesięcy, Obliczamy miesięczną faktyczną stopę procentową r miesieczna = 3,24 % 12 = 0,27 %.

17 Przykład Ulokowano w banku kwotę 5000 złotych. Jaką kwotę odsetek i jaką przyszłą wartość uzyska się po 10 miesiącach, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi r roczna = 2%. Dane: PV = 5000, r roczna = 4 %, Szukane: I =? FV =? t = 10 miesięcy, Obliczamy wielkość odsetek I = PV t r miesieczna = ,0027 = 135.

18 Przykład Ulokowano w banku kwotę 5000 złotych. Jaką kwotę odsetek i jaką przyszłą wartość uzyska się po 10 miesiącach, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi r roczna = 2%. Dane: PV = 5000, r roczna = 4 %, Szukane: I =? FV =? t = 10 miesięcy, Obliczamy przyszłą wartość kapitału FV = PV + I = = 5135.

19 Odsetki złożone Wartość przyszła danej kwoty kapitału FV = PV (1 + r) t. Stopa procentowa w rachunku odsetek złożonych r = t FV PV 1. Okres czasu w rachunku odsetek złożonych t = log FV PV log(1 + r).

20 Odsetki złożone Chcąc obliczyć odsetki naliczone w każdym podokresie, w momencie poprzedzającym moment kapitalizacji stosujemy wzór I j = PV (1 + r) t j r, j = 0,1,... gdzie t j jest podokresem pełnego okresu kapitalizacji t.

21 Przykład Założono w banku lokatę terminową w wysokości 8000 złotych. Jaka będzie wartość tej lokaty po upływie 9 miesięcy, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 4%, a odsetki naliczane są raz na kwartał? Jakie będą wielkości odsetek uzyskanych w każdym kwartale? Dane: PV = 8000, r roczna = 4 %, Szukane: FV =? I j =? j = 1,2,3. t = 9 miesięcy, Obliczamy faktyczną stopę procentową r faktyczna = 0,04 (1 0,19) = 0,04 0,81 = 0,0324 = 3,24 %.

22 Przykład Założono w banku lokatę terminową w wysokości 8000 złotych. Jaka będzie wartość tej lokaty po upływie 9 miesięcy, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 4%, a odsetki naliczane są raz na kwartał? Jakie będą wielkości odsetek uzyskanych w każdym kwartale? Dane: PV = 8000, r roczna = 4 %, Szukane: FV =? I j =? j = 1,2,3. t = 9 miesięcy, Sprowadzamy stopę procentową i czas do okresu kapitalizacji r kwartalna = 3,24 % 4 = 0,81, % t kwartalny = 9 3 = 3.

23 Przykład Dane: PV = 8000, r roczna = 4 %, Szukane: FV =? I j =? j = 1,2,3. t = 9 miesięcy, Obliczamy odsetki uzyskane w każdym kwartale, tzn. w momencie poprzedzający dany kwartał: I 1 = 8000 (1 + 0,0081) 0 0,0081 = 64,80, I 2 = 8000 (1 + 0,0081) 1 0,0081 = 65,33, I 3 = 8000 (1 + 0,0081) 2 0,0081 = 65,85.

24 Granica ciągu, ciągi zbieżne

25 Granica ciągu Obserwując niektóre ciągi liczbowe zauważamy, że ich wyrazy stabilizują się wokół jednej liczby, na przykład weźmy pod uwagę ciąg o wyrazie ogólnym a n = ( 1)n n, którego początkowe wyrazy to: 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, Te kolejne liczby co do wartości bezwzględnej leżą coraz bliżej zera. Taką wartość, w tym przypadku 0, nazywać będziemy granicą.

26 Granica ciągu Formalnie, liczbę g nazywać będziemy granicą ciągu (a n ), n = 1,2,, gdy w każdym przedziale otwartym o środku g i długości 2ε znajdują się prawie wszystkie wyrazy tego ciągu a n (g ε, g + ε) dla n n 0. Powyższy fakt zapisujemy w postaci lim n a n = g i czytamy: limes, przy n dążącym do nieskończoności ciągu (a n ) wynosi g.

27 Granica ciągu Ciągi, które posiadają granicę nazywamy ciągami zbieżnymi i mówimy, że ciąg zbiega do swojej granicy. Pozostałe ciągi nazywamy ciągami rozbieżnymi. Wsród ciągów rozbieżnych rozróżniamy dwa rodzaje: ciągi rozbieżne do plus nieskończoności i ciągi rozbieżne do - nieskończoności. Piszemy lim n a n = +, gdy w każdym przedziale (m, + ) leżą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu. Podobnie dla minus nieskończoności.

28 Symbole nieskończoności Symbole nieskończoności: +, nie są liczbami. Mimo to, wprowadzamy niektóre działania na nich: (+ ) + (+ ) = +, ( ) + ( ) =, a (+ ) = +, dla liczby dodatniej a, a (+ ) =, dla liczby ujemnej a, 1 + = 0, 1 = 0.

29 Symbole nieoznaczone Istnieją jednak działania, których nie możemy wykonać na symbolach nieskończonych. Nazywamy je symbolami nieoznaczonymi. Są nimi: (+ ) (+ ) ( ) ( ) 0 (+ ), 0 ( ), ± ±, 1 ±, (± ) 0. Do symboli nieoznaczonych należą również: 0 0, 00.

30 Wyznaczanie granicy ciągu Przy obliczaniu granicy ciągu korzystamy z następujących własności: lim n lim n lim n (a n ± b n ) = lim n (λ a n ) = λ lim n (a n b n ) = lim n a n ± lim n a n, a n lim n b n, b n, lim n a n = lim b n lim n a n n b n, o ile lim n b n 0.

31 Zastosowania

32 Nieskończony ciąg geometryczny i jego suma Niech (a n ) będzie ciągiem geometrycznym i ilorazie q. Wiemy, że jego suma częściowa n pierwszych wyrazów (w przypadku, gdy q nie jest jedynką) wyraża się wzorem. S n = a 1 1 qn 1 q. Granicę S tego ciągu, o ile istnieje, nazywamy sumą nieskończonego ciągu geometrycznego. Ponieważ to lim n q n = 0, gdy q < 1, S = a 1 1 q.

33 Kapitalizacja ciągła, liczba e Kapitalizacja ciągła jest szczególnym przykładem rachunku odsetek złożonych. Ma ona miejsce wówczas, gdy odsetki naliczane są w każdym momencie trwania lokaty, tzn. cały czas, bez przerwy. Liczba dokonywanych kapitalizacji w ciągu roku (oznaczana przez n) zmierza w tej sytuacji do nieskończoności. Chcą obliczyć wartość przyszłą lokaty kapitalizowanej w sposób ciągły, należy wyznaczyć następującą granicę FV = lim PV 1 + r n t n ( n ).

34 Kapitalizacja ciągła, liczba e W powyższym wzorze w naturalny sposób pojawia się liczba e, którą definiuje się jako następującą granicę e = lim n ( n n ) Liczba e = 2, jest liczbą niewymierną, drugą niezmiernie ważną w zastosowaniach stałą zaraz po liczbie pi. Z powyższej definicji dostajemy wzór na wartość końcową kapitalizacji ciągłej: FV = PV e t r..

35 Przykład Jaką kwotę ulokowano w banku, jeżeli po 10 miesiącach otrzymano 6714,05 złotych? Stopa procentowa wynosiła 1,2% kwartalnie, a odsetki kapitalizowane były w sposób ciągły. Dane: FV = 6714,05, r kwart = 1,2 %, t = 10 miesięcy, Szukane: PV =? Obliczamy faktyczną stopę procentową r f = 0,012 (1 0,19) = 0,972 %.

36 Przykład Jaką kwotę ulokowano w banku, jeżeli po 10 miesiącach otrzymano 6714,05 złotych? Stopa procentowa wynosiła 1,2% kwartalnie, a odsetki kapitalizowane były w sposób ciągły. Dane: FV = 6714,05, r kwart = 1,2 %, t = 10 miesięcy, Szukane: PV =? Obliczamy miesięczną faktyczną stopę procentową r m = 0,972 % 3 = 0,324 %.

37 Przykład Jaką kwotę ulokowano w banku, jeżeli po 10 miesiącach otrzymano 6714,05 złotych? Stopa procentowa wynosiła 1,2% kwartalnie, a odsetki kapitalizowane były w sposób ciągły. Dane: FV = 6714,05, r kwart = 1,2 %, t = 10 miesięcy, Szukane: PV =? Obliczamy wartość początkową, obecną lokaty PV = FV e r m t = 6714,05 = e10 0,00324