Wykład Pojemność elektryczna. 7.1 Pole nieskończonej naładowanej warstwy. σ-ładunek powierzchniowy. S 2 E 2 E 1 y. ds 1.

Transkrypt

1 Wykład 9 7. Pojemność elektyczna 7. Pole nieskończonej naładowanej wastwy z σ σładunek powiezchniowy S y ds x S ds 8 maca 3 Reinhad Kulessa

2 Natężenie pola elektycznego pochodzące od nieskończonej naładowanej wastwy możemy wyznaczyć dwoma sposobami, metodą supepozycji, oaz w opaciu o pawo Gaussa. Zgodnie z pawem Gaussa całkowity stumień jest ówny Φ ε Linie natężenia pola elektycznego są postopadłe do naładowanej płaszczyzny, wobec tego całkowity stumień wynosi: Φ ( ds ds ) S Widzimy z ysunku, że ds Całkowity stumień jest więc ówny: 8 maca 3 Reinhad Kulessa ds,

3 8 maca 3 Reinhad Kulessa 3 ε σ ε Φ S S Czyli: ε σ Pole pochodzące od tej wastwy wygląda następująco: y z y ε σ y ε σ

4 7. Pole między dwoma nałądowanymi wastwami σ i σ Zastanówmy się jaka jest watość pola pomiędzy dwoma pzeciwnie naładowanymi wastwami. σ σ σ ε σ ε y σ ε σ ε 8 maca 3 Reinhad Kulessa 4

5 7.3 Kondensato płaski Zajmijmy się układem dwóch płaskoównoległych pzewodników (elektod) o powiezchni S położonych w odległości d od siebie. lektody są naładowane odpowiednio ładunkami i. Układ taki nazywamy kondensatoem płaskim. Gęstość S powiezchniowa ładunku wynosi: σ /S d Pole wewnątz elektod z pominięciem efektów bzegowych jest jednoodne. Niech óżnica potencjałów pomiędzy elektodami wynosi V. 8 maca 3 Reinhad Kulessa 5

6 Oznaczmy tą óżnicę pzez V. V V ( ) ( ) Z zależności pomiędzy potencjałem a natężeniem pola elektycznego. (5.9) otzymujemy, że: Widzimy więc, że: ( ) ( ) V V d V V d d, a kozystając z obliczonej popzednio watości natężenia pola elektycznego pomiędzy dwoma naładowanymi płaszczyznami otzymujemy: V ε d S (7.) 8 maca 3 Reinhad Kulessa 6

7 Wpowadźmy pojęcie pojemności kondensatoa jako współczynnika we wzoze: (7.) Pojemność kondensatoa płaskiego wynosi więc: C V C ε d S (7.3) 8 maca 3 Reinhad Kulessa 7

8 7.4 Kondensato kulisty Rozpatzmy układ dwóch współśodkowych czasz kulistych naładowanych odpowiednio ładunkami i. R ds ds ds Pole elektyczne dla takiego układu jest polem adialnym, więc () Policzmy stumień pola elektycznego pzechodzącego pzez powiezchnię kuli w śodku i pomieniu R R < <. 4πR 8 maca 3 Reinhad Kulessa 8

9 8 maca 3 Reinhad Kulessa 9 Z pawa Gaussa otzymamy: 4 4 R R πε ε π dla dowolnego R z podanego popzednio pzedziału. Różnica potencjałów VV V watość: d d V πε πε πε Zgodnie z wzoem (7.) otzymujemy na pojemność kondensatoa złożonego z dwóch czasz kulistych wyażenie:

10 C 4πε (7.4) Z wyażenia tego widać, że gdy pojemność kondensatoa kulistego, inaczej mówiąc pojemność pzewodnika będącego kulą jest ówna: C 4πε 8 maca 3 Reinhad Kulessa Jednostką pojemności w układzie SI jest FARAD. C F A V [ 4 m kg s ] Pojemność kuli ziemskiej, R~6.4 6 m, C 7 µf, a kula o pojemności F ma pomień 9 6 km.

11 7.5 Kondensato cylindyczny. Kondensato cylindyczny składa się z dwóch współśodkowych cylindów o p pomieniach a i b. a b Stosując Pawa Gaussa dla dowolnej odległości od śodka walców otzymujemy, że Pow. l πl ε Na watość potencjału otzymamy więc wyażenie: 8 maca 3 Reinhad Kulessa

12 V a b πε πε d l l a b a b d πε πε l πε d ( ln a lnb) b a ( ) lnb ln a ln l l Pojemność kondensatoa cylindycznego wynosi więc: C V πε l b ln a (7.5) 8 maca 3 Reinhad Kulessa

13 7.6 Łączenie kondensatoów 7.6. Połączenie ównoległe V 3 4 C C C 3 C 4 V 3 4 Potencjał V V V jest taki sam na każdym kondensatoze. Ładunek, któy znajduje się na każdym z kondensatoów i C i V, a całkowity ładunek i i. Otzymujemy więc V V C i i C i i. Czyli C C i i (7.5) 8 maca 3 Reinhad Kulessa 3

14 7.5. Połączenie szeegowe C C C 3 C 4 V V V V 3 V 4 Ładunki na okładkach kondensatoów połączonych szeegowo są jednakowe. Całkowita óżnica potencjałów jest ówna sumie óżnic potencjałów między okładkami poszczególnych kondensatoów. V V i i V i Wiemy, że czyli C i / i V C. 8 maca 3 Reinhad Kulessa 4

15 Otzymujemy więc C i C i (7.6) 8 maca 3 Reinhad Kulessa 5

16 7.6 Ziemia jako kondensato kulisty Mimo, że wydaje się nam, że Ziemia jest ładunkowo obojętna, to doświadczenie uczy, że tak nie jest. Na Ziemi zachodzi szeeg zjawisk chaakteystycznych dla ciał naładowanych. Znane nam są wszystkim wyładowania atmosfeyczne w czasie buz, ale jak jest w czasie gdy nie ma buz. Okazuje się, że w atmosfeze istnieje pionowe pole elektyczne o natężeniu ~ V/m. Co m wysokości potencjał wzasta o V. Ładunek Ziemi jest ujemny. Waunkiem istnienia pola jest:. Obecność jonów w atmosfeze,. Rozdzielenie istniejących ładunków pzez jakiś mechanizm. Ad.. Pzypuszczano, że obecność jonów w atmosfeze związana jest z natualna pomieniotwóczością. Wtedy liczba 8 maca 3 Reinhad Kulessa 6

17 jonów powinna być największa pzy powiezchni Ziemi. Stwiedzono jednak, że liczba jonów ośnie z wysokością i osiąga maksimum na wysokości powyżej 5 km, na wysokości gdzie ozciąga się tzw. jonosfea. Jonizacja jest wywoływana pzez pomieniowanie kosmiczne. Ad. Ziemia ma ładunek ujemny a potencjał powietza jest dodatni. 5 km 4 V Pąd jonu/(s m ) Stale więc płynie pąd ładunków dodatnich z atmosfey do Ziemi. Całkowity pąd ma moc ok. 7 MW 8 maca 3 Reinhad Kulessa 7

18 Taki pąd powinien w ciągu.5 godz. wyównać óżnicę ładunków. Aby dać odpowiedź na pytanie jaki mechanizm dostacza ujemnych ładunków powiezchni Ziemi wykonano w óżnych miejscach pomiaów zmiany potencjałów i pądów. Wybieano zwykle pogodne dni nad oceanami. Pogodne dni wybieano aby uniknąć wpływu buz na pomiay, a oceany miały osłabić pocesy jonizacji zwykle silniejsze nad kontynentami. W wyniku tych pomiaów stwiedzono że: śedni gadient potencjału zmienia się o ±5% waz ze zmianą czasu uniwesalnego. V/cm Godz.(Geenwich) 8 maca 3 Reinhad Kulessa 8

19 Świadczy to o tym, że: a) Na dużych wysokościach istnieje duże pzewodnictwo poziome, wobec tego óżnica potencjałów między jonosfeą a Ziemią nie zmienia się. b) Istnieje mechanizm ładowania Ziemi ładunkiem ujemnym ze śednim pądem 8 A. Odpowiedzialne za to są buze, głównie topikalne, a ozładowanie następuje w okesie ładnej pogody. (Patz Feynmann t.ii cz.i 94 na temat mechanizmów powstawania buz na Ziemi) 8 maca 3 Reinhad Kulessa 9

20 8. Mateia w polu elektycznym Na każdy ładunek umieszczonej w polu elektycznym mateii działa siła wynikająca z pawa Coulomba. Ze względu na óżną uchliwość ładunków w óżnych mateiałach można zaobsewować następujące zjawiska: a). W pzewodniku uchliwe elektony zostają pzesunięte w stosunku do dodatnich atomów, co daje ozdzielenie ładunków dodatnich od ujemnych, czyli tzw. zjawisko indukcji. b). W izolatoach nośniki ładunku zostają pzesunięte tylko nieznacznie, obsewujemy tzw. polayzację. Rozważmy pzewodnik umieszczony w polu elektycznym. Znajdujące się w nim swobodne elektony będą pzesuwały się w okeślonym kieunku. 8 maca 3 Reinhad Kulessa

21 8 maca 3 Reinhad Kulessa. Cond Dopowadzi to do nagomadzenia się na ściankach pzewodnika tzw. ładunku indukcyjnego. Ładunek ten geneuje wewnątz pzewodnika pole elektyczne skieowane pzeciwnie do pola zewnętznego. Pzesuwanie się ładunku twa tak długo, aż wypadkowe pole wewnątz pzewodnika osiągnie watość zeo.

22 Cond. ładunki indukcyjne Zastanówmy się teaz jak wygląda sytuacja, gdy w polu elektycznym umieścimy mateiał nie pzewodzący ładunku. Doświadczenie uczy nas, że jeśli pomiędzy dwa ładunki wpowadzimy izolato, to maleje siła kolumbowska działająca pomiędzy ładunkami. 8 maca 3 Reinhad Kulessa

23 Omówmy ten poblem na pzykładzie kondensatoa płaskiego. C C powietze dielektyk Po włożeniu dielektyka pomiędzy okładki kondensatoa płaskiego, na pewno nie zmienił się ładunek na okładkach a jednak zmalał potencjał jak wskazał elektoskop. Zgodnie ze wzoem (7.) musiała wzosnąć pojemność kondensatoa. Równocześnie spadek potencjału na okładkach oznacza spadek natężenie pola elektycznego wewnątz okładek. (cdn) 8 maca 3 Reinhad Kulessa 3