Badanie stabilności układu sterowania statkiem z nieliniowym autopilotem

Transkrypt

1 Baaie stabilości ułau sterowaia statiem z ieliiowym autopilotem Zliearyzowae rówaie wiążące ochyleie ursu statu (zmiaę ąta ursu wzglęem ursu zaaego) ψ z ątem wychyleia steru δ jest astępujące (tzw. moel Nomoto) T ψ t + ψ t = δ. Hyraulicza maszya sterowa jest serwomechaizmem ieliiowym. Pomiar ochyleia ursu jest ooyway przy pomocy żyroompasu. Wyorzystując jego własości, jao regulator wybrao uła PD. Schemat bloowy otrzymaego ułau regulacji przestawia poiższy rysue a tórym ucja m F(m) opisuje ieliiową zależość wzmocieia elemetu wyoawczego maszyy sterowej o sygału wejściowego. O ucji tej wiaomo tylo, że jest ciągła, rówa zeru la m i rosąca la m > (wzmocieie ieliiowe z symetryczą streą ieczułości). pomiar przy pomocy żyroompasu, ołae różiczowaie r + s m maszya sterowa F(m ) s wychyleie steru δ s(ts+ ) ochyleie ursu ψ ałub statu Parametry obietu są oatie:, T, >. Doświaczeie popowiaa przyjęcie założeia mówiącego, że wzmocieie regulatora proporcjoalego r >. Trzeba ustalić, la jaich wartości parametrów regulatora położeie rówowagi tego ułau ( t ψ)e = ( ψ) e = δ e =, jest globalie asymptotyczie stabile? Rówaia przestawioego a rysuu ułau regulacji są astępujące: Ts ψ + s ψ = δ sδ = F(m) m = ( r + s) ψ δ. Nasuwający się wybór współrzęych stau to

2 x = t ( ψ) x = ψ, x 3 =δ. Jea o aalizy stabilości lepiej jest jao współrzęe stau wybrać astępujące ombiacje liiowe wymieioych powyżej staów aturalych : la ałuba statu: x = T t ( ψ ) + Τ δ x =- T δ la maszyy sterowej: x 3 = ( r ψ + T t ( ψ) δ)= m. T Taie postawieie pozwala, m.i., a posługiwaie się zamiast ieliiową ucją F zależą o uchybu serwomechaizmu m, zmoyiowaą ucją x 3 (x 3 )=F(T x 3 ). - T x 3 T Rówaia stau la ta wybraych zmieych mają postać astępującą: t x = ( ψ) + δ = x + ( x ), 3 T t T t T T t x = δ = ( x ), 3 T t T t x x x = = + + x T r... β ( ) ( γ ) γ, β =, γ = T T T Przesalujmy czas: τ = T t,co ozacza, że τ = T. Mamy więc t x = x + ( x ), 3 τ x = τ ( x ), 3 τ x = ( γ ) x + γ x β ( x ). 3 3

3 Położeie rówowagi la taiego ułau jest oreśloe przez uła rówań: e e = x + ( x ) 3 e = ( x ) 3 e e e = ( γ ) x + γ x β ( x ), 3 tórego rozwiązaiem jest x e =, x e =, x e, 3 T co la zmieych wyjściowych aje: δ e =, ( t ψ)e =, r ( ψ) e T T. Ostatia ierówość jest oczywiście rówoważa ierówości ( ψ) e. Wiać więc, że r zmiejszeie wpływu strey ieczułości a ziałaie ułau moża osiągąć wybierając uże wzmocieie r regulatora proporcjoalego. Występowaie strey ieczułości w ułazie wywołało iejeozaczość położeia rówowagi zamiast izolowaego putu rówowagi x e mamy o czyieia ze zbiorem putów rówowagi X e. W taiej sytuacji, aby o opowiezi a pytaie o stabilość położeia rówowagi moża było użyć twierzeia Lapuowa, trzeba zmoyiować (w sposób ość oczywisty) eiicje ucji ieujemej i oreśloej oatio. Po pierwsze ależy przyjąć, że otwarty zbiór a tórym ucja jest ieujema (oreśloa oatio) zawiera zbiór X e. I po rugie założyć, że ucja oreśloa oatio zeruje się tylo a tym zbiorze. A. I. Łurie po oiec lat czterziestych aalizował stabilość zamiętych ułaów ieliiowych o jeym sterowaiu, tórych opis przy współczesym sposobie zapisu ma postać x= A x+ bfm ( ) T m= cx rf( m). Dla ułaów la tórych r + c T A - b, jao ucję Lapuowa zapropoował ucję m T (x, m) V( x, m) = x Q x+ F ( v) v, gzie Q >. Przy taim wyborze współrzęych stau ja powyżej, jao ucję Lapuowa moża więc wybrać zależość astępującą x V (x) = x3 ( γ )() x + γ() x + ( v) v. Ja łatwo zauważyć, jest to ucja oreśloa oatio przy założeiu, że γ >. Dla < γ < jao ucję Lapuowa moża wybrać x V (x) = x3 ( γ)() x + γ() x + ( v) v. 3

4 Zajmijmy się ajpierw przypaiem pierwszym: γ = T r >. Policzmy pochoą zupełą wybraej ucji Lapuowa wzłuż trajetorii ułau: V V( ) = x x x τ + V x x τ + V x3 x 3 τ = = (γ )x ( x + (x 3 )) + γx ( (x 3 )) + ((x 3 ) ())[(γ )x + γx β(x 3 )] = = (γ )x + (γ )x (x 3 ) β((x 3 )) = = (γ )(x (x 3 )) (β γ + )((x 3 )), bo () =. Pierwszy słai ostatiej sumy jest la x X e ieoati [ (γ ) <, (x (x 3 )) ]. Drugi, la x X e jest ujemy gy β γ + >, tz. gy T r + >. Niestety "cała" pochoa zupeła może być tylo ucją ieoatią poieważ ie zależy o x i w osewecji może zerować się la putów ie bęących putami rówowagi. W tej sytuacji, zgoie z pierwszym twierzeiem Lapuowa, zbiór putów rówowagi jest stabily gy parametry regulatora PD spełiają poiższe ierówości > T r > > / T r. Pojawieie się pierwszej ierówości wymaga wyjaśieia. Ja pamiętamy pierwote ierówości la parametrów zawierają współczyi w miaowiu. Żeby pozbyć się tego miaowia trzeba ustalić jego za. Z sesu izyczego (współczyi oreślający "itesywość" różiczowaia) wyia, że powiie o być oati. Rozpatrzmy teraz przypae rugi: < γ = T r <. Ja łatwo policzyć pochoa zupeła wzłuż trajetorii ułau rugiej ucji Lapuowa jest rówa V( x ) = ( γ)x β((x 3 )). Też ie zależy o x jest więc tylo ucją ieoatią gy β = >. Wobec tego, zgoie z pierwszym twierzeiem Lapuowa, zbiór putów rówowagi jest stabily taże gy spełioe są ierówości: < T r < i >, czyli >, T r <. (O wiemy, że jest współczyiiem oatim.) 4

5 Zbiór opuszczalych wartości parametrów regulatora przestawia poiższy rysue. r T Poieważ w obu przypaach ierówości oreślające warui stabilości ie zależą o parametrów ieliiowości, to ta opisyway uła regulacji bęzie stabily la ażej ieliiowości spełiającej wymieioe a początu warui (ucja ciągła, rówa zeru la m i rosąca la m > ). Ja często się mówi bęzie la wybraych parametrów regulatora stabily absolutie la ieliiowości oreśloej lasy. Posłużeie się ucją Lapuowa w postaci Łurii pozwala tylo a stwierzeie stabilości zbioru rówowagi. Opowieź a pytaie: czy jest o globalie asymptotyczie stabily, wymaga przeprowazeia oatowego rozumowaia. Dla omiay, rozpatrzmy ajpierw przypae < γ <. Rozważmy zbiór astępujący X o = {x = (x,x,x 3 ) (x ) ( x = x 3 > )}. T Zauważmy, że la ażego x X o pochoa zupeła V () x <. Zgoie z iterpretacją tej ucji ozacza to, że aża trajetoria zaczyająca się w pucie x X o ąży o zbioru R 3 \X o a tórym ta pochoa się zeruje. Ja łatwo sprawzić zbiór R 3 \X o jest sumą zbioru putów rówowagi X e i "pasa" X p wzłuż osi x, tóry jest rówy: X p = {x x =, x, x 3 }. T x 3 X p X e x x 5

6 Rozważmy ajpierw trajetorie, tóre "traiają" w pewej chwili t K w zbiór X e. Rówaie ruchu, tóre musi być w tej chwili spełioe jest astępujące: x '(t K ) = + (x 3 (t K )) =, x (t K ) =, x '(t K ) = (x 3 (t K )) =, x (t K ) =, x 3 '(t K ) = + β(x 3 (t K )) =, x 3 (t K ). Poieważ wszystie pochoe są zerowe, to ruch się zaończy uła pozostaie w pucie rówowagi (,,x 3 (t K )). Dla trajetorii, tóre traią w chwili t K w zbiór X p rówaia ruchu bęą ieco ie: x '(t K ) = + (x 3 (t K )) =, x (t K ) =, x '(t K ) = (x 3 (t K )) =, x (t K ), x 3 '(t K ) = + γx (t K ) β(x 3 (t K )) = γx (t K ), co aje x (τ) =, x (τ) = x (t K ), x 3 (τ) = x 3 (t K )+ γ x (t K )τ la t K τ < t L. Poieważ γ > to x 3 ( ) w pewym przeziale t K τ < t L rośie, aż w ońcu trajetoria opuści zbiór X p. (W tym momecie wiać, że rozumowaie la przypau pierwszego, γ >, jest aalogicze.) Poazaliśmy więc, że aża trajetoria pręzej, czy późiej otrze o zbioru rówowagi. Poieważ jest o stabily, ozacza to, że jest o stabily asymptotyczie. 6