Badanie stabilności układu sterowania statkiem z nieliniowym autopilotem

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Badanie stabilności układu sterowania statkiem z nieliniowym autopilotem"

Transkrypt

1 Baaie stabilości ułau sterowaia statiem z ieliiowym autopilotem Zliearyzowae rówaie wiążące ochyleie ursu statu (zmiaę ąta ursu wzglęem ursu zaaego) ψ z ątem wychyleia steru δ jest astępujące (tzw. moel Nomoto) T ψ t + ψ t = δ. Hyraulicza maszya sterowa jest serwomechaizmem ieliiowym. Pomiar ochyleia ursu jest ooyway przy pomocy żyroompasu. Wyorzystując jego własości, jao regulator wybrao uła PD. Schemat bloowy otrzymaego ułau regulacji przestawia poiższy rysue a tórym ucja m F(m) opisuje ieliiową zależość wzmocieia elemetu wyoawczego maszyy sterowej o sygału wejściowego. O ucji tej wiaomo tylo, że jest ciągła, rówa zeru la m i rosąca la m > (wzmocieie ieliiowe z symetryczą streą ieczułości). pomiar przy pomocy żyroompasu, ołae różiczowaie r + s m maszya sterowa F(m ) s wychyleie steru δ s(ts+ ) ochyleie ursu ψ ałub statu Parametry obietu są oatie:, T, >. Doświaczeie popowiaa przyjęcie założeia mówiącego, że wzmocieie regulatora proporcjoalego r >. Trzeba ustalić, la jaich wartości parametrów regulatora położeie rówowagi tego ułau ( t ψ)e = ( ψ) e = δ e =, jest globalie asymptotyczie stabile? Rówaia przestawioego a rysuu ułau regulacji są astępujące: Ts ψ + s ψ = δ sδ = F(m) m = ( r + s) ψ δ. Nasuwający się wybór współrzęych stau to

2 x = t ( ψ) x = ψ, x 3 =δ. Jea o aalizy stabilości lepiej jest jao współrzęe stau wybrać astępujące ombiacje liiowe wymieioych powyżej staów aturalych : la ałuba statu: x = T t ( ψ ) + Τ δ x =- T δ la maszyy sterowej: x 3 = ( r ψ + T t ( ψ) δ)= m. T Taie postawieie pozwala, m.i., a posługiwaie się zamiast ieliiową ucją F zależą o uchybu serwomechaizmu m, zmoyiowaą ucją x 3 (x 3 )=F(T x 3 ). - T x 3 T Rówaia stau la ta wybraych zmieych mają postać astępującą: t x = ( ψ) + δ = x + ( x ), 3 T t T t T T t x = δ = ( x ), 3 T t T t x x x = = + + x T r... β ( ) ( γ ) γ, β =, γ = T T T Przesalujmy czas: τ = T t,co ozacza, że τ = T. Mamy więc t x = x + ( x ), 3 τ x = τ ( x ), 3 τ x = ( γ ) x + γ x β ( x ). 3 3

3 Położeie rówowagi la taiego ułau jest oreśloe przez uła rówań: e e = x + ( x ) 3 e = ( x ) 3 e e e = ( γ ) x + γ x β ( x ), 3 tórego rozwiązaiem jest x e =, x e =, x e, 3 T co la zmieych wyjściowych aje: δ e =, ( t ψ)e =, r ( ψ) e T T. Ostatia ierówość jest oczywiście rówoważa ierówości ( ψ) e. Wiać więc, że r zmiejszeie wpływu strey ieczułości a ziałaie ułau moża osiągąć wybierając uże wzmocieie r regulatora proporcjoalego. Występowaie strey ieczułości w ułazie wywołało iejeozaczość położeia rówowagi zamiast izolowaego putu rówowagi x e mamy o czyieia ze zbiorem putów rówowagi X e. W taiej sytuacji, aby o opowiezi a pytaie o stabilość położeia rówowagi moża było użyć twierzeia Lapuowa, trzeba zmoyiować (w sposób ość oczywisty) eiicje ucji ieujemej i oreśloej oatio. Po pierwsze ależy przyjąć, że otwarty zbiór a tórym ucja jest ieujema (oreśloa oatio) zawiera zbiór X e. I po rugie założyć, że ucja oreśloa oatio zeruje się tylo a tym zbiorze. A. I. Łurie po oiec lat czterziestych aalizował stabilość zamiętych ułaów ieliiowych o jeym sterowaiu, tórych opis przy współczesym sposobie zapisu ma postać x= A x+ bfm ( ) T m= cx rf( m). Dla ułaów la tórych r + c T A - b, jao ucję Lapuowa zapropoował ucję m T (x, m) V( x, m) = x Q x+ F ( v) v, gzie Q >. Przy taim wyborze współrzęych stau ja powyżej, jao ucję Lapuowa moża więc wybrać zależość astępującą x V (x) = x3 ( γ )() x + γ() x + ( v) v. Ja łatwo zauważyć, jest to ucja oreśloa oatio przy założeiu, że γ >. Dla < γ < jao ucję Lapuowa moża wybrać x V (x) = x3 ( γ)() x + γ() x + ( v) v. 3

4 Zajmijmy się ajpierw przypaiem pierwszym: γ = T r >. Policzmy pochoą zupełą wybraej ucji Lapuowa wzłuż trajetorii ułau: V V( ) = x x x τ + V x x τ + V x3 x 3 τ = = (γ )x ( x + (x 3 )) + γx ( (x 3 )) + ((x 3 ) ())[(γ )x + γx β(x 3 )] = = (γ )x + (γ )x (x 3 ) β((x 3 )) = = (γ )(x (x 3 )) (β γ + )((x 3 )), bo () =. Pierwszy słai ostatiej sumy jest la x X e ieoati [ (γ ) <, (x (x 3 )) ]. Drugi, la x X e jest ujemy gy β γ + >, tz. gy T r + >. Niestety "cała" pochoa zupeła może być tylo ucją ieoatią poieważ ie zależy o x i w osewecji może zerować się la putów ie bęących putami rówowagi. W tej sytuacji, zgoie z pierwszym twierzeiem Lapuowa, zbiór putów rówowagi jest stabily gy parametry regulatora PD spełiają poiższe ierówości > T r > > / T r. Pojawieie się pierwszej ierówości wymaga wyjaśieia. Ja pamiętamy pierwote ierówości la parametrów zawierają współczyi w miaowiu. Żeby pozbyć się tego miaowia trzeba ustalić jego za. Z sesu izyczego (współczyi oreślający "itesywość" różiczowaia) wyia, że powiie o być oati. Rozpatrzmy teraz przypae rugi: < γ = T r <. Ja łatwo policzyć pochoa zupeła wzłuż trajetorii ułau rugiej ucji Lapuowa jest rówa V( x ) = ( γ)x β((x 3 )). Też ie zależy o x jest więc tylo ucją ieoatią gy β = >. Wobec tego, zgoie z pierwszym twierzeiem Lapuowa, zbiór putów rówowagi jest stabily taże gy spełioe są ierówości: < T r < i >, czyli >, T r <. (O wiemy, że jest współczyiiem oatim.) 4

5 Zbiór opuszczalych wartości parametrów regulatora przestawia poiższy rysue. r T Poieważ w obu przypaach ierówości oreślające warui stabilości ie zależą o parametrów ieliiowości, to ta opisyway uła regulacji bęzie stabily la ażej ieliiowości spełiającej wymieioe a początu warui (ucja ciągła, rówa zeru la m i rosąca la m > ). Ja często się mówi bęzie la wybraych parametrów regulatora stabily absolutie la ieliiowości oreśloej lasy. Posłużeie się ucją Lapuowa w postaci Łurii pozwala tylo a stwierzeie stabilości zbioru rówowagi. Opowieź a pytaie: czy jest o globalie asymptotyczie stabily, wymaga przeprowazeia oatowego rozumowaia. Dla omiay, rozpatrzmy ajpierw przypae < γ <. Rozważmy zbiór astępujący X o = {x = (x,x,x 3 ) (x ) ( x = x 3 > )}. T Zauważmy, że la ażego x X o pochoa zupeła V () x <. Zgoie z iterpretacją tej ucji ozacza to, że aża trajetoria zaczyająca się w pucie x X o ąży o zbioru R 3 \X o a tórym ta pochoa się zeruje. Ja łatwo sprawzić zbiór R 3 \X o jest sumą zbioru putów rówowagi X e i "pasa" X p wzłuż osi x, tóry jest rówy: X p = {x x =, x, x 3 }. T x 3 X p X e x x 5

6 Rozważmy ajpierw trajetorie, tóre "traiają" w pewej chwili t K w zbiór X e. Rówaie ruchu, tóre musi być w tej chwili spełioe jest astępujące: x '(t K ) = + (x 3 (t K )) =, x (t K ) =, x '(t K ) = (x 3 (t K )) =, x (t K ) =, x 3 '(t K ) = + β(x 3 (t K )) =, x 3 (t K ). Poieważ wszystie pochoe są zerowe, to ruch się zaończy uła pozostaie w pucie rówowagi (,,x 3 (t K )). Dla trajetorii, tóre traią w chwili t K w zbiór X p rówaia ruchu bęą ieco ie: x '(t K ) = + (x 3 (t K )) =, x (t K ) =, x '(t K ) = (x 3 (t K )) =, x (t K ), x 3 '(t K ) = + γx (t K ) β(x 3 (t K )) = γx (t K ), co aje x (τ) =, x (τ) = x (t K ), x 3 (τ) = x 3 (t K )+ γ x (t K )τ la t K τ < t L. Poieważ γ > to x 3 ( ) w pewym przeziale t K τ < t L rośie, aż w ońcu trajetoria opuści zbiór X p. (W tym momecie wiać, że rozumowaie la przypau pierwszego, γ >, jest aalogicze.) Poazaliśmy więc, że aża trajetoria pręzej, czy późiej otrze o zbioru rówowagi. Poieważ jest o stabily, ozacza to, że jest o stabily asymptotyczie. 6

Wykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy

Wykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy Wyład 7 Przestrzeie metrycze zwarte Defiicja 8 (przestrzei zwartej i zbioru zwartego Przestrzeń metryczą ( ρ X azywamy zwartą jeśli ażdy ciąg elemetów tej przestrzei posiada podciąg zbieży (do putu tej

Bardziej szczegółowo

f '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n

f '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby

Bardziej szczegółowo

Analiza I.1, zima wzorcowe rozwiązania

Analiza I.1, zima wzorcowe rozwiązania Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw

Bardziej szczegółowo

Dwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011

Dwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011 Dwumia Newtoa Agiesza Dąbrowsa i Maciej Nieszporsi 8 styczia Wstęp Wzory srócoego możeia, tóre pozaliśmy w gimazjum (x + y x + y (x + y x + xy + y (x + y 3 x 3 + 3x y + 3xy + y 3 x 3 + y 3 + 3xy(x + y

Bardziej szczegółowo

n k n k ( ) k ) P r s r s m n m n r s r s x y x y M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

n k n k ( ) k ) P r s r s m n m n r s r s x y x y M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h() dla dysretej zm. losowej oraz ucji h() dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( ) d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu

Bardziej szczegółowo

Wyższe momenty zmiennej losowej

Wyższe momenty zmiennej losowej Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h( dla dysretej zm. losowej oraz ucji h( dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu dla

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Przestrzenie metryczne ośrodkowe i zupełne. ρ, gdzie r

Wykład 6. Przestrzenie metryczne ośrodkowe i zupełne. ρ, gdzie r Wyład 6 Przestrzeie etrycze ośrodowe i zupełe. Przypoiay, że zbiór azyway przeliczaly, jeśli jest o rówoliczy ze zbiore wszystich liczb aturalych N, a co ajwyżej przeliczaly, jeśli jest o przeliczaly lub

Bardziej szczegółowo

Analiza I.1, zima globalna lista zadań

Analiza I.1, zima globalna lista zadań Aaliza I., zima 207 - globala lista zadań Marci Kotowsi 8 styczia 208 Podstawy Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczby 7 2 + oraz 7 2 dzielą się przez 6. Zadaie 2. Rozstrzygij, czy poiższe liczby

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa

Analiza matematyczna i algebra liniowa Aaliza matematycza i algebra liiowa Materiały pomocicze dla studetów do wyładów Rachue różiczowy ucji wielu zmieych. Pochode cząstowe i ich iterpretacja eoomicza. Estrema loale. Metoda ajmiejszych wadratów.

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych Automatya i Robotya Aaliza Wyład dr Adam Ćmiel cmiel@agh.edu.pl Rachue różiczowy fucji wielu zmieych W olejych wyładach uogólimy pojęcia rachuu różiczowego i całowego fucji jedej zmieej a przypade fucji

Bardziej szczegółowo

( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił

( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił 3.7.. Reducja dowolego uładu sił do sił i par sił Dowolm uładem sił będiem awać uład sił o liiach diałaia dowolie romiescoch w prestrei. tm pucie ajmiem się sprowadeiem (reducją) taiego uładu sił do ajprostsej

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia o funkcjach ciągłych

Twierdzenia o funkcjach ciągłych Automatya i Robotya Aaliza Wyład 5 dr Adam Ćmiel cmiel@aghedupl Twierdzeia o ucjach ciągłych Tw (Weierstrassa Jeżeli ucja : R [ R jest ciągła a [, to ograiczoa i : ( sup ( i ( i ( [, Dowód Ograiczoość

Bardziej szczegółowo

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE PODSTAWOWYCH CZŁONÓW LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE PODSTAWOWYCH CZŁONÓW LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI CHARAKERYSYKI CZĘSOLIWOŚCIOWE PODSAWOWYCH CZŁONÓW LINIOWYCH UKŁADÓW AUOMAYKI Do podstawowych form opisu dyamii elemetów automatyi (oprócz rówań różiczowych zaliczamy trasmitację operatorową s oraz trasmitację

Bardziej szczegółowo

I. Podzielność liczb całkowitych

I. Podzielność liczb całkowitych I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc

Bardziej szczegółowo

Wykład 13: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne.

Wykład 13: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne. Rachuek prawopoobieństwa MA064 Wyział Elektroiki, rok aka 2008/09, sem leti Wykłaowca: r hab A Jurlewicz Wykła 3: Zbieżość weług rozkłau Cetrale twierzeie graicze Zbieżości ciągu zmieych losowych weług

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 5 BADANIE SOCZEWKI

Ćwiczenie nr 5 BADANIE SOCZEWKI Ćwizeie r 5 BADANIE SOCZEWKI. Wprowazeie Zolość sozewe o załamywaia promiei świetlyh uzależioa jest o astępująyh zyiów: a) ształtu powierzhi załamująyh promieie rzywiz b) materiału z tórego są wyoae współzyi

Bardziej szczegółowo

tek zauważmy, że podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy dla funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej pochodne wyższych rze

tek zauważmy, że podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy dla funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej pochodne wyższych rze R o z d z i a l III RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE WYŻSZYCH RZE DÓW 12. Rówaie różiczowe liiowe -tego rze du Na pocza te zauważmy, że podobie ja w dziedziie rzeczywistej wprowadzamy dla fucji zespoloych

Bardziej szczegółowo

LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY

LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY Zgodie z dążeiami filozofii pitagorejsiej matematyzacja abstracyjego myśleia powia być dooywaa przy pomocy liczb. Soro ta, to liczby ależy tworzyć w miarę

Bardziej szczegółowo

Rekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Rekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech

Bardziej szczegółowo

APROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne

APROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne APROKSYMACJA I INTERPOLACJA Przybliżeie fucji f(x) przez ią fucję g(x) fucja f jest zbyt sompliowaa; użycie f w dalszej aalizie problemu jest trude fucja f jest zaa tylo tabelaryczie; wymagaa jest zajomość

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy 12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!

Bardziej szczegółowo

Wytrzymałość śruby wysokość nakrętki

Wytrzymałość śruby wysokość nakrętki Wyzymałość śuby wysoość aęi Wpowazeie zej Wie Działająca w śubie siła osiowa jes pzeoszoa pzez zeń i zwoje gwiu. owouje ozciągaie lub ścisaie zeia śuby, zgiaie i ściaie zwojów gwiu oaz wywołuje acisi a

Bardziej szczegółowo

Wykład 8: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne.

Wykład 8: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne. Rachuek prawopoobieństwa MA5 Wyział Elektroiki, rok aka 20/2, sem leti Wykłaowca: r hab A Jurlewicz Wykła 8: Zbieżość weług rozkłau Cetrale twierzeie graicze Zbieżości ciągu zmieych losowych weług rozkłau

Bardziej szczegółowo

3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej

3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej 3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi

Bardziej szczegółowo

Elementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego

Elementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego Elemety rach macierzowego Materiały pomocicze do MES Stroa z 7 Elemety rachuku macierzowego Przedstawioe poiżej iformacje staowią krótkie przypomieie elemetów rachuku macierzowego iezbęde dla zrozumieia

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6..003 r. Zadaie. W kolejych okresach czasu t =,, 3, 4, 5 ubezpieczoy, charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ, geeruje szkód. Dla daego Λ = λ zmiee N, N,..., N 5 są

Bardziej szczegółowo

zadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12

zadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12 Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a

Bardziej szczegółowo

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim. Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako

Bardziej szczegółowo

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE FILTRU CZĄSTECZKOWEGO W PROBLEMIE IDENTYFIKACJI UKŁADÓW AUTOMATYKI

WYKORZYSTANIE FILTRU CZĄSTECZKOWEGO W PROBLEMIE IDENTYFIKACJI UKŁADÓW AUTOMATYKI Piotr KOZIERSKI WYKORZYSTAIE FILTRU CZĄSTECZKOWEGO W PROBLEMIE IDETYFIKACJI UKŁADÓW AUTOMATYKI STRESZCZEIE W artyule przedstawioo sposób idetyfiacji parametryczej obietów ieliiowych zapisaych w przestrzei

Bardziej szczegółowo

Projekt ze statystyki

Projekt ze statystyki Projekt ze statystyki Opracowaie: - - Spis treści Treść zaia... Problem I. Obliczeia i wioski... 4 Samochó I... 4 Miary położeia... 4 Miary zmieości... 5 Miary asymetrii... 6 Samochó II... 8 Miary położeia:...

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny

Ćwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny TEMATYKA: Regresja liiowa dla prostej i płaszczyzy Ćwiczeia r 5 DEFINICJE: Regresja: metoda statystycza pozwalająca a badaie związku pomiędzy wielkościami daych i przewidywaie a tej podstawie iezaych wartości

Bardziej szczegółowo

I. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n

I. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO Agieszka Jakubowska ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO. Wstęp Skąplikowaie współczesego życia gospodarczego powoduje, iż do sterowaia procesem zarządzaia

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny (Gaussa)

Rozkład normalny (Gaussa) Rozład ormaly (Gaussa) Wyprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowych. Rozważmy pomiar wielości m, tóry jest zaburzay przez losowych efetów o wielości e ażdy, zarówo zaiżających ja i

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy

Bardziej szczegółowo

Przykłady 8.1 : zbieżności ciągów zmiennych losowych

Przykłady 8.1 : zbieżności ciągów zmiennych losowych Rachuek rawopoobieństwa MA8 Wyział Matematyki, Matematyka Stosowaa rzykłay 8. Róże rozaje zbieżości ciągów zmieych losowych. rawa wielkich liczb. Twierzeia graicze. rzykłay 8. : zbieżości ciągów zmieych

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie (Cayleya-Hamiltoa): Każda macierz kwadratowa spełia swoje włase rówaie charakterystycze. D: Chcemy pokazać, że jeśli wielomiaem charakterystyczym macierzy A jest

Bardziej szczegółowo

STABILNOŚĆ RUCHU (MOTION STABILITY)

STABILNOŚĆ RUCHU (MOTION STABILITY) Boguslaw Radziszewski STABILNOŚĆ RUCHU (MOTION STABILITY) Wstęp.... Podstawowe defiicje teorii stabilości... 6.. O stabilości metod i modeli... 8.. Podstawowe defiicje stabilości.... Stabilość liiowych

Bardziej szczegółowo

TRANZYSTORY POLOWE JFET I MOSFET

TRANZYSTORY POLOWE JFET I MOSFET POLTECHNKA RZEZOWKA Kaedra Podsaw Elekroiki srukcja Nr5 F 00/003 sem. lei TRANZYTORY POLOWE JFET MOFET Cel ćwiczeia: Pomiar podsawowych charakerysyk i wyzaczeie paramerów określających właściwości razysora

Bardziej szczegółowo

z przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X

z przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie

Bardziej szczegółowo

O pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii

O pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

P π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny

P π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny Rówaie ogóle płaszczyzy w E 3. ae: P π i π o =[A,B,C] P (,y,z ) Wówczas: P P=[-,y-y,z-z ] P π PP PP= o o Rówaie () azywamy rówaiem ogólym płaszczyzy A(- )+B(y-y )+C(z-z )= ( ) A+By+Cz+= Przykład

Bardziej szczegółowo

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi. 3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy

Bardziej szczegółowo

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3: Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego

Bardziej szczegółowo

u t 1 v u(x,t) - odkształcenie, v - prędkość rozchodzenia się odkształceń (charakterystyczna dla danego ośrodka) Drgania sieci krystalicznej FONONY

u t 1 v u(x,t) - odkształcenie, v - prędkość rozchodzenia się odkształceń (charakterystyczna dla danego ośrodka) Drgania sieci krystalicznej FONONY Drgaia sieci krystaliczej FONONY 1. model klasyczy (iekwatowy) a) model ośrodka ciągłego (model Debye a) - przypadek jedowymiarowy - drgaia struy drgaia mogą być podłuże (guma, sprężya) i dwie prostopadłe

Bardziej szczegółowo

Kombinatorycznie o tożsamościach kombinatorycznych

Kombinatorycznie o tożsamościach kombinatorycznych Kombiatoryczie o tożsamościach ombiatoryczych Beata Bogdańsa, Szczeci Odczyt zawiera propozycję dydatyczą usystematyzowaej i samowystarczalej prezetacji tematu: Tożsamości dotyczace symbolu dwumieego.

Bardziej szczegółowo

CIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy

CIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy

Bardziej szczegółowo

3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Pascala. (c.d.

3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Pascala. (c.d. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 009/10 3 Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach Procety Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala (cd) paździerika 009 r 0 Skometować frgmet

Bardziej szczegółowo

Metody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych

Metody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów.

Szeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów. Materiały dydaktyze Aaliza Matematyza (Wykład 3) Szeregi lizbowe i ih własośi. Kryteria zbieżośi szeregów. Zbieżość bezwzględa i warukowa. Możeie szeregów. Defiija. Nieh {a } N będzie iągiem lizbowym.

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI. Ćwiczenie 3 MODELOWANIE SYSTEMÓW DYNAMICZNYCH METODY OPISU MODELI UKŁADÓW

LABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI. Ćwiczenie 3 MODELOWANIE SYSTEMÓW DYNAMICZNYCH METODY OPISU MODELI UKŁADÓW Wydział Elektryczy Zespół Automatyki (ZTMAiPC) ZERiA LABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI Ćwiczeie 3 MODELOWANIE SYSTEMÓW DYNAMICZNYCH METODY OPISU MODELI UKŁADÓW I. Cel ćwiczeia Celem ćwiczeia jest zapozaie

Bardziej szczegółowo

Termodynamika defektów sieci krystalicznej

Termodynamika defektów sieci krystalicznej Termodyamika defektów sieci krystaliczej Defekty sieci krystaliczej puktowe (wakasje, atomy międzywęzłowe, obce atomy) jedowymiarowe (dyslokacje krawędziowe i śrubowe) dwuwymiarowe (graice międzyziarowe,

Bardziej szczegółowo

Metoda najszybszego spadku

Metoda najszybszego spadku Metody Gradietowe W tym rozdziale bdziemy rozwaa metody poszuiwaia dla fucji z przestrzei R o wartociach rzeczywistych Metody te wyorzystuj radiet fucji ja rówie wartoci fucji Przypomijmy, czym jest zbiór

Bardziej szczegółowo

5. Szeregi liczbowe. A n = A = lim. a k = lim a k, a k = a 1 + a 2 + a

5. Szeregi liczbowe. A n = A = lim. a k = lim a k, a k = a 1 + a 2 + a 5. Szeregi liczbowe Niech będzie day iesończoy ciąg liczbowy {a }. Ciąg A = azywamy ciągiem sum częściowych ciągu {a }. Jeżeli ciąg {A } jest zbieży, mówimy, że ciąg {a } jest sumowaly, a graicę a A =

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

Relacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:

Relacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem: Relacje rekurecyje Defiicja: Niech =,,,... będzie astępująco zdefiiowaym ciągiem: () = r, = r,..., k = rk, gdzie r, r,..., r k są skalarami, () dla k, = a + a +... + ak k, gdzie a, a,..., ak są skalarami.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

Pęd układu materialnego i bryły

Pęd układu materialnego i bryły 7... Pę ułau aerialego i bryły Pęe puu aerialego o asie i pręości v azyway iloczy asy puu i jego pręości: p v. (7.4) z v v Z powyższej efiicji wyia, że pę jes weore o ieruu pręości, a więc jes weore syczy

Bardziej szczegółowo

Liczby Stirlinga I rodzaju - definicja i własności

Liczby Stirlinga I rodzaju - definicja i własności Liczby Stiriga I rodzaju - defiicja i własości Liczby Stiriga I rodzaju ozaczae symboem s(, ) moża defiiować jao współczyii w rozwiięciu x s(, )x, 0 (1) 0 gdzie x x(x 1)... (x + 1), 1 x 0 1. (2) Zostały

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011 Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne Laboratorium 5 Info

Metody numeryczne Laboratorium 5 Info Metody umerycze Laboratorium 5 Ifo Aproksymacja - proces określaia rozwiązań przybliżoych a podstawie rozwiązań zaych, które są bliskie rozwiązaiom dokładym w ściśle sprecyzowaym sesie. Metoda ajmiejszych

Bardziej szczegółowo

W wielu przypadkach zadanie teorii sprężystości daje się zredukować do dwóch

W wielu przypadkach zadanie teorii sprężystości daje się zredukować do dwóch Wykład 5 PŁASKI ZADANI TORII SPRĘŻYSTOŚCI Płaski sta arężeia W wielu rzyadkach zadaie teorii srężystości daje się zredukować do dwóch wymiarów Przykładem może być cieka tarcza obciążoa siłami działającymi

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17 Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

Podprzestrzenie macierzowe

Podprzestrzenie macierzowe Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005 Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,

Bardziej szczegółowo

Parametryzacja rozwiązań układu równań

Parametryzacja rozwiązań układu równań Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie

Bardziej szczegółowo

PRZETWORNIKI C/A 1. STRUKTURA PRZETWORNIKA C/A

PRZETWORNIKI C/A 1. STRUKTURA PRZETWORNIKA C/A PZETWON C/A. STTA PZETWONA C/A. PZETWON C/A NAPĘCOWE.. PZETWON NAPĘCOWE Z DZELNEM NAPĘCOWYM WYJŚCEM NAPĘCOWYM... Przetwori C/A z drabią rówoległą Deoder z N N N wy stawieia przełącziów dla sytuacji, gdy

Bardziej szczegółowo

Metody Podejmowania Decyzji

Metody Podejmowania Decyzji Metody Podejmowaia Decyzji Wzrost liczby absolwetów w Politechice Wrocławsiej a ieruach o luczowym zaczeiu dla gospodari opartej a wiedzy r UDA-POKL.04.0.0-00-065/09-0 Recezet: Prof. dr hab. iż. Ja Iżyowsi

Bardziej szczegółowo

Przykładowe pytania na egzamin dyplomowy dla kierunku Automatyka i Robotyka

Przykładowe pytania na egzamin dyplomowy dla kierunku Automatyka i Robotyka Przykładowe pytaia a egzami dyplomowy dla kieruku Automatyka i obotyka Aktualizacja: 13.12.2016 r. Przedmiot: Matematyka 1 (Algebra liiowa) 1. Wiemy że struktura (Gh) jest grupą z elemetem eutralym e.

Bardziej szczegółowo

Podprzestrzenie macierzowe

Podprzestrzenie macierzowe Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji : m f x = Ax RAAx x Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam

Bardziej szczegółowo

Ekonomia matematyczna 2-2

Ekonomia matematyczna 2-2 Ekoomia matematycza - Fukcja produkcji Defiicja Efektywym przekształceiem techologiczym azywamy odwzorowaie (iekiedy wielowartościowe), które kazdemu wektorowi akładów R przyporządkowuje zbiór wektorów

Bardziej szczegółowo

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic). Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic

Bardziej szczegółowo

Geometrycznie o liczbach

Geometrycznie o liczbach Geometryczie o liczbach Geometryczie o liczbach Łukasz Bożyk Dodatią liczbę całkowitą moża iterpretować jako pole pewej figury składającej się z kwadratów jedostkowych Te prosty pomysł pozwala w aturaly

Bardziej szczegółowo

3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt

3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 008/09 3. Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach. Procety. Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala. 5 paździerika 008 r. 35. Uprościć wyrażeie

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ Opracował: Dr iż. Grzegorz

Bardziej szczegółowo

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut

Bardziej szczegółowo

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1

Laboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1 1. Cel ćwiczeia: Laboratorium Sesorów i Pomiarów Wielkości Nieelektryczych Ćwiczeie r 1 Pomiary ciśieia Celem ćwiczeia jest zapozaie się z kostrukcją i działaiem czujików ciśieia. W trakcie zajęć laboratoryjych

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa

Statystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych

Bardziej szczegółowo

Przykład Obliczenie wskaźnika plastyczności przy skręcaniu

Przykład Obliczenie wskaźnika plastyczności przy skręcaniu Przykład 10.5. Obliczeie wskaźika plastyczości przy skręcaiu Obliczyć wskaźiki plastyczości przy skręcaiu dla astępujących przekrojów: a) -kąta foremego b) przekroju złożoego 6a 16a 9a c) przekroju ciekościeego

Bardziej szczegółowo

I kolokwium z Analizy Matematycznej

I kolokwium z Analizy Matematycznej I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest

Bardziej szczegółowo

Funkcja generująca rozkład (p-two)

Funkcja generująca rozkład (p-two) Fucja geerująca rozład (p-wo Defiicja: Fucją geerującą rozład (prawdopodobieńswo (FGP dla zmieej losowej przyjmującej warości całowie ieujeme, azywamy: [ ] g E P Twierdzeie: (o jedozaczości Jeśli i są

Bardziej szczegółowo

Układy liniowosprężyste Clapeyrona

Układy liniowosprężyste Clapeyrona Układy liiowosprężyste Clapeyroa Liiowosprężysty układ Clapeyroa zbiór połączoych ze sobą ciał odkształcalych, w których przemieszczeia są liiowymi fukcjami sił Układ rzeczywisty może być traktoway jako

Bardziej szczegółowo

Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik

Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

Trzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w

Trzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to

Bardziej szczegółowo

Problem. Jak praktycznie badać jednostajną ciągłość funkcji?

Problem. Jak praktycznie badać jednostajną ciągłość funkcji? EAIiIB-Iormatya - Wyład 3- dr Adam Ćmiel miel@.agh.edu.pl Ciągłość uji w puie e. Fuję : azywamy iągłą w puie jeżeli Heie Cauhy Uwaga: Put ale ie musi być putem supieia zbioru. Jeżeli jest putem izolowaym

Bardziej szczegółowo

KOMBINATORYKA. Oznaczenia. } oznacza zbiór o elementach a, a2,..., an. Kolejność wypisania elementów zbioru nie odgrywa roli.

KOMBINATORYKA. Oznaczenia. } oznacza zbiór o elementach a, a2,..., an. Kolejność wypisania elementów zbioru nie odgrywa roli. KOMBINATORYKA Kombiatoryą azywamy dział matematyi zajmujący się zbiorami sończoymi oraz relacjami między imi. Kombiatorya w szczególości zajmuje się wyzaczaiem liczby elemetów zbiorów sończoych utworzoych

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAP 1024) LISTY ZADAŃ

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAP 1024) LISTY ZADAŃ ANALIZA MATEMATYCZNA (MAP 0) LISTY ZADAŃ Listy zadań przezaczoe są dla studetów którzy program matematyki szkoły poadgimazjalej zają jedyie a poziomie podstawowym Obejmują iezbęde do dalszej auki zagadieia

Bardziej szczegółowo

INDUKCJA MATEMATYCZNA

INDUKCJA MATEMATYCZNA MATEMATYKA DYSKRETNA (4/5) dr hab. iż. Małgorzata Stera malgorzata.stera@cs.put.poza.pl www.cs.put.poza.pl/mstera/ INDUKCJA MATEMATYCZNA Matematya Dysreta Małgorzata Stera FUNKCJA SILNIA dla, fucja silia

Bardziej szczegółowo