Fundamentalna tabelka atomu. eureka! to odkryli. p R = nh -

Transkrypt

1 TEKST TRUDNY Postulat kwatowaia Bohra, czyli założoy ad hoc związek pomiędzy falą de Broglie a a geometryczymi własościami rozważaego problemu, pozwolił bez większych trudości teoretyczie przewidzieć rozmiary atomów. Wyik te był jedak tylko pierwszą jaskółką zapowiadającą dużo ważiejsze i bardziej spektakulare przewidywaia teoretycze. Atomowa struktura powoli przestawała być zagadką dla ówczesej fizyki. WSZYSTKO Z JEDNEGO POSTULATU Cały sukces atomowej teorii Bohra opiera się a jedym prostym założeiu elektro poruszający się wokół jądra może to robić tylko po takich orbitach, a których Tomasz Sowiński w 005 roku skończył z wyróżieiem studia a Wydziale Fizyki Uiwersytetu Warszawskiego w zakresie fizyki teoretyczej. Obecie jest asystetem w Cetrum Fizyki Teoretyczej PAN. Z zamiłowaia zajmuje się popularyzacją auki. W roku 005 był omioway do agrody w kokursie Popularyzator Nauki orgaizowaym przez Miisterstwo Nauki i Iformatyzacji oraz Polską Agecję Prasową. Fudametala tabelka atomu Tomasz Sowiń ski 5 długość fali de Broglie a stowarzyszoej z elektroem mieści się całkowitą liczbę razy. Choć już o tym wspomialiśmy wielokrotie, podkreślmy jeszcze raz jego matematyczą formułę, bez której ie jest łatwo otrzymywać żadych ilościowych wyików. Jak Czytelik zapewe pamięta (MT 09/07) postulat sprowadza się do przepisu a kwatowaie mometu pędu elektrou p R = h - W powyższym wzorze umeruje koleje dozwoloe orbity. Przypomijmy, że dla =1 orbitę azywamy orbitą stau podstawowego. Wielkość h - jest dobrze am już zaą stałą Placka podzieloą przez π, a p i R to oczywiście odpowiedio pęd elektrou a orbicie i promień tej orbity. Jak pamiętamy z poprzediego odcika, te prosty przepis poprowadził as dość prosto do przewidzeia, jakie są promieie kolejych atomowych orbit, które doskoale zgadzały się z doświadczalymi ograiczeiami a rozmiary atomów. Tym razem wykorzystamy te postulat do zalezieia dozwoloych eergii, jakie może mieć elektro zajdujący się w atomie. Będzie to miało kluczowe zaczeie doświadczale, gdyż ENERGIA jest jedą z tych wielkości, które potrafimy doświadczalie mierzyć, dostarczać i pobierać z ajwyższymi dokładościami. ENERGIA KINETYCZNA ELEKTRONU Na eergię ruchu elektrou wokół atomowego jądra składają się dwa czyiki. Pierwszym z ich jest dobrze am zaa eergia kietycza, która jest związaa z tym, że elektro porusza się z pewą (jak pamiętamy iemałą) prędkością. Z lekcji fizyki w szkole wiemy bowiem, że każde poruszające się ciało obdarzoe masą ma eergię kietyczą. Jest tak

2 dlatego, że aby je zatrzymać, ależy wykoać pewą pracę. Baalą wręcz obserwacją jest to, że czym ciało ma większą prędkość, tym ma większą eergię kietyczą. Niebaale jest to, że dwukrote zwiększeie prędkości ciała powoduje aż CZTEROKROTNY wzrost jego eergii kietyczej. Szczególie moco muszą zwrócić uwagę a te fakt kierowcy. Powii pamiętać, że zwiększeie prędkości z dozwoloych w tereie zabudowaym 50 km/h do 70 km/h powoduje aż dwukrote zwiększeie eergii kietyczej! W razie ieszczęśliwego wypadku będzie to miało iewątpliwie kolosale zaczeie. Elektro w atomie oczywiście rówież eergię kietyczą posiada. Wyliczmy teraz, jaka oa jest w zależości od umeru orbity, a której elektro się zajduje. Wzór a eergię kietyczą każdy potrafi apisać bez dłuższego zastaowieia, gdyż pojawia się o praktyczie a każdej lekcji fizyki. Ma o postać: mv p = =. m Druga postać tego wzoru jest miej zaa, ale do aszych celów bardziej użytecza. Wyika oa bezpośredio z pierwszej, jeśli uwzględi się, że pęd p ciała to po prostu iloczy masy ciała m i jego prędkości v. Wzór te jest przydaty zawsze tam, gdy raczej jesteśmy zaiteresowai pędem ciała, a ie jego prędkością. W wypisaej przez as formule wyrażającej matematyczie postulat kwatowaia Bohra, występuje właśie pęd, a ie prędkość. Wykorzystując postulat kwatowaia Bohra możemy w łatwy sposób pozbyć się pędu we wzorze a eergię kietyczą. Otrzymamy wtedy astępujący wzór: h = mr gdzie teraz w jawy sposób pojawił się w aszym wzorze promień orbity R oraz główa liczba kwatowa. Możemy jedak wykorzystać wzór a promień orbity, który wyprowadziliśmy sobie już wcześiej (MT 10/07). Przypomijmy, że otrzymaliśmy go, wykorzystując postulat kwatowaia Bohra oraz fakt, że w ruchu po okręgu siła oddziaływaia elektrostatyczego pełi fukcję siły dośrodkowej. Ma o postać: h- h- R = mke Jak pamiętamy, k to tzw. stała oddziaływaia elektrostatyczego (MT 09/07), której doświadczala wartość wyosi k 9, N m /C. Czytelik łatwo sprawdzi, że wstawiając tę zależość do aszego wzoru a eergię kietyczą, otrzymamy astępujący związek pomiędzy eergią kietyczą elektrou a umerem dozwoloej orbity, po której o krąży 4 = h- Ze wzoru tego płyie atychmiastowy wiosek, że eergia kietycza elektrou maleje z kwadratem umeru orbity, po której krąży. Im orbita, po której porusza się elektro, ma większy promień, tym jego prędkość jest miejsza. Eergia kietycza ie jest jedak jedyą, jaką posiada elektro a orbicie. Nie jest o bowiem elektroem swobodym, ale zajduje się w obszarze oddziaływaia z dodatio aładowaym jądrem. Ma w związku z tym dodatkową eergię eergię potecjalą oddziaływaia elektrostatyczego. CO TO JEST ENERGIA POTENCJALNA? Pojęcie eergii potecjalej sprawia początkującym fizykom dużo większe trudości iż pojęcie eergii kietyczej. Jest tak dlatego, że eergia potecjala, związaa z oddziaływaiem, jest dużo bardziej abstrakcyjym obiektem iż kietycza (związaa z ruchem). Czym jest ruch, każdy bowiem wie, bo widział. Oddziaływaie moża jedyie sobie wyobrażać. Spróbujmy zatem małymi kroczkami wytłumaczyć, czym jest eergia potecjala. Wyobraźmy sobie sytuację, że ciało zajduje się w pewym miejscu w przestrzei i działa a ie pewa zewętrza siła. W zależości od tego, w którym miejscu w przestrzei to ciało się zajduje, może działać a ie ia (lub w szczególym przypadku taka sama) siła. Nie jest istote w tym momecie, skąd ta siła pochodzi. Ale dla uproszczeia możemy sobie zawsze myśleć, że jej źródłem jest jakieś ie ciało. Wyobraźmy teraz sobie, że chcemy przesuąć asze ciało z jedego miejsca w przestrzei w ie. Ze względu a fakt, że podczas przesuwaia a asze próbe ciało działa zewętrza siła, będziemy musieli wykoać pewą PRACĘ przeciwko tej sile, aby skuteczie ciało przesuąć. Poieważ jedak w każdym 53

3 momecie działająca siła może mieć ią wartość, a awet kieruek i zwrot, to w ogólości praca ta będzie zależała od drogi, jaką wybierzemy, aby ciało przesuąć z jedego miejsca w drugie. Sytuacja może być bardzo skomplikowaa i wyliczeie optymalej drogi może być bardzo trude, a awet iemożliwe. Wśród wszystkich takich sytuacji istieje jedak bardzo waża klasa sił, tzw. sił potecjalych, z którymi mamy bardzo często do czyieia. Siły potecjale to takie siły, dla których praca potrzeba do przesuięcia ciała z jedego puktu do drugiego zupełie ie zależy od drogi, po jakiej dokoujemy tego przesuięcia, a jedyie od tego, jaki jest pukt startowy i końcowy. Sytuację taką prezetuje poiższy rysuek: Taka sytuacja sprawia, że wykoywaa praca ma bardzo ciekawe własości. Spełia oa p. waruek addytywości. Tz. praca potrzeba a przesuięcie ciała z puktu startowego do końcowego jest rówa sumie pracy potrzebej do przesuięcia ciała z puktu startowego do pewego puktu pośrediego i pracy potrzebej do przesuięcia ciała z tego puktu pośrediego do końcowego. Ią własością jest p. jej atysymetryczość, tz. że praca potrzeba do przesuięcia ciała z pewego puktu A do B jest dokładie rówa, ale z przeciwym zakiem, pracy potrzebej do przesuięcia ciała z puktu B do A. Jest to oczywiste, bo praca z puktu A do A musi być rówa zero ie zależy bowiem od drogi. To wszystko ozacza, że jeśli przesuwając ciało z A do B, wykoaliśmy jakąś pracę, to w drodze powrotej pracę tę możemy odzyskać. To działające siły potecjale ją za as wykoają. Stąd właśie bierze się te zak mius. Obie powyżej opisae sytuacje prezetuje poiższy rysuek: W takiej uproszczoej sytuacji, gdy mamy do czyieia z siłami potecjalymi, możemy wprowadzić pojęcie eergii potecjalej. W tym celu ależy wybrać (całkowicie dowolie) jede pukt, względem którego będziemy mierzyli tę eergię, zway puktem odiesieia. Następie wszystkim iym puktom ależy przypisać eergię potecjalą rówą pracy potrzebej, aby przesuąć asze ciało z puktu odiesieia właśie do tego miejsca. Poieważ sytuację ograiczyliśmy do sił potecjalych, to wykoaa praca ie zależy od drogi, po której będziemy przesuwać ciało. Tym samym eergia potecjala w daym pukcie jest zdefiiowaa w sposób jedozaczy. Gdy mamy określoą eergię potecjalą aszego ciała w każdym pukcie przestrzei, a opisaa powyżej procedura przyajmiej teoretyczie to umożliwia, to bardzo łatwo jest zaleźć pracę, jaką ależy wykoać, przesuwając ciało pomiędzy dwoma dowolymi puktami. Jest to po prostu różica eergii potecjalych dla tych dwóch puktów. Jako ćwiczeie pozostawiamy Czytelikowi sprawdzeie, że choć sama eergia zależy od wyboru puktu odiesieia, to różica eergii pomiędzy dwoma puktami jest już od iego całkowicie iezależa. Podsumowując, moża powiedzieć tak: Eergia potecjala to taka wielkość fizycza, której różica pomiędzy dwoma puktami w przestrzei określa pracę, jaką ależy wykoać, aby przemieścić ciało z jedego miejsca do drugiego. W tym miejscu musimy zwrócić uwagę a jede bardzo fudametaly fakt. Sama eergia potecjala ie ma dobrej iterpretacji fizyczej. Jej wartość zależy bowiem od arbitralego wyboru puktu odiesieia. Obiektywe zaczeie ma tylko różica eergii potecjalych, gdyż to właśie ta różica określa pracę do wykoaia coś, co możemy zmierzyć bezpośredio w eksperymecie. ENERGIA POTENCJALNA ELEKTRONU W ATOMIE P 54 Jesteśmy teraz gotowi do wyliczeia eergii potecjalej elektrou zajdującego się w atomie. W tym celu będziemy potrzebowali wzoru, który ją określa względem jakiegoś puktu w przestrzei. Może Czytelikowi wyda się to dość dziwe, ale okazuje się, że bardzo użyteczym puktem, względem którego warto mierzyć eergię potecjalą, jest... PUNKT W NIESKOŃCZONOŚCI!! Tak, tak... Pomiar eergii potecjalej względem ieskończoości jest bardzo użyteczy, bo w te sposób określa pracę, jaką ależy wykoać, aby przeieść ciało z bardzo daleka (z ieskończoości) do wybraego puktu. Krótko mówiąc, jest to praca, jaką ależy wykoać, aby wprowadzić ciało do rozważaego układu. Gdy zatem mówimy o elektroie a orbicie, będzie to praca, jaką ależy wykoać, aby z iezależego jądra i elektrou zrobić

4 jede układ ATOM. Będzie to oczywiście ta sama praca (tylko wzięta z miusem) jaką ależy wykoać, aby atom rozbić a jądro i swobody elektro, czyli zjoizować atom. Wzór a eergię potecjalą oddziaływaia elektrostatyczego pomiędzy dwoma ładukami moża wyprowadzić, zając wzór Coulomba (MT 09/07). Wymaga to jedak pewej wiedzy i wprawy matematyczej, która wyrasta poza szkołę średią. Dlatego podamy te wzór bez uzasadieia, choć jeszcze raz podkreślmy, że moża go otrzymać w sposób ścisły. Eergia potecjala oddziaływaia pomiędzy dwoma ładukami q i Q zajdującymi się w próżi w odległości R od siebie mierzoa względem ieskończoości (tz. względem sytuacji, gdy ładuki są ieskończeie daleko od siebie) wyraża się wzorem: q Q = k R Dla sytuacji, w której oddziałują ze sobą elektro i jądro atomowe o tym samym ładuku (z przeciwymi zakami), eergia potecjala ma zatem postać: ke R gdzie e jest ładukiem elemetarym (MT 09/07). W oczywisty sposób widać, że eergia potecjala oddziaływaia elektrou z protoem jest ujema! Chwila zastaowieia przekouje, że oczywiście tak musi być, bo elektro i jądro mają przeciwe zaki i w związku z tym się przyciągają. To ozacza, że praca potrzeba a przysuięcie elektrou do jądra z ieskończoości jest ujema. To bowiem ie my mamy tę pracę wykoać to siła przyciągaia ją wykoa za as. Gdybyśmy jedak chcieli elektro od jądra odsuąć, to wtedy my musielibyśmy wykoać tę pracę i rzeczywiście będzie oa w tym wypadku dodatia. Wszystko się zatem zgadza. Wykorzystajmy teraz wzór a promień orbity atomowej w zależości od główej liczby kwatowej, tak jak zrobiliśmy to w przypadku eergii kietyczej, i wstawmy go do aszego wzoru. Otrzymamy wtedy astępujący związek pomiędzy eergią potecjalą elektrou a dozwoloej orbicie atomowej a umerem tej orbity: 4 h- Jak widać, eergia potecjala podobie jak eergia kietycza maleje z kwadratem główej liczby kwatowej. Dokładiej mówiąc, wartość bezwzględa tej eergii tak się zachowuje (musimy bowiem uwzględić jeszcze fakt, że eergia ta jest ujema). Przy okazji zauważmy, że zachodzi pewie bardzo tajemiczy i wręcz czarodziejski związek między eergią kietyczą i potecjalą w aszej sytuacji. Jak się dobrze przypatrzymy wzorom wyrażającym te dwie wielkości, to łatwo sprawdzić, że istieje zależość E P która zupełie ie zależy od główej liczby kwatowej. Jest to szczególy przejaw bardzo ważego i ogólego twierdzeia występującego w fizyce, zwaego twierdzeiem o wiriale. Być może kiedyś przyjdzie czas, aby się mu dokładiej przyjrzeć. Tymczasem zajmijmy się aszym elektroem. ENERGIA ELEKTRONU W ATOMIE! Jesteśmy teraz gotowi, aby zaleźć pełą eergię elektrou w atomie, która jest sumą jego eergii kietyczej i potecjalej. Jak łatwo sprawdzić, wyraża się oa wzorem: 4 E = EK + EP h- Spróbujmy teraz wyliczyć, jaka jest ta eergia dla kilku pierwszych orbit atomowych. W tym celu w pierwszym kroku wyliczmy współczyik stojący w powyższym wzorze, wstawiając wartości odpowiedich stałych fizyczych. Czytelik łatwo się przekoa, że współczyik te ma wartość: mk e h- 4, J 13,61eV 55

5 Użyliśmy tutaj powszechie używaej w sytuacjach subatomowych jedostki eergii ev zwaej elektroowoltem. Z defiicji jede elektroowolt to eergia kietycza, jaką ma jede elektro przyśpieszoy apięciem jedego wolta. Jak widać, jedostka ta doskoale pasuje do rzędu eergii, z jakimi mamy do czyieia w aszym problemie. Wypiszmy teraz eergię całkowitą elektrou dla kilku pierwszych dozwoloych orbit w atomie, podobie jak zrobiliśmy to ostatio dla promieia orbity: Główa liczba kwatowa Eergia elektrou [ev] 1 13,61 3,40 3 1,5 4 0,85 WIELKI TRIUMF BOHRA 56 Czytelik jeszcze zapewe ie zdaje sobie sprawy z faktu, że ta otrzymaa powyżej skroma tabelka jest jedym z ajważiejszych wyików w historii fizyki teoretyczej i tym samym wielkim triumfem Nielsa Bohra. Co takiego w iej jest, że ośmielam się ją właśie tak zakwalifikować? O tym opowiemy sobie już w astępym odciku. Na zachętę jedak uchylę rąbka tajemicy. Otóż z doświadczeń wykoywaych przez chemików pod koiec XIX i a początku XX wieku, gdy słowo kwat w ogóle ie było zae, wyikało, że eergia joizacji atomu wodoru (czyli eergia, jaka jest potrzeba, aby pozbawić atom elektrou) wyosi ok. 13,61 ev! Kto jeszcze ie wie, o co chodzi, iech zajrzy do tabelki... Z iej moża jedak wyciągąć dużo, dużo więcej. Zapraszam za miesiąc!