ZASTOSOWANIE REGRESJI WIELOKROT- NEJ I SIECI NEURONOWEJ DO MODELO- WANIA ZJAWISKA TARCIA

Zeszyty Naukowe WSIf Vol 9, Nr 3, 2010 Tomasz Trzepieciński Katedra Przeróbki Plastyczej Politechika Rzeszowska ZASTOSOWANIE REGRESJI WIELOKROT- NEJ I SIECI NEURONOWEJ DO MODELO- WANIA ZJAWISKA TARCIA Streszczeie W pracy przedstawioo modele regresyje opisu zjawiska tarcia w procesach kształtowaia blach. Zastosowaa aaliza regresji wielowymiarowej oraz sztucze sieci euroowe pozwalają a zmiimalizowaie lub całkowite wyelimiowaie wykoywaia czasochłoych prób tarcia w celu określeia wartości współczyika tarcia dla szerokiego zakresu zmieości waruków tarcia. Poadto metody te ie wymagają zajomości wszystkich czyików wpływających a zjawiska tribologicze oraz ich iterakcji w strefie kotaktu. Do budowy modeli tarcia wykorzystao wyiki przeprowadzoych doświadczeń próby przeciągaia paska blachy w warukach tarcia suchego mających a celu wyzaczeie wpływu wartość chropowatości powierzchi blachy, chropowatości powierzchi przeciwpróbek oraz siły acisku a wartość współczyika tarcia. Aalizę regresji wielokrotej przeprowadzoo za pomocą podprogramu użytkowika w środowisku Matlab, atomiast do zbudowaia modelu euroowego zastosowao program Statistica Neural Networks. 1 Wprowadzeie Regresja wielokrota jest metoda statystyczą której, główym celem jest ilościowe ujęcie związków pomiędzy wieloma zmieymi iezależymi a zmieą zależą [1]. Nawet jeśli ie istieje sesowa zależość pomiędzy zmieymi, moża dążyć do powiązaia ich za pomocą rówaia matematyczego. Rówaie to może ie posiadać sesu fizyczego, ale przy pewych założeiach pozwala a progozowaie wielkości określoych a podstawie zajomości iych zmieych. Regresja jest jedą z ajczęściej stosowaych metod w zastosowaiu do rozwiązywaia problemów w aukach techiczych, ekoomii i zarządzaiu [2]. Wśród szerokiego zastosowaia aalizy regresji w tribologii ależy zwrócić szczególa uwagę a wyzaczaie wartości współczyika tarcia [3, 4] oraz do określeia wpływu obciążeia i drogi tarcia a szybkość zużycia [5]. Sztucze sieci euroowe (SSN) staowią składają się z połączoych ze sobą węzłów obliczeiowych zwaych euroami. Istotą cechą SSN jest możliwość uczeia się - tj. modyfikowaia parametrów charak- 31

32 Zastosowaie regresji wielokrotej... teryzujących poszczególe euroy w taki sposób, by zwiększyć efektywość sieci przy rozwiązywaiu zadań określoego typu. Działaie sieci euroowych jest oparte a działaiu ludzkiego mózgu, który posiada zdolość do gromadzeia, przetwarzaia i odzyskiwaia daych. Do podstawowych właściwości sieci eoowych ależy zaliczyć zdolość do uogóliaia wiedzy, mała wrażliwość a błędy w zbiorze uczącym a także możliwość rówoległego i rozproszoego przetwarzaia daych. Sieci umożliwiają także kotrolę ad złożoym problemem wielowymiarowości, który przy stosowaiu iych metod zaczie utrudia próby modelowaa fukcji ieliiowych z dużą liczbą zmieych iezależych. Odpowiedio dobraa sieć euroowa do określoego zadaia a podstawie zestawu daych doświadczalych może abyć zdolości aproksymacyje prawie dowolej fukcji ieliiowej [6]. Wielu autorów z sukcesem zastosowało sieci euroowe do ieliiowej aalizy regresji [3,7]. Aplikacja SSN umożliwiła zalezieie zależości pomiędzy wartością chropowatości powierzchi a rzeczywistą powierzchia kotaktu dla różych waruków tarcia [8]. Badaia zużycia tarciowego materiałów stosowaych a klocki hamulcowe pojazdów wykazały bardzo dobrą zdolość sieci do regresji z uwzględieiem poad 20 zmieych wejściowych [9]. Aaliza regresji wielokrotej oraz sztucze sieci euroowe (SSN) są alteratywą dla aalityczych metod wyzaczaia wartości współczyika tarcia. 2 Model regresji wielokrotej Model regresji wielokrotej zbudowao a podstawie wyików próby przeciągaia paska blachy w warukach tarcia suchego mających a celu wyzaczeie wpływu wartość chropowatości powierzchi blachy, chropowatości powierzchi rolek oraz siły acisku a wartość współczyika tarcia. Materiałem do badań były próbki z blachy mosiężej w różych staach utwardzeia. Podczas przeciągaia pasków blachy po zablokowaych przeciwpróbkach w postaci rolek mierzoa była w sposób ciągły za pomocą aparatury pomiarowej siła ciągieia i siła docisku (rys. 1). Tak przygotowae dae posłużyły do obliczeia wartości współczyika tarcia. Typując czyiki wpływające a opory tarcia blachy ależy uwzględić wymagaia związae z budowa modelu regresji opisującego ich wpływ. Wymagaia te sprowadzają się do wyboru takich czyików, które istotie wpływają a tarcie, a jedoczesie są względem siebie iezależe. Waruek istotości wpływu poszczególych czyików moża w późiejszym etapie budowy modelu weryfikować za pomocą elimiacji a posteriori. Jako zmiee wejściowe wytypowao astępujące parametry: siła docisku rolek oraz parametry chropowatości rolek mierzoe wzdłuż Ra 0 oraz w poprzek Ra 90 do kieruku walcowaia a

T. Trzepieciński także parametr Ra chropowatości powierzchi rolki mierzoy wzdłuż tworzącej (tabl. 1). Podae wartości sił są przybliżoe stosowaie różych sił docisku pozwoliło a zbudowaie zbioru daych o szerokim zakresie sygałów wejściowych. Wszystkie blachy testowao dla wszystkich poziomów zmieości parametru Ra przeciwpróbek oraz sił docisku. Otrzymao =80 obserwacji, a podstawie których zbudowao macierz zmieych iezależych. Fp tesometr cięgo próbka Układ zasilająco - wzmaciający Fp µ= 2Fc Fc Rys. 1. rolki Schemat próby przeciągaia blachy cięgo tesometr Tabela. 1. Parametry testowaych blach oraz wartości parametrów zmieych podczas prób tarcia Materiał Ra 0, µm Ra 90, µm Ra rolek, µm Siła docisku F c, kn M63 r 0,18 0,28 M70 z6 0,26 0,38 M63 z4 0,17 0,2 M63 z6 0,14 0,22 M80 r 0,13 0,16 0,32 0,63 1,25 2,5 Dobór rówaia regresji liiowej metodą elimiacji a posteriori przeprowadzoo za pomocą podprogramu użytkowika w środowisku MA- TLAB, który jest jedym z ajbardziej zaawasowaych programów do obliczeń macierzowych. Poiżej przedstawioo podstawowe założeia oraz metodykę tworzeia modelu regresji wielorakiej. Założoo do opisu regresji model liiowy pierwszego stopia z czterema zmieymi iezależymi X i jeda zmiea iezależą Y. W dalszych rozważaiach ależy określić czy tak przyjęty model jest dobrym predyktorem. Model moża więc przedstawić w postaci: 0,4 0,8 1,2 1,6 2 33

Zastosowaie regresji wielokrotej... Y = Xβ + ε (1) gdzie: Y wektor obserwacji, X macierz zmieych iezależych, β wektor parametrów estymowaych, ε wektor błędów, ε i = Y i Ŷ i, Ŷ wartość oczekiwaa zmieej objaśiaej Y. Wartość oczekiwaa błędu E(ε)=0 oraz wariacji D 2 =Iσ 2 =0, gdzie I macierz jedostkowa, tak więc elemety ε musza być ieskorelowae [13]. W aszym przypadku mamy 4 zmiee iezależe, szukamy więc pięciu estymatorów parametrów β i, gdzie { i N : 0 < i < 4} otrzymaych metodą ajmiejszych kwadratów, czyli estymatorów b i, i N : 0 < i < 4. Wartości estymatorów wyzaczoo z rówaia (2): gdzie { } b = (X T X) 1 X T Y (2) Wartości estymatorów moża otrzymać metodą ajmiejszych kwadratów zakładając, że: - postać modelu jest liiowa, - wytypowae czyiki wpływające a wielkość współczyika tarcia są wielkościami ielosowymi oraz iezależymi od siebie, - liczba czyików wytypowaych do utworzeia modelu jest miejsza od ilości prób, - wyzaczik macierzy X T X 0 tz. macierz X T X jest ieosobliwa, - ε i jest zmieą losową o wartości oczekiwaej rówej zeru. Elemety wektora b są liiowymi fukcjami obserwacji Y i, i N : 1< i < i staowią estymatory ieobciążoe elemetów wektora { } β o ajmiejszych wariacjach. Rówaie (1) przyjmie więc postać: Y ˆ = Xb (3) Po wyzaczeiu b i podstawieiu do(3) otrzymamy rówaie regresji (4): 0,163 0,604 Ŷ = X 0,698 (4) 0,023 0,042 34

T. Trzepieciński Dla zmieych losowych odchyleia stadardowe zmieych z populacji określae jako dodati pierwiastek kwadratowy z wariacji (5): s(x) = i 1 (X X i isr ) 2 = (5) 1 wyoszą s(x 1 ) = 0,044, s(x 1 ) = 0,078, s(x 1 ) = 0,840, s(x 1 ) = 0,429, s(x 1 =Y) = 0,043. Po scetrowaiu macierzy X T X względem wartości średich otrzymamy macierz X T c X o wymiarach j y. Wyzaczając współczyiki rówaia korelacji ze wzoru (6) otrzymamy macierz korelacji (7) o współczyikach z przedziału (0,1) r jy = s jj jy s s yy 1 0,953 0,019 0,006 0,588 0,953 1 0,008 0,013 0,673 R = 0,019 0,008 1 0,005 0,455 (7) 0,006 0,013 0,005 1 0,406 0,588 0,673 0,455 0,406 1 Ustaleie jak dalece liia regresji będzie przydata jako predyktor, sprowadza się do stwierdzeia jak duża część sumy kwadratów poza średią pokrywa się z sumą kwadratów w regresji i jak duża część pokrywa się z sumą kwadratów poza regresją. Współczyik determiacji R 2 powiie być jak ajbardziej zbliżoy do wartości 1. Dobrae rówaie posiada R 2 = 0,8704, tz. tłumaczy 87,04 % całkowitego odchyleia wokół średiej. Według daych literaturowych model o R 2 powyżej 80 % moża uzać za dobry predyktor. Aaliza wariacji (tabl. 2) pozwala określić iepewość związaą z progozowaymi wartościami zmieej, które mogą tym bardziej odbiegać od przeciętej, im wyższa jest wariacja. Wariacja jako średie kwadratowe odchyleie wartości zmieej losowej od jej wartości średiej jest miarą rozproszeia możliwych wartości zmieej i jest iezastąpioym arzędziem testującym istotość całego rówaia. Przy poziomie istotości α=0,05 całkowita wartość testu F (Fischera Secodera) wyosi: (6) 35

Zastosowaie regresji wielokrotej... MS F = 2 s R = ( 2 ( Y i) 2 i= 1 2 75 Yi (Yi Y i) ) i= 1 i= 1 (Y i= 1 i ˆ 2 Y ˆ (8) ) i jest rówa 126, 026 i jest większa od wartości testu F=2,51 odczytaej z tablic, co potwierdza, że rówaie 4 jest dobrym predyktorem. Tabela. 2. Aaliza wariacji Źródło Stopie swobody Suma kwadratów Średi kwadrat F całkowite Ogółem Regresja Reszta 79 4 75 0,149 0,130 0,019 0,032 0,0002 126,026 Poziomem istotości azywamy przyjęte prawdopodobieństwo pomyłki w trakcie ocey istotości parametru, czyli jego prawdopodobieństwo do wskazywaia ieprawidłowych szacuków całego modelu. Zwykle poziom istotości przyjmuje się a poziomie 0,05, przypadku iższego poziomu często zdarza się, że oszacoway parametr, po oceie jego istotości okazuje się tej istotości ie wykazywać w dostateczie wysokim stopiu. Liczba stopi swobody związaa z każdą suma kwadratów pokazuje jak wiele iezależych iformacji zawartych w iezależych wartościach Y i, { i N : 0 < i < } jest potrzebych do zestawieia sumy kwadratów. Wyzaczeie sumy kwadratów poza średią wymaga (-1) iezależych iformacji. Aaliza rozkładu reszt regresyjych jest jedym z ważiejszych etapów aalizy regresji. Reszty są ciągiem dodatich i ujemych różic pomiędzy składikami wektora empiryczego obserwacji zmieej objaśiaej Y, a wektora teoretyczych obserwacji otrzymaych a podstawie modelu (rys. 2). Rozkład ormalego błędów (rys. 3) jest iezbędy do przeprowadzeia testów F, zależych od przyjęcia rozkładu ormalego. Aby uzyskać jak ajlepsza jakość predykcji rówaia regresji powio się dążyć do wprowadzeia do modelu tak wiele zmieych jak to możliwe. Wiąże się to ze zbudowaiem bardzo dużej bazy daych i uwzględieiem kolejych zmieych w rówaiu regresji więc chcielibyśmy, aby do modelu wprowadzić jak ajmiej zmieych. Kompromisem między tymi sprzeczymi ze sobą warukami są procedury wyboru ajlepszego rówaia regresji. 36

T. Trzepieciński Rys. 2. Zmiea resztowa 0,04 0,03 0,02 0,01 0-0,01 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3-0,02-0,03-0,04 Współczyik tarcia przewidyway Współczyik tarcia obserwoway Współczyik tarcia Rozkład zmieych resztowych w fukcji zmia wartości współczyika tarcia przewidywaego przez model regresji (a) oraz określoego eksperymetalie (b). Częstośc wystepowaia 30 25 20 15 10 5 0-0,04-0,02 0 0,02 0,04 Błąd modelu Rys. 3. Częstość występowaia zmieej resztowej Wprowadzając a początku wszystkie zmiee iezależe założoo, że ajlepsze rówaie zostaie otrzymae metodą elimiacji a posteriori. Najmiejsza wartość częściowego testu F (tabl. 3) jest większa od wartości dobraej z tablic dla dobraego poziomu istotości α=0,05 rówej 3,98. Poieważ obliczoe F dla zmieej X 1 jest większe od wartości krytyczej moża przyjąć model Ŷ =f(x 1, X 2, X 3, X 4 ) jako obowiązujący. Model dla zapewieia lepszej predykcji może być poprawioy p. przez zwiększeie ilości daych wejściowych bądź wprowadzeie do modelu składików mieszaych X 1 *X 2, X 1 *X 3 itd. Jedak biorąc pod uwagę, że rówaie regresji liiowej Ŷ =f(x 1, X 2, X 3, X 4 ) tłumaczy 86,9 % (R 2 = 0,869) całkowitego odchyleia (rys. 4) oraz to, że uzyskao małe odchyleie stadardowe reszt rówe 0,0160 przyjęto model za adekwaty. 37

Zastosowaie regresji wielokrotej... Tabela. 3. Wyiki aalizy częściowego testu F Numer zmieej Wartość średia Orygialy współczyik β i Częściowy test F 4 1,314-0,042 102,992 3 1,175 0,023 121,149 2 0,244 0,698 84,570 1 0,178-0,604 19,983 Wartości progozowae przez zbudoway model regresji w cechują się wysoka zgodością z wartościami eksperymetalymi współczyika tarcia (rys. 5, 6). Jest to szczególie widocze w środkowym zakresie wartości współczyika tarcia. Dla skrajych wartości współczyika tarcia rozbieżość daych progozowaych zwiększa się, co jest związae z ormalym rozkładem błędów. Rys. 4. Wspólczyik tarcia progozoway 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 R² = 0,869 0,12 0,17 0,22 0,27 0,32 Współczyik tarcia obserwoway Wartości progozowaej wartości współczyika tarcia dla daych użytych do budowy modelu regresji Współczyik tarcia Rys. 5. 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 Współczyik tarcia obserwoway Współczyik tarcia przewidyway przez model regresji 0 10 20 30 40 50 Numer obserwacji Porówaie wartości rzeczywistych współczyika tarcia z wartościami progozowaymi rówaiem regresji 38

T. Trzepieciński Rys. 6. Wartość współczyika tarcia dla blachy M63 z6 otrzymaa eksperymetalie (a) oraz progozowaa przez model regresji (b) 3 Model euroowy Do budowy modelu regresyjego SSN wykorzystao program Statistica Neural Networks. Jedym z ajważiejszych zadań koieczych do zbudowaia optymalego modelu sieci euroowej jest odpowiedi dobór zmieych wejściowych mających istoty wpływ a wartość zmieej wyjściowej. Na wejście sieci wprowadzoo cztery zmiee wykorzystae do budowy klasyczego modelu regresji wielorakiej. Projektowaie sieci w programie Statistica zrealizowao za pomocą Automatyczego Projektata Sieci, który sam przeprowadza eksperymety z różą liczbą euroów ukrytych, wielokrotie powtarzając proces uczeia dla każdej badaej struktury i dokouje wyboru ajlepszych modeli sieci, kierując się wartością błędu walidacyjego i wielkością sieci. Sieć wielowarstwowa MLP (Multilayer Perceptro) dobraa przez Automatyczego Projektata zawierała jedą warstwę ukrytą z ośmioma euroami (rys. 6). 0 Ra, µm 90 Ra, µm Ra rolek, µm µ F, kn c Rys. 7. Struktura sieci euroowej 39

Zastosowaie regresji wielokrotej... Spośród wszystkich par uczących (sygałów wejściowych i odpowiadających im sygałów wyjściowych) wydzieloo losowo ok. 10% przypadków, które zaliczoo do zbioru walidacyjego. Dae z tej grupy posłużyły do iezależej kotroli algorytmu uczeia. Pozostała liczba przypadków została przypisaa do zbioru uczącego. Najważiejszą iformacją uwzględiaą przy oceie sieci jest wartość błędu walidacyjego. i= 1 ( z y ) RMS = (9) gdzie: z i oczekiway sygał eurou wyjściowego dla i-tego wzorca, y i sygał eurou wyjściowego dla i-tego wzorca, N liczba wektorów w ciągu uczącym. Aby zapobiec procesowi przeuczeia sieci, jako kryterium zakończeia uczeia sieci przyjęto momet, gdy ie astępuje już dalsze zmiejszaie się wartości błędu RMS zbioru walidacyjego. Proces uczeia sieci przebiegał metodą wsteczej propagacji błędu, która jest obecie ajczęściej stosowaym algorytmem uczeia sieci euroowych. Ograiczoy zakres możliwych odpowiedzi sieci w powiązaiu z wymogiem korzystaia wyłączie z iformacji w postaci umeryczej pociąga za sobą koieczość stosowaia wstępego przetwarzaia daych wejściowych przed ich podaiem a wejście sieci i procesu przekształcaia i odpowiediej iterpretacji daych wyjściowych otrzymywaych z sieci. Z tego względu wartości umerycze podawae z zewątrz muszą zostać przeskalowae do przedziału odpowiediego dla sieci [10]. Oceiając model regresyjy ależy zwrócić szczególą uwagę a wartość ilorazu odchyleia stadardowego błędów i odchyleia stadardowego wartości zmieej objaśiaej S. D. Ratio oraz współczyik korelacji Pearsoa. Mieriki te są wyzaczae iezależie dla każdego ze zbiorów daych. Dla bardzo dobrego modelu wartość S. D. Ratio wyosi poiżej 0,1. Współczyik korelacji Pearsoa liczoy pomiędzy rzeczywistymi i obliczoymi przez sieć euroową wartościami zmieej objaśiaej wyosił dla zbioru uczącego 0,954 oraz dla zbioru weryfikującego 0,931 S. D. Ratio dla powyższych zbiorów wyosił odpowiedio: 0,179 i 0,243. Wysoka wartość mierika korelacji przy iskiej wartości S. D. Ratio dla zbioru uczącego świadczy o dobrych własościach aproksymacyjych sieci euroowej. Porówaie modelu regresyjego i euroowego (rys. 7) uwidaczia lepsze dopasowaie modelu euroowego do daych doświadczalych mających charakter ieliiowy. i 2 i 40

T. Trzepieciński Współczyik tarcia, µ Współczyik tarcia, µ Rys. 8. 0,32 0,3 0,28 0,26 0,24 0,22 0,2 0,18 0,16 0,14 0,12 0,24 0,22 0,2 0,18 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 eksperymet (0,76 kn) SSN (0,76 kn) regresja (1,15 kn) eksperymet (1,9 kn) SSN (1,9 kn) regresja (0,76 kn) eksperymet ( 1,15kN) SSN (1,15 kn) regresja (1,9 kn) 0,2 0,7 1,2 1,7 2,2 Ra rolek, µm eksperymet (Ra=0,32) SSN (Ra 0,32) regresja (Ra=0,63) eksperymet (Ra=2,5 SSN (Ra=2,5) regresja (Ra=0,32) eksperymet (Ra=0,63) SSN (Ra=0,63) regresja (Ra=2,5) 0,7 1,1 1,5 1,9 Siła docisku, kn Porówaie wartości współczyika tarcia wyzaczoego doświadczalie z modelem regresji i siecią euroową dla blachy M70 z6 dla różych sił docisku rolek (góry) oraz dla blachy M63 z6 dla różych chropowatości powierzchi rolek (doly) 4 Podsumowaie Wyiki przeprowadzoych eksperymetów euroowych charakteryzują się wysoką zgodością z daymi doświadczalymi w zakresie wartości parametrów użytych do uczeia sieci. Należy bowiem pamiętać aby wartości progozowae ie wykraczały poza zakres wartości wykorzystaych w procedurze określaia parametrów rówaia regresji. Sieć euroowa może realizować ekstrapolację zbudowaej fukcji poza zakres daych uczących, jedakże w miarę oddalaia się od zaego obszaru maleje szasa, że fukcja ie zmiei swego charakteru. Mimo, że model SSN lepiej dopasowuje się do daych eksperymetalych iż model regresyjy, ie ależy rezygować ze stosowaia klasyczej re- 41

Zastosowaie regresji wielokrotej... gresji wielorakiej. W przypadku gdy istieje możliwość wyboru pomiędzy modelem prostym i bardziej złożoym, ależy preferować model miej skomplikoway, o ile te drugi ie dopasowuje się lepiej do daych. Dalsze badaia będą zmierzać do implemetacji w programach do aalizy procesów kształtowaia blach metodą elemetów skończoych modelu tarcia, który w zależości od istiejących waruków pozwoli a określeie lokalych wartości współczyika tarcia. Podziękowaia Projekt został zrealizoway przy wsparciu udzieloym przez Isladię, Liechtestei i Norwegię, poprzez dofiasowaie ze środków Mechaizmu Fiasowego Europejskiego Obszaru Gospodarczego oraz Norweskiego Mechaizmu Fiasowego w Ramach Fuduszu Stypedialego i Szkoleiowego. Literatura [1] Johso R., Wicher D., Applied multivariate statistical aalysis, Pretice-Hall, Eglewood Cliffs, 1982. [2] Kleibaum D.G., Kupper L.L., Muller K.E., Applied regressio aalysis ad other multivariable methods, PWS Publishig Co., Bosto,1988. [3] Matuszak A., Factors ifuecig frictio i steel sheet formig, J. Mat. Proc. Techol., Vol. 106, pp. 250-253, 2000. [4] Stachowicz F., Trzepieciński T., ANN applicatio for determiatio of frictioal characteristics of brass sheet metal, J. Artif. Itell., Vol. 1, pp. 81-90, 2004. [5] Dasgupta R., Thakur R., Govidraja B., Regressio aalysis of factors affectig high stress abrasive wear behavior, J. of Failure Aalysis ad Prevetio, Vol. 2, pp. 65-68, 2002. [6] Hertz J., Krogh A., Palmer.G., Wstęp do teorii obliczeń euroowych, WNT, Warszawa, 1993. [7] Rapetto M.P., Almqvist A., Larsso R., Lugt P.M., O the ifluece of surface roughess o real area of cotact i ormal, dry, frictio free, rough cotact by usig a eural etwork, Wear, Vol. 266, pp. 592 59, 2009. [8] Draga A., Neural etwork predictio of brake frictio materials wear, Wear, Vol. 268, pp. 117 125, 2010. [9] Statistica Neural Networks, Addedum for versio 4, StatSoft, Tulsa, 1999 42

T. Trzepieciński APPLICATION OF MULTIPLE REGRESSION AND NEURAL NETWORK FOR MODELLING OF FRICTION PHENOMENON Summary The article cotais regressio models of frictio pheomeo descriptio i sheet metal formig. The applied multiple regressio aalysis ad artificial eural etworks allow to limit or elimiate time-cosumig frictio research with the purpose of determiatio of frictio coefficiet value for wide rage of frictio coditios variability. Furthermore these methods do ot require kowledge of all parameters ifluecig o tribological pheomea ad their iteractios i the cotact zoe. To build frictio models the results of a strip drawig test i dry frictio coditios were utilized. The aim of performed frictio tests was to determie the sheet surface roughess, surface roughess of rolls ad holder force o frictio coefficiet value. Multiple regressio aalysis was carried out usig user subroutie i Matlab software. To build eural etwork model Statistica Neural Networks software package was applied. 43