Estymacja przedziałowa - przedziały ufności

Transkrypt

1 Estymacja przedziałowa - przedziały ufości Próbę -elemetową charakteryzujemy jej parametrami (p. x, s, s ). Służą oe do ocey wartości iezaych parametrów populacji (m, σ, σ). Nazywamy je estymatorami puktowymi iezaych parametrów populacyjych. Niezay parametr populacji θ (p. EX=m, D X=σ ) może być przybliżoy przez swój estymator puktowy (p. x, s, s ). Może być też szacoway przy pomocy przedziału ufości. Estymacja przedziałowa polega a kostrukcji przedziału liczbowego, który z określoym z góry (bliskim 1) prawdopodobieństwem (poziomem ufości) będzie zawierał iezaą wartość szacowaego parametru populacji. Twórcą metody estymacji przedziałowej był statystyk polskiego pochodzeia Jerzy Spława-Neyma ( ). W4-1

2 Postać przedziału ufości jest astępująca: { g Θ g }, = 1 α 1 P Stwierdzamy, że z prawdopodobieństwem 1-α przedział ufości (g 1,g ) zawiera szacoway parametr populacyjy Θ. W tym zapisie Θ jest wielkością stałą, choć iezaą, g 1 i g zaś są wartościami liczbowymi wyzaczoymi z próby. Są oe zmieymi losowymi elemetów próby, statystykami z próby. Wielkość α to poziom istotości (lub ryzyko błędu, że określoy a podstawie próby przedział ie zawiera parametru Θ), zaś 1-α to poziom ufości. W4 -

3 Dla rozkładu ormalego (iezae σ ) przedział ufości dla średiej populacji m może mieć postać: m s s ( x tα, 1 ; x + tα, 1 ), P = 1 α Jest to ajkrótszy przedział zawierający średią populacyją z założoym poziomem ufości. Wartość t α,-1 odczytujemy z tablic rozkładu t-studeta. Wartość α jest azywaa poziomem istotości, v= 1 to liczba stopi swobody. W pewych przypadkach zależy am a jedostroych przedziałach ufości: m ( x t m ( ; x α, 1 + t s α, 1 ; ) s Długość podaego przedziału dwustroego dla średiej m wyraża formuła: ) d = t α, 1 s W4-3

4 Zależy am a tym, by przedział ufości dla wartości średiej m był jak ajkrótszy. Możemy osiągąć to: poprzez zwiększeie liczebości próby, zwiększając parametr α, a więc zmiejszając poziom ufości 1 α. W pierwszym przypadku wiąże się to ze zwiększoym akładem pracy i kosztów, w drugim ze zwiększeiem ryzyka pomyłki (szacoway parametr ie będzie ależał do określoego przez as przedziału) Jeśli chcemy oszacować parametr z określoą dokładością d, to po odpowiedich przekształceiach wzorów a przedziały ufości możemy wyzaczyć liczebość próby losowej potrzebą do osiągięcia zakładaej dokładości d s s d = tα, 1 tα, 1 Choć jest zmieą uwikłaą, to t α, 1 ie zmieia się szybko. W4-4

5 Podobie moża skostruować przedział ufości dla populacyjych charakterystyk rozproszeia: wariacji i odchyleia stadardowego. Są oe oparte o rozkład c Pearsoa i mają postać: P P var X, 1 σ χ α χ var X, 1 σ var X 1 α, 1 χ α χ var X 1 α, 1 = 1 α = 1 α Określają oe graice losowych (bo zależych od próby losowej) przedziałów obejmujących iezaą wartość wariacji i odchyleia stadardowego w populacji. W4-5

6 Jeśli cecha X ma rozkład dwupuktowy, to jej charakterystyką jest p wskaźik struktury (frakcja). Dyspoujemy próbą: x 1, x,...,x, gdzie x i = 1 ( sukces ) lub x i = ( porażka ). k = i = 1 X i ozacza liczbę sukcesów. Estymator puktowy frakcji p: p ˆ = Przybliżoy przedział ufości dla p: ( (1 ) (1 ) u ; u ), 1 α / + 1 α / gdzie poziom ufości P = 1 a, a u a jest kwatylem rzędu α rozkładu ormalego N(, 1) (moża go zastąpić wartością t(α, + )). Te przedziały ufości (dla p i dla σ ) rówież mogą być jedostroe. k W4-6

7 Przykład: Badao stopień rozpowszechieia telefoów komórkowych w środowisku studetów pewej uczeli. Stwierdzoo, że wśród 6 losowo przebadaych studetów telefo komórkowy posiadało 54 osób. k 54 p ˆ = = =,9 6 t(α, ), dla α =,5, ma wartość 1,96 (tablice statystycze, rozkład t Studeta). Stąd zgodie ze wzorem: p p ( ) (1 ) (1 ) u ; + u = α 1 α / 1 α / P 1 ( ),9(1,9 1,96,9),9(1,9) ;,9 + 1,96 P =, W4-7

8 czyli (,9,4 ;,9 +,4) =, 95 p P p (,876 ;,94) P =, 95 Z prawdopodobieństwem,95 mamy prawo oczekiwać, że prawdopodobieństwo posiadaia przez pojedyczego studeta telefou komórkowego będzie ie miejsze iż,876, ale ie większe iż,94. Z prawdopodobieństwem,95 frakcja studetów badaej uczeli, posiadających telefo komórkowy będzie ie miejsza iż 87,6 % i ie większa iż 9,4 %. W4-8

9 Hipotezy statystycze i ich weryfikacja, testy statystycze Drugim, obok estymacji (szacowaia wartości parametrów lub rozkładu zmieej losowej w populacji a podstawie rozkładu empiryczego dla próby), podstawowym rodzajem wioskowaia statystyczego jest weryfikacja (testowaie) hipotez statystyczych, czyli sprawdzaie określoych przypuszczeń (założeń) wysuiętych w stosuku do parametrów lub rozkładu populacji geeralej. Hipotezy statystycze to odpowiedio sformułowae przypuszczeia dotyczące rozkładu populacji. Mogą oe mieć różą postać, w zależości od pierwotych hipotez badawczych. Najczęściej stosuje się hipotezy parametrycze, precyzujące wartości parametrów populacyjych (gł. średiej, wariacji czy frakcji). W4-9

10 Weryfikacja hipotezy statystyczej polega a stosowaiu specjalego arzędzia, zwaego testem statystyczym. Jest to reguła postępowaia, która każdej możliwej próbie losowej przyporządkowuje decyzję odrzuceia lub przyjęcia weryfikowaej hipotezy. Istota każdego testu polega a tym, aby uchroić się przed popełieiem błędu I rodzaju polegającym a odrzuceiu hipotezy prawdziwej, jak i przed popełieiem błędu II rodzaju polegającym a ie odrzuceiu (czyli przyjęciu) hipotezy fałszywej. Hipoteza H odrzuceie przyjęcie prawdziwa α 1 α fałszywa 1 β β Jako poziom istotości a wybiera się ajczęściej wartość:,5, choć moża przyjąć dowolą liczbę z przedziału <,1>. W4-1

11 W teorii weryfikacji (istotościowych) hipotez statystyczych większe zaczeie przypisywae jest błędowi pierwszego rodzaju. Od testu statystyczego wymaga się, by błąd te był rzadko popełiay. Stąd zawsze arzuca się z góry pewe małe prawdopodobieństwo popełieia błędu pierwszego rodzaju (poziom istotości, α) ograiczające występowaie tego błędu. Z testem statystyczym związae jest także pojęcie mocy testu. Mocą testu azywamy prawdopodobieństwo odrzuceia fałszywej hipotezy zerowej (lub prawdopodobieństwo ie odrzuceia hipotezy alteratywej H 1, gdy w rzeczywistości jest oa prawdziwa). Prawdopodobieństwo to rówe jest 1 β. Moc testu to iaczej prawdopodobieństwo ie popełieia błędu drugiego rodzaju. Im większe jest to prawdopodobieństwo, tym lepszy jest day test jako arzędzie do W4-11

12 decydowaia między hipotezą prawdziwą i fałszywą. Test statystyczy może być słaby lub mocy: test mocy - w większości przypadków jesteśmy w staie odrzucić fałszywą hipotezę zerową test słaby - gdy istieje duża szasa a to, że ie odrzucimy hipotezy zerowej, pomimo jej ieprawdziwości. Od testu powiiśmy wymagać, by był o jak ajmociejszy, tz. by jak ajłatwiej odrzucał hipotezę zerową, jeśli jest oa ieprawdziwa. Test mocy: 1. rzadko myli się odrzucając H (raczej ie odrzuca H prawdziwej). Ustalae jest to za pomocą poziomu istotości. prezetuje mały błąd II rodzaju (β), czyli jeśli odrzuca H, to jest wysoka W4-1

13 szasa (rówa mocy testu), że H była fałszywa. Wszystkie omawiae a wykładzie testy to testy w pewym sesie ajmociejsze. Hipoteza o średiej populacyjej Niech populacja geerala ma rozkład ormaly N(m,σ ), przy czym oba parametry są iezae. W oparciu o elemetową próbę losową ależy zweryfikować hipotezę zerową H : m = m, wobec hipotezy alteratywej H 1 : m m Dla weryfikacji tej hipotezy zerowej stosujemy test t Studeta, który daje am wartość statystyki temp obliczoej z próby: x m x m temp = = s sx Symbol s x ozacza średi błąd średiej rówy S /,5. W4-13

14 Jeżeli zajdzie ierówość t emp t α, -1, to hipotezę H ależy odrzucić a korzyść hipotezy alteratywej H 1. Gdy zajdzie ierówość przeciwa, tz. t emp < t α, -1, to ie mamy podstaw do odrzuceia hipotezy H, czyli przyjmujemy ją. Jeśli cecha X ma rozkład N(m;σ ), to hipoteza zerowa: H : m=m może być testowaa różie, w zależości od postaci hipotezy alteratywej H 1. Hipoteza alteratywa H 1 : m > m H 1 : m < m H 1 : m m Fukcja testowa temp sx Obszar krytyczy x m ( ) = temp sx t α, ;+ 1 x m ( ) = ; t α, 1 x m ( = ) temp sx ;, 1 t α, t α ( ) 1;+ Dwa pierwsze przypadki to hipotezy (i testy) jedostroe. W4-14

15 Przykład Iteresuje as, czy średia masa etto kubeczka jogurtu wyosi g. Pobieramy próbę prostą liczącą kubeczków i określamy masę etto (p: x 1 =191g, x =15g, x 3 =1g,..., x =189g ). Dla hipotetyczej elemetowej próby przyjmijmy astępujące wartości statystyk: średia z próby 197,6, odchyleie stadardowe w próbie wyosi 6. t emp x m = s t,5,19 =,93 197,6 = 6 = 1,788 Dla hipotezy alteratywej H 1 : m m wartość bezwzględa z t emp =1,788 ie wpada do obszaru krytyczego ( t emp >t α,v 1,788 ie jest wieksze iż,93) więc: a poziomie istotości 5% ie ma podstaw do odrzuceia hipotezy o tym, że średia masa etto wyosi g. W4-15

16 Gdybyśmy wykoywali test a poziomie istotości 1%, wtedy t,1,19 =1,73, czyli waruek odrzuceia ( t emp >t α,v ) jest spełioy. Wtedy odpowiedź byłaby: a poziomie istotości 1% odrzucamy hipotezę zerową o tym, że średia masa etto wyosi g a rzecz hipotezy alteratywej, że ie jest rówa. Załóżmy, że hipotezę tę stawia biuro obroy kosumeta pod wpływem doiesień o zbyt małej wadze etto. Wtedy hipoteza zerowa ma postać H : m = m a alteratywa H 1 : m < m, tz albo waga jest prawidłowa albo za mała. t *,5,19 =1,73 więc a poziomie istotości 5% odrzucamy hipotezę zerową o tym, że średia masa etto wyosi g a rzecz hipotezy alteratywej, że średia masa jest miejsza. W4-16

17 Hipoteza o wartości wskaźika struktury p Zmiea losowa dwupuktowa, zero jedykowa. H : p = p (H 1 : p p ) Statystyka empirycza gdzie p ˆ = k z emp = p p (1 p ) Jeśli z emp u 1 α/ =t α,, to hipotezę H ależy odrzucić a korzyść H 1. Natomiast, gdy z emp < t α,, to ie mamy podstaw do odrzuceia hipotezy H (czyli merytoryczie uzajemy ją za prawdziwą). W4-17

18 Przykład: Zweryfikujmy a poziomie istotości α =,5 przypuszczeie, że wskaźik wyposażeia studetów pewej uczeli w laptopy jest rówy.4, jeśli w losowej próbie 8 studetów fakt posiadaia laptopa zadeklarowało 35 osób. H : z emp k 35 p ˆ = = =, p = =.4 z emp,4375,4,4(1,4) 8 = = p p (1 p,165 Poieważ t(,5, + ) = 1,96 to odrzucamy hipotezę zerową o tym, że frakcja w populacji wyosi 4% (H : p = 4%) a korzyść hipotezy alteratywej, że frakcja jest ia iż 4% (H 1 : p 4%) przy przyjętym poziomie istotości rówym 5%. ) W4-18

19 Moża zapropoować jako alteratywą hipotezę jedostroą, p. H 1 : p >,4, ale zmiaa ta wpłyie a przebieg testowaia - porówaie jedostroe z u 1 α czyli t α,. Hipoteza alteratywa Obszar krytyczy H 1 : p > p (u 1 α, ) H 1 : p < p (,u 1 α ) H 1 : p p (,u 1 α/ ) (u 1 α/, ) Hipotezy o wartości parametru a przedziały ufości dla tego parametru Dla zadaego poziomu istotości α hipoteza o tym, że baday parametr populacyjy wyosi x, jest odrzucaa wtedy i tylko wtedy, kiedy x ie ależy do przedziału ufości skostruowaego a poziomie ufości 1 α. W4-19