Planowanie doświadczeń - DPLD LMO Materiały pomocnicze
|
|
- Jadwiga Sobczyk
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Plaowaie doświadczeń - DPLD LMO Materiały pomocicze Układ bloków kompletie zradomizowaych Założeia: (a) Z jedostek doświadczalych tworzymy rówolicze grupy zwae blokami (b bloków) w taki sposób, aby jedostki te możliwie mało różiły się między sobą wewątrz grup, dopuszczale są różice między grupami (b) Liczba jedostek w bloku (= k) powia być rówa liczbie obiektów eksperymetalych (c) Każdej z k jedostek eksperymetalych bloku przypisuje się losowo jede z k obiektów eksperymetalych Taką radomizację ależy wykoać oddzielie dla każdego bloku Zatem każdy z b bloków staowi replikację Ozaczeia: b - liczba bloków, k - liczba obiektów i wielkość każdego bloku, - liczba jedostek eksperymetalych, = kb Materiał eksperymetaly podlega podwójej klasyfikacji: ze względu a bloki, ze względu a obiekty Model liiowy: y ij = µ + α i + β j + ε ij, y ij - obserwacja dotycząca i-tego obiektu w j-tym bloku, µ - średia ogóla, α i - efekt (działaia) i-tego obiektu, i =, 2,, k, β j - efekt j-tego bloku, j =, 2,, b, ε ij - błędy losowe, o których zakładamy, że są iezależymi zmieymi losowymi oraz ε ij N(0, σ 2 ) Testowaie hipotez Założeia: k i= α i = 0, b j= β j = 0 Ozaczeia: y i = b y ij, y j = k y ij, ȳ = k b y ij b j= k i= i= j= Tabela Tabela aalizy wariacji Źródło zmieości Stopie swobody Suma kwadratów Średi kwadrat obiekty k SSA = b k i= (y i ȳ) 2 MSA = SSA k bloki b SSB = k b j= (y j ȳ) 2 MSB = SSB b błąd (b )(k ) SSE = k i= bj= (y ij y i y j + ȳ) 2 MSE = SSE (b )(k ) całość SST = k i= bj= (y ij ȳ) 2 (a) H 0 : β = β 2 = = β b, H : H 0 B = (y ij ) : F = MSB MSE > F ( α, b, (b )(k )) (b) H 0 : α = α 2 = = α k, H : H 0 B = (y ij ) : F = MSA MSE > F ( α, k, (b )(k ))
2 (c) H 0 : α i = α j, H : α i α j - testy ajmiejszych istotych różic - test Tukey a MSE B = (y ij) : y i y j > NIR = q( α, k, (b )(k )) b, q( α, k, (b )(k )) jest kwatylem rzędu α z rozkładu studetyzowaego rozstępu (Tablice 9 i 0 s 504, Górecki, 20) Brakujące obserwacje Za oceę brakującej obserwacji dla i-tego obiektu w j-tym bloku przyjąć moża wielkość daą wzorem Yatesa: m ij = ki i + bb j G (k )(b ), I i -suma obserwacji dla i-tego obiektu, B j -suma obserwacji dla j-tego bloku, G-suma całkowita Rezultat m ij podstawiamy w miejsce brakującej obserwacji W tabeli aalizy wariacji ależy: (a) zmiejszyć liczbę stopi swobody dla błędu i całości o jede, (b) sumę kwadratów dla obiektów (SSA) zmiejszyć o H = (B j (k )m ij ) 2 k(k ) Względa efektywość Względa efektywość doświadczeia założoego według układu bloków kompletie zradomizowaych wobec doświadczeia opartego a kompletej radomizacji (klasyfikacji jedokierukowej): (k )(b ) + E = ((k )(b ) + 3)MSE : k +, ( k + 3)Ṽe Ṽ e = SSB + ( b)mse Model w postaci macierzowej Model układu bloków kompletie zradomizowaych moża zapisać w astępującej postaci macierzowej: y = Xγ + ε, Poadto, ε N (0, σ 2 I ) y = (y, y 2,, y b, y 2, y 22,, y 2b,, y k, y k2,, y kb ), b b 0 b 0 b 0 b I b X = b 0 b b 0 b 0 b I b, b 0 b 0 b 0 b b I b γ = (µ, α, α 2,, α k, β, β 2,, β b ), ε = (ε, ε 2,, ε b, ε 2, ε 22,, ε 2b,, ε k, ε k2,, ε kb ) Estymowalość fukcji parametryczej Defiicja Fukcja parametrycza c γ, c = (c, c 2,, c b+k+ ) jest estymowala, gdy istieje dla iej ieobciążoy estymator liiowy, tz b R : E(b y) = c γ 2
3 Kotrasty Defiicja 2 Fukcję parametryczą L = k i= c i α i = c α, c = (c, c 2,, c k ) oraz α = (α, α 2,, α k ), azywamy kotrastem, gdy k i= c i = c k = 0 Defiicja 3 Kotrasty c α i b α są ortogoale, gdy c b = 0 3 Jedoczyikowa aaliza wariacji Model liiowy: y ij = µ i + ε ij, y ij - j-ta obserwacja dotycząca i-tego obiektu, i =, 2,, a, j =, 2,, i, µ i - efekt (działaia) i-tego obiektu, ε ij - błędy losowe, o których zakładamy, że są iezależymi zmieymi losowymi oraz ε ij N(0, σ 2 ) Ozaczeia: i ȳ i = y ij, ȳ = i j= a i y ij i= j= Tabela 2 Tabela aalizy wariacji Źródło zmieości Stopie swobody Suma kwadratów Średi kwadrat obiekty a SSA = a i= i (ȳ i ȳ) 2 MSA = SSA a błąd a SSE = SST SSA MSE = SSE a całość SST = a i i= j=(y ij ȳ) 2 Weryfikujemy układ hipotez H 0 : µ = µ 2 = = µ a, H : H 0 testem o obszarze krytyczym: B = (y ij ) : F A = MSA MSE > F ( α, a, a) Testowaie kotrastów w jedoczyikowej aalizie wariacji Niech L = c µ będzie kotrastem, c = (c, c 2,, c a ) i µ = (µ, µ 2,, µ a ), oraz SSL = ( a i= c i ȳ i ) 2 ai= c 2 i i Weryfikujemy układ hipotez H0 L : L = 0, H L : L 0 testem o obszarze krytyczym: B = (y ij ): F L = SSL MSE > F ( α,, a) Tabela 3 Rozszerzoa tabela aalizy wariacji Źródło zmieości Stopie swobody Suma kwadratów Średi kwadrat F obiekty a SSA MSA F A L SSL SSL F L L 2 SSL 2 SSL 2 F L2 L a SSL a SSL a F La błąd a SSE MSE całość SST
4 Ogóle własości układów bloków Defiicja 4 Macierzą icydecji układu bloków azywamy macierz N = ( ij ) wymiaru v b, ij 0 jest liczbą jedostek ależących do j-tego bloku, a których zastosowao i-ty obiekt Ozaczmy przez k = (k, k 2,, k b ), r = (r, r 2,, r v ) wektory wielkości bloków i replikacji obiektów, odpowiedio Niech K = diag(k, k 2,, k b ), R = diag(r, r 2,, r v ) Defiicja 5 Macierzą układu dla obiektów azywamy macierz wymiaru v, której elemet δ ij przyjmuje wartość, gdy j-ta obserwacja dotyczy i-tego obiektu oraz 0 w przeciwym przypadku Defiicja 6 Macierzą układu dla bloków D azywamy macierz wymiaru b, której elemet d ij przyjmuje wartość, gdy j-ta obserwacja ależy do i-tego bloku oraz 0 w przeciwym przypadku Zredukoway układ rówań ormalych dla obiektów ma postać Cτ = Q, C = R NK N - macierz iformacji dla obiektów, τ = (τ, τ 2,, τ v ) - wektor efektów obiektowych, Q = T NK B - wektor poprawioych sum dla obiektów, T = (T, T 2, T v ) - wektor sum obserwacji dla obiektów, B = (B, B 2, B b ) - wektor sum obserwacji dla bloków Zredukoway układ rówań ormalych dla bloków ma postać D β = P, D = K N R N - macierz iformacji dla bloków, β = (β, β 2,, β b ) - wektor efektów blokowych, P = B N R T - wektor poprawioych sum dla bloków Rozwiązaie zredukowaego układu rówań ormalych dla obiektów jest postaci ˆτ = C Q, C jest uogólioą odwrotością macierzy C, tz CC C = C Macierz Ω = C + rr azywamy macierzą Tochera Wówczas C = Ω Niech θ, θ 2,, θ, v będą iezerowymi wartościami własymi macierzy C, a v, v 2,, v odpowiadającymi im ortoormalymi wektorami własymi Wtedy C = i= θ i v i v i Lemat Jeżeli A jest macierzą ieosobliwą, to ( ) ( ) A B A B = + FE F FE D E F E, E = D B A B oraz F = A B Tabela 4 Tabela aalizy wariacji Źródło zmieości Stopie swobody Suma kwadratów Średi kwadrat obiekty v SSA = Q C Q MSA = SSA v bloki b SSB = P D P MSB = SSB b błąd b v + SSE = i,j yij 2 b Bj 2 j= k j SSA MSE = SSE b v+ 4
5 5 (a) H 0 : β = β 2 = = β b, H : H 0 B = (y ij ) : F = MSB MSE > F ( α, b, b v + ) (b) H 0 : τ = τ 2 = = τ v, H : H 0 B = (y ij ) : F = MSA MSE > F ( α, v, b v + ) Defiicja 7 Kotrastem elemetarym azywamy taki kotrast c τ, dla którego wszystkie elemety wektora c są zerami za wyjątkiem dwóch, z których jede jest rówy a drugi Defiicja 8 Układ bloków azywamy spójym, gdy wszystkie elemetare kotrasty są fukcjami estymowalymi Twierdzeie Układ bloków jest spójy wtedy i tylko wtedy, gdy rak(c) = v Defiicja 9 Spójy układ bloków azywamy układem ortogoalym, gdy N = rk Defiicja 0 Układ bloków azywamy zrówoważoym w sesie wariacji, gdy pozwala o a estymację wszystkich elemetarych zormalizowaych kotrastów obiektowych z taką samą wariacją Twierdzeie 2 Spójy układ bloków jest układem zrówoważoym w sesie wariacji wtedy i tylko wtedy, gdy iezerowe wartości włase macierzy C są rówe Wiosek Spójy układ bloków jest układem zrówoważoym w sesie wariacji wtedy i tylko wtedy, gdy macierz C moża przedstawić w postaci C = (a b)i v + b v v, a i b są dowolymi skalarami Wtedy macierz C moża także zapisać w postaci ( C = θ I v ) v v v, θ jest iezerową wartością własą macierzy C Niech M = R NK N Estymatorem ieobciążoym kotrastu s Rτ jest estymator postaci µ s Q, s jest prawym wektorem własym macierzy M odpowiadającym wartości własej µ, tz Ms = µs Poadto ( ) Var µ s Q = σ2 µ s Rs W układzie ortogoalym estymatorem ieobciążoym kotrastu s Rτ jest s Q, a poadto Var (s Q) = σ 2 s Rs Stratę iformacji o kotraście estymowalym s Rτ w układzie D(N, r, k, v, b) względem porówywaego układu ortogoalego defiiujemy jako α(s Rτ ) = Var O (s Q) Var D ( µ s Q ) = µ Współczyik efektywości kotrastu s Rτ w układzie D defiiujemy jako µ Defiicja Układ bloków azywamy układem zrówoważoym w sesie efektywości, gdy każdy kotrast efektów obiektowych jest estymowaly w tym układzie z takim samym współczyikiem efektywości
6 Twierdzeie 3 Spójy układ bloków jest układem zrówoważoym w sesie efektywości wtedy i tylko wtedy, gdy macierz M spełia waruek M = µi v + ( µ) vr, µ jest ieujemym skalarem miejszym od Defiicja 2 Układ bloków jest zrówoważoy w sesie kombiatoryczym, gdy NN = D + λ v v, D jest macierzą diagoalą a λ stałą dodatią Uwaga Dla układu róworeplikowaego i właściwego (bloki o tej samej wielkości), zrówoważeie w sesie wariacji jest rówoważe zrówoważeiu w sesie kombiatoryczym i takie układy azywa się zrówoważoymi układami bloków Gdy układ ie jest róworeplikoway lub właściwy, układ może być zrówoważoy w sesie wariacji i ie być zrówoważoy w sesie kombiatoryczym, i a odwrót Twierdzeie 4 Jeżeli spójy układ bloków ma dwie sposród trzech poiższych własości, to ma rówież własość trzecią: (a) układ jest zrówoważoy w sesie wariacji, (b) układ jest zrówoważoy w sesie efektywości, (c) układ jest róworeplikoway Lemat 2 Wartościami własymi macierzy ieosobliwej postaci ai + b są a z krotością oraz a + b z krotością Układy zrówoważoe o blokach iekompletych W układzie zrówoważoym o blokach iekompletych rozmieszczamy v obiektów w b blokach (każdy rozmiaru k < v) tak, aby spełioe były waruki: (i) Każdy obiekt występuje co ajwyżej raz w każdym bloku (ii) Każdy obiekt występuje w r blokach (iii) Każda para obiektów występuje razem w λ blokach Liczby aturale v, b, r, k, λ są parametrami tego układu Jeżeli N jest macierzą icydecji układu zrówoważoego o blokach iekompletych, to oraz vr = bk =, λ(v ) = r(k ) NN = (r λ)i v + λ v v Defiicja 3 Macierzą asocjacji azywamy macierz postaci NN Trójkowy zrówoważoy układ bloków Trójkowym zrówoważoym układem bloków azywamy układ składający się z b bloków (każdy rozmiaru k), do których wybieramy obiekty ze zbioru v elemetowego, w taki sposób, żeby: (i) Każdy z v obiektów występował r razy w całym doświadczeiu oraz 0, lub 2 razy w każdym bloku (2 pojawia się przyajmiej raz) (ii) Każda z różych par obiektów występuje razem λ razy Trójkowy zrówoważoy układ bloków jest układem regularym, tj każdy obiekt występuje pojedyczo w ξ blokach oraz jest powtarzay dwa razy w ξ 2 blokach, ξ i ξ 2 są stałe dla układu Parametrami trójkowego zrówoważoego układu bloków są liczby v, b, r, k, λ, ξ, ξ 2 Jeżeli N jest macierzą icydecji tego układu, to 6 oraz vr = bk, r = ξ + 2ξ 2, λ(v ) = ξ (k ) + 2ξ 2 (k 2) = r(k ) 2ξ 2 NN = (ξ + 4ξ 2 λ)i v + λ v v
7 Doświadczeie czyikowe typu 2 k Model dla doświadczeia czyikowego typu 2 2 : w układzie kompletej radomizacji y ij = µ + τ ij + ε ij, i, j = 0,, µ-średia ogóla, τ ij = α i + β j + (αβ) ij jest efektem ij-tej kombiacji obiektowej, w układzie bloków kompletie zradomizowaych y ijp = µ + τ ij + ρ p + ε ijp, i, j = 0,, p =, 2,, b, µ i τ ij jak wyżej, a ρ p to efekt p-tego bloku Efekty i iterakcja: A = (ab + a) (b + ) - efekt główy czyika A, B = (ab + b) (a + ) - efekt główy czyika B, A(b ) = ab b - efekt prosty czyika A przy pierwszym poziomie czyika B, A(b 0 ) = a - efekt prosty czyika A przy zerowym poziomie czyika B, B(a ) = ab a - efekt prosty czyika B przy pierwszym poziomie czyika A, B(a 0 ) = b - efekt prosty czyika B przy zerowym poziomie czyika A, AB = (ab a) (b ) - iterakcja czyików A i B Ozaczeia: B i - suma obserwacji ależących do i-tego bloku, l - liczba kombiacji obiektowych, t - liczba poziomów, czyli t = 2 Tabela 5 Tabela aalizy wariacji (SSE = SST SSA SSB SSAB SSBL) Źródło zmieości Stopie swobody Suma kwadratów Średi kwadrat bloki b SSBL = B2 +B2 2 (ab+a+b+ ) 2 l efekt A t SSA = A2 efekt B t SSB = B2 iterakcja AB (t ) 2 SSAB = (AB)2 MSBL = SSBL b MSA = SSA t MSB = SSB t MSAB = SSAB (t ) 2 błąd (b )(l ) SSE MSE = SSE (b )(l ) całość SST = ij y 2 ij (ab+a+b+ ) 2 7 (a) H 0 : ab = a = b =, H : H 0 B = (y ij ) : F komb = MSK MSE > F ( α, l, (b )(l )), MSK = SSK/(l ) oraz SSK = SSA + SSB + SSAB (b) H 0 : ρ = ρ 2 = = ρ b, H : H 0 B = (y ij ) : F BL = MSBL MSE > F ( α, b, (b )(l )) (c) H 0 : A = 0, H : H 0 B = (y ij ) : F A = MSA MSE > F ( α, t, (b )(l )) (d) H 0 : B = 0, H : H 0 B = (y ij ) : F B = MSB MSE > F ( α, t, (b )(l )) (e) H 0 : AB = 0, H : H 0 B = (y ij ) : F AB = MSAB MSE > F ( α, (t )2, (b )(l ))
MACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Cayleya-Hamiltona
Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie (Cayleya-Hamiltoa): Każda macierz kwadratowa spełia swoje włase rówaie charakterystycze. D: Chcemy pokazać, że jeśli wielomiaem charakterystyczym macierzy A jest
Bardziej szczegółowo3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Bardziej szczegółowoEstymatory nieobciążone o minimalnej wariancji
Estymatory ieobciążoe o miimalej wariacji Model statystyczy (X, {P θ, θ Θ}); g : Θ R 1 Zadaie: oszacować iezaą wartość g(θ) Wybrać takie δ(x 1, X 2,, X ) by ( θ Θ) ieobciążoość E θ δ(x 1, X 2,, X ) = g(θ)
Bardziej szczegółowoElementy statystyki STA - Wykład 5
STA - Wykład 5 Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza 1 ANOVA 2 Model jednoczynnikowej analizy wariancji Na model jednoczynnikowej analizy wariancji możemy traktować jako uogólnienie
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowo( ) WŁASNOŚCI MACIERZY
.Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia,
Bardziej szczegółowoElementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego
Elemety rach macierzowego Materiały pomocicze do MES Stroa z 7 Elemety rachuku macierzowego Przedstawioe poiżej iformacje staowią krótkie przypomieie elemetów rachuku macierzowego iezbęde dla zrozumieia
Bardziej szczegółowoEstymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowo1) Jakie są różnice pomiędzy analiza danych a wnioskowaniem statystycznym?
Plaowaie Eksperymetów 1) Jakie są różice pomiędzy aaliza daych a wioskowaiem statystyczym? Celem aalizy daych jest prezetacja kokretego zbioru daych, w sposób ukazujący jego właściwości, w szczególości
Bardziej szczegółowo1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowoRelacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:
Relacje rekurecyje Defiicja: Niech =,,,... będzie astępująco zdefiiowaym ciągiem: () = r, = r,..., k = rk, gdzie r, r,..., r k są skalarami, () dla k, = a + a +... + ak k, gdzie a, a,..., ak są skalarami.
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa
Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie. Wykoujemy rzuty symetryczą kością do gry do chwili uzyskaia drugiej szóstki. Niech Y ozacza zmieą losową rówą liczbie rzutów w których uzyskaliśmy ie wyiki iż szóstka a zmieą losową rówą liczbie
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy
Bardziej szczegółowoParametryzacja rozwiązań układu równań
Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością
Bardziej szczegółowoWykład 7 Teoria eksperymentu
Wykład 7 Teoria eksperymentu Wrocław, 19.04.2017r Układ niekompletnych bloków losowych Zrównoważone niekompletne bloki: Gdy wszystkie porównania wyników są jednakowo ważne należy tak wybrać kombinacje
Bardziej szczegółowoX i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Bardziej szczegółowoZadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.
Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,
Bardziej szczegółowoOperatory zwarte Lemat. Jeśli T jest odwzorowaniem całkowym na przestrzeni Hilberta X = L 2 (Ω) z jądrem k L 2 (M M)
Operatory zwarte Niech X będzie przestrzeią Baacha. Odwzorowaie liiowe T azywa się zwarte, jeśli obraz kuli jedostkowej T (B) jest zbiorem warukowo zwartym. Przestrzeń wszystkich operatorów zwartych a
Bardziej szczegółowo16 Przedziały ufności
16 Przedziały ufości zapis wyiku pomiaru: sugeruje, że rozkład błędów jest symetryczy; θ ± u(θ) iterpretacja statystycza przedziału [θ u(θ), θ + u(θ)] zależy od rozkładu błędów: P (Θ [θ u(θ), θ + u(θ)])
Bardziej szczegółowoCharakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone
Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C
Bardziej szczegółowoWykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Bardziej szczegółowoLista 6. Estymacja punktowa
Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?
Bardziej szczegółowoθx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym,
Zadaie 1. Niech X 1,..., X 8 będzie próbą z rozkładu ormalego z wartością oczekiwaą θ i wariacją 1. Niezay parametr θ jest z kolei zmieą losową o rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją 1.
Bardziej szczegółowoMetrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Bardziej szczegółowoWokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
Bardziej szczegółowo8. Udowodnić, że: a) macierz X X jest macierzą symetryczną; b) jeśli M jest macierzą idempotentną, o wyznaczniku różnym od 0, to M = I;
Powtórzeie z algebry, rachuku prawdopodobieństwa i statystyki Zadaia. Pokazać, że dla dowolego odwracalego A,.. Pokazać z defiicji, że macierz jest ieujemie określoa. 3. Pokazać (z defiicji liiowej iezależości),
Bardziej szczegółowoSpis treści Wstęp Estymacja Testowanie. Efekty losowe. Bogumiła Koprowska, Elżbieta Kukla
Bogumiła Koprowska Elżbieta Kukla 1 Wstęp Czym są efekty losowe? Przykłady Model mieszany 2 Estymacja Jednokierunkowa klasyfikacja (ANOVA) Metoda największej wiarogodności (ML) Metoda największej wiarogodności
Bardziej szczegółowoWykład 5 Teoria eksperymentu
Wykład 5 Teoria eksperymentu Wrocław, 22.03.2017r Co to jest teoria eksperymentu? eksperyment - badanie jakiegoś zjawiska polegające na celowym wywołaniu tego zjawiska lub jego zmian oraz obserwacji i
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji : m f x = Ax RAAx x Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE
ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględą liczby rzeczywistej x defiiujemy wzorem: { x dla x 0 x = x dla x < 0 Liczba x jest to odległość a osi liczbowej
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji
http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE dr inż. Mirosław Dziewoński
Metody Numerycze METODY NUMERYCZNE dr iż. Mirosław Dziewoński e-mail: miroslaw.dziewoski@polsl.pl Pok. 151 Wykład /1 Metody Numerycze Aproksymacja fukcji jedej zmieej Wykład / Aproksymacja fukcji jedej
Bardziej szczegółowoNiezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne
Wykład 4 Niezależość zmieych, fukcje i charakterystyki wektora losowego, cetrale twierdzeia graicze Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowoWykład 6 - układ blokowy o jednostkach rozszczepionych (układ split-plot)
Wykład 6 - układ blokowy o jednostkach rozszczepionych (układ split-plot) Niekiedy dysponujemy materiałem doświadczalnym posiadającym zagnieżdżoną strukturę blokową. Cały materiał eksperymentalny podzielony
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6..003 r. Zadaie. W kolejych okresach czasu t =,, 3, 4, 5 ubezpieczoy, charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ, geeruje szkód. Dla daego Λ = λ zmiee N, N,..., N 5 są
Bardziej szczegółowo8 Weryfikacja hipotez statystycznych
Marek Beśka, Statystyka matematycza, wykład 8 04 8 Weryfikacja hipotez statystyczych 8. Hipotezy statystycze Drugą obok estymacji formą wioskowaia statystyczego jest weryfikacja hipotez statystyczych.
Bardziej szczegółowoPodstawowe oznaczenia i wzory stosowane na wykładzie i laboratorium Część I: estymacja
Podstawowe ozaczeia i wzory stosowae a wykładzie i laboratorium Część I: estymacja 1 Ozaczeia Zmiee losowe (cechy) ozaczamy a wykładzie dużymi literami z końca alfabetu. Próby proste odpowiadającymi im
Bardziej szczegółowoTwierdzenia graniczne:
Twierdzeia graicze: Tw. ierówośd Markowa Jeżeli P(X > 0) = 1 oraz EX 0: P X k 1 k EX. Tw. ierówośd Czebyszewa Jeżeli EX = m i 0 < σ = D X 0: P( X m tσ) 1 t. 1. Z partii towaru o wadliwości
Bardziej szczegółowoDefinicja interpolacji
INTERPOLACJA Defiicja iterpolacji Defiicja iterpolacji 3 Daa jest fukcja y = f (x), x[x 0, x ]. Zamy tablice wartości tej fukcji, czyli: f ( x ) y 0 0 f ( x ) y 1 1 Defiicja iterpolacji Wyzaczamy fukcję
Bardziej szczegółowo7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,
7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowox 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Bardziej szczegółowoStatystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Statystyka i Opracowaie Daych W7. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Estymacja parametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego parametru jest estymator obliczoy a podstawie
Bardziej szczegółowoMetody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.
Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowoEkonometria. Prognozowanie ekonometryczne, ocena stabilności oszacowań parametrów strukturalnych. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Prognozowanie ekonometryczne, ocena stabilności oszacowań parametrów strukturalnych Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 4 Prognozowanie, stabilność 1 / 17 Agenda
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,
Zadaie iech X, X,, X 6 będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), a Y, Y,, Y6 iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), gdzie, są iezaymi
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny
TEMATYKA: Regresja liiowa dla prostej i płaszczyzy Ćwiczeia r 5 DEFINICJE: Regresja: metoda statystycza pozwalająca a badaie związku pomiędzy wielkościami daych i przewidywaie a tej podstawie iezaych wartości
Bardziej szczegółowoEKONOMETRIA. Liniowy model ekonometryczny (regresji) z jedną zmienną objaśniającą
EKONOMETRIA Tema wykładu: Liiowy model ekoomeryczy (regresji z jedą zmieą objaśiającą Prowadzący: dr iż. Zbigiew TARAPATA e-mail: Zbigiew.Tarapaa Tarapaa@isi.wa..wa.edu.pl hp:// zbigiew.arapaa.akcja.pl/p_ekoomeria/
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoWykład 5 Przedziały ufności. Przedział ufności, gdy znane jest σ. Opis słowny / 2
Wykład 5 Przedziały ufości Zwykle ie zamy parametrów populacji, p. Chcemy określić a ile dokładie y estymuje Kostruujemy przedział o środku y, i taki, że mamy 95% pewości, że zawiera o Nazywamy go 95%
Bardziej szczegółowo1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o
1. Wioskowaie statystycze. W statystyce idetyfikujemy: Cecha-Zmiea losowa Rozkład cechy-rozkład populacji Poadto miaem statystyki określa się także fukcje zmieych losowych o tym samym rozkładzie. Rozkłady
Bardziej szczegółowoI. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2
STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x 2 +... + a x =b, a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2 x =b
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R
Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoModa (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej).
Cetrale miary położeia Średia; Moda (domiata) Mediaa Kwatyle (kwartyle, decyle, cetyle) Moda (Mo, D) wartość cechy występującej ajczęściej (ajlicziej). Mediaa (Me, M) dzieli uporządkoway szereg liczbowy
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uiwersytet Ekoomiczy w Katowicach 2015/16 ROND, Fiase i Rachukowość, rok 2 Rachuek prawdopodobieństwa Rzucamy 10 razy moetą, dla której prawdopodobieństwo wyrzuceia orła w pojedyczym
Bardziej szczegółowoMiary rozproszenia. Miary położenia. Wariancja. Średnia. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.
Miary położeia Średia Dla daych idywidualych: x = 1 x = 1 x i i ẋ i gdzie ẋ i środek i tego przedziału i - liczość i-tego przedziału Domiata moda Liczba ajczęściej występująca jeśli taka istieje - dla
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)
Bardziej szczegółowoAnaliza wariancji. Źródło: Aczel A. D. Statystyka w zarządzaniu. Barbara Gładysz
Analiza wariancji Źródło: Aczel A. D. Statystyka w zarządzaniu Analiza wariancji jednoczynnikowa Populacja Pole trójkąty 1 4 5 3 7 4 8 kwadraty 1 10 11 3 1 4 13 kółka 1 1 3 3 Populacja Pole trójkąty 1
Bardziej szczegółowoMiary położenia. Miary rozproszenia. Średnia. Wariancja. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.
Miary położeia Średia Dla daych idywidualych: x = 1 x = 1 x i i ẋ i gdzie ẋ i środek i tego przedziału i - liczość i-tego przedziału Domiata moda Liczba ajczęściej występująca jeśli taka istieje - dla
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
TATYTYKA MATEMATYCZNA ROZKŁADY PODTAWOWYCH TATYTYK zmiea losowa odpowiedik badaej cechy, (,,..., ) próba losowa (zmiea losowa wymiarowa, i iezależe zmiee losowe o takim samym rozkładzie jak (taką próbę
Bardziej szczegółowoPodstawowe rozkłady zmiennych losowych typu dyskretnego
Podstawowe rozkłady zmieych losowych typu dyskretego. Zmiea losowa X ma rozkład jedopuktowy, skocetroway w pukcie x 0 (ozaczay przez δ(x 0 )), jeżeli P (X = x 0 ) =. EX = x 0, V arx = 0. e itx0.. Zmiea
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XV: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 2 lutego 2015 r. Standaryzacja danych Standaryzacja danych Własności macierzy korelacji Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie.
Bardziej szczegółowoMetoda najmniejszych kwadratów
Metoda najmniejszych kwadratów Przykład wstępny. W ekonomicznej teorii produkcji rozważa się funkcję produkcji Cobba Douglasa: z = AL α K β gdzie z oznacza wielkość produkcji, L jest nakładem pracy, K
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowoZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 8. ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE 1 Zbieżość ciągu zmieych losowych z prawdopodobieństwem 1 (prawie apewo) Ciąg zmieych losowych (X ) jest
Bardziej szczegółowo#09. Systemy o złożonej strukturze
#09 Systemy o złożonej strukturze system składa się z wielu elementów, obiekty (podsystemy) wchodzące w skład systemu są ze sobą połączone i wzajemnie od siebie zależne mogą wystąpić ograniczenia w dostępności
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład XII: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 12 maja 2014 Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie. Standaryzacją zmiennej X nazywamy zmienną losową Z = X EX Var (X ). Definicja
Bardziej szczegółowoKorelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12
Wykład Korelacja i regresja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Wykład 8. Badaie statystycze ze względu
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.
Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ
Bardziej szczegółowoStatystyczna analiza danych (molekularnych) analiza wariancji ANOVA
Statystyczna analiza danych (molekularnych) analiza wariancji ANOVA Anna Gambin 19 maja 2013 Spis treści 1 Przykład: Model liniowy dla ekspresji genów 1 2 Jednoczynnikowa analiza wariancji 3 2.1 Testy
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA
PODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA FILIP RACIBORSKI FILIP.RACIBORSKI@WUM.EDU.PL ZAKŁAD PROFILAKTYKI ZAGROŻEŃ ŚRODOWISKOWYCH I ALERGOLOGII WUM ZADANIE 1 Z populacji wyborców pobrao próbkę 1000 osób i okazało
Bardziej szczegółowoAnaliza wariancji. Źródło: Aczel A. D. Statystyka w zarządzaniu. Barbara Gładysz
Analiza wariancji Źródło: Aczel A. D. Statystyka w zarządzaniu Analiza wariancji jednoczynnikowa Populacja Pole trójkąty 4 5 3 7 4 8 kwadraty 0 3 4 3 kółka 3 3 Populacja Pole trójkąty 4 5 3 7 4 8 SUMA
Bardziej szczegółowoWykład 19. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ grudnia 2011
Wykład 9 Matematyka 3, semestr zimowy 0/0 3 grudia 0 Zajmiemy się teraz rozwiięciem fukcji holomorficzej w szereg Taylora. Przypomijmy podstawowe fakty związae z szeregami potęgowymi o wyrazach rzeczywistych.
Bardziej szczegółowod wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistyczna Definicja Odwzorowanie X: Ω R nazywamy 1-wymiarowym wektorem
d wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistycza Defiicja Odwzorowaie X: Ω R d azywamy d-wymiarowym wektorem losowym jeśli dla każdego (x 1, x 2,,x d ) є R d zbiór Uwaga {ω є Ω: X(ω)
Bardziej szczegółowoZSTA LMO Zadania na ćwiczenia
ZSTA LMO Zadaia a ćwiczeia Efektywość estymatorów ieobciążoych Zadaie 1. Zakładamy, że badaa cecha X populacji ma rozkład Poissoa πλ, gdzie λ > 0 jest parametrem. Poadto, iech X = X 1, X,..., X będzie
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 7 8.04.06 dr iż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr leti 05/06 Cetrale twierdzeie graicze - przypomieie Sploty Pobieraie próby, estymatory
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobieństwo i statystyka.0.00 r. Zadaie Rozważy astępującą, uproszczoą wersję gry w,,woję. Talia składa się z 5 kart. Dobrze potasowae karty rozdajey dwó graczo, każdeu po 6 i układay w dwie kupki.
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona
Ćwiczeie r 4 Porówaie doświadczalego rozkładu liczby zliczeń w zadaym przedziale czasu z rozkładem Poissoa Studeta obowiązuje zajomość: Podstawowych zagadień z rachuku prawdopodobieństwa, Zajomość rozkładów
Bardziej szczegółowoWyższe momenty zmiennej losowej
Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h( dla dysretej zm. losowej oraz ucji h( dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu dla
Bardziej szczegółowoStosowana Analiza Regresji
Stosowana Analiza Regresji Wykład VI... 16 Listopada 2011 1 / 24 Jest to rozkład zmiennej losowej rozkład chi-kwadrat Z = n i=1 X 2 i, gdzie X i N(µ i, 1) - niezależne. Oznaczenie: Z χ 2 (n, λ), gdzie:
Bardziej szczegółowoStatystyka i rachunek prawdopodobieństwa
Statystyka i rachuek prawdopodobieństwa Filip A. Wudarski 22 maja 2013 1 Wstęp Defiicja 1. Statystyka matematycza opisuje i aalizuje zjawiska masowe przy użyciu metod rachuku prawdopodobieństwa. Defiicja
Bardziej szczegółowoKURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1
KURS STATYSTYKA Lekcja 3 Parametrycze testy istotości ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Stroa Część : TEST Zazacz poprawą odpowiedź (tylko jeda jest prawdziwa). Pytaie Statystykę moża rozumieć jako: a) próbkę
Bardziej szczegółowoNatalia Neherbecka. 11 czerwca 2010
Natalia Neherbecka 11 czerwca 2010 1 1. Konsekwencje heteroskedastyczności i autokorelacji 2. Uogólniona MNK 3. Stosowalna Uogólniona MNK 4. Odporne macierze wariancji i kowariancji b 2 1. Konsekwencje
Bardziej szczegółowoJEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY
JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY Będziemy zapisywać wektory w postaci (,, ) albo traktując go jak macierz jednokolumnową (dzięki temu nie będzie kontrowersji przy transponowaniu wektora ) Model
Bardziej szczegółowo