Ekonometria Mirosław Wójciak

Transkrypt

1 Ekoometria Mirosław Wójciak Literatura obowiązkowa Barczak A, ST. Biolik J, Podstawy Ekoometrii, Wydawictwo AE Katowice, Katowice 1998 Dziechciarz J. Ekoometria Metody, przykłady, zadaia (wyd. ) Kukuła K (redaktor aukowy): Wprowadzeie do ekoometrii w przykładach i zadaiach, Wydawictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996 Jajuga K. : Ekoometria metody i aaliza problemów ekoomiczych Borkowski B, Dudek H, Szczęsy W. :Ekoometria wybrae zagadieia Ekoometria Jest uifikacją teorii ekoomii, statystyki i matematyki (Ragar Frish, 196) Zbigiew Pawłowski ekoometria jest auką o metodach badaia ilościowych prawidłowościach występujących w zjawiskach ekoomiczych za pomocą odpowiedie wyspecjalizowaego aparatu matematyczo statystyczego. Ekoometria jest auką i sztuką stosowaia metod statystyczych do mierzeia relacji ekoomiczych (Gregory C. Chow) Celem ekoometrii jest dokłade rozpozaie procesów gospodarczych oraz pomoc decydetom i działaczom gospodarczym w przewidywaiu procesów ekoomiczych i sterowaiu imi. Jak? Ile? Model ekoometryczy Model zawsze musi być lepszą lub gorszą kopią orygiału (Zdzisław Hellwig). Wady, zalety modeli: - z jedej stroy prostota modelu ułatwia jego zrozumieie - z drugiej stroy admiere upraszczaie rzeczywistości Modelem ekoometryczym azywać będziemy kostrukcję formalą, która za pomocą jedego rówaia bądź też wielu rówań odwzorowuje zasadicze powiązaia ilościowe zachodzące między badaymi zjawiskami (Zbigiew Pawłowski). Budowa tego modelu jest bardzo skomplikowaa Jedorówaiowy model ekoometryczy y t = f x 1t, x t,..., x k 1 ; t Gdzie: y t - zmiea objaśiaa iaczej edogeicza (zależa) x 1t,x t,..., x k 1 zmiee objaśiające iaczej zmiee egzogeicze (iezależe) - ksi - składik losowy f- postać aalitycza modelu, p.: postać liiowa, potęgowa Liiowa postać aalitycza modelu: 1

2 y t = 1 x 1t 1 x 1t... 1 x 1t 0 t część determiistycza część stochastycza Gdzie: i parametry strukturale modelu Elemety modelu ekoometryczego - Zmiee objaśiae elemety które są wyjaśiae przez poszczególe rówaia modelu - zmiee objaśiające zmiee użyte do opisu, wyjaśieie zmieych edogemiczych - składik losowy- - parametry strukturale są to wartości wyrażające ilościowy wpływ daej zmieej przy której występują a zmieą edogeiczą. - parametry struktury stochastyczej są to parametry składika losowego wariacja,autokorelacja Zmiee opóźioe lub jedego okresu Składik losowy w modelu wyika z koieczości uwzględiaia: - wpływu wszystkich zmieych, które wpływają a zmieą edogeiczą ie ujętych w modelu, - różic między przyjętą postacią aalityczą modelu, a istiejącą zależością w rzeczywistości, - błędy pomiarów zmieych - czyików losowych wpływających a zmieą edogeiczą. Specyfikacja modelu ekoometryczego to: - sprecyzowaie zmieych objaśiających - sprecyzowaie zmieych objaśiaych (edogeiczych) - podjęcie decyzji co do charakteru występujących w modelu związków pomiędzy zmieymi m. i. postać aalitycza. Specyfikacja modelu ekoometryczego opiera się a iformacjach a priori oraz iformacjach pochodzących z badań empiryczych. Przykład 1 Zbudujmy model ekoometryczy popytu a owe samochody segmetu B. Wyspecyfikujmy zmieą edogeiczą oraz zmiee objaśiające. y t x 1t - popyt a owe samochody segmetu B w szt - średia cea owego samochodu segmetu B w zł x t dochody ludości a osobą w zł x 3t cea bezyy (cey dóbr komplemetarych) w zł x 4t cea przejazdu publiczymi środkami lokomocji za 1 km w zł (cey dóbr substytucyjych) y t 1 popyt a owe samochody segmetu B w poprzedim roku w szt., t..- składik losowy f- postać aalitycza modelu p. postać potęgowa y t = x 1 xt... yt 1 5 1t e t Etapy budowy modelu ekoometryczego 1.Wyzaczeie celu i zakresu badaia Etap 1 specyfikacja modelu określeie zmieych ajtrudiejszy

3 Etap przygotowaie odpowiediej bazy daych (zbiór daych statystyczych)- a ich podstawie parametry Etap 3 estymacja parametrów modelu (zastosowaie ekoometrii) Etap 4 weryfikacja oszacowaego modelu pod względem formalym (czy są spełioe założeia) i merytoryczym Etap 5 praktycze wykorzystaie modelu ekoometryczego Klasyfikacja modeli ekoometryczych 1 Klasyfikacja modeli ekoometryczych ze względu a postać aalityczą - liiowe - ieliiowe sprowadzale do liiowych (potęgowe) - ieliiowe iesprowadzale do liiowych Ze względu a udział czyika czasu: - statycze - dyamicze to takie modele w którym występują zmiee opóźioe w czasie lub zmiea czasowa t 3 Ze względu a pozawcze cechy modelu: - modele przyczyowo-skutkowe opisowe, (p, wzrost cey - przyczya, spadek sprzedaży - skutek) - modele symptomatycze - modele tedecji rozwojowych (iaczej fukcje tredu) jedyą zmieą objaśiającą jest zmiea czasowa Dae statystycze w badaiach ekoometryczych Dae statystycze wykorzystae w modelowaiu ekoometryczym powiy charakteryzować się: - dokładością brak błędu powtarzalego, - wiarygodością muszą odzwierciedlać rzeczywisty sta, - porówywalością - kompletością brak braku daych Rodzaje daych statystyczych Dae statystycze typu: - makroekoomiczego - mikroekoomiczego Dae o charakterze: - dae przekrojowe y i - szeregi czasowe y t - dae przekrojowo czasowe y ti p w różych województwach od roku003 do 005 Liczba zmieych egzogeiczych: Czy powio się wprowadzić jak ajwięcej zmieych czy tez zbiór te ograiczyć do ajważiejszych cech? Wstępie ustaloy zbiór zmieych musi podlegać selekcji ze względu a: - kryteria ocey merytoryczo-formalych własości zmieych - kryteria wartości iformacyjej zmieych Pożądae własości zmieych objaśiających 3

4 Zmiee objaśiające powiy charakteryzować się astępującymi własościami: - zapewieie dostateczie dużej zmieości (czasowej lub przestrzeej) - są ieskorelowae lub co ajwyżej słabo skorelowae między sobą (postulat braku redudacji) - są silie skorelowae ze zmieą objaśiaą. Macierz R i R 0 Współczyiki korelacji między zmieymi objaśiającymi, a zmieą objaśiaą ozaczymy jako r 0j i tworzą oe wektor R 0 Współczyiki korelacji pomiędzy zmieymi objaśiającymi ozaczymy jako r ij i tworzą oe macierz R r1.. r 1q R 0 =[r r 0 r.. r 0q] R=[ r q ] r q1 r q.. 1 tu współczyiki powiy być a tu jak ajmiejsze jak Zad. Dom I i II rozdział. Barczak Metoda Z. Hellwiga Nośikiem iformacji o zmieej edogeiczej jest potecjala zmiea objaśiająca. Pojemością idywidualego ośika iformacji jest wyrażeie: r 0j h kj = pk 1 r ij i=1 h kj 0;1 // od i =1 do?? Gdzie r oj współczyik korelacji liiowej między Y a x j r ij współczyik korelacji liiowej między x i a x j Pojemością itegralą k tej kombiacji potecjalych zmieych objaśiających jest wyrażeie: H k = pk h k j=1, dla k=1,,..., L, H k 0,1 Liczba możliwych kombiacji potecjalych zmieych objaśiających jest rówa: L= p 1 Pojemości itegrala staowi kryterium wyboru odpowiediego zestawu zmieych objaśiających. Wady metody Z. Hellwiga (optymalego wyboru predykat) - pracochłoości obliczeń p. przy 5 potecjalych zmieych objaśiających jest do sprawdzeia już 31 kombiacji Zalety metody optymalego wyboru predyktat 4

5 - metoda jedozaczie wskazuje a ajlepszą kombiacją spośród wszystkich możliwych Dom rozdział 3 Barczak Uwagi wstępe KMNK Wyrażeia klasycza metoda ajmiejszych kwadratów KMNK będziemy używali w odiesieiu do metody szacowaia parametrów strukturalych modelu liiowego y i = 1 x 1i x i... k x ki 0 i ; i=1,,..., Będziemy używać astępujących ozaczeń: y i i ta obserwacja zmieej objaśiaej x ji i ta obserwacja j-tej zmieej objaśiającej x 6 to 6 obserwacja zmieej =[ y Y ] y 1 y.. X 1 =[ ].. =[ 1] x11 x 1 x... x k =[1 0].. k x1... xk1 1 x 1 x... x k Przy tych ozaczeiach jedorówaiowy liiowy model ekoometryczy może być zapisay jako: Y =X Założeia KMNK Zastosowaie KMNK wymaga przyjęcia astępujących założeń: 1.postać modelu jest liiowa względem parametrów (lub sprowadzala do liiowej),.zmiee objaśiające są wielkościami ielosowymi (z góry ustaloe musimy je zać) 3.zmiee objaśiające są iezależe i wole od współliiowości ie istieje między zmieymi dokłada zależość liiowa 4. r X =k (X- macierz obserwacji a zmieych objaśiających) waruek a liczebość i współliiowość próby, jeżeli 3 i 4 ie zostaie spełioe 5. E =0, czyli składiki losowe dla wszystkich obserwacji mają wartości oczekiwae rówe zero 6. E T = I, czyli składik losowy dla każdej obserwacji ma skończoą wariację, atomiast cov i, j =0 7. składik losowy ie jest skoreloway ze zmieymi objaśiającymi Estymacja parametrów modelu liiowego KMNK Część determiistycza modelu ekoometryczego wyzacza am wartości teoretyczą zmieej y. Zapiszmy model jako: IE 5

6 Y =X Y =X a S=Y Xa T Y Xa mi Trzeba wyzaczyć taki wektor a, dla którego powyższa fukcja osiągie miimum Otrzymujemy astępujący estymator wektora a: a= X T X 1 X T Y wektor a jest azyway wektorem oce parametrów Postać modelu moża zapisać jako: y i =a 1 x 1i a x i...a k x ki a 0 Lub y i =a 1 x 1i a x i...a k x ki a 0 u i gdzie u i = y i y i Wartość ocey a j - iterpretacja (parametry a iformują o ile zmiei się y jeżeli... Własości estymatora KMNK Przy spełioych założeiach estymatory liiowe uzyskae KMNK są: - zgode - wraz ze wzrostem próby maleje błąd szacuku - ieobciążoe estymator ie wykazuje błędów - ajefektywiejsze mają ajmiejszą wariację, są ajbardziej precyzyje Z macierzą wariacji i kowariacji daą wzorem: D a= X T X 1 Założeia KMNK a własości estymatora: - jeżeli zmiee objaśiające są współliiowe, to ie istieje estymator KMNK - jeżeli wariacja składika losowego ie jest stała to estymator ie jest ajefektywiejszy - jeżeli składik losowy jest zależy: cov t, t 0, a w zbiorze zmieych objaśiających ie ma Y t.. to estymator KMNK ie jest ajefektywiejszy - jeżeli składik losowy jest zależy: cov t, t 0, a w zbiorze zmieych objaśiających występuje Y t. To estymator KMNK ie jest zgody - jeżeli wariacja składika losowego jest fukcją zmieych objaśiających, to estymator KMNK ie jest zgody. Estymacja parametrów struktury stochastyczej Iymi słowy miary dopasowaia modelu do daych empiryczych. 1. ieobciążoym estymatorem wariacji składika losowego jest wariacja resztowa zdefiiowaa astępującym wzorem: 6

7 S u = 1 y k i y i = 1 u i=1 k i i =1 Lub wyrażoa wzorem macierzowym: S u = 1 k [Y T Y Y T X a ] Y T Y = y Y T X = X T Y T. odchyleie resztowe (odchyleie stadardowe składika losowego) zdefiiowae jako: S u =S u 3. współczyik zmieości przypadkowej (wyrazistości) zdefiioway jako: V u = S u y 100 iterpretacja... Jeśli wartość V u ie przekracza wartości V* (p. 10%), to przyjmuje się, że model jest dopuszczaly 4. współczyik zbieżości zdefiioway jako: = i =1 i =1 iterpretacja: y i y i y i y i 0;1 = k S u u = i S y y i y i 5. współczyik determiacji (jaką część moża wyjaśić) zdefiioway jako: R =1 R 0 ;1 6. Macierz wariacji i kowariacji oce parametrów szacuje się a podstawie: D a=s u X T X 1 W macierzy tej a główej przekątej są wariacje oce parametrów D a j Da j = D a j iterpretacja... I tu pewie był przykład 1 a szacowaie parametrów strukturalych modelu ekoometryczego //zał 1 str. 4 Ekoometria wykład /

8 Weryfikacja modelu 1. Testowaie istotości parametrów strukturalych - testowaie istotości parametrów testem t-studeta - testowaie istotości parametrów testem Fischera-Sedecora ( za pomocą współczyika korelacji wielorakiej). Aaliza własości reszt, - autokorelacja składika losowego - jedorodość wariacji składika losowego - ormalość składika losowego Test t-studeta a istotość parametrów Jeżeli spełioe są założeia KMNK to sprawdziaem hipotezy zerowej H 0 : j =0 wobec hipotezy alteratywej H 1 : j 0 // jest istoty jest statystyka t-studeta o -k stopiach swobody t j = a j j D a j ; j=1,,..., k gdzie a j - ocea parametru strukturalego j Da j - błąd szacuku parametru j jeżeli wartość statystyki: t j >= t, k gdzie t, k wartość krytycza odczytaa z tablic t-studeta to hipotezę zerową odrzucamy a rzecz hipotezy alteratywej. jeżeli t j < t, k to brak podstaw do odrzuceia hipotezy zerowej Przyczyy ieistotości parametrów strukturalych: brak zależości pomiędzy X j i Y mała dokładość lub ieodpowiedia jakość daych statystyczych mało licza próba przyjęta iewłaściwa postać aalitycza modelu pomiięcie w modelu iych ważych zmieych objaśiających okoliczości przypadkowe, wyikające z losowości próby przykład 1 Zbadaj czy dochody ludości i średia cea owego samochodu istotie kształtują popyt a samochody? model z przykładu 1: y t =1,470 x 1t 0,69 x t,609u t gdzie y t popyt w tys, x 1 dochody w setkach, x średia cea samochodu tz: Sprawdź istotość parametrów stojących przy zmieych x 1 i x we wzorze są to 1 i. 8

9 badamy zatem parametr 1 ( dochody) H 0 : 1 =0 wobec hipotezy alteratywej obliczamy wartość statystyki t-studeta: t s = a j j D a j = 1, ,17 = 6,774 // skąd mamy 0,17?? ie mam tego przykładu t 0,05;1 3 =,6 wartość statystyki jest większa od wartości krytyczej 6,774 >,6 więc hipotezę zerową odrzucamy a rzecz hipotezy alteratywej. co ozacza, że parametr jest statystyczie istoty a więc dochody ludości istotie kształtują popyt a samochody i aalogiczie -3,901 hipotezę zerową odrzucamy a rzecz hipotezy alteratywej, czyli parametr jest statystyczie istoty, a więc średia cea owego samochodu kształtuje popyt a samochody. Test Fischera-Sedecora istotości współczyika korelacji wielorakiej. H 0 : R w =0 H 1 : R w 0 współczyik jest istoty // > Sprawdziaem jest statystyka postaci: F = R 1 R. k k 1 Statystyka F ma rozkład F Fischera-Sedecora o (k-1) i (-k) stopiach swobody. Jeżeli wartość statystyki F F ;k 1, k gdzie F ;k 1, k wartość odczytaa z tablic dystrybuaty rozkładu F Fischera-Sedecora o (k-1) i (k) stopiach swobody oraz to hipotezę zerową odrzucamy a korzyść hipotezy alteratywej. Jeżeli F F ;k 1, k To ie ma podstaw do odrzuceia hipotezy zerowej Test F Fischera-Sedecora istotości współczyika korelacji wielorakiej przykład: Sprawdź czy model dostateczie opisuje sprzedaż samochodów. H 0 : R w =0 H 1 : R w 0 9

10 F = R 1 R. k k 1 = 0, , =77,318 F 0,05;;9 = 4,6 77,318>4,6 Hipotezę zerową odrzucamy a korzyść hipotezy alteratywej. Model statystyczie istotie opisuje sprzedaż samochodów Autokorelacja składika losowego Na ogół autokorelację moża wyrazić w postaci relacji: t = f t 1, t,..., t W związku z tym spełioa jest zależość T I W praktyce przyjmuje się a ogół fukcję liiową, a maksymale opóźieie czasowe wyosi jede lub dwa t = 1 t 1 t autokorelacja rzędu pierwszego Estymator współczyika autokorelacji rzędu day jest wzorem: r = u.u t t =1 u t t =1, r ależy <-1;1> // pierwszego rzędu to jest jede autokorelacja (...) - przyczyy 1. Błędy specyfikacji rówaia. pomiięcie ważej zmieej objaśiającej błąd specyfikacji statyczej pomiięcie właściwego opóźieia zmieej objaśiającej, a w szczególości zmieej objaśiaej błąd specyfikacji dyamiczej, iewłaściwa postać fukcyja rówaia. Badaie autokorelacji test Durbia-Watsoa Hipoteza zerowa H 0 : 1 =0 Hipoteza alteratywa: H 1 : 1 0 // lub 1 0 w zależości od d Sprawdziaem hipotezy zerowej jest statystyka u t u t 1 t = d =, d 0; 4 u t t=1 // dopiero po policzeiu wartości statystyki wybieramy hipotezę alteratywą!! jeżeli d> to hipoteza przyjmuje postać 1 0 i ależy obliczyć d' ze wzoru 10

11 d'=4-d bo tablice D-W są od 0 do jeżeli d< to hipoteza przyjmuje postać 1 0 wtedy d' ie liczymy Rozkład sprawdziau d przy założeiu, że H 0 jest prawdziwa i składiki losowe mają rozkład ormaly N 0, zależy od: -liczba obserwacji, K-liczba zmieych objaśiających!!!!//duże k Z tablic wartości krytyczych testu D-W odczytuje się d L i d U dwie wartości krytycze Kiedy d<, czyli hipoteza alteratywa przyjmuje postać 1 0 mamy możliwe sytuacji 1. d d L to hipotezę zerową odrzucamy, - korelacja występuje. d L d d U to ie moża podjąć decyzji czy autokorelacja jest istota czy ie 3. d U d to ie ma podstaw do odrzuceia hipotezy zerowej Kiedy d> czyli hipoteza alteratywa przyjmuje postać 1 0 mamy możliwe sytuacje: 4. d ' d L to hipotezę zerową odrzucamy, - korelacja występuje 5. d L d 'd U to ie moża podjąć decyzji czy autokorelacja jest istota czy ie 6. d U d ' to ie ma podstaw do odrzuceia hipotezy zerowej Test Durbia-Watsoa jest testem trójstroym (posiada tzw. obszar iekokluzywości ie moża podjąć decyzji) Pomiędzy estymatorem r 1 a statystyką Durbia-Watsoa d zachodzi relacja: d 1 r 1 W przypadku stwierdzeia autokorelacji mamy możliwości: usuąć przyczyy autokorelacji zastosować procedury estymacji w warukach autokorelacji (p uogólioą metodę ajmiejszych kwadratów) pozostać przy metodzie ajmiejszych kwadratów godząc się z miejszą efektywością estymatorów Test D-W przykład Zbadaj czy występuje autokorelacja składika losowego w modelu sprzedaży samochodów po obliczeiu statystyki d=,741 d'=1,59 =1 i K= liczba zmieych objaśiających d L =0,81 d U = 1,579 XERO Kukuła s. 58 zrobić poieważ <d' < to ie moża podjąć decyzji czy autokorelacja jest istota czy ie (powiiśmy zastosować iy test a badaie autokorelacji) 11

12 oszacujemy estymator r 1 ze wzoru: r 1 = t = u t. u t 1 u t t=1 = 1,60 3,71 = 0,431 Jedorodość wariacji W związku z tym spełioa jest zależość // w związku z czym? T = i I i =k i. // rówe czy róże gdzie k i współczyiki wyrażeia zmieości wariacji składika losowego dla i-tej obserwacji (i=1,,... ) Jedorodość wariacji test Goldfelda-Quadta W teście tym próbę statystyczą dzieli się a dwie pod próby ( 1 i ) tak, że: 1. 1 = tz wszystkie obserwacje z próby statystyczej są uwzględioe lub. 1 (liczba pomiiętych obserwacji ie może przekraczać 1/3 obserwacji 0,33) //jeśli liczba jest parzystą to ie pomija się żadej?? //(a kolokwium poda jak ma być dzieloa próba) geeralie przyjmujemy że 1 = Dla obu pod prób szacowae są parametry strukturale modelu Dla tak oszacowaych modeli liczy się wariacje resztowe S u1 i S u // i stosujemy zwykły test Fischera-Stedeckora a rówość wariacji ( ie było?) W teście Goldfelda-Quadta weryfikujemy hipotezę: H 0 : 1 = H 1 : 1 wobec hipotezy alteratywej Jeżeli prawdziwa jest hipoteza zerowa wówczas stosuek wariacji reszt F = S u1 S u ma rozkład F Fischera-Sedecora o m 1 = k i m = 1 k stopiach swobody Jeżeli F F ;m1, m to hipotezę zerową odrzucamy a rzecz hipotezy alteratywej. Przykład 1 //zał do wykładu Próbę statystyczą podzieloo a 1 =5i =5 Dla obu pod prób oszacowao modele S u1 =0,338 S u =1,053 1

13 F= 3,115 F 0,05,5 1,5 3 =19,0 3,115 < 19 ie ma podstaw do odrzuceia hipotezy zerowej, możemy przyjąć że wariacje w obu podpróbach 1 i są rówe. Ozacza to że wariacja jest jedoroda. Normalość Poprawa iterpretacja testu F i testu t czyli testów istotości zmieych objaśiających jest możliwa pod warukiem przyjęcia założeia stwierdzającego że rozkład składika losowego modelu jest rozkładem ormalym - N 0, w tym celu użyjemy testu asymetrii i kurtozy (kolejy momet cetraly) Normalość - test Jarque-Bera Testowae są hipotezy: H 0 : składik losowy ma rozkład ormaly przy hipotezie alteratywej H 1 : składik losowy modelu ie ma rozkładu ormalego Do oszacowaia wartości statystyki Jarque-Bera tego testu wyzaczamy ajpierw S= 1 u t t=1 Następie obliczamy : = B u 3 t asymetria t=1 S B = 1 t =1 u t 4 S 4 kurtoza statystyka Jarque-Bera ma postać: JB= B 1 6 B 3 4 JB rozkład chi-kwadrat z dwoma stopiami swobody. Krytyczą wartością testu a poziomie istotości =0,05 odczytaą z tablic wartości rozkładu jest liczba : 5,991 Jeżeli JB 5,991 to hipotezę H 0 o ormalości rozkładu składika losowego ależy odrzucić 13

14 Przykład: H 0 składik losowy modelu ma rozkład ormaly H 1 składik losowy modelu ie ma rozkładu ormalego robimy tabelkę w arkuszu u u u 3 u 4 // z którego przykładu?? sumy: 3,71-0,79 3,19 zatem S= 1 t=1 1 t=1 = u 3,71 t 1 =0,556 3 u 3 = 1 t S = 3 B 1 u S 3 t = 0,147 t=1 B = 1 4 u t t =1 S = 1 u S 4 t = t=1 1 0, ,19 =,78 ostateczie otrzymujemy JB= B 1 6 B 3 =0,318 4 Poieważ JB<5,991 ie ma podstaw do odrzuceia hipotezy zerowej głoszącej o ormalości rozkładu składika losowego. Możemy przyjąć, że rozkład jest ormaly dotąd a 3+ :) Co to jest progozowaie Progozowaie to przewidywaie przyszłych zdarzeń, a jego celem jest zmiejszeie ryzyka w procesie podejmowaia decyzji. Fukcje progozowaia: tworzeie przesłaek do podejmowaia decyzji aktywizująca iformacyja przygotowuje as a zmiay Progozy muszą być wiarygode Dokładość progoz Wyróżiamy dwa rodzaje mierików dokładości predykcji, a miaowicie: mieriki dokładości ex ate (ocey błędu ex ate) mieriki dokładości ex post (błędy ex post) // mówią o dokładości modelu Zasada predykcji ieobciążoej Zasada predykcji ieobciążoej polega a tym, że: y T p =E Y T T-horyzot progozy Y T zmiea progozowaa p y T progoza zmieej Y T w okresie T E Y T wartość oczekiwaa rozkładu zmieej progozowaej Y T w okresie T 14

15 y p T =E Y T / f y t Własość zasady predykcji ieobciążoej daa jest wzorami: E Y T y p T =0 V =E Y T y p T mi Zasada predykcji oparta a przedziale ufości p.. moża sformułować w postaci astępującej reguły ależy wskazać taki przedział I T zachodziła rówość P y T I p T =1 ; 1 0,90 p gdzie I T przedział predykcji poziom istotości ( 1 wiarygodość predykcji) y T wartość zmieej progozowaej Y T w okresie T aby Progozowaie a podstawie klasyczych modeli tredu W szeregach czasowych moża wyróżić dwie składowe: składową systematyczą składową przypadkową (zwaą też składikiem losowym lub wahaiami przypadkowymi) Składowa systematycza może wystąpić w postaci 1. Tredu. Stałego (średiego) poziomu 3. Składowej periodyczej: wahaia cyklicze, p tygodiowe wahaia sezoowe (rocze) Model tedecji rozwojowej... moża zapisać ogólie y t = F [ f t, i t, t ] gdzie f(t) fukcja tredu i t wahaia periodycze, t wahaia przypadkowe Jeżeli powiązaia między składowymi szeregu czasowego są typu y t = f t i t t i=1 to model osi azwę modelu addytywego // mówi o bezwzględie stałych odchyleiach od modelu w przypadku y t = f t [1 i t ][1 t ] i=1 // mówimy wyższa o 10% - mówi o względie stałych odchyleiach od tredu 15

16 to model osi azwę modelu multiplikatywego Modele tedecji rozwojowej Najczęściej stosowae postacie aalitycze fukcji tredu fukcja liiowa y t = 1 t 0 t fukcja wykładicza y t =e 1 t 0 t lub y t = 0 1 t e 1 fukcja logistycza y t = e t t // wykres dochodzący Przykład zał do wykładu Progoza puktowa, tred liiowy. y T p =a 1 T a 0 (T=+1, +,...) Tred liiowy liczba studetów w szkole X progoza a 007 zatem po oszacowaiu otrzymujemy model y t =0,770 t10,67u t czyli z roku a rok ilość studetów rośie o 0,770 tysiąca (iterpretacja a 1 ) Czyli progoza puktowa a =1 (007) p y T =1 = 0, ,67 = 19,503 Spodziewaa liczba studetów w 007 roku wyosi 19,503 tysiąca osób Wahaia sezoowe model Kleia Y t = f t 1 V 1t V t... m V mt i - to wskaźiki sezoowości V - to zmiee przyjmujące wartości 0 a 1 w swoim okresie Dla addytywych wahań sezoowych zachodzi: m i=1 i =0 wtedy więc m 1 m = i i =1 Podstawiając do modelu wyjściowego otrzymujemy: Y T = f t 1 V 1t V mt V t V mt... m 1 V m 1t V mt t 16

17 w przypadku daych półroczych (wahań o długości cyklu ) cała procedura wygląda astępująco Y t = 1 t 1 V 1t V t 0 t dla modelu zachodzi relacja m 1 m = i tz = 1 i =1 Podstawiając relację do modelu otrzymujemy: Y t = 1 t 1 V 1t V t 0 t Model Kleia progozowaie Progoza puktowa Y T P =a 1 T b V 1T V T a 0 (T=+1, +,...) Błąd ex ate progozy * // jeszcze wróci V = X P T D a X P S u gdzie X p wektor wartości zmieych objaśiających w okresie progozowaym D a macierz wariacji i kowariacji estymatorów, S u wariacja resztowa Przykład 3 zał przedsiębiorstwo budowlae parametry przy t: iterpretacja Z półrocza a półrocze sprzedaż budowlaa przedsiębiorstwa rośie o 0,375 ml złotych przy czym w pierwszym półroczu sprzedaż budowlaa jest miejsza o 1,5 ml złotych a w drugim większa o 1,5 ml złotych iż by to wyikało z tredu Progoza a 006: Y I 006 =0, ,510,3 = 1,85 ml zł Y II 006 =0,375 11,510,3 = 16,5 ml zł czterookresowe są w xero też będą a kolokwium wykład ekoometria 3/ Predykcja a podstawie liiowego modelu jedorówaiowego y= X Progoza puktowa y T P =a 1 x 1T a x T...a k x kt a 0 gdzie x 1T, x T wartości zmieych objaśiających w okresie progozowaym Błąd ex ate progozy 17

18 V = X T P D a X P S u X P wektor wartości zmieych objaśiających w okresie progozowaym Względy błąd progozy wyosi V * = V y 100 P T V * Estymacja przedziałowa przedział ufości Przedział predykcji a okres lub momet T a podstawie omawiaego modelu ajczęściej buduje się symetryczie wokół progozy P y T P t ; k V y T y T P t ; k V =1 Wartości zmieych objaśiających Ustaleie wartości zmieych objaśiających w okresie progozowaym 1. Na poziomie plaowaym p wydatki a reklamę.. Poprzez zbudowaie odpowiedich fukcji tredu i ich ekstrapolacje. 3. Budowa osobego modelu ekoometryczego (przyczyowo-skutkowego) 4. Obliczeie zbioru progoz zmieej objaśiaej odpowiadającym różym praktyczie możliwym wartościom zmieych objaśiających w okresie T NP Y T =3,45 x 1t 1,55 x t 15u t gdzie x 1t - dochody ludości w setkach zł - cea przecięta telewizora x t Sprawdź czy progoza jest dopuszczala a poziomie 5% wiedząc że S U =1, // a we wzorze ma być S U :) a macierz wariacji i kowariacji estymatorów ma postać: 0,08 0,06 0,40 D a=[ ] 0,06 0,5 1,0 0,40 1,0,00 Progoza dla dochodów X P 1T =1,48e 0,1 14=6,00=6,00 Progoza dla cey: wzrost 10% więc X P T =7 1,1=7,7 Progoza dla y: y T P =3,45 6 1,55 7,715=3,765 18

19 Spodziewaa sprzedaż telewizorów w 006 roku wyiesie 3,765 tys. sztuk Błąd progozy ex ate V = X P T D a X P S u =[6,0 7,71][ D a] [ 6,0 7,7 1 ] 1, =1,96651,44=1,846 ^ tu wartości a okres progozoway!! V * = V 1, = 100 =7,8 P y T 3,765 Rzeczywista realizacja popytu a telewizory odchylać się będzie od postawioej progozy +_ 1,846 tys sztuk co staowi 7,8% zmieej progozowaej Nasza progoza ie jest dopuszczala. P 3,765,8 1,846 y T 3,765,8 1,846=1 0,05 P 19,65 y T 7,88=0,95 Z prawdopodobieństwem 95% przedział o końcach (19,65; 7,88) pokryje iezaą, rzeczywistą realizację popytu a telewizory w tys. sztuk. Elastyczość Niech będzie day model ekoometryczy y= f x 1, x,..., x k 1 Model te jest odzwierciedleiem relacji między procesami lub zdarzeiami gospodarczymi i społeczymi Iterpretacja parametrów modeli liiowych współczyiki proporcjoalości ieliiowych iformacja jak zmieia się szybkość reakcji w zależości od zmia zmieej objaśiającej Miary elastyczości są jedym ze sposobów wioskowaia a podstawie modeli ekoometryczych Elastyczość jest miarą względych zmia zmieej edogeiczej wywołaych określoymi, względymi zmiaami zmieej objaśiającej. Jak zmiei się wartość zmieej edogeiczej, przy założeiu względej zmiay zmieej objaśiającej, lub o ile powia zmieić się określoa zmiea egzogeicza, aby zmiea objaśiaa wzrosła o p procet. NP firma chce zwiększyć sprzedaż o 10% - o ile trzeba zwiększyć wydatki a marketig? W zależości od zaistiałej sytuacji lub waruków moża wykorzystać mierik elastyczości klasyczej, do 10% mierik elastyczości różicowej, powyżej 10% mierik elastyczości całkowitej, modele wielorówaiowe 19

20 Elastyczość klasycza: 1. Występują małe zmiay zmieej x tz X 0 X X 0,1. Zmiay wyróżioej zmieej objaśiającej ie wywołują zmia iych zmieych Elastyczość klasyczą zmieej edogeiczej y względem x i defiiujemy jako xi = y x i x i f x 1,..., x k 1 Elastyczość klasycza przyjmuje róże wartości w zależości od dziedziy modelu ekoometryczego zatem często azywa się ją jako elastyczość puktową Efekt względych zmia zmieej objaśiaej wywołaych określoą zmiaą wyróżioej zmieej objaśiającej moża wyzaczyć ze wzoru: y y = x i xi x i Łączy względy wpływ wszystkich zmieych moża zapisać jako y k 1 y = i =1 xi x i x i Przykład 1 str 5 załączik trzeba zać pukt dziedziy żeby wyzaczyć elastyczość w tym pukcie x1 wraz ze wzrostem dochodów ludości o 1% popyt wzrośie o 0,979% zakładając że dochody wyoszą 300 a cea 4000 zł (pukt dziedziy dla którego policzoe) x wraz ze wzrostem cey samochodów o 1% popyt spadie (zmaleje) o 0,559% zakładając - - Założeie: dochody wyoszą 300 a cea 4000: a) jeżeli dochody ludości wzrosą o % popyt wzrośie o 1,96% b) zmaleje o 5,17% c) zakładając zwiększeie dochodów o % aby sprzedaż wzrosła o 6% cea powia zmaleć przyajmiej o 7,3% Przykład str 7 zał wykładiki modelu potęgowego są elastyczościami, elastyczości te są stałe w całej dziedziie Wraz ze wzrostem wartości maszy i urządzeń o 1% wartość produkcji wzrośie o 0,61% przy założeiu że liczba zatrudioych ie ulegie zmiaie Wraz ze wzrostem liczby zatrudioych o 1% wartość produkcji wzrośie o 0,3% przy założeiu że wartość maszy i urządzeń ie ulegie zmiaie. Przykład iterpretacja: Jeżeli liczba zatrudioych spadie o 3% a wartość maszy i urządzeń wzrośie o 5% to wartość produkcji wzrośie o,09% Przykład 3 str 7 iterpretacja wzoru wydatki a rozrywkę mają miejsce gdy dochód przekroczy 713,41 zł 0

21 maksymaly poziom wydatków a rozrywkę wyosi 467,6 # Domek jeżeli dochody wzrosą o 1% przy poziomie 1000 to wydatki a rozrywkę wzrosą o 3,7% Jeżeli dochody wzrosą o 1% przy poziomie 3000 to wydatki a rozrywkę wzrosą o 0,86% Elastyczość ceowa, elastyczość dochodowa Jeżeli x i są to cea i dochód to mówimy: p = 1 to popyt a dae dobro jest popytem eutralym lub też określay jest jako popyt jedostkowy p 1 to popyt elastyczy p 1 to popyt azywamy popytem sztywym Przy wysokiej elastyczości dochodowej (dodatiej) rozwój gospodarczy jest czyikiem korzystym dla przedsiębiorstwa 1