RUCH HARMONICZNY I. Ce ćwiczenia: wyznaczenie wartości przyspieszenia zieskiego poiar współczynnika sprężystości sprężyny k, zaznajoienie się z podstawowyi wiekościai w ruchu haroniczny. II. Przyrządy: stoper, wahadło ateatyczne, sprężyna, ciężarki, iarka iietrowa. III. Literatura:. F. C. Crawford, Fae PWN 973. A. K. Wróbewski i J. A. Zakrzewski, Wstęp do fizyki, PWN 976. 3. A. Piekara, Mechanika ogóna, PWN. IV. WSTĘP Ruch drgający okresowy ay wówczas, gdy wartości wiekości fizycznych zieniające się podczas drgań, powtarzają się w równych odstępach czasu. Najprostszy rodzaje drgań są drgania haroniczne (inaczej nazywane ruche drgający prosty). Ruche haroniczny nazyway ruch drgający cząstki, w który siła powodująca go tzw. siła kierująca jest proporcjonana do wychyenia x z położenia równowagi i posiada zwrot przeciwny wzgęde x. Równanie opisujące ten ruch a postać: d x + ω x = 0, () gdzie ω jest częstością kołową. Rozwiązanie powyższego równania różniczkowego II-go stopnia jest wyrażenie x = xo sin( ωt + ϕ) () ub x = x o sin ωt + ϕ. (') ( ) gdzie x o jest apitudą drgań, (ωt + ϕ) ub (ωt + ϕ') fazą drgań, ϕ ub ϕ' = ϕ + π/ fazą początkową, gdy t = 0. Wahadło ateatyczne drgające w jednej płaszczyźnie i drgający ciężarek zawieszony na sprężynie są przykładai echanicznych układów drgających ruche haroniczny o jedny stopniu swobody. Stan (konfigurację) tych układów w dowonej chwii t okreśa tyko jedna wiekość a ianowicie wychyenie x okreśone wzore () ub ('). IV. Wahadło ateatyczne Wahadłe ateatyczny nazyway " nieważką i nierozciągiwą nić " (ub pręt ) o długości z jedny końce unieruchoiony zaś drugi obciążony " punktowy " ciężarkie o asie (rys.). Jak wynika z definicji jest to ode ateatyczny. W praktyce za takie wahadło ożey uważać ciężarek zawieszony na ekkiej ocnej nici, której długość jest wieokrotnie większa niż wyiary ciężarka. Na asę wahadła działają dwie siły: siła grawitacji P = g i siła napięcia nici F n. Siła wypadkowa F = gsinϕ jest siłą kierującą. Wychyenie x przedstawia
sobą odegłość asy od nici w położeniu równowagi. Moent obrotowy siły kierującej F wzgęde punktu zawieszenia wahadła O jest równy O M = F = g sin ϕ. (3) Równanie ruchu Newtona da ruchu obrotowego a postać M = I ε, (4) gdzie I = jest oente bezwładności asy. Porównując stronai równania (3) i (4) I ε = g sin ϕ d ϕ = g sin ϕ. (5) A x O s F Ponieważ da ałych kątów sinϕ ϕ, to równanie (5) ożey zapisać P = g d ϕ g + ϕ = 0. (6) Rys. Podstawiając ϕ = s/ (długość łuku s = ϕ ; da ałych kątów ϕ ay s x ) otrzyujey równanie ruchu haronicznego wahadła ateatycznego Porównując to równanie z () ay a ponieważ ϕ ω = F n d x g + x = 0. (6') g ω =, (7) π, to okres drgań wahadła ateatycznego wyrazi się wzore T T = π. (8) g Okres drgań wahadła ateatycznego nie zaeży od asy wahadła. Zastosowane przybiżenie sinϕ ϕ daje błąd tyko 0,% da ϕ = 7 o i % gdy ϕ = 3 o. W przypadku, gdy kąt największego wychyenia wahadła ϕ > 0 o na okres drgań naeży stosować wzór 3 4 T = π + sin ϕ + sin ϕ + L (9) g 4 IV. Wahadło sprężynowe Sprężynę o długości zaocowaną jedny końce (rys.a) obciążay ciężarkie o asie. W położeniu równowagi statycznej długość sprężyny wynosi y o (rys.b). Wskutek rozciągnięcia sprężyny o y o powstałe siły sprężyste równoważą ciężar asy tzn. ( y ) g, (0) = k o gdzie k jest współczynnikie sprężystości. Ciężarek wyprowadzony z położenia równowagi (rys.c) pozostawiony sa sobie rozpocznie ruch wzdłuż osi pionowej.
a) b) c) y o y z Ruch ten opisuje równanie Rys. d y = g k y ( ). () Oznaczając wychyenie z położenia równowagi przez z = y y o, wykorzystując zaeżność (0) i ając na uwadze, że y o = const. równanie () przyjie postać ( z + y ) d o = g k( z + yo ), d z g = g k z + = kz, k d z k + z = 0. () Postać równania () jest taka saa jak (). Ciężarek zawieszony na sprężynie wyprowadzony z położenia równowagi wykonuje drgania haroniczne. W ty przypadku a zate okres drgań k ω =, T = π (3) k V. METODA POMIARU Wzory (8) i (3) na okres drgań wahadła ateatycznego i sprężynowego ogą posłużyć do wyznaczania przyspieszenia zieskiego g i współczynnika sprężystości k. I. Po zogarytowaniu (8) otrzyujey : π g T = g + g, (4a) g a po zogarytowaniu zaeżności (3) 3
π g T = g + g. (4b) k W układach współrzędnych y = gt, x = g (da zaeżności (4a)), bądź y = gt, x = g (da zaeżności (4b)) wykresai są proste (rys.3a i 3b) gdzie oraz y + = a x b i y = a x + b π a =, b = g da wahadła ateatycznego (5a) g π a =, b = g da wahadła sprężynowego (5b) k gt gt a) g Rys 3 b) g Wyznaczając z wykresów b i b na podstawie wzorów (5a) i (5b) ożey obiczyć przyspieszenie zieskie g i współczynnik sprężystości k. II. Rozpatrując zaeżność (8) w układzie współrzędnych y = T, x =, a zaeżność (3) w układzie współrzędnych y = T, x = na wykresach otrzyay proste (rys.4a i 4b): gdzie y = c x i = c x y 4π c = da wahadła ateatycznego (6a) g c 4π = da wahadła sprężynowego (6b) k 4
T [s ] T [s ] a) [] Rys.4 Znając c i c ze wzorów (6a, 6b) ożey wyznaczyć g i k. b) [kg] VI. ZASTOSOWANIA Okres drgań wahadła ateatycznego (prostego), praktycznie nie zaeży od apitudy drgań (da ałych wychyeń). Stosuje się je do ierzenia czasu. Gdy siły haujące zniejszają apitudę, okres T pozostaje niezieniony. Da wyrównania strat energia jest dostarczana autoatycznie za poocą odpowiedniego echanizu. Wahadło zegarowe z taki echanize wynaazł Chrystian Huygens (69 695). Wyznaczanie przyspieszenia g ważne jest w badaniach geoogicznych. Obecność złóż rud etai i nafty wpływa na wiekość g. VII. POMIARY. Wahadło ateatyczne W ceu otrzyania dokładniejszego wykresu, poiary naeży wykonać da kiku długości (co najniej 5-ciu w przedziae [0,,,] każdorazowo ierząc czas 40 pełnych drgań. Naeży paiętać, że wychyenia ciężarka z położenia równowagi nie ogą być duże (ϕ < 5 o ) Długość wahadła ierzyy od punktu zawieszenia do środka ciężarka. Wyniki poiarów zapisujey w tabei. Możey w prosty sposób sprawdzić, że wzór (8) jest słuszny da ałych wychyeń wahadła. Da jednej długości wahadła (np. = ) naeży wykonać poiar T wychyając ciężarek o duży kąt (ϕ > 30 o ). Wynik ten ożey porównać z obiczony T według wzorów (8) i (9) zakładając, że znay przyspieszenie zieskie g.. Wahadło sprężynowe Poiary okresów drgań wahadła sprężynowego przeprowadzay da kiku as znanych i jednej nieznanej ( x ) ierząc czas trwania 0 pełnych drgań. VIII. OPRACOWANIE WYNIKÓW. Na podstawie wyników poiarów sporządzić wykresy zaeżności okresu drgań wahadła ateatycznego od długości T = T().. Da wahadła sprężynowego sporządzić wykres zaeżności okresu drgań od asy T = T(). 5
3. Te sae zaeżności podać w układzie współrzędnych (gt, g ) da wahadła ateatycznego i (g T, g ) da wahadła sprężynowego ub w układach współrzędnych odpowiednio (T, ) i (T, ). Z tych wykresów wyznaczyć współczynniki b i b (ub c i c ) i obiczyć z podanych wzorów (5a, 5b) ub (6a, 6b) przyspieszenie zieskie g i współczynnik sprężystości k. 4. Z wykresu T = T() znając okres T x wyznaczyć nieznaną asę x. 5. Wyznaczyć błędy poiaru wiekości g i k obiczając b ub c. Wyznaczoną wartość g porównać z wynikie tabicowy. 6