Ćw. nr 1. Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego

Transkrypt

1 2019/02/14 13:21 1/5 Ćw. nr 1. Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego Ćw. nr 1. Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego 1. Cel ćwiczenia Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego (matematycznego). 2. Zagadnienia teoretyczne Ruch harmoniczny (równanie ruchu, wielkości charakteryzujące ruch harmoniczny). Teoria wahadła matematycznego. Zależność przyspieszenia ziemskiego od szerokości geograficznej i innych czynników. 3. Wprowadzenie Znając okres wahań wahadła $T$ oraz jego długość $l$ można w oparciu o wzór: $$ T^2 =4 \pi^2 \frac{l}{g} \tag{1.1} $$ wyznaczyć przyspieszenie ziemskie. Dla poprawy dokładności można wykonać wykonać wiele pomiarów dla wahadeł o różnych długościach, dla każdego z nich wyliczyć przyspieszenie ziemskie a następnie rezultaty uśrednić. Można też wykonać wykres zależności $T^2(l)$. Zależność ta powinna być proporcją $(y = ax)$ jak to wynika ze wzoru 1.1, $$ T^2 =\frac{4 \pi^2}{g} l\,$$ a więc wykres powinien być linią. Współczynnik kierunkowy prostej można wyznaczyć z wykresu a skoro jest on też równy $\frac{4 \pi^2}{g}$ to stąd można obliczyć przyspieszenie ziemskie Metoda pomiaru W celu uniknięcia systematycznego błędu występującego przy pomiarze długości $l$, związanego z trudnością wyznaczenia położenia punktu zaczepienia wahadła oraz położenia środka ciężkości ciężarka wahadła, można tę metodę nieco zmodyfikować przyjmując, że prawdziwa długość $l = l_m + \Delta l$, gdzie $l_m$ jest długością mierzoną, a $\Delta l$ jest stałą ale nieznaną poprawką. Po podstawieniu do równania 1.1 otrzymamy $$ T^2 =4 \pi^2 \frac{l_m + \Delta l}{g} $$ i dalej

2 labfizyki:cw._nr_1 $$ T^2 = \frac{4 \pi^2}{g} l_m + \frac{4 \pi^2 \Delta l}{g}\. \tag{1.2} $$ Zależność $T^2(l_m)$ powinna więc być prostą $(y = ax + b)$ aczkolwiek niekoniecznie musi przecinać punkt (0,0) wykresu. Współczynnik kierunkowy $a$ równy będzie $\displaystyle a = \frac{4 \pi^2}{g}$, po przekształceniu otrzymamy wyrażenie na przyśpieszenie ziemskie $g$ $$ g = \frac{4 \pi^2}{a}\ \tag{1.3} $$ W ćwiczeniu zmieniamy długość wahadła w przedziale od ok. 100 do 50 cm co ok. 10 cm, zapisujemy jego długość $l_m$ i mierzymy czas $t$ pełnych wahnięć $n$ wahadła, obliczamy okresy $T$ wahań i ich kwadraty $T^2$, wykonujemy wykres zależności $T^2(l_m)$, punkty pomiarowe będą układać się wzdłuż linii prostej, wyznaczamy współczynniki $a$ i $b$ równania tej prostej metodą najmniejszych kwadratów i wykreślamy ją, mając wyznaczony współczynnika $a$ i korzystając ze wzoru 1.3 wyznaczamy przyspieszenie ziemskie. 4. Opis eksperymentu 4.1. Przygotowanie stanowiska i wykonanie pomiarów 1. Przygotować wahadło o długości ok. 100 cm. 2. Zmierzyć możliwie precyzyjnie długość $l_m$ wahadła (licząc do dolnej krawędzi ciężarka). Zapisać wynik w tabeli. 3. Odchylić kulkę wahadła o kąt nie większy niż 10 i następnie puścić ją. Stoperem zmierzyć czas $t$, w którym zachodzi np. $n=20$ pełnych wahnięć. Wynik zapisać jw. 4. Skracać wahadło o ok. 5 cm i powtarzać pomiary jak w punktach Określić niepewność pomiaru długości $l_m$ wahadła. 6. Oszacować niepewność pomiaru czasu $n$ wahnięć wahadła $\delta t$ (uwzględnij niepewność stopera i niepewność wynikającą z czasu reakcji na moment rozpoczęcia i moment zakończenia pomiaru). 7. Dane zapisać w tabeli (Tab.1). 5. Opracowanie wyników 1. Wykonać obliczenia uzupełniając tabelę wg wzoru (Tab. 2). 2. Wykonać wykres zależności $T^2(l_m)$. Punktów pomiarowych nie łączyć! 3. Wyznaczyć współczynnik kierunkowy $a$ prostej $y=ax+b$ metodą najmniejszych kwadratów oraz niepewność tej wielkości $S_a$. 4. Wyznaczyć wyraz wolny $b$ w równaniu prostej metodą jw. 5. Wykreślić na zrobionym wykresie prostą na podstawie jej równania. 6. Obliczyć wartość przyspieszenia ze wzoru 1.3. $$ g = \frac{4 \pi^2}{a}\. $$ 7. Wyznaczyć niepewność pomiarową $\delta g$ ze wzoru: $$\delta g = g \frac{\delta a}{a}\. $$ za $\delta a$ przyjąć wyznaczoną wcześniej niepewność standardową $S_a$. Printed on 2019/02/14 13:21

3 2019/02/14 13:21 3/5 Ćw. nr 1. Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego Podać wynik końcowy we właściwej formie odpowiednio zaokrąglając wartości liczbowe. Porównać otrzymany wynik z danymi tablicowymi i skomentować to Zawartość sprawozdania Sprawozdanie można napisać ręcznie lub przy użyciu edytora tekstu. Ten drugi sposób wcale nie jest mniej pracochłonny! Konieczna zawartość sprawozdania: Tabelka identyfikacyjna wg wzoru. Opis doświadczenia. Krótkie określenie celu ćwiczenia, opisu metody wraz ze schematycznym rysunkiem układu pomiarowego - nie więcej niż strona tekstu wraz z rysunkiem. Pomiary bezpośrednie i ich dokładność. W tym punkcie krótko opisujemy mierzone bezpośrednio wielkości, użyte przyrządy i określamy niepewności tych pomiarów. Tabela pomiarów i obliczonych danych do wykresu. Obliczenia parametrów prostej regresji. Wykres. Jako osobna kartka papieru milimetrowego lub strona z wydrukiem jeśli używano komputera. Rachunek niepewności. Wynik końcowy (pamiętać należy o właściwym zaokrągleniu). Komentarz. Wartości przyspieszenia ziemskiego $[\mathrm{m/s}^2]$: na biegunie - 9,83332 na poziomie morza, 45 szer. geogr. (normalne) - 9,80665 na równiku - 9,78030 Gdańsk - 9,8145 Warszawa - 9,8123 Kraków - 9,8105

4 labfizyki:cw._nr_ Wzory tabel Tab. 1. Ćw. nr 1. Dane pomiarowe L.p. $l_m\ \mathrm{[m]} $ $t\ \mathrm{[s]}$ Liczba wahnięć $n=$ Dane dodatkowe (zapisać wraz z właściwą jednostką): Dokładność pomiaru długości $l_m$ wahadła $\delta l_m = $ Dokładność pomiaru czasu $n$ drgań $\delta t = $ Dokładność pomiaru okresu drgań $\delta T = $ Printed on 2019/02/14 13:21

5 2019/02/14 13:21 5/5 Ćw. nr 1. Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego Tab. 2. Dane do regresji liniowej $l_m\ \mathrm{[m]}$ $T^2\ \mathrm{[s^2]}$ Lp. $x_i$ $y_i$ $x_iy_i$ $x_i^2$ $y_i^2$ Sumy T. Suszko (2019) From: - Laboratorium Fizyki Permanent link: