MECHANIKA 2 Wykład 7 Dynamiczne równania ruchu

Transkrypt

1 MECHANIKA 2 Wykład 7 Dynamiczne równania ruchu Prowadzący: dr Krzysztof Polko

2 Dynamiczne równania ruchu Druga zasada dynamiki zapisana w postaci: Jest dynamicznym wektorowym równaniem ruchu.

3 Dynamiczne równania ruchu W kartezjańskim układzie współrzędnych Wektory F i a mają składowe: Dynamiczne równania ruchu przybierają postać:

4 Dynamiczne równania ruchu We współrzędnych biegunowych

5 Dynamiczne równania ruchu We współrzędnych walcowych ϕ r

6 We współrzędnych kulistych: ϕ

7 Zadania dynamiki 1. Zadanie pierwsze - zadane są parametryczne równania toru x = x(t) y = y(t) z = z(t) F ρ Należy wyznaczyć siłę, pod której wpływem porusza się punkt materialny. Tok postępowania: Różniczkujemy dwukrotnie względem czasu równania toru uzyskując składowe przyspieszenia. Po podstawieniu do dynamicznych równań ruchu wyznaczamy składowe wektora siły działającej na punkt.

8 Zadania dynamiki 2. Drugie zadanie dynamiki - należy wyznaczyć przyspieszenie, prędkość i tor poruszającego się punktu, przy danej masie i sile. a) Siła jest wektorem stałym, np. siła ciężkości, tarcie, b) Siła jest funkcją czasu, np. siła odśrodkowa wahadła, c) Siła zależy od położenia, np. siła sprężystości, siła ciężkości, d) Siła zależy od prędkości punktu, np. opór powietrza.

9 Dynamiczne równania ruchu W najogólniejszym przypadku równania ruchu w współrzędnych kartezjańskich mają postać:

10 Całka ogólna równań ruchu Całka ogólna tych równań (o ile istnieje) ma postać trzech równań zawierających sześć stałych całkowania. Różniczkując te równania i uwzględniając zadane warunki początkowe (położenie początkowe punktu i prędkość początkową) wyznacza się równania toru. x = x &= x& Dla t = 0 y = z = x o y o z o y &= z &= o y& Parametryczne równania toru mają postać: o & z o

11 Przykład 1 Masa m = 4 kg porusza się po torze określonym równaniami x= 4t + 2t 6 y= 3t 4 Wyznaczyć siłę działającą na tę masę Po dwukrotnym zróżniczkowaniu względem uzyskujemy składowe przyspieszenia Po podstawieniu do równań ruchu otrzymamy składowe wektora siły Wektor siły

12 Ruch pod wpływem siły Przykład 2 F ρ = 0 Dynamiczne równanie dynamiczne ma postać Po scałkowaniu i przyjęciu,że w chwili t = 0 r&ρ ρ o = v o czyli, otrzymamy Całkując drugi raz i uwzględniając,że dla t = 0 r ρ = ρ r o, otrzymamy Jest to znane równanie ruchu jednostajnego i prostoliniowego.

13 Przykład 3 Ruch pod wpływem siły stałej F ρ = const Równanie ruchu ma postać Po dwukrotnym scałkowaniu i przyjęciu warunków początkowych, ρ = że dla t = 0 r&ρ ρ o = v o i r ro otrzymamy ρ

14 Przykład 4 Ruch pod wpływem siły, która jest funkcją położenia. Jako przykład rozpatrzmy ruch punktu materialnego o masie m wystrzelonego z planety o masie M z prędkością v o. Równanie ruchu: ale lub Po scałkowaniu otrzymujemy równanie

15 Przykład 4 cd. Obliczymy, na jaką wysokość H wzniesie się punkt materialny wyrzucony z planety o promieniu R, jeżeli nadano mu prędkość początkową v o. Podstawimy więc v = 0, x = H, x o = R otrzymamy lub po przekształceniu Teraz wyznaczymy z jaką prędkością należy wyrzucić punkt materialny z planety, aby na nią nie wrócił, czyli aby stał się satelitą planety. Prędkość tę v otrzymamy po podstawieniu do wzoru v o = v oraz H =.

16 Przykład 4 cd. Na powierzchni Ziemi siła grawitacji ma wartość Po podstawieniu otrzymamy wzór na prędkość ucieczki dla Ziemi Przyjmując R = 6340 km oraz g = 9,81 m/s 2 otrzymamy: v Jest to prędkość, jaką należy nadać ciału, aby stało się satelitą Ziemi.

17 Ruch względny układ ruchomy wykonuje ruch postępowy Względem układu stałego ruch punktu jest określony równaniami oraz W układzie ruchomym ruch określony jest więc równaniem w którym nazywamy siłą bezwładności unoszenia.

18 Ruch względny układ ruchomy wykonuje ruch postępowy Równanie ruchu przybiera postać: Względem ruchomego układu odniesienia, wykonującego ruch postępowy, punkt materialny porusza się tak, jakby działała na niego, oprócz sił czynnych, jeszcze siła bezwładności unoszenia. Zasada względności mechaniki klasycznej: Za pomocą żadnych zjawisk mechanicznych nie możemy wykazać istnienia prostoliniowego, jednostajnego ruchu postępowego układu odniesienia.

19 Ruch względny układ ruchomy wykonuje ruch obrotowy W układzie ruchomym równanie ruchu ma postać : siła bezwładności unoszenia, siła bezwładności unoszenia Coriolisa. Po podstawieniu

20 Ruch względny układ ruchomy wykonuje ruch obrotowy Względem ruchomego układu odniesienia, wykonującego ruch obrotowy, punkt materialny porusza się tak jakby działała na niego, oprócz sił danych, jeszcze siła bezwładności unoszenia i siła bezwładności Coriolisa. W ruchu obrotowym przyspieszenie całkowite jest sumą geometryczną przyspieszenia stycznego i normalnego (dośrodkowego), czyli w związku z tym D t styczna siła bezwładności, D n normalna siła bezwładności D ρ c siła Coriolisa

21 Ruch względny układ ruchomy wykonuje ruch obrotowy Wartości tych sił określone są wzorami: ε przyśpieszenie kątowe ruchu obrotowego ω prędkość kątowa ruchu obrotowego

22 Ruch względem Ziemi W wielu zagadnieniach praktycznych za układ odniesienia przyjmujemy Ziemię. Ściśle biorąc jest to układ nieinercjalny. Jednak z wystarczająco dobrym przybliżeniem Ziemię możemy uważać za układ inercjalny, o ile tylko będziemy rozpatrywać ruch w przedziałach czasu krótkich w porównaniu z okresem ruchu postępowego i obrotowego Ziemi. Szczególnie niewielką rolę odgrywa, przy występujących w praktyce prędkościach, siła Coriolisa. Układ nazywamy inercjalnym gdy przyśpieszenie jest tylko skutkiem siły działającej na ciało.

23 Przykład 5 Rys. 8 u x Ostatecznie: Dla a u < g tg α punkt materialny będzie poruszał się w dół. W przeciwnym przypadku punkt będzie poruszał się do góry. Gdy a u = g tg α, punkt pozostanie w spoczynku lub w ruchu jednostajnym prostoliniowym (względem ruchomej płaszczyzny).

24 RUCH WZGLĘDNY PUNKTU MATERIALNEGO układ ruchomy wykonuje ruch obrotowy Przykład Ruch punktu wzdłuż prostej l opisuje równanie Rys. 9 Rozwiązaniem ogólnym będzie wyrażenie

25 Przykład 6 Rzut ukośny Dane: m, v 0,α. Na ciało M o masie m działa jedynie siła ciężkości ρ G = ρ mg

26 Dynamiczne równania ruchu: Rozwiązanie Warunki początkowe:

27

28

29 Czas wznoszenia znajdujemy z zależności: v ρ ponieważ w chwili wznoszenia prędkość v, styczna do toru ruchu, ma TYLKO składową x-ową. Zatem

30 Wysokość h max obliczymy z zależności: Zatem Zasięg rzutu obliczymy z zależności:

31 Przykład 7 Znaleźć równanie ruchu skrzyni o masie m, poruszającej się po poziomej powierzchni na skutek działania siły o wartości F, nachylonej pod kątem α do poziomu. Współczynnik tarcia kinetycznego skrzyni o podłoże wynosi µ. Prędkość początkowa v 0 = 0 m/s. Jaką drogę przebędzie skrzynia w piątej sekundzie ruchu?

32 Rozwiązanie Dynamiczne równania ruchu: 1 2 gdzie Z równania 2 mamy: Zatem rozwiązujemy równanie:

33 Warunki brzegowe: Stąd:

34 Przykład 8 Gładki walec o masie m i promieniu R stacza się bez prędkości początkowej po gładkiej równi pochyłej o kącie nachylenia α. Znaleźć wartości chwilowych prędkości liniowych punktów O, A, B, C i D oraz prędkość kątowąω walca.

35 Rozwiązanie Siła wypadkowa działająca na walec jest równa: więc

36 Rozwiązanie Dynamiczne równanie ruchu: więc Warunki brzegowe: Zatem prędkość środka walca w chwili t

37 Rozwiązanie Z teorii ruchu płaskiego mamy:

38 Przykład 9 Z wierzchołka wieży o wysokości h rzucono jednocześnie dwa jednakowe kamienie. Pierwszy rzucono pionowo do góry z prędkością v 0, drugi z taką samą prędkością pionowo w dół. W jakim odstępie czasu spadną te kamienie na powierzchnię ziemi? Pominąć opory powietrza.

39 Rozwiązanie Dynamiczne równanie ruchu pierwszego kamienia (rzuconego w górę): więc Warunki brzegowe: Zatem Całkowity czas ruchu t 1 wyznaczamy z równania:

40 Dynamiczne równanie ruchu drugiego kamienia (rzuconego w dół): więc Warunki brzegowe: Zatem Całkowity czas ruchu t 2 wyznaczamy z równania: Odp.:

41 Przykład 10 Ciało o masie m zsuwa się po chropowatej równi pochyłej o kącie nachylenia α i współczynniku tarcia µ. Opór ośrodka R jest proporcjonalny do masy i kwadratu prędkości kmv 2. Wyznaczyć równanie drogi x w funkcji prędkości v. Dane początkowe: x(0) = 0, v(0) = v 0.

42 Siły działające na ciało: Rozwiązanie Dynamiczne równanie ruchu: Zatem Warunki początkowe:

43 Podstawiając otrzymujemy

44 Całkując obustronnie i korzystając z własności: otrzymujemy Ponieważ dla t = 0, x = 0 i v = v 0, to wyznaczamy stałą C:

45 Odp.:

46 Przykład 11 Sanki zsunęły się ze zbocza o nachyleniuα=30 i długości s 1 = 20 m, po czym do chwili zatrzymania przebył odległość s 2 = 200 m po torze poziomym. Wyznaczyć wartość współczynnika tarcia sanek ośnieg, który na całej trasie jest jednakowy. Dane: s 1, s 2,α. Szukane:µ=?

47 Rozwiązanie Niech: a 1, a 2 przyspieszenia sanek na odcinkach s 1, s 2 ; t 1, t 2 czasy przebycia odcinków s 1, s 2 przez sanki; v 1 prędkość sanek u dołu zbocza. Wówczas: Dodatkowo:

48 Po przekształceniu: Zatem wystarczy wyznaczyć przyspieszenia a 1 i a 2 na podstawie II zasady dynamiki. (*)

49 Równania dla ruchu sanek po równi pochyłej: Stąd: Równania dla ruchu sanek po powierzchni poziomej: Stąd:

50 Podstawiając do równania (*): Zatem:

51 Przykład 12 Oblicz wysokość, na jaką może wjechać samochód, który mając początkową prędkość v 0 = 72 km/h, porusza się w górę z wyłączonym silnikiem. Nachylenie zbocza wynosi α = 30, a współczynnik tarciaµ=0,1. Dane: v 0,α,µ. Szukane: h

52 Rozwiązanie Dynamiczne równania ruchu samochodu: Stąd: Kinematyczne równanie ruchu samochodu:

53 Niech t 0 całkowity czas ruchu samochodu. Wtedy: Zależność wyjściowa: Ponieważ h = s sinα, więc:

54 Przykład 13 Ciężarek o masie m = 0,1 kg przywiązano do nici o długości l = 0,5 m i wprawiono w ruch obrotowy po okręgu w płaszczyźnie poziomej. Nić odchyla się od pionu o kątα=45. Wyznacz prędkość kątową ciężarka, okres obiegu i siłę napięcia nici. Dane: m,α, l Szukane:ω, T, S

55 Rozwiązanie Na ciężarek działają dwie siły: grawitacji G i napięcia nici S. Obie razem dają wypadkową F d, która jest siłą dośrodkową, powodującą (przy konkretnej prędkości początkowej) ruch ciężarka po okręgu. Ponadto:

56 Stąd: Ale r = l sinα, więc:

57 Przykład 14 Klocek o masie m = 3 kg położono na wózek o masie M = 15 kg. Współczynnik tarcia między tymi ciałami wynosi µ = 0,2. Na klocek działa pozioma siła F = 20 N, a wózek może poruszać się po szynach bez tarcia. Oblicz przyspieszenie klocka względem wózka. Dane: m, M, F,µ Szukane: a w

58 Rozwiązanie Niech a 1 przyspieszenie klocka względem Ziemi; a 2 przyspieszenie wózka względem Ziemi; a w przyspieszenie klocka względem wózka. Napiszemy II zasadę dynamiki osobno dla klocka i wózka:

59 Ruch bezwzględny ruch klocka względem Ziemi; Ruch unoszenia ruch wózka względem Ziemi; Ruch względny ruch klocka względem wózka. Wobec tego: gdzie:

60 Uwaga! Aby wystąpił ruch klocka względem wózka, musi być spełniony warunek: a w > 0, czyli: W naszym zadaniu warunek ten jest spełniony. Zaś dla F < 7,2 N klocek nie porusza się względem wózka.