TMM-1 Wyznaczanie współrzędnych tensorów bezwładności członów manipulatorów

Transkrypt

1 aboratoriu Teorii Mechanizów TMM-1 Wyznaczanie współrzędnych tensorów bezwładności członów anipulatorów Cele ćwiczenia jest doświadczalne wyznaczanie współrzędnych tensorów bezwładności członów anipulatora NM7M w układach współrzędnych zaczepionych w środkach as członów etodai zawieszenia jedno i trójnitkowego. Definicja tensora bezwładności ciała sztywnego Doświadczalne wyznaczanie oentów bezwładności jest etodą stosowaną w przypadkach ciał o nieregularnych kształtach, których oenty bezwładności nie jest łatwo wyznaczyć etodai analitycznyi czyli etodai opartyi na wyiarach geoetrycznych ciał. W przypadku ruchu obrotowego ciała sztywnego wokół określonej osi znane jest pojęcie asowego oentu bezwładności. Analizując dynaikę ciała stałego ogącego obracać się wokół dowolnej osi w przestrzeni potrzebna jest znajoość pełnego rozkładu asy, który to rozkład wyrażay poprzez tensor bezwładności ciała sztywnego. Tensor bezwładności określany jest w układzie współrzędnych związany z ciałe. Tensor bezwładności jest więc zbiore wielkości definiujących rozkład asy ciała sztywnego względe osi konkretnego układu współrzędnych, najczęściej układu związanego z ciałe. Ogólnie tensor bezwładności wyrażay w postaci acierzy xx xy xz I xy yy yz (1) xz yz zz gdzie: xx, yy, zz oenty bezwładności ciała względe poszczególnych osi układu współrzędnych, xy, yz, yz oenty odśrodkowe bezwładności, wyznaczane względe poszczególnych płaszczyzn układu współrzędnych. Moenty bezwładności w równaniu (1) ożey zapisać jako xx yy zz ( y ( x ( x xy xz yz + z + z + y ) d ρ ) d ρ ) d ρ xyd ρ xzd ρ yzd ρ ( y ( x ( x xyd xzd yzd + z + z + y ) d ) d ) d () gdzie: ρ - gęstość ateriału ciała, objętość ciała, d różniczkowe eleenty objętości na które podzielone jest ciało, ddxdydz, natoiast x, y, z oznaczają współrzędne położenia eleentu ciała dρd względe osi przyjętego układu współrzędnych (eleent o asie d jest traktowany jako punkt aterialny). Jak widać z równania () współrzędne tensora bezwładności zależą od położenia i orientacji układu współrzędnych względe zapisujey tensor bezwładności ciała. Dobierając orientację układu współrzędnych tak by jego osie pokrywały się z głównyi osiai bezwładności ciała uzyskujey wyzerowanie odśrodkowych oentów bezwładności. 1

2 aboratoriu Teorii Mechanizów Tensor bezwładności (1) a wówczas postać g xx 0 0 g I 0 yy 0 (3) g 0 0 zz Należy paiętać, że każda oś syetrii ciała jest jego główną centralną osią bezwładności oraz jeżeli ciało posiada płaszczyznę syetrii, to każda prosta prostopadła do tej płaszczyzny i przechodząca przez środek asy jest główną centralną osią bezwładności. Z praktycznego punktu widzenia ożey stwierdzić, że jeżeli dwie osie układu współrzędnych tworzą płaszczyznę syetrii dla rozkładu asy ciała, to oenty odśrodkowe ające indeks współrzędnej prostopadłej do płaszczyzny syetrii będą równe zero. Dodatkowo należy paiętać, że sua trzech oentów bezwładności względe osi układu współrzędnych nie zależy od orientacji układu współrzędnych. Różne etody przypisywania człono anipulatora ich układów współrzędnych wyagają czase konieczności wyznaczania współrzędnych tensorów bezwładności względe układów współrzędnych przesuniętych względe siebie. W takich przypadkach korzystay z twierdzenia o osiach równoległych. Twierdzenie to wiąże tensory bezwładności ciała, wyznaczone w dwóch przesuniętych względe siebie układach, z których jeden zaczepiony jest w środku asy ciała. W taki przypadku asowe oenty bezwładności względe osi np. x i oenty odśrodkowe względe płaszczyzny np. xy powiązane są zależnościai: A C xx xx + ( yc + zc ) (4) A C xy xy xc y y gdzie górny indeks C oznacza oenty bezwładności w układzie współrzędnych zaczepiony w środku asy ciała natoiast wektor [x c, y c, z c ] T określa położenie środka asy w układzie A. Pozostałe oenty bezwładności i oenty odśrodkowe ożey wyznaczyć analogicznie do (4) zieniając jedynie indeksy dolne. Większość członów anipulatorów a złożone geoetrycznie kształty, co często unieożliwia zastosowanie wzorów (). Alternatywą są etody doświadczalnego wyznaczania współrzędnych tensorów bezwładności członów anipulatorów. Założenie podstawowy prezentowanych etod doświadczalnych jest założenie, iż środek asy tarczy znajduje się w jej geoetryczny środku. 1 Manipulator NM7M Scheat anipulatora NM7M przedstawiono na Rys. Manipulator NM7M, [1], przeznaczony jest do ciągłego powtarzalnego przeieszczania drobnych przediotów na stanowiskach obróbczych, ontażowych, kontrolnych lub do realizowania czynności transportu bliskiego. Manipulator posiada konstrukcję odułową i składa się z odułu obrotnicy, odułu przeieszczeń liniowych pionowych, odułu przeieszczeń liniowych pozioych i chwytaka. Zasilanie anipulatora - pneuatyczne. Przediote badań laboratoryjnych są oduły przeieszczeń liniowych M40, M63, M100, Rys.. W tabeli 1 przedstawiono podstawowe paraetry techniczne odułów liniowych.

3 aboratoriu Teorii Mechanizów Rys. Zdjęcie oraz scheat anipulatora NM7M. Rys.. Scheat odułów serii M [1]. Rys.. Model zawieszenia jednostrunowego. Paraetry techniczne Moduł przeieszczeń liniowych M 40 M 63 M 100 zakres przeieszczenia [] wyiary A x x C [] 176x76x36 4x76x36 311x93x4 zasilanie pneuatyczne [MPa] powtarzalność pozycjonowania [] sterowanie elektropneuatyczne [1] źródło - Ośrodek adawczo-rozwojowy Podstaw Technologii i Konstrukcji Maszyn TEKOMA w Warszawie. 3

4 aboratoriu Teorii Mechanizów. Metoda zawieszenia jednonitkowego Stanowisko poiarowe składa się ze stojaka, na który zawieszona jest na strunie stalowej tarcza, Rys.. Na tarczy ożna uieszczać badane ciało. Załóży niewielkie, do 10 stopni, wychylenia skrętne tarczy z położenia równowagi opisane zienną ϕ. Ζgodnie z drugą zasadą Newtona równanie różniczkowe ruchu tarczy a wówczas postać d ϕ T + M 0 (.1) dt gdzie: T oent bezwładności tarczy względe osi struny, M oent reakcyjny związany ze skręcenie struny. Moent ten jest liniowo zależny od kąta skręcenia struny ϕ i a postać GI M (.) gdzie: G oduł sprężystości postaciowej struny (własność ateriału z którego wykonana jest struna), I biegunowy oent bezwładności kołowego przekroju poprzecznego struny, długość struny. Wstawiając równanie (.) do równania (.1) otrzyujey d ϕ GI + ϕ 0 (.3) dt T Ogólnie równanie (.3) drgań tarczy ożey wyrazić jako d ϕ + α ϕ 0 (.4) dt Częstość kołowa drgań własnych tarczy wynosi więc GI α (.5) T natoiast okres drgań π T TT π (.6) α GI Przekształcając równanie (.6) ożey wyznaczyć oent bezwładności tarczy względe pionowej osi obrotu (czyli struny) GI [kg ] (.7) T T T 4π Jak widziy we wzorze (.7) wyrażenie GI/4π jest wartością stałą. Uieszczając na tarczy człon anipulatora w taki sposób by środek asy członu leżał na linii osi obrotu tarczy z człone uzyskujey GI C + T T C (.8) 4π gdzie: C oent bezwładności członu względe osi obrotu tarczy, T C - okres drgań skrętnych tarczy z uieszczony na niej człone anipulatora. Podstawiając (.7) do (.8) ay C GI ( T ) C TT [kg ] (.9) 4 π 4

5 aboratoriu Teorii Mechanizów Przebieg ćwiczenia średnicy struny d (Iπd 4 /3) oraz długości struny -. Materiał struny to stal 35.. Wprowadzenie tarczy (bez członu) w skrętny ruch drgający o kącie obrotu niejszy od 10 stopni. Pięciokrotny poiar czasu 0 wahnięć tarczy bez członu anipulatora, obliczenie średniej arytetycznej okresów wahań tarczy - T T. wyznaczenie etodą zawieszenia nitkowego położenia środka asy członu. 5. Przyjęcie układu współrzędnych członu zaczepionego w środku asy członu. 6. Uieszczenie wybranych członów M 40, M 63, M 100 anipulatora NM7M na tarczy tak aby jego środek asy znajdował się na osi obrotu układu tarcza-człon wyznaczenie oentów bezwładności względe trzech osi przyjętego układu współrzędnych członu C poprzez zianę położenia członu na tarczy. 7. Wprowadzenie układu tarcza-człon w skrętny ruch drgający o kącie obrotu niejszy od 10 stopni. 8. Pięciokrotny poiar czasu 0 wahnięć, obliczenie średniej arytetycznej okresów wahań układu tarcza-człon T C. Wykonanie poiarów względe trzech osi układu współrzędnych. 9. Obliczenie oentów bezwładności członu względe pionowej osi obrotu (oś struny) wzór (.9) dla trzech pozycji członu anipulatora na tarczy. Metoda zawieszenia trójnitkowego Stanowisko poiarowe składa się ze stojaka, na który zawieszona jest na trzech nitkach o jednakowej długości tarcza, Rys. Na tarczy ożna uieszczać badane ciało. Załóży niewielkie, do 10 stopni, wychylenia skrętne tarczy z położenia równowagi opisane zienną ϕ. Ζgodnie z drugą zasadą Newtona równanie różniczkowe ruchu tarczy a wówczas postać d ϕ T + M 0 (1) dt gdzie: T oent bezwładności tarczy względe osi pionowej, M oent sił działających na tarczę. Równanie (1) opisuje skrętne drgania własne nietłuione tarczy. Rys. Model zawieszenia trójnitkowego. Wychylenia kątowe-a), obciążenia siłowe-b). 5

6 aboratoriu Teorii Mechanizów Wychyleniu kątoweu tarczy ϕ wokół pionowej osi przechodzącej przez jej środek asy odpowiada obrót nici zawieszenia tarczy o kąt θ, Rys. 1a. Możey więc zapisać zależność obu kątów jako rϕ Θ () gdzie: r proień ierzony od środka tarczy do punktu zaocowania nici, długość nici. Rozważając dowolne skrętne wychylenie tarczy z położenia równowagi ożey naprężenie w nici F T, Rys. 1b, wyrazić poprzez składową pionową F T cosθ oraz pozioą F T sinθ. Rzutując wszystkie siły działające na tarczę na kierunek pionowy otrzyujey 3 FT cosθ T g (3) gdzie: T asa tarczy. Paiętając o założeniu ałych kątowych wychyleń tarczy θ < 10 ο równanie (3) a postać 3 FT T g (4) Z kolei składowa pozioa siły naprężenia nici jest siłą styczną do proienia okręgu zaocowania wszystkich trzech nici. Możey więc oent sił działających na tarczę względe osi pionowej przechodzącej przez środek asy tarczy zapisać jako M 3FT r sin Θ (5) dla θ < 10 ο równanie (5) przyjuje postać M 3 FT rθ (6) Wstawiając równanie (6) do równania (1) otrzyujey d ϕ T + 3F rθ 0 T (7) dt Z równań () oraz (4) ay rϕ T g Θ FT (8) 3 Podstawiając równanie (8) do (7) otrzyujey równanie drgań tarczy w postaci d ϕ T gr + ϕ 0 (9) dt T Częstość kołowa drgań własnych tarczy wynosi więc T gr α (10) T natoiast okres drgań π T TT π α (11) T gr Przekształcając równanie (11) ożey wyznaczyć oent bezwładności tarczy względe pionowej osi obrotu przechodzącej przez jej środek asy T gr T T T [kg ] (1) 4π Uieszczając na tarczy człon anipulatora w taki sposób by środek asy członu znajdował się na osi obrotu tarczy z człone uzyskujey równanie (9) w postaci d ϕ ( T + C ) gr + ϕ 0 (13) dt ( + ) T C 6

7 aboratoriu Teorii Mechanizów gdzie: C asa członu anipulatora, C oent bezwładności członu względe osi obrotu tarczy. Przekształcając (13) analogicznie jak równanie (9) ay ( T + C ) gr C TC T 4π [kg ] (14) gdzie: T C okres drgań skrętnych układu tarcza - człon anipulatora. Przebieg ćwiczenia asy tarczy - T, proienia zaczepienia nici r oraz długości nici -.. y as wybranych członów M 40, M 63, M 100 C anipulatora NM7M. Obliczenie oentu bezwładności tarczy względe pionowej osi obrotu przechodzącej przez jej środek asy - T. a. wprowadzenie tarczy (bez członu) w skrętny ruch drgający o kącie obrotu niejszy od 10 stopni. b. pięciokrotny poiar czasu 0 wahnięć, obliczenie średniej arytetycznej okresów wahań tarczy - T T. c. obliczenie oentu bezwładności tarczy względe pionowej osi obrotu przechodzącej przez jej środek asy wzór (1). Uieszczenie członu na tarczy tak aby jego środek asy znajdował się na osi obrotu układu tarcza - człon wyznaczenie oentów bezwładności względe trzech osi przyjętego układu współrzędnych członu C poprzez zianę położenia członu na tarczy. a. wprowadzenie układu tarcza - człon w skrętny ruch drgający o kącie obrotu niejszy od 10 stopni. b. pięciokrotny poiar czasu 0 wahnięć, obliczenie średniej arytetycznej okresów wahań układu tarcza - człon T C. 5. obliczenie oentu bezwładności członu względe pionowej osi obrotu przechodzącej przez jej środek asy wzór (14). 7

8 aboratoriu Teorii Mechanizów SPRAWOZDANIE Z DOŚWIADCZANEGO WYZNACZANIA TENSORÓW EZWŁADNOŚCI METODĄ ZAWIESZENIA JEDNONITKOWEGO Wyniki poiarów doświadczalnych długości struny :. średnicy struny d:. 0 wahnięć saej tarczy T T :. Określenie wektora położenia środka asy członu etodą zawieszenia nitkowego:. Rysunek członu wraz z naniesiony położenie środka asy oraz przyjęty układe współrzędnych zaczepiony w środku asy: 8

9 aboratoriu Teorii Mechanizów 0 wahnięć tarczy z człone anipulatora T C wyznaczenie oentu bezwładności względe osi X. 0 wahnięć tarczy z człone anipulatora T C wyznaczenie oentu bezwładności względe osi Y. 0 wahnięć tarczy z człone anipulatora T C wyznaczenie oentu bezwładności względe osi Z. Wyniki obliczeń, równanie (.9) Masowe oenty bezwładności: xx yy zz Moenty odśrodkowe: xy xz yz Postać tensora bezwładności analizowanego członu anipulatora: I 9

10 aboratoriu Teorii Mechanizów SPRAWOZDANIE Z DOŚWIADCZANEGO WYZNACZANIA TENSORÓW EZWŁADNOŚCI METODĄ ZAWIESZENIA TRÓJNITKOWEGO Wyniki poiarów doświadczalnych długości struny :. asy członu anipulatora C :. Przyjąć za dane asę tarczy T... oraz proień ocowania nici r wahnięć saej tarczy T T :. 0 wahnięć tarczy z człone anipulatora T C wyznaczenie oentu bezwładności względe osi X. 0 wahnięć tarczy z człone anipulatora T C wyznaczenie oentu bezwładności względe osi Y. 0 wahnięć tarczy z człone anipulatora T C wyznaczenie oentu bezwładności względe osi Z. 10

11 aboratoriu Teorii Mechanizów Wyniki obliczeń Masowy oent bezwładności tarczy T, równanie (1): T Masowe oenty bezwładności, równanie (14): xx yy zz Moenty odśrodkowe: xy xz yz Postać tensora bezwładności analizowanego członu anipulatora: I 11