DRGANIA HARMONICZNE UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY

Transkrypt

1 Część 2 1. DRGANIA UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY DRGANIA HARMONICZNE UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY 1.1. Drgania własne nietłuione W anaizie drgań rozpatrywać będziey układy, w których asa rozłożona jest w sposób dyskretny. Układ ciągły odeujey w sposób okreśony jako granuacja (podział) asy całego układu do pewnej iczby punktów asowych (rys. 1.1). P r-1(t) P(t) r P (t) r+1 r-1 r r+1 (t) Rys Układ o dyskretny rozkładzie asy Przeieszczenie układu (wychyenie od położenia równowagi) opisywać będziey poprzez przeieszczenia punktów asowych. q r t = t (1.1) Doinującą częścią w przypadku ugięć są przeieszczenia pionowe, datego też poiniey w naszych rozważaniach przesunięcia pozioe (wzdłuż osi pręta). Jeżei działają siły zienne w czasie układ będzie quasistatyczny. Siły P r(t) reprezentują dynaiczne oddziaływanie sił bezwładności oraz zewnętrzne obciążenia dynaiczne. Dowone przeieszczenie, zgodnie z zasadą superpozycji skutków wynosi: R t = P j t rj (1.2) j=1 gdzie: δ rj - przeieszczenie pionowe w punkcie r wywołane siła jedynkową działającą w punkcie j, Pj(t) - siła dynaiczna działająca w punkcie j. Da przypadku drgań własnych obciążenie dynaiczne ogranicza się do sił bezwładności: P j t = j ẅ j t (1.) Można zate zapisać, że przeieszczenie pierwszej asy jest równe: Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jabrożek S., Koosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AaMater

2 Część 2 1. DRGANIA UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY 2 w 1 t = 1 ẅ 1 t 11 2 ẅ 2 t 12 1 ẅ 1 t 1... R ẅ R t 1 R Wektor przeieszczeń wszystkich punktów ożey przedstawić w zapisie acierzowy: {w}= [ F ] [M ]{ẅ} (1.4) gdzie: [F] - acierz podatności, [M] - diagonana acierz as. Wyiar acierzy zaeży od stopnia swobody dynaicznej układu, czyi iczby niezaeżnych przeieszczeń punktów asowych. t [w1 ]= 1 [ t w 2 t ẅ 2 ] t (1.5) w t ẅ t ] [ ] [ẅ1... Układ równań różniczkowych (1.5) a rozwiązanie ogóne postaci: i t t =W r e gdzie W r jest apitudą przeieszczenia węzła r. A zate przechodząc do rozwiązań rzeczywistych, po odrzuceniu części urojonej ożna zapisać: t =W r sin t (1.) Druga pochodna po czasie z funkcji przeieszczenia wynosi: ẅ r t = 2 W r sin t (1.7) Po przekształceniu równania acierzowego (1.4) [ F ] [M ]{ẅ} {w}={0} (1.8) podstawieniu zaeżności (1.) i (1.7) i podzieeniu równań obustronnie przez sin ωt otrzyujey: 2 [ F ] [M ]{W } {W }={0 } (1.9) Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jabrożek S., Koosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AaMater

3 Część 2 1. DRGANIA UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY Ostatecznie po przekształceniach dochodziy do układu równań: gdzie {W} - wektor apitud przeieszczeń, [I] - acierz jedynkowa, {[ F ] [ M ] 1 [ I {W }={0 } 2 ]} (1.10) [ I ]=[ ] Układ równań jednorodnych (1.10) posiada rozwiązanie: trywiane, gdy Wr=0, nietrywiane, wtedy gdy wyznacznik układu jest równy zero: det [ F ] [ M ] 1 2 [ I ] =0 (1.11) Z warunku (1.11) otrzyujey równanie charakterystyczne, nazywane też wiekowy. Przyrównywanie wyznacznika układu równań do zera pozwaa wyiczyć wartości ω r, częstości kołowe drgań własnych. Otrzyay tye wartości ω r, ie wynosił rząd acierzy. Każdej częstości kołowej drgań własnych odpowiada zestaw apitud W r. Z układu równań jednorodnych nie ożna okreśić wartości apitud, ożna ustaić tyko proporcje poiędzy nii. Obiczenia rozpoczyna się od przedstawienia konstrukcji w forie odeu asowego, da którego okreśić trzeba niezaeżne przeieszczenia. Po obiczeniu współczynników δ ik z równania (1.11) wyznaczay wszystkie częstości kołowe drgań własnych ω. Granuacja asy jest znakoity sposobe, wykorzystujący podstawowe założenia i podejście etody sił, czyi zasadę superpozycji, oraz współczynniki podatności δik. Agoryt obiczeń przybiżyy rozwiązując następujący przykład. Rozpatrzy układ jak na poniższy scheacie. EJ=const Rys Scheat beki wonopodpartej o dyskretny, syetryczny rozkładzie asy Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jabrożek S., Koosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AaMater

4 Część 2 1. DRGANIA UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY 4 Taki układ a trzy stopnie swobody dynaicznej, zate posiada trzy częstości kołowe drgań własnych. Każda z as oże przeieszczać się prostopade do osi beki. Wartości tych przeieszczeń, zgodnie ze wzore (11.4) opisują zaeżności: w 1 t = ẅ 1 t 11 ẅ 2 t 12 ẅ t 1 w 2 t = ẅ 1 t 21 ẅ 2 t 22 ẅ t 2 w t = ẅ 1 t 1 ẅ 2 t 2 ẅ t Równania różniczkowe ożey wyiczyć przyjując postać funkcji rozwiązującej t =A r sin t da której druga pochodna po czasie wynosi: ẅ r t = 2 A r sin t Po podstawieniu i uproszczeniu (podzieenie przez sin ωt) otrzyujey równania A 1 = 2 11 A A = 2 21 A A A = 2 1 A A które po uporządkowaniu tworzą układ równań jednorodnych: A A = A A =0 (1.12) 2 1 A A =0 Aby obiczyć współczynniki acierzy podatności δ ik, narysujy wykresy oentów w stanach jedynkowych: P 1 =1 M Rys. 1.. Stan P 1 = 1 Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jabrożek S., Koosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AaMater

5 Część 2 1. DRGANIA UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY 5 P 2 =1 M Rys Stan P 2 = 1 P =1 M 12 5 Rys Stan P = 1 Współczynniki δ ik wyznaczay nożąc odpowiednie wykresy (rys. 1., 1.4, 1.5) EJ 11 =EJ = EJ 22 = = = =150 = EJ 12 =EJ 21 =EJ 2 =EJ 2 = = = EJ 1 =EJ 1 = = = = Jeżei podstawiy do równań (1.12) otrzyane wartości, a następnie ponóży obie strony równania przez 888EJ i podzieiy prze ω 2 uzyskay układ: [ } ] [A1 A ]={0 Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jabrożek S., Koosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AaMater

6 Część 2 1. DRGANIA UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY 888 EJ gdzie = 2 Jest to układ równań jednorodnych, który posiada rozwiązanie, wtedy gdy: det =0 Z tego warunku otrzyujey trzy wartości współczynnika λ, 1 =120 2 =8 1 = na podstawie których ożey wyiczyć wartości częstości kołowych drgań własnych ω 1, ω 2, ω. 888 EJ r= r Każdej częstości kołowej drgań własnych ω r przyporządkowane są odpowiednie wychyenia (apitudy przeieszczeń) A r 1, A r 2, A r. Nie są one okreśone konkretnyi iczbai, są jedynie powiązane pewnyi zaeżnościai. Apitudy przeieszczeń da każdej postaci drgań powinny spełniać zaeżność: 2 2 A 1 =1 (1.1) Aby wyznaczyć związki poiędzy apitudai naeży rozwiązać układ równań: 25 r A r 1 9 A r 2 17 A r =0 9 A r 1 81 r A r 2 9 A r =0 r A 1 2 r 2 A r 2 =1 Wyniki obiczeń zaprezentujey na rysunkach. Uporządkujy wiekości częstości kołowych drgań własnych w porządku rosnący ω 1 < ω 2 < ω i narysujy wychyenia beki odpowiadające koejny częstościo. Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jabrożek S., Koosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AaMater

7 Część 2 1. DRGANIA UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY 7 da ω 1 A 1 (1) = (1) = A (1) = Rys. 1.. Pierwsza postać drgań własnych da ω2 A 1 (2) = 2 2 (2) =0 A (2)= 2 2 Rys Druga postać drgań własnych da ω A 1 () = 1 A () = 1 () = 1 Rys Trzecia postać drgań własnych Postacie drgań są ortogonane, wobec tego apitudy postaci i z apitudai postaci k uszą spełniać równość: j i A k j A j j = ik (1.14) gdzie δik to sybo Kroneckera: ij = { 1 gdy i=k 0 gdy i k (1.15) Zbiór apitud znoraizowanych (warunek 1.1), zestawionych w acierzy, której nuery wierszy ub koun odpowiadają nuero postaci drgań własnych nazywa się acierzą odaną. Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jabrożek S., Koosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AaMater

8 Część 2 1. DRGANIA UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY Drgania wyuszone siłai haronicznyi Anaizie podday układ o budowie identycznej jak na rys. 1.1 jednak ty raze oprócz sił bezwładności wzbudzanych podczas ruchu układu działać będą siły zewnętrzne zienne w czasie. P r-1(t) P(t) r P (t) r+1 r-1 r r+1 (t) Rys Układ o dyskretny rozkładzie asy obciążony siłai wyuszającyi P r t = r ẅ r t P r sin pt (1.1) gdzie: Pr(t) - siła haroniczna będąca wynikie działania obciążenia zewnętrznego wyuszającego oraz bezwładności asy działająca w węźe r, P r p - znana apituda siły wyuszającej, - częstość kołowa siły wyuszającej. Naeży paiętać, że gdy wartość częstości kołowej wyuszenia p jest biska ub pokrywa się z częstością kołową drgań własnych konstrukcji ω, to wiekości apitud A r wzrastają (nawet do nieskończoności w układach bez tłuienia). Jeżei konstrukcja obciążona jest siłai wyuszającyi to drgania, czyi także przeieszczenia reaizowane są z częstością wyuszenia p: t =A r sin pt (1.17) Rozważania szczegółowe przeprowadziy na przykładzie beki przedstawionej na rys 1.2. Skorzystay z wyników, które otrzyaiśy przy anaizie drgań własnych beki. Q 2 Q EJ=const Rys Scheat beki wonopodpartej obciążonej siłai wyuszającyi Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jabrożek S., Koosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AaMater

9 Część 2 1. DRGANIA UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY 9 W zadaniu przyjęto, że do poszczegónych as przyłożone są następujące siły wyuszające: Q 1 t =0 Q 2 t =Q sin pt Q t =2Q sin pt Przeieszczenie dowonego węzła zaeży od wartości przyłożonych sił oraz współczynników podatności δik: t = j rj P j t = j rj j ẅ j t rk Q k t (1.18) k Da przypadku drgań haronicznych przyjujey funkcję rozwiązującą: t =A r sin pt da której druga pochodna po czasie wynosi: ẅ r t = p 2 A r sin pt (1.19) Wyrażenia na przeieszczenia rozpisujey da wszystkich punktów, w których przyłożone są asy. Po wprowadzeniu podstawienia (funkcja rozwiązująca) ewą i prawą stronę równania dzieiy przez sin pt eiinując z układu równań czynnik zawierający funkcję czasu. Otrzyujey układ równań { p 2 [ F ] [M ] {I }}{W }=Q {[ F 2 ] [ F ]} (1.20) gdzie: [ F 2 ]=[ ] [ F ]=[ ] Po przekształceniach [ p p ] [A1 1 p Q 2 [ p A ]= 2 2 ] (1.21) podstawiay wartości iczbowe δ ik. Da uproszczenia zapisu wprowadzay sybo 2 = 888 p EJ 2 Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jabrożek S., Koosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AaMater

10 Część 2 1. DRGANIA UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY 10 [ [ 7 Q 159 p ] [A1 2 A ]= ] 89 Po przyjęciu wartości EJ,,, p otrzyano λ 2 = 100 Z układu równań niejednorodnych [ [ 7 Q p ] [A1 A ]= ] 89 obiczono apitudy A 1 = 4,0747 C = 8,01009 C A =,90274 C gdzie: C= Q p 2 (1.22) Aby przeprowadzić anaizę dynaiczną konstrukcji naeży przeprowadzić obiczenia da konkretnych wartości iczbowych, porównać częstości ω z p i zbadać wartości apitud. Konstrukcja jest zagrożona, jeżei apitudy drgań przekraczają wartości dopuszczane. Gdy częstość wyuszenia jest zbiżona do częstości drgań własnych zachodzi zjawisko rezonansu. Przy projektowaniu konstrukcji naeży ją obciążyć siłai bezwładności i siłai wyuszającyi. Da ceów porównawczych do obiczeń przyjiey wartości apitudy siły wyuszającej Q = 5 kn = 5000 N, oraz długość beki = 9 Narysujy wykresy oentów zginających da danej beki obciążonej siłai dynaicznyi (siły wyuszające i siły bezwładności) oraz da tego saego scheatu obciążonego statycznie wyłącznie siłai wyuszającyi (rys. 1.14). Q(t) 2Q(t) B 1 (t) B 2 (t) B (t) Rys Scheat beki wonopodpartej o dyskretny rozkładzie as, obciążonej siłai dynaicznyi Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jabrożek S., Koosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AaMater

11 Część 2 1. DRGANIA UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY 11 Da pierwszego przypadku obciążenia (rys. 1.11) potrzebna jest wartość sił bezwładności B i t = i p 2 A i sinpt (1.2) apituda tej siły wynosi: B i = i p 2 A i (1.24) Wcześniej wyiczone wartości apitud przeieszczeń zapiszy w postaci ioczynu: A i = i C= i Q i p 2 (1.25) Po podstawieniu zaeżności (1.25) otrzyujey siły bezwładności wyrażone przez obciążenie Q: B i = i p 2 i Q i p 2 = i Q (1.2) Wyiczonyi w ten sposób wartościai obciążay bekę (rys. 1.12) B 1 =4,0747Q B 2 =8,01009Q B =,90274Q Q 2Q Rys Scheat beki wonopodpartej obciążonej siłai bezwładności i siłai wyuszającyi I tworzyy wykres oentów od obciążeń dynaicznych (rys. 1.1) 101, ,140 4, ,82 kn 5,0515 kn 9,517 kn 1,5,0,0 1,5 Rys Wykres oentów od obciążenia siłai bezwładności i siłai wyuszającyi Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jabrożek S., Koosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AaMater

12 Część 2 1. DRGANIA UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY 12 W drugi przypadku obciążenia (statyczne) do układu przykładay tyko apitudy sił wyuszających (rys. 1.14) i wyznaczay oenty zginające (rys. 1.15) Q 2Q Rys Scheat beki wonopodpartej obciążonej siłai wyuszającyi 5 kn 10 kn ,25 18,75 1,5,0,0 1,5 Rys Wykres oentów od obciążenia siłai statycznyi Porównując wykresy z rys. 1.1 i 1.15 da zadanych Q i widać, że bardziej niekorzystny jest wykres pierwszy, da beki obciążonej siłai dynaicznyi, ziennyi w czasie. Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jabrożek S., Koosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AaMater