( ) Pochodne. Załómy, e funkcja f jest okrelona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Liczb

Podobne dokumenty
Pochodna funkcji jednej zmiennej

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji

SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 5, Pochodna funkcji

Rachunek różniczkowy funkcji f : R R

Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

11. Pochodna funkcji

Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna

I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x

22 Pochodna funkcji definicja

Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu)

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

Roksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

f(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi:

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce

1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d

Funkcje wielu zmiennych

Pochodna funkcji. Niech f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że

1 Pochodne wyższych rzędów

Pochodna funkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

Pochodna i jej zastosowania

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x

Wykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34

Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 3. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Wzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.

Wykład 11. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 18 grudnia Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej

Obliczanie pochodnej funkcji. Podstawowe wzory i twierdzenia. Autorzy: Tomasz Zabawa

Matematyka ETId I.Gorgol. Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

Pochodną funkcji w punkcie nazywamy granicę ilorazu różnicowego w punkcie gdy przyrost argumentu dąży do zera: lim

Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.

1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.

Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych) Przy czym błąd, jaki popełniamy zastępując przyrost funkcji

Oba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji).

Rachunek Różniczkowy

(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Pochodna funkcji. Zastosowania

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

Ekstrema globalne funkcji

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie

Wykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga!

13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.

Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych

III. Funkcje rzeczywiste

Wykłady z matematyki inżynierskiej EKSTREMA FUNKCJI. JJ, IMiF UTP

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych

Kolokwium Zadanie 1. Dla jakich warto±ci parametrów a i b funkcja sklejona

1 Pochodne pierwszego rzędu

Funkcje wielu zmiennych

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA.

Równania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza matematyczna i algebra liniowa Pochodna funkcji

Materiały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej

Wykład 6. Funkcje Różniczkowalne - ciąg dalszy. są różniczkowalne w punkcie p i zachodzą wzory:

Róniczka. f x. V Vx. Zadanie 4. Znale maksymalny błd bezwzgldny i wzgldny powstały przy obliczaniu objtoci stoka, jeli promie podstawy wynosi

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI

Podstawy analizy matematycznej II

Rozwiązania prac domowych - Kurs Pochodnej. x 2 4. (x 2 4) 2. + kπ, gdzie k Z

Pochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8

MECHANIKA 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji, asymptoty i ciągłość

lim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a

ZADANIA EGZAMINACYJNE Z MATEMATYKI dla kandydatów na studia w Politechnice Lubelskiej na kierunku: INYNIERIA RODOWISKA

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Funkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)

4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady

1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067

Funkcje dwóch zmiennych

Transkrypt:

Pocodne Załómy, e unkcja jest okrelona w pewnym otoczeniu punktu. Liczb ( + ) ( ) nazywamy ilorazem rónicowym unkcji w punkcie dla przyrostu. Pocodn ( ) unkcji w punkcie nazywamy granic ilorazu rónicowego, przy dcym do zera. Zatem ' ( ) ( + ) ( ) = lim. Przykłady: a) Pocodna unkcji (= w dowolnym punkcie jest równa. b) Pocodna unkcji g(= w punkcie = jest równa, za w punkcie = jest równa 4. c) Pocodna unkcji (= w punkcie 3 =5 jest równa, za w zerze nie istnieje. Jeli unkcja ma pocodn w punkcie, to mówimy, e jest róniczkowalna w punkcie. Funkcj nazywamy róniczkowaln, jeli jest róniczkowalna w kadym punkcie swojej dziedziny. Funkcj, która dowolnemu punktowi z dziedziny róniczkowalnej unkcji przyporzdkowuje pocodn tej unkcji w punkcie nazywamy pocodn unkcji. Przykłady: a) Pocodn unkcji (= jest unkcja stała równa. b) Pocodn unkcji g(= jest unkcja c) Funkcja (= nie jest róniczkowalna. Podobnie jak granice jednostronne deiniujemy pocodne jednostronne, czyli ' ( ) ( + ) ( ) ' + lim ( ) = + lim = ( + ) ( ) Interpretacja geometryczna pocodnej Niec bdzie unkcj cigł w pewnym przedziale I, za punktem wewntrznym tego przedziału. Pocodna skoczona ( ) jest współczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu unkcji w punkcie o odcitej, czyli w punkcie o współrzdnyc (,( )). Styczna ta ma równanie y ( ) = ( )( ) '

gdzie (,y) jest dowolnym punktem stycznej. W szczególnoci, gdy ( )= styczna w punkcie o odcitej jest pozioma. Przykład: Styczn do wykresu unkcji g(= w punkcie o odcitej =jest prosta o równaniu y=-, za w punkcie o odcitej = prosta o równaniu y=4-6. Fizyczny sens pocodnej. Prdko i przyspieszenie w rucu prostoliniowym Jeli oznacza czas, a ( długo drogi, jak ciało przebyło od pocztku rucu do cwili, to ( +)-( ) jest długoci drogi przebytej w czasie od cwili do cwili +. Iloraz rónicowy ( + ) ( ) jest wówczas prdkoci redni rucu w czasie od cwili do cwili +, za pocodna ( ) prdkoci cwilow w cwili. Zwyczajowo zmienn czasu w izyce oznaczamy symbolem t, unkcj drogi s(t), za prdko cwilow v(t). Jeli unkcja drogi jest róniczkowalna, to v ( t) = s' ( t) Analogicznie przyrost prdkoci v(t +)-v(t ) podzielony przez przyrost czasu, nazywamy przyspieszeniem rednim, za przyspieszenie cwilowe, oznaczane zwyczajowo symbolem a(t) wyraa si wzorem. Pojemno cieplna a ( t) = v' ( t). Niec T oznacza temperatur pewnego ciała, a W ilo ciepła, które ciało musi pobra, aby jego temperatura wzrosła od pewnej ustalonej wartoci do wartoci T. Załómy, e W jest unkcj zmiennej T. Iloraz rónicowy ( T + ) W W ( T ) nazywany jest redni pojemnoci ciepln ciała w przedziale temperatur od T do T+. Granica tego ilorazu rónicowego, czyli pocodna unkcji W w punkcie T, jest pojemnoci ciepln ciała w temperaturze T.

Pocodne podstawowyc unkcji elementarnyc. Pocodna unkcji stałej: ( C = α ' α. Pocodna unkcji potgowej: ( ) = α W szczególnoci: ( = 3. Pocodne unkcji trygonometrycznyc: ( = ( ) '= ( sin ' = cos ( cos ' = sin tg cos ( '= ( ctg ' = sin 4. Pocodne unkcji cyklometrycznyc: ( arcsin ' = ( arccos + ' = + ( arctg ' = ( arcctg ) ' = 5. Pocodne unkcji wykładniczyc i logarytmicznyc: ( e = e ( a = a ln a ( ln ' = ( log ' = a ln a Reguły obliczania pocodnyc Jeeli istniej pocodne (i g (, to: ( ( + g( = '( + g' ( ( ( g( = '( g' ( ( ( c '( C = dla dowolnej stałej C ( ( g( = '( g( + ( g' ( ( ' = g( '( g( ( g' ( o ile g ( g ( 3

Twierdzenie o pocodnej unkcji złoonej Jeeli istnieje pocodna g ( ), u =g( ) oraz unkcja (u) jest okrelona w pewnym otoczeniu punktu u i ma pocodn (u ), to unkcja złoona F(=(g() ma pocodn w punkcie oraz F' ( = '( u) g' (. Przykłady: ( sin( = cos( ) ( sin ( ) = sin( cos( Twierdzenie o pocodnej unkcji odwrotnej Jeeli y=( jest unkcj odwrotn wzgldem unkcji =g(y) posiadajcej pocodn w punkcie y i g (y ) jest róna od zera, to unkcja y=( ma pocodn w punkcie =g(y ) oraz '( ) =. g' ( y ) Podstawowe twierdzenia racunku róniczkowego Twierdzenie. Jeli unkcja jest róniczkowalna w punkcie, to jest w tym punkcie cigła. Wniosek. Kada unkcja róniczkowalna jest cigła. Uwaga: Istniej unkcje cigłe, które nie s róniczkowalne (np. (= ) Własno 3. Jeli unkcja jest stała na pewnym przedziale (a,b) to dla dowolnego (a,b) (=. Twierdzenie 4. (twierdzenie Rolle a) Jeeli unkcja jest cigła w przedziale [a,b] i róniczkowalna w kadym punkcie przedziału (a,b) oraz (a)=(b), to istnieje taki punkt c (a, b), e (c)=. Twierdzenie 5. (twierdzenie Lagrange a o wartoci redniej) Załómy, e unkcja jest cigła w przedziale [a,b] i róniczkowalna w kadym punkcie przedziału (a,b). Wówczas istnieje taki punkt c (a, b), e '( c) = ( b) ( a) b a Twierdzenie 6. (wnioski z twierdzenia Lagrange a) a) Jeli (= dla dowolnego (a,b), to jest stała na przedziale (a,b). 4

b) Jeli unkcja jest róniczkowalna na pewnym przedziale (a,b) oraz (> dla wszystkic (a,b), to jest rosnca na przedziale (a,b). c) Jeli unkcja jest róniczkowalna na pewnym przedziale (a,b) oraz (< dla wszystkic (a,b), to jest malejca na przedziale (a,b). Mówimy, e unkcja okrelona w pewnym otoczeniu punktu ma w tym punkcie maksimum lokalne, gdy dla dowolnego punktu nalecego do pewnego przedziału o rodku w punkcie (<( ). Powiemy, e ma w minimum lokalne, gdy (>( ) dla wszystkic z pewnego otoczenia punktu. Jeli powysze nierównoci s nieostre, to mówimy o maksimum (minimum) niewłaciwym. Maksima i minima nazywamy ekstremami lokalnymi unkcji. Twierdzenie 7 (warunek konieczny istnienia ekstremum, czyli twierdzenie Fermata) Jeli unkcja jest w punkcie róniczkowalna i ma w tym punkcie ekstremum, to ( )=. Uwaga: Funkcja (= 3 ma w punkcie pocodn i nie ma w tym punkcie ekstremum lokalnego. Twierdzenie 8 (warunek dostateczny istnienia ekstremum). Załómy, e unkcja jest róniczkowalna na pewnym przedziale (a,b) oraz (a,b). Jeli w pewnym lewostronnym ssiedztwie punktu pocodna unkcji jest dodatnia, za w pewnym prawostronnym ssiedztwie tego punktu ujemna, to unkcja ma w punkcie maksimum lokalne. Jeli w pewnym lewostronnym ssiedztwie punktu pocodna unkcji jest ujemna, za w pewnym prawostronnym ssiedztwie tego punktu dodatnia, to unkcja ma w punkcie minimum lokalne. Jeeli unkcja jest róniczkowalna na przedziale (a,b), (a,b) oraz istnieje lim '( + ) '( ) to granic t nazywamy pocodn drugiego rzdu (drug pocodn) unkcji w punkcie i oznaczamy symbolem ( ). Analogicznie deiniujemy pocodne wyszyc rzdów. 5

Powiemy, e unkcja cigła, okrelona na przedziale (a,b), jest wypukła w punkcie (a,b), jeli wykres tej unkcji (w pewnym otoczeniu punktu ) znajduje si ponad styczn do wykresu wyznaczon w punkcie (,( )). Funkcj nazwiemy wklsł w punkcie, jeli jej wykres znajduje si pod tak styczn. Mówimy, e unkcja jest wypukła (wklsła) na przedziale (a,b) jeli jest wypukła (wklsła) w kadym punkcie tego przedziału. Jeli unkcja jest wypukła na lewo od punktu, za wklsła na prawo od tego punktu (albo odwrotnie), to mówimy, e ma w punkt przegicia. Twierdzenie 9. Jeeli unkcja jest dwukrotnie róniczkowalna na przedziale (a,b) i druga pocodna jest dodatnia w kadym punkcie tego przedziału, to jest wypukła na przedziale (a,b). Jeli druga pocodna jest ujemna w kadym punkcie przedziału (a,b), to unkcja jest na przedziale (a,b) wklsła. Twierdzenie. (warunek konieczny istnienia punktu przegicia) Jeli unkcja ma w punkt przegicia i jest w tym punkcie dwukrotnie róniczkowalna, to ( )=. Twierdzenie. (warunek dostateczny istnienia punktu przegicia) Jeli unkcja jest w otoczeniu punktu dwukrotnie róniczkowalna, ( )= oraz druga pocodna zmienia znak w punkcie, to unkcja ma w punkt przegicia. Twierdzenie. Jeli unkcja jest w otoczeniu punktu n-krotnie róniczkowalna, wszystkie kolejne pocodne unkcji do rzdu n- s równe zero oraz (n), to ma w punkcie ekstremum lokalne lub punkt przegicia, przy czym jest to a) punkt przegicia, jeli n jest nieparzyste; b) ekstremum lokalne, jeli n jest parzyste (minimum, gdy (n) > a maksimum gdy (n) > ) 6