Temat: Zastosowania pochodnej A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1
Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 2
Zagadnienia 1. PrzybliŜona wartość unkcji. 2. PrzybliŜony przyrost wartości unkcji. 3. Funkcje kosztów, zysków, utargów. 4. Globalne ekstrema unkcji. 5. Elastyczność unkcji. A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 3
Przypomnienie Dana unkcja: Pochodna unkcji w punkcie : Oznaczenie: ' Deinicja: = lim n n n J eŝeli istnieje skończona granica niezaleŝna od wyboru ciągu n. A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 4
Interpretacja geometryczna A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 5
Pochodna unkcji w punkcie Y y = X A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 6
Pochodna unkcji w punkcie Y y = X A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 7
Pochodna unkcji w punkcie Y y = X A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 8
Pochodna unkcji w punkcie Y y = X 1 A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 9
Pochodna unkcji w punkcie Y y =... 3 X 2 1 A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1
Pochodna unkcji w punkcie Y y = 1 2 3 X 2 1 A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 11
Pochodna unkcji w punkcie Y y = n X n A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 12
Pochodna unkcji w punkcie Deinicja: = lim n n n A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 13
Pochodna unkcji w punkcie Deinicja: = lim n n n A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 14
Pochodna unkcji w punkcie Deinicja: = lim n n n n n A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 15
Pochodna unkcji w punkcie Y y = n n n X n A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 16
Pochodna unkcji w punkcie Y y = n n n X n A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 17
Pochodna unkcji w punkcie Y y = n n n X n A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 18
Oznaczenia = lim n n n A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 19
Oznaczenia = lim n n n n n A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 2
Oznaczenia = lim n n n n n ozn = n przyrost argumentu A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 21
Oznaczenia n n ozn = n przyrost argumentu A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 22
Oznaczenia n n ozn = n przyrost argumentu n = + A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 23
Oznaczenia n n ozn = n przyrost argumentu n = + + A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 24
Oznaczenia n n ozn = n przyrost argumentu n = + + A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 25
A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 26 26 26 26 Oznaczenia lim n n n = lim + =
Uwaga 1 lim a = n n g A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 27
Uwaga 1 lim a = n n g a n g A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 28
Uwaga 1 lim a = n n g a n g dla duŝych n a n g A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 29
Uwaga 1 lim a = n n g a n g dla duŝych n a n g a n g, gdy n A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 3
A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 31 31 31 31 Uwaga 2 lim + = lim = +
A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 32 32 32 32 Uwaga 2 lim + = lim = + gdy, +
Wzór 1 Przyjmijmy, Ŝe + A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 33
Wzór 1 Przyjmijmy, Ŝe + A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 34
A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 35 35 35 35 Wzór 1 Przyjmijmy, Ŝe + + Wzór na przybliŝony przyrost wartości unkcji
Wzór 1 Wzór na przybliŝony przyrost wartości unkcji + Oznaczenie: + = y A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 36
A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 37 37 37 37 Wzór 1 Wzór na przybliŝony przyrost wartości unkcji + Oznaczenie: y = + y + =
Wzór 1 Wzór na przybliŝony przyrost wartości unkcji + róŝniczka unkcji w punkcie dla przyrostu A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 38
Pochodna unkcji w punkcie Y y = y n X n A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 39
Wzór 2 Przyjmijmy, Ŝe + A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 4
Wzór 2 Przyjmijmy, Ŝe + + A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 41
Wzór 2 Przyjmijmy, Ŝe + + + + Wzór na przybliŝoną wartość unkcji A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 42
Komentarz Wzór na przybliŝony przyrost wartości unkcji wykorzystywany jest w ekonomicznej interpretacji pojęcia pochodnej. A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 43
Terminologia i oznaczenia K koszt całkowity wytworzenia jednostek pewnego produktu unkcja kosztu całkowitego A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 44
Terminologia i oznaczenia K unkcja kosztu całkowitego K - koszt przeciętny wytworzenia jednostek pewnego produktu unkcja kosztu przeciętnego ozn.: K = k p A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 45
Terminologia i oznaczenia K unkcja kosztu całkowitego K k = - unkcja kosztu przeciętnego p K' koszt krańcowy unkcja kosztu krańcowego A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 46
Terminologia i oznaczenia K unkcja kosztu całkowitego K k = - unkcja kosztu przeciętnego p K' unkcja kosztu krańcowego A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 47
Terminologia i oznaczenia wielkość podaŝy p cena za jednostkę towaru Jak wyrazić utarg? A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 48
Terminologia i oznaczenia wielkość podaŝy p cena za jednostkę towaru U utarg U = p A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 49
Terminologia i oznaczenia wielkość podaŝy p cena za jednostkę towaru U utarg U = p Niech p = p A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 5
Terminologia i oznaczenia wielkość podaŝy p cena za jednostkę towaru U utarg U = p Niech p = p U = p A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 51
Terminologia i oznaczenia U unkcja utargu całkowitego U u = p - unkcja utargu przeciętnego U' unkcja utargu krańcowego A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 52
Terminologia i oznaczenia U utarg K koszt całkowity Jak wyrazić zysk? A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 53
Terminologia i oznaczenia U utarg K koszt całkowity Z - zysk Z = U - K A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 54
Terminologia i oznaczenia U utarg K koszt całkowity Z - zysk Z = U - K Niech wielkość produkcji, U = U, K= K Z = U - K A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 55
Zagadnienie 1 Niech: wielkość produkcji K unkcja kosztu całkowitego produkcji na poziomie Przy jakim poziomie produkcji koszt przeciętny k p będzie najmniejszy? A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 56
Zagadnienie 1 Niech: wielkość produkcji K unkcja kosztu całkowitego produkcji na poziomie Przy jakim poziomie produkcji koszt przeciętny k p będzie najmniejszy? Jaka jest najmniejsza wartość unkcji k p? A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 57
Zagadnienie 2 Niech: wielkość produkcji Z unkcja zysku całkowitego przy produkcji na poziomie Przy jakim poziomie produkcji zysk całkowity Z będzie największy? Jaka jest największa wartość unkcji Z? A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 58
Największa wartość unkcji A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 59
Przykład 1 Funkcja ciągła na przedziale domkniętym maksimum lokalne 1 2 Funkcja osiąga największą wartość w maksimum lokalnym. A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 6
Przykład 2 Funkcja ciągła na przedziale domkniętym maksimum lokalne 1 minimum lokalne Funkcja osiąga największą wartość w maksimum lokalnym. A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 61 2
Przykład 3 Funkcja ciągła na przedziale domkniętym maksimum lokalne 1 minimum lokalne Funkcja osiąga największą wartość na krańcu przedziału określoności. A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 62 2
Największa wartość unkcji Największa wartość unkcji - maksimum globalne A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 63
Największa wartość unkcji Największa wartość unkcji - maksimum globalne Wyznaczanie maksimum globalnego unkcji ciągłej określonej na przedziale domkniętym... A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 64
Największa wartość unkcji Wyznaczanie maksimum globalnego unkcji ciągłej określonej na przedziale domkniętym: 1. wyznaczyć wszystkie maksima lokalne, 2. obliczyć wartości na krańcach przedziału określoności, 3. wybrać największą wartość spośród otrzymanych. A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 65
Własność 1 Funkcja ciągła określona na przedziale domkniętym przyjmuje największą wartość w maksimum lokalnym lub na krańcu przedziału określoności. A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 66
Własność 2 Jeśli unkcja ciągła określona na przedziale domkniętym przyjmuje dokładnie jedno maksimum lokalne, to jest ono jednocześnie maksimum globalnym unkcji. A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 67
Najmniejsza wartość unkcji A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 68
Przykład 1 Funkcja ciągła na przedziale domkniętym minimum lokalne 1 2 Funkcja osiąga najmniejszą wartość w minimum lokalnym. A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 69
Przykład 2 Funkcja ciągła w przedziale domkniętym minimum lokalne 1 2 Funkcja osiąga najmniejszą wartość w minimum lokalnym. A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 7
Przykład 3 Funkcja ciągła na przedziale domkniętym minimum lokalne 1 2 Funkcja osiąga najmniejszą wartość na krańcu przedziału określoności. A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 71
Najmniejsza wartość unkcji Najmniejsza wartość unkcji - minimum globalne A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 72
Najmniejsza wartość unkcji Najmniejsza wartość unkcji - minimum globalne Wyznaczanie minimum globalnego unkcji ciągłej określonej na przedziale domkniętym... A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 73
Największa wartość unkcji Wyznaczanie minimum globalnego unkcji ciągłej określonej na przedziale domkniętym: 4. wyznaczyć wszystkie minima lokalne, 5. obliczyć wartości na krańcach przedziału określoności, 6. wybrać najmniejszą wartość spośród otrzymanych. A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 74
Własność 1 Funkcja ciągła określona na przedziale domkniętym przyjmuje najmniejszą wartość w minimum lokalnym lub na krańcu przedziału określoności. A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 75
Własność 2 Jeśli unkcja ciągła określona na przedziale domkniętym przyjmuje dokładnie jedno minimum lokalne, to jest ono jednocześnie minimum globalnym unkcji. A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 76
Elastyczność unkcji A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 77
Deinicja elastyczności unkcji Niech będzie unkcją określoną na dziedzinie D R o wartościach rzeczywistych i niech >, >. Elastycznością unkcji w punkcie nazywamy liczbę E = A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 78
Interpretacja elastyczności Elastyczność unkcji w punkcie jest przybliŝoną miarą procentowej zmiany wartości unkcji wzrostu lub spadku, odpowiadającej przyrostowi argumentu o 1% w stosunku do poziomu. A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 79
Interpretacja elastyczności y = A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 8