Ekstrema funkcji wielu zmiennych.

Transkrypt

1 Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Ekstrema funkcji wielu zmiennych. kwiecień / 13

2 Niech dana b ¾edzie funkcja f (x, y) określona w pewnym otoczeniu punktu P 0 (x 0, y 0 ). Mówimy, ze funkcja posiada w punkcie (x 0, y 0 ) maksimum (minimum) lokalne, je zeli istnieje otoczenie punktu (x 0, y 0 ) takie, ze dla ka zdego punktu (x, y) nale z ¾acego do tego otoczenia spe niona jest nierówność f (x, y) f (x 0, y 0 ) (f (x, y) f (x 0, y 0 )). Maksima i minima lokalne ¾acznie określa si ¾e mianem ekstremów lokalnych. Bardzo cz ¾esto sprawdzenie tych warunków nie jest takie proste i dlatego opracowano specjalne twierdzenie, które jest zarówno warunkiem koniecznym i dostacznym istnienia ekstremum lokalnego funkcji dwóch zmiennych. Adam Kiersztyn (KUL) Ekstrema funkcji wielu zmiennych. kwiecień / 13

3 Theorem Je zeli dana jest funkcja dwóch zmiennych f (x, y) majaca ¾ w otoczeniu punktu P 0 (x 0, y 0 ) wszystkie drugie pochodne czastkowe ¾ ciag e ¾ oraz je zeli spe nione sa¾ nastepuj ¾ ace ¾ warunki: (x 0, y 0 ) x = 0 ^ (x 0, y 0 ) y = 0 (warunek konieczny) W (x 0, y 0 ) = 2 f (x 0, y 0 ) x 2 2 f (x 0, y 0 ) 2 2 f (x 0, y 0 ) y 2 > 0 x y (warunek dostateczny) to w punkcie P 0 = (x 0, y 0 ) funkcja ma ekstremum, przy czym je zeli 2 f (x 0,y 0 ) > 0 to w punkcie P x 2 0 jest minimum lokalne; je zeli 2 f (x 0,y 0 ) < 0 to w punkcie P x 2 0 jest maksimum lokalne. Adam Kiersztyn (KUL) Ekstrema funkcji wielu zmiennych. kwiecień / 13

4 Uwaga. Je zeli warunek konieczny jest spe niony ale W (x 0, y 0 ) < 0 to funkcja nie ma ekstremum w punkcie P 0, jeśli zaś W (x 0, y 0 ) = 0 to ekstremum w punkcie P 0 mo ze istniej lub nie. Przyk ad. Niech f (x, y) = 3x 2 y 6xy + y Wyznaczanie ekstremów rozpoczniemy od obliczenia pochodnych cz ¾astkowych pierwszego i drugiego rz ¾edu. Mamy zatem x = 6xy 6y y = 3x 2 6x + 3y 2 2 f x 2 = 6y 2 f y 2 = 6y 2 f x y = 6x 6 Adam Kiersztyn (KUL) Ekstrema funkcji wielu zmiennych. kwiecień / 13

5 Nast ¾epnie przyrównujemy pochodne cz ¾astkowe pierwszego rz ¾edu do zera i rozwi ¾azujemy uk ad równań 6xy 6x = 0 3x 2 6x + 3y 2 = 0, Rozwi ¾azaniem s ¾a dwa punkty: [x = 1, y = 1], [x = 0, y = 0] Adam Kiersztyn (KUL) Ekstrema funkcji wielu zmiennych. kwiecień / 13

6 Interesuj ¾a nas wartości tego wyznacznika w punktach podejrzanych o ekstremum. Mamy zatem W (0, 0) = 36 < 0 W (1, 1) = 36 > 0 Warunek dostateczny spe niony jest tylko w ostatnim punkcie, zatem w nich wyst ¾epuj ¾a ekstrema. Poniewa z 2 f (1, 1) = 6 > 0 zatem w tym x 2 punkcie wyst ¾epuje minimum lokalne, Adam Kiersztyn (KUL) Ekstrema funkcji wielu zmiennych. kwiecień / 13

7 Omówimy teraz zastosowania rachunku ró zniczkowego dwóch zmiennych w ekonomii. Jako pierwsze omówimy poj ¾ecie elastyczności funkcji. Elastycznaość cz ¾astkowa funkcji dwóch zmiennych de niuje si ¾e analogicznie jak elastyczność funkcji jednej zmiennej. Je zeli istniej ¾a pochodne cz ¾astkowe x i y to elastyczności ¾a funkcji f (x, y) wzgl ¾edem zmiennej x nazywamy wyra zenie E xf (x,y ) = x f (x, y) x natomiast elastyczności ¾a wzgl ¾edem zmiennej y nazywamy wyra zenie E yf (x,y ) = y f (x, y) y. Adam Kiersztyn (KUL) Ekstrema funkcji wielu zmiennych. kwiecień / 13

8 W tym miejscu nale zy sobie odpowiedzieć na pytanie, w jaki sposób mo zna wykorzystać elastyczności. Otó z E xf (x,y ) określa w przybli zeniu o ile procent wzrośnie wartość funkcji f (x, y), gdy zmienna niezale zna x wzrośnie o 1% przy ustalonej wartości zmiennej y. Przyk ad Obliczyć elastyczności cz ¾astkowe funkcji produkcji Cobba-Douglasa f (x, y) = 4x 0,1 y 0,5, gdzie x jest wielkości ¾a maj ¾atku produkcyjnego, zaś y wielkości ¾a zatrudnienia. Na pocz ¾atku obliczamy pochodne cz ¾astkowe pierwszego rz ¾edu x = 4 0, 1x 0,9 y 0,5 y = 4 0, 5x 0,1 y 0,5. Adam Kiersztyn (KUL) Ekstrema funkcji wielu zmiennych. kwiecień / 13

9 St ¾ad elastyczności wynosz ¾a podobnie E xf (x,y ) = E yf (x,y ) = x f (x, y) x = y f (x, y) y = x 4x 0,1 y 0,5 4 0, 1 x 0,9 y 0,5 = 0, 1 y 4x 0,1 y 0,5 4 0, 5 x 0,1 y 0,5 = 0, 5 Jak widzimy wartości te s ¾a sta e oraz wzrost wartośći maj ¾atku o 1% spododuje wzrost produkcji o 0, 1%, zaś wzrost zatrudnienia o 1% poci ¾agnie za sob ¾a wzrost produkcji o 0, 5%. Adam Kiersztyn (KUL) Ekstrema funkcji wielu zmiennych. kwiecień / 13

10 Omówimy teraz wielkości krańcowe. Wielkość krańcowa funkcji f (x, y) w punkcie (x, y) wzgl ¾edem zmiennej x mówi, o ile jednostek w przybli zeniu zmieni si ¾e (wzrośnie lub spadnie) wartość funkcji f (x, y) jeśli argument x wzrośnie o jedn ¾a jednostk¾e. Obiczamy j ¾a licz ¾ac wartość pochodnej cz ¾astkowej x.w analogiczny sposób wyznacza si ¾e wartość krańcow ¾a wzgl ¾edem zmiennej y. W poprzenim przyk adzie postaramy si ¾e oszacować wzrost produkcji, gdy wartość maj ¾atku wynosi x=9, a zatrudnienie y=30. Dysponuj ¾ac obliczonymi pochodnymi cz ¾astkowymi obliczamy ich wartości w punkcie (9, 30) x (9, 30) = 4 0, 1 9 0,9 30 0,5 0, y (9, 30) = 4 0, 5 90,1 30 0,5 0, Adam Kiersztyn (KUL) Ekstrema funkcji wielu zmiennych. kwiecień / 13

11 Stopa wzrostu to przyrost funkcji wyra zony w procentach wtedy, gdy argument wzrasta o jedn ¾a jednostk ¾e. Wprzypadku funkcji dwóch zmiennych wyraza si ¾e wzorem S x f = x f (x, y) 100% w przypadku stopy wzrostu dla zmiennej x oraz S y f = y f (x, y) 100% w przypadku stopy wzrostu dla zmiennej y. Adam Kiersztyn (KUL) Ekstrema funkcji wielu zmiennych. kwiecień / 13

12 Z uwagi na ograniczoność tego wyk adu nie b ¾edziemy rozwa zać problemu ekstremum funkcji dwóch zmiennych w zadanym podziorze dziedziny. Nale zy w tym miejscu jedynie zaznaczyć, ze istnieje kilka sposobów podejścia do tego zagadnienia, przy czym w jelu przypadkach wygodnie jest zastosować metod ¾e mno zników Lagrange a. Adam Kiersztyn (KUL) Ekstrema funkcji wielu zmiennych. kwiecień / 13

13 Dzi ¾ekuj ¾e za uwag ¾e Przypominam studentom moich grup, ze za tydzień mamy kolokwium. Adam Kiersztyn (KUL) Ekstrema funkcji wielu zmiennych. kwiecień / 13