Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja
|
|
- Agata Wojciechowska
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych decyzyjnych; podać postać funkcji celu; określić postać ograniczeń na decyzje. Zad. 1. Dysponujemy kontenerem transportowym o pojemności V oraz udźwigu P. Należy załadować do niego towar spośród dostępnych N jego rodzajów. Każdy rodzaj towaru charakteryzuje się pewną objętością v n, ciężarem p n oraz zyskiem ze sprzedaży c n (n = 1, 2,..., N). Decydując się załadować do kontenera określoną liczbę sztuk każdego spośród N rodzajów towarów, należy maksymalizować wartość załadunku. Zad. 2. Dla N przedsiębiorstw przygotowano N zleceń transportowych. Każde przedsiębiorstwo wstępnie określa koszt związany z wykonaniem każdego ze zleceń. Mając je dane, należy przyporządkować każdemu przedsiębiorstwu dokładnie jedno zlecenie w taki sposób, aby koszt wykonania wszystkich zleceń był najmniejszy. Zad. 3. Danych jest M hurtowni oraz N zakładów produkcyjnych, od których zamawiają one produkty do sprzedaży. Ze względy na odległości i jakości dróg, z każdym przewozem zamówionego towaru z m-tego zakładu do n-tej hurtowni wiąże się odpowiedni, znany z góry, koszt transportu. Znane są również możliwości produkcyjne zakładów oraz zapotrzebowanie każdej hurtowni. Sformułować zadanie minimalizacji łącznego kosztu transportu. 1
2 Zad. 4. Mamy za zadanie wytworzyć wymagane ilości M rodzajów produktów dysponując N maszynami. Każdy produkt można wytwarzać na dowolnej maszynie, przy czym ze względu na zróżnicowaną wydajność maszyn do wytworzenia jednostki produktu m-tego maszyna n-ta potrzebuje T mn jednostek czasu, co wiąże się z kosztem w wysokości c mn. Do dyspozycji jest T n jednostek całkowitego czasu n-tej maszyny. Należy przydzielić takie ilości u mn produktu m-tego na n-tą maszynę, by koszt produkcji był minimalny. Zad. 5. Niech danych będzie N linii transportowych. W pewnym okresie można na n-tej linii wykonać b n rejsów. Zasoby czasu użytecznego jednej jednostki transportowej typu m wynoszą a m. W czasie wykonywania n-tego rejsu jednostka transportowa typu m zużywa t mn jednostek czasu, a koszt takiego rejsu wynosi c mn. Należy przydzielić posiadane środki transportu na poszczególne linie w taki sposób, aby przy założeniu, że wszystkie rejsy zostaną wykonane (jeżeli zadanie jest niesprzeczne), łączny koszt był minimalny. Zad. 6. Udowodnij, że zbiór D x = { x 1} jest wypukły. Zad. 7. Korzystając z definicji, zbadaj wypukłość funkcji f(x) = x 2 Zad. 8. Niech F będzie funkcją wypukłą. Udowodnij, że zbiór D α = wypukły. { } x R S : F (x) α jest Zad. 9. Niech funkcje F k (x), k = 1, 2,..., K będą wypukłe. Udowodnij, że ich kombinacja liniowa gdzie α k 0 jest wypukła. F (x) = K α k F k (x), k=1 Zad. 10. Niech funkcja g będzie wypukła a funkcja h wypukła i monotonicznie rosnąca. Udowodnij, że ich złożenie F (x) = h(g(x)) jest funkcją wypukłą. 2
3 Zad. 11. Zbadaj wypukłość poniższych funkcji, zapisz je w postaci macierzowej i zilustruj na wykresach: a) 2x 2 1 3x x 1x 2 + 2x 1 + 6x 2 b) 4x x2 2 x 1x 2 + 2x 1 x 3 x 1 + x 2 c) x 2 1 6x x 1x 2 + x 1 10x 2 d) 6x x2 2 4x 1x 2 + 2x 1 3x 2 e) 2x x x 1x 2 F (x) = x T Ax + b T x + c Zad. 12. Zbadaj określoność macierzy diagonalnej o nieujemnych elementach na przekątnej. Zad. 13. Wyznacz ekstremum funkcji F (x) = x T Ax + b T x + c przy założeniu, że macierz A jest symetryczna i dodatnio określona. Zad. 14. Zbadaj określoność poniższych macierzy i zilustruj (np. na komputerze) na wykresach odpowiadające im formy kwadratowe: A = ] B = ] C = ] D = ] Zad. 15. Wyznacz ekstrema funkcji: a) F (x) = 5x x2 2 4x 1x 2 2x b) F (x) = x x2 2 6x 1x 2 48x 1 c) F (x) = 10x x2 2 + x x 1x 2 + 6x 1 x 3 + 9x 1 + 3x Zapisz powyższe funkcje w postaci formy kwadratowej. 3
4 Zad. 16. Znajdź minimum funkcji F (x) przy ograniczeniach x D x posługując się metodą Lagrange a: a) F (x) = (x 1 4) 2 + (x 2 2) 2 + (x 3 3) 2 D x = { x R 3 : x 1 + x 2 + x 3 = 9 } b) F (x) = 2x 1 + 3x 2 D x = { x R 3 : x x2 2 = 0} c) F (x) = x 2 1 x2 2 x2 3 D x = { x R 3 : x 1 + x 3 = 0 x 1 x 2 + x 3 = 5 } d) F (x) = x (1) + x (2) D x = { x R 3 : x x2 2 + x2 3 = 2 x2 1 + x2 2 2x 3 = 3 } e) F (x) = x 1 x 2 } D x = {x R 2 : (x 1 1) 2 + x 2 2 = 1 f) F (x) = x x2 2 + x2 3 D x = { x R 3 : x 1 + x 2 + x 3 = 1 x 1 x 2 + x 3 = 7 } g) F (x) = x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 1 x 3 D x = { x R 3 : x 1 + x 2 + x 3 = 3 } Zad. 17. Znajdź wymiary cylindrycznej puszki maksymalizujące jej objętość przy zadanej powierzchni P = 24Π. 4
5 Zad. 18. Znajdź minimum funkcji F (x) przy ograniczeniach x D x korzystając z warunków Kuhna-Tuckera: a) F (x) = (x 1 2) 2 (x 2 3) 2 D x = { x R 2 : x x2 2 52} b) F (x) = (x 1 ) 2 + x 2 2 D x = { x R 2 : x x 1 x } c) F (x) = 6x 1 x 2 D x = { } x R 2 : (x 1 1) 2 + x 2 0 x 1 0 x 2 0 d) F (x) = x 2 1 x2 2 D x = { x R 2 : 2x 1 + 3x 2 6 x 1 + x 2 2 x 2 0 } e) F (x) = x 2 1 2x2 2 D x = { x R 2 : x 1 + x 2 1 x 1 0 x 2 0 } f) F (x) = x 1 x 2 D x = { x R 2 : x 1 0 x 2 0 } Zad. 19. programowanie liniowe Należy zaplanować produkcję zakładu w pewnym tygodniu w taki sposób, aby osiągnięty zysk był maksymalny. Zakład może wytwarzać dwa produkty: P 1 i P 2. Ich produkcja jest limitowana dostępnymi zasobami trzech środków: S 1, S 2 i S 3. Zasoby tych środków wynoszą, odpowiednio: 14, 8 i 16 jednostek. Nakład środka S 1 na wytworzenie jednostki produktu P 1 wynosi 2 jednostki, a na wytworzenie produktu P 2 również 2 jednostki. Nakłady środka S 2 wynoszą, odpowiednio 1 i 2 jednostki, natomiast środka S 3 : 4 i 0 jednostek. Zysk osiągany z wytworzenia jednostki produktu P 1 wynosi 2 jednostki a wytworzenia jednostki produktu P 2 : 3 jednostki. Zadanie a): Sformułować i rozwiązać zadanie optymalizacji, którego celem będzie maksymalizacja zysku. Zadanie b): Weź dodatkowo pod uwagę, że zarząd firmy ustalił łączne rozmiary produkcji, które nie mogą być mniejsze od 3 jednostek. 5
6 Zad. 20. programowanie liniowe Znajdź metodą simpleks maksimum liniowej funkcji celu F (x) przy liniowych ograniczeniach nierównościowych: a) F (x) = 20x x 2 10x 1 x x 1 + x x x 2 25 b) F (x) = 2x 1 + x 2 x 1 + x x 1 + x 2 4 9x 1 x c) F (x) = 2x 1 + 2x 2 x 1 2x x 1 + 2x 2 18 d) F (x) = x 1 + 3x 2 20x x x 1 2x 2 20 x 1 + x 2 = 1000 e) F (x) = 4x 1 + 6x 2 2x 1 + x 2 7 x 1 + x 2 4 x 1 + 3x 2 9 f) F (x) = 4x 1 + 6x 2 2x 1 + x 2 7 x 1 + x 2 4 x 1 + 3x 2 9 g) F (x) = 3x 1 5x 2 4x 1 + 2x 2 8 5x 1 + 6x 2 30 h) F (x) = 2x 1 + 2x 2 x 1 + 2x x 1 + 2x 2 18 i) F (x) = 5x 1 7x 2 x 1 + 3x 2 3 5x 1 + 4x 2 20 j) F (x) = x 1 + 2x 2 x 1 + x 2 1 2x 1 + x 2 2 6
7 Zad. 21. programowanie całkowitoliczbowe Rozwiąż poniższe zadania programowania całkowitoliczbowego dla zadanej funkcji celu i przy ustalonych ograniczeniach liniowych: a) F (x) = x 1 + x 2 14x 1 + 9x x 1 + 3x 2 1 x Z 2 b) F (x) = x 1 + x 2 x 1 + 2x x 1 + 3x x Z 2 c) F (x) = 2x 1 5x (2) 2x 1 x 2 6 x 1 6x 2 24 x Z 2 d) F (x) = 3x 1 7x 2 3x 1 + 8x x 1 + 3x 2 12 x Z 2 7
8 Dodatek Zbiór wypukły Jeżeli dla dowolnych dwóch punktów x 1, x 2 ze zbioru D x punkt x zadany wzorem x = λx 1 + (1 λ)x 2 również należy do zbioru D x, wówczas zbiór ten nazywamy wypukłym. Funkcja wypukła Jeżeli dla dowolnych dwóch punktów x 1, x 2 ze zbioru D x oraz funkcji F : D x R określonej na tym zbiorze zachodzi nierówność wówczas funkcję F nazywamy wypukłą. F (λx 1 + (1 λ)x 2 ) λf (x 1 ) + (1 λ)f (x 2 ), Forma kwadratowa Formą kwadratową nazywamy funkcję Q(x) : R S R o postaci Q(x) = x T Ax gdzie x R S oraz A R S S jest macierzą symetryczną. Macierz kwadratowa A jest dodatnio (ujemnie) określona, gdy dla dowolnego niezerowego wektora x zachodzi x T Ax > 0 (x T Ax < 0). Macierz kwadratowa A jest dodatnio (ujemnie) półokreślona, gdy dla dowolnego niezerowego wektora x zachodzi x T Ax 0 (x T Ax 0). Macierz kwadratowa A jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej wiodące minory główne są większe od zera. Macierz kwadratowa A jest dodatnio półokreślona wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej minory główne są nieujemne. Macierz kwadratowa A jest ujemnie określona(półokreślona) wtedy i tylko wtedy, gdy macierz A jest dodatnio określona (półokreślona). 8
9 Gradient i Hesjan Gradientem x F (x) funkcji F : R S R nazywamy S-wymiarowy wektor pochodnych cząstkowych po wszystkich zmiennych funkcji F, natomiast Hesjanem nazywamy macierz H(x) pochodnych cząstkowych drugiego rzędu o wymiarach S S: x F (x) = F x 1 F x 2. F x S, H(x) = x 1 x 1 x 2 x 1. x S x 1 x 1 x 2... x 2 x x S x 2... Warunek wystarczający na istnienie ekstremum w punkcie x Załóżmy, że x F (x ) = 0. Wówczas: x 1 x S x 2 x S.... x S x S jeżeli macierz H(x ) jest dodatnio określona, to F ma minimum loklane w punkcie x Jeżeli macierz H(x ) jest ujemnie określona, to F ma maksimum loklane w punkcie x Jeżeli macierz H(x ) nie jest ani ujemnie, ani dodatnio półokreślona, to F nie ma ekstremum w punkcie x Uwaga: jeżeli macierz H(x ) jest tylko dodatnio (ujemnie) półokreślona, to nie jest możliwe ustalenie, czy funkcja F ma ekstremum loklane w punkcie x czy też nie ma (obie sytuacje mogą mieć miejsce). Forma kwadratowa jest wypukła (wklęsła) jeżeli jest dodatnio (ujemnie) określona. 9
10 Optymalizacja z ograniczeniami równościowymi - funkcja Lagrange a Dana jest funkcja F (x), gdzie x R N oraz M ograniczeń równościowych ϕ m (x) = 0; m = 1, 2,..., M. Zadanie optymalizacji z ograniczeniami można sprowadzić do zadania optymalizacji bez ograniczeń funkcji Lagrange a: M L(x, λ) = F (x) + λ m ϕ m (x), m=1 ] T gdzie λ = λ 1 λ 2... λ M, jest wektorem tzw. mnożników Lagrange a. Punkt optymalny jest wówczas rozwiązaniem następującego układu równań: x L(x, λ) = 0, λ L(x, λ) = 0. Jeżeli zachodzi podejrzenie o istnieniu rozwiązań nieregularnych, można je wyznaczyć z tego samego układu równań, z tym, że funkcja Lagrange a ma wówczas postać: M L(x, λ) = λ m ϕ m (x). m=1 Optymalizacja z ograniczeniami nierównościowymi - warunki Kuhna-Tuckera Dana jest funkcja F (x), gdzie x R N oraz M ograniczeń ψ m (x) 0; m = 1, 2,..., M. Zadanie optymalizacji z ograniczeniami można sprowadzić do zadania optymalizacji bez ograniczeń funkcji Lagrange a: M L(x, µ) = F (x) + µ i ψ m (x), m=1 ] T gdzie µ = µ 1 µ 2... µ M, jest wektorem tzw. mnożników Lagrange a. Punkt optymalny jest wówczas rozwiązaniem następującego układu: x L(x, µ) = 0, µ L(x, µ) 0, µ m ψ m (x) = 0, m = 1, 2,..., M, µ m 0, m = 1, 2,..., M. 10
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lista zadań nr 3 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Zbiory i funkcje wypukłe Zad. 1 Pokazać, że następujące zbiory są wypukłe: a) płaszczyzna S = {x
Bardziej szczegółowoMetoda Karusha-Kuhna-Tuckera
Badania operacyjne i teoria optymalizacji Poznań, 2015/2016 Plan 1 Sformułowanie problemu 2 3 Warunki ortogonalności 4 Warunki Karusha-Kuhna-Tuckera 5 Twierdzenia Karusha-Kuhna-Tuckera 6 Ograniczenia w
Bardziej szczegółowoProgramowanie nieliniowe. Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a
Programowanie nieliniowe Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a Plan wykładu Przykład problemu z nieliniową funkcją celu Sformułowanie problemu programowania matematycznego Podstawowe definicje
Bardziej szczegółowoDefinicja problemu programowania matematycznego
Definicja problemu programowania matematycznego minimalizacja lub maksymalizacja funkcji min (max) f(x) gdzie: x 1 x R n x 2, czyli: x = [ ] x n przy ograniczeniach (w skrócie: p.o.) p.o. g i (x) = b i
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE KWADRATOWE
PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO
ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Rozdział 10
Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w
Bardziej szczegółowoMetody Ilościowe w Socjologii
Metody Ilościowe w Socjologii wykład 4 BADANIA OPERACYJNE dr inż. Maciej Wolny AGENDA I. Badania operacyjne podstawowe definicje II. Metodologia badań operacyjnych III. Wybrane zagadnienia badań operacyjnych
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe
Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 i całkowitoliczbowe Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 Spis treści Spis treści 1 Wstęp
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,
Bardziej szczegółowo3. Funkcje wielu zmiennych
3 Funkcje wielu zmiennych 31 Ciagłość Zanim podamy definicję ciagłości dla funkcji wielu zmiennych wprowadzimy bardzo ogólne i abstrakcyjne pojęcie przestrzeni metrycznej Przestrzeń metryczna Metryka w
Bardziej szczegółowoStandardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1
Standardowe zadanie programowania liniowego 1 Standardowe zadanie programowania liniowego Rozważamy proces, w którym zmiennymi są x 1, x 2,, x n. Proces poddany jest m ograniczeniom, zapisanymi w postaci
Bardziej szczegółowoProgramowanie matematyczne
dr Adam Sojda Badania Operacyjne Wykład Politechnika Śląska Programowanie matematyczne Programowanie matematyczne, to problem optymalizacyjny w postaci: f ( x) max przy warunkach g( x) 0 h( x) = 0 x X
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Model matematyczny Cel, środki, ograniczenia Funkcja celu funkcja kryterium Zmienne decyzyjne Model optymalizacyjny Układ warunków
Bardziej szczegółowoMetody optymalizacji. notatki dla studentów matematyki semestr zimowy 2015/2016
Metody optymalizacji notatki dla studentów matematyki semestr zimowy 2015/2016 Aktualizacja: 11 stycznia 2016 Spis treści Spis treści 2 1 Wprowadzenie do optymalizacji 1 11 Podstawowe definicje i własności
Bardziej szczegółowoMetoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii
Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1 Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient Dla prostoty ograniczymy się do
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 6 Metoda simpleks Spis treści Wstęp Zadanie programowania liniowego Wstęp Omówimy algorytm simpleksowy, inaczej metodę simpleks(ów). Jest to stosowana w matematyce
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 5. Metody kierunków poparwy (metoda Newtona-Raphsona, metoda gradientów sprzężonych) Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.03.2019 1
Bardziej szczegółowoPochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji
Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy
Bardziej szczegółowoMetoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii
Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1. Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient. Dla prostoty ograniczymy się do
Bardziej szczegółowo13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.
13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoRozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE 6. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 6.1
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE NIELINIOWE
PROGRAMOWANIE NIELINIOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTEP Zadanie programowania nieliniowego (ZPN) min f(x) g i (x) 0, h i (x) = 0, i = 1,..., m g i = 1,..., m h f(x) funkcja celu g i (x) i
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoZestaw zadań przygotowujących do egzaminu z Matematyki 1
Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Wydział Finansów i Ubezpieczeń, Kierunek: Finanse i Zarządzanie w Ochronie Zdrowia Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu z Matematyki 1 Powtórka materiału przed
Bardziej szczegółowoFunkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie
Bardziej szczegółowoBadania Operacyjne Ćwiczenia nr 2 (Materiały)
Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu liniowego Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu linowego to taki zbiór, który spełnia warunki ograniczające (funkcyjne oraz brzegowe) programu liniowego. Przy
Bardziej szczegółowoĆwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L.
Ćwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe Ćw. L. Typy optymalizacji Istnieją trzy podstawowe typy zadań optymalizacyjnych: Optymalizacja statyczna- dotyczy
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem
Bardziej szczegółowoZadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik
Zadanie transportowe i problem komiwojażera Tadeusz Trzaskalik 3.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zbilansowane zadanie transportowe Rozwiązanie początkowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda
Bardziej szczegółowoWykład 6. Programowanie liniowe
Wykład 6. Programowanie liniowe Zakład może wytwarzać dwa produkty: P 1 i P 2. Ich produkcja jest limitowana dostępnymi zasobami trzech środków: S 1, S 2, S 3. Zasoby tych środków wynoszą odpowiednio,
Bardziej szczegółowoWykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.
Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy programowania liniowego
Teoretyczne podstawy programowania liniowego Elementy algebry liniowej Plan Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?
/9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Badania operacyjne Problem Model matematyczny Metoda rozwiązania Znaleźć optymalny program produkcji. Zmaksymalizować 1 +3 2 2 3 (1) Przy ograniczeniach 3 1 2 +2 3 7 (2) 2 1 +4 2 12 (3) 4 1 +3 2 +8 3 10
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne. te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze.
BADANIA OPERACYJNE Badania operacyjne Badania operacyjne są sztuką dawania złych odpowiedzi na te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze. T. Sayty 2 Standardowe zadanie
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowo2. Optymalizacja bez ograniczeń
2. Optymalizacja bez ograniczeń 1. Podaj definicję ścisłego minimum lokalnego zadania 2. Podaj definicję minimum lokalnego zadania 3. Podaj definicję ścisłego minimum globalnego zadania 4. Podaj definicję
Bardziej szczegółowoEkstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Bardziej szczegółowowszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów
KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją
Bardziej szczegółowoWykład 6, pochodne funkcji. Siedlce
Wykład 6, pochodne funkcji Siedlce 20.12.2015 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Niech f : (a; b) R i niech x 0 ; x 1 (a; b), x0 x1. Wyrażenie nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Struktury i Algorytmy Wspomagania Decyzji Zadanie projektowe 2 Czas realizacji: 6 godzin Maksymalna liczba
Bardziej szczegółowoWzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.
Wzór Maclaurina Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = n 1 k=0 f (k) (0) k! x k + f (n) (θx) x n. n! Wzór Maclaurina Przykład. Niech f (x) =
Bardziej szczegółowoAby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania
Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie
Bardziej szczegółowo1. Zbadać liniową niezależność funkcji x, 1, x, x 2 w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [ 1, ).
B 2 Suma Zbadać, czy liniowo niezależne wektory u, v, w stanowią bazę przestrzeni liniowej lin { u + 2 v + w, u v + 2 w, 3 u + 5 w } 2 Współrzędne wektora (, 4, 5, 4 ) w pewnej bazie podprzestrzeni U R
Bardziej szczegółowoMetody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Laboratorium Zadanie nr 3 Osada autor: A Gonczarek Celem poniższego zadania jest zrealizowanie fragmentu komputerowego przeciwnika w grze strategiczno-ekonomicznej
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.
Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana
Bardziej szczegółowoZESTAWY ZADAŃ Z EKONOMII MATEMATYCZNEJ
ZESTAWY ZADAŃ Z EKONOMII MATEMATYCZNEJ Zestaw 5 1.Narynkuistniejądwajhandlowcyidwatowary,przyczymtowarupierwszegosą3sztuki,adrugiego 2sztuki. a). Jak wygląda zbiór alokacji dopuszczalnych, jeśli towary
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNENE TRANSPORTOWE Definicja: Program liniowy to model, w którym warunki ograniczające oraz funkcja celu są funkcjami liniowymi. W skład każdego programu liniowego wchodzą: zmienne decyzyjne, ograniczenia
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowoMaksymalizacja zysku
Maksymalizacja zysku Na razie zakładamy, że rynki są doskonale konkurencyjne Firma konkurencyjna traktuje ceny (czynników produkcji oraz produktów jako stałe, czyli wszystkie ceny są ustalane przez rynek
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH
WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej Staryszak Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6;
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne Optymalizacja. Wojciech Szewczuk
Metody Numeryczne Optymalizacja Optymalizacja Definicja 1 Przez optymalizację będziemy rozumieć szukanie minimów lub maksimów funkcji. Optymalizacja Definicja 2 Optymalizacja lub programowanie matematyczne
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Badania operacyjne Ćwiczenia 4 Programowanie liniowe Dualizm w programowaniu liniowym Plan zajęć Dualizm w programowaniu liniowym Projektowanie programu dualnego Postać programu dualnego Przykład 1 Rozwiązania
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych
Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza
Bardziej szczegółowoZ52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoWPROWADZENIE DO EKONOMII MENEDŻERSKIEJ.
Wykład 1 Wprowadzenie do ekonomii menedżerskiej 1 WPROWADZENIE DO EKONOMII MENEDŻERSKIEJ. PODEJMOWANIE OPTYMALNYCH DECYZJI NA PODSTAWIE ANALIZY MARGINALNEJ. 1. EKONOMIA MENEDŻERSKA ekonomia menedżerska
Bardziej szczegółowoWYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU
WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja
Bardziej szczegółowo9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego
Bardziej szczegółowoRÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )
Bardziej szczegółowoLista 1 PL metoda geometryczna
Lista 1 PL metoda geometryczna 1.1. Znajdź maksimum funkcji celuf(x 1,x 2 )=5x 1 +7x 2 przy ograniczeniach: 2x 1 +2x 2 600, 2x 1 +4x 2 1000, x i 0 dlai=1,2 1.2. Znajdź maksimum funkcji celuf(x 1,x 2 )=2x
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowo1 Wartości własne oraz wektory własne macierzy
Rozwiązania zadania umieszczonego na końcu poniższych notatek proszę przynieść na kartkach Proszę o staranne i formalne uzasadnienie odpowiedzi Za zadanie można uzyskać do 6 punktów (jeżeli przyniesione
Bardziej szczegółowoMETODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski
METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,
Bardziej szczegółowoMETODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0
METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0 cx MAX Ax < b x > 0 Postać standardowa (kanoniczna): z = 5 x 1 + 6x 2 + 0x 3 + 0x 4 MAX
Bardziej szczegółowoDocument: Exercise*02*-*manual /11/ :31---page1of8 INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2
Document: Exercise*02*-*manual ---2014/11/12 ---8:31---page1of8 PRZEDMIOT TEMAT KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2 Wybrane zagadnienia z
Bardziej szczegółowoPochodną funkcji w punkcie nazywamy granicę ilorazu różnicowego w punkcie gdy przyrost argumentu dąży do zera: lim
Definicja pochodnej Niech będzie funkcją określoną w pewnym przedziale i niech będzie punktem wewnętrznym tego przedziału. Liczbę dowolną, ale taką, że nazywamy przyrostem argumentu, a różnicę nazywamy
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowoSpis treści. Wstęp Konstrukcja modelu matematycznego... 1
Spis treści Wstęp........................................................ XI 1. Konstrukcja modelu matematycznego............................. 1 2. Relacje. Teoria preferencji konsumenta...........................
Bardziej szczegółowoSVM: Maszyny Wektorów Podpieraja cych
SVM 1 / 24 SVM: Maszyny Wektorów Podpieraja cych Nguyen Hung Son Outline SVM 2 / 24 1 Wprowadzenie 2 Brak liniowej separowalności danych Nieznaczna nieseparowalność Zmiana przetrzeń atrybutów 3 Implementacja
Bardziej szczegółowoModelowanie całkowitoliczbowe
1 Modelowanie całkowitoliczbowe Zmienne binarne P 1 Firma CMC rozważa budowę nowej fabryki w miejscowości A lub B lub w obu tych miejscowościach. Bierze również pod uwagę budowę co najwyżej jednej hurtowni
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 4. Metody kierunków poprawy (metoda spadku wzdłuż gradientu) Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 21.03.2019 1 / 41 Plan wykładu Minimalizacja
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ
WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM EKONOMIKA W ELEKTROTECHNICE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA 6 Analiza decyzji
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Przykład z fizyki Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprzewodnikowej.
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoWielokryteriowa optymalizacja liniowa
Wielokryteriowa optymalizacja liniowa 1. Przy decyzjach złożonych kierujemy się zwykle więcej niż jednym kryterium. Postępowanie w takich sytuacjach nie jest jednoznaczne. Pojawiło się wiele sposobów dochodzenia
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie problemów z użyciem Solvera programu Excel
Rozwiązywanie problemów z użyciem Solvera programu Excel Podstawowe czynności: aktywować dodatek Solver oraz ustawić w jego opcjach maksymalny czas trwania algorytmów na sensowną wartość (np. 30 sekund).
Bardziej szczegółowoLokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie
Bardziej szczegółowoModele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI
WYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI Kierunki sprzężone. Metoda Newtona Raphsona daje dobre przybliżenie najlepszego kierunku poszukiwań, lecz jest to okupione znacznym kosztem obliczeniowym zwykle postać
Bardziej szczegółowoKURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH Lekcja Ekstrema (lokalne) funkcji wielu zmiennych ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona Częśd : TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie Wykres
Bardziej szczegółowoZadanie laboratoryjne "Wybrane zagadnienia badań operacyjnych"
Zadanie laboratoryjne "Wybrane zagadnienia badań operacyjnych" 1. Zbudować model optymalizacyjny problemu opisanego w zadaniu z tabeli poniżej. 2. Rozwiązać zadanie jak w tabeli poniżej z wykorzystaniem
Bardziej szczegółowoZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ
ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTEP Zadanie minimalizacji bez ograniczeń f(ˆx) = min x R nf(x) f : R n R funkcja ograniczona z dołu Algorytm rozwiazywania Rekurencyjny
Bardziej szczegółowoZagadnienie transportowe
9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoTOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu
TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu Wykład dla studentów II roku studiów II stopnia na kierunku Zarządzanie Semestr zimowy 2009/2010 Wykładowca: prof. dr hab. inż. Michał Inkielman Wykład 2 Optymalizacja
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych (c.d.)
Funkcje wielu zmiennych (c.d.) Ekstrema funkcji wielu zmiennych Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 1/40 Minimum lokalne
Bardziej szczegółowo