Matematyka I dla DSM zbiór zadań

Transkrypt

1 I Sumowanie skończone W zadaniach -4 obliczyć podaną sumę. Matematyka I dla DSM zbiór zadań do użytku wewnętrznego dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania. 5 i. i= 4 i 3. i= 5 ( ) i i= 4. 6 i= i (i + 3) 6. i= 0 i= i=7 4i 8. 9 i=3 i ( i + 5) i= 0. 4 i= 3 i. 5 i(i + ). i= 4 i=0 i 5 i 3. ( ij + 3 i) 4. i= j= (5 i 3j) 5. i= j= 4 4 (5 + i) i= j= 6. (3 i + j + ) 7. i= j= (3 ij j) 8. i= j= 4 4 (i j ) i= j= ( ij + 5 i 3j) 0. i= j= ij. i= j= 9 0 i=0 j= (j i). 4 i (i + j ) 3. i=0 j=i 4 4 ( (j + i) (j i) ) 4. i= j= 4 4 i j i= j= i j 6. i= j=i 3 i i= j= ( i j + j ) i 7. 0 i i= j=i i + j j 5 9 k (6 k) kj k= k= 0 k k= j= j j 33. (k + ) k= j= k= j= j= k= j=

2 ((k )(j + )) 35. ((k )(j + )) 36. (k + j + ) k= j= k= j= k= j= (k j + ) 38. (k 3j + 4kj 5) 39. (k + j) + k k= j= k= j= k= j= (k + j) (k + ) 4. k(j ) 4. (k ) (j + ) k= j= k= j= k= j= j= W zadaniach zapisać podaną sumę za pomocą znaku dużej sumy (znaku sigma) II Granice ciągów W zadaniach 5-0 obliczyć podaną granicę ciągu. 5. lim n ( ( n ) 5. lim + n n ) 54. lim (, n 0,9 n 6n ) 55. lim n n n lim n ( 5 n 3 3 n 5 ) 56. lim n 4n n lim n 6n 3 + 3n + 3n 3 n lim n 6n 3 + n + 3 n 3 6n lim n 6n 3 n + 3 6n 3 3n lim n n 3 5n + 4n 3 + 5n 5 n 63. lim n n lim n 6 n n + 4 n 69. n lim n lim n n n 6. lim 3 n n 3 n 64. lim n n 3 + n + 6n 3 n + ( 5n n lim ) n n lim n 4n + n lim n ( n + 5n + n ) ( ) n 70. n lim 7. lim n n n + ( )n

3 ( ) n n 3 7. lim 73. lim n ( ) n+ n n lim n n 4 + 4n + 4n + 5 n lim n n n + n n3 + 3 n 74. lim n 6n + 6n + 3n lim n ( n + 5 n) 78. lim n ( n + n + ) 79. lim n ( n + n ) 80. lim n ( 0n 4n 5n) 8. lim n 5n + 3 n 3n 8. n lim n n lim n n+ 7 n+ ( n 84. lim 85. lim 7n n 7 ) n 8 n n n n lim n n lim n 5n + 3 n 0, n 88. n lim ( 0,5) n 89. n lim n n+ n n lim n 4 + n 93. lim n n + n ( 0,) n ( n 3 ) 9. n lim 9. lim 0, n n (n + ) lim n ( 3n + n n ) ( n 3 ) lim n n 4 n + n 5n 96. lim n 3 n (n + ) ( ) n 99. lim n n lim ( ) n 3 n 00. lim n 3 3 ( + )( ) 98. lim n ( n ) 0. lim n (n n) III Granice funkcji W zadaniach 0-09 obliczyć podaną granicę badając granice lewo- i prawostronne 0. lim 5 f() gdzie f() = 03. lim f() gdzie f() = 04. lim f() gdzie f() = 05. lim 3 f() gdzie f() = 06. lim f() gdzie f() = 07. lim f() gdzie f() = 5 gdy < gdy gdy < + 9 gdy > + 3 gdy < gdy > 3 gdy < 3 30 gdy gdy < 3 5 gdy + gdy < gdy 3

4 08. lim f() gdy f() = lim f() gdy f() = 0. lim 3 f() gdy f() =. lim f() gdy f() = gdy < gdy > 3 gdy < + gdy > gdy < gdy > 3 3 gdy < 4 gdy > W zadaniach -77 obliczyć podane granice funkcji.. lim lim 8 ( ) 4. lim lim lim 0 ( ) 6. lim 3 (3 + 3) 7. lim ( + ) 9. lim 4 ( + ) 0. lim 3. lim 3 4. lim lim lim lim lim lim ( ) 8. lim 4 3. lim lim 3 3. lim lim 4 9. lim lim lim lim 37. lim 38. lim lim lim lim lim lim lim ( + 6 ) ( lim + ) lim lim

5 48. lim + 5. lim lim e ln 5. lim lim 0 ln( + ) 53. lim lim 55. lim ( ) lim ( e e ) 57. lim lim ( + ) 63. lim ln e 58. lim 6. lim 0 + ( 64. lim 0 ) 59. lim lim ( ) ( ) 65. lim ( + ) 66. lim 67. lim ( + ) e ( lim ) lim 7. lim ( ) lim lim e e 73. lim lim e 4 7. lim lim 4 ( 77. lim 0 e e ) ( 4) ( ) ( ) + 8 ( lim 79. lim ) + ( ) 80. lim 8. lim ln 8. lim 0 e 83. lim 0 e e + IV Ciągłość funkcji W zadaniach 88-9 wyznaczyć punkty nieciągłości podanych funkcji. 84. f() = f() = f() = f() = f() = dla 3 dla > 89. f() = + dla < 0 dla 0 5

6 90. f() = 4 dla < 9 dla 3 9. f() = 3 dla 6 dla = 3 W zadaniach 9-95 obliczyć wartość parametru a, przy której podana funkcja jest ciągła. 9. f() = 4 3 dla < 3 + a dla 93. f() = 3 3 dla < 4 + a dla f() = dla < 6 + a dla 95. f() = a dla + dla > V Pochodne W zadaniach obliczyć pochodne podanych funkcji. 96. f() = 4,7 97. f() = f() = f() = f() = f() = 7 ln 0. f() = 03. f() = π cos 04. f() = f() = sin cos 06. f() = 5(ln e ) 07. f() = 0, f() = f() = f() = ( + ). f() = ( + ) 3. f() = ( + ) 3. f() = ln 4. f() = sin cos 5. f() = ( + )(e + ) 6. f() = e 4 7. f() = + 8. f() = + 9. f() = f() = cos sin +. f() = +. f() = f() = ln e 4. f() = e 5. f() = cos( π ) 6. f() = 0 (4 + ) 5 7. f() = sin cos 8. f() = + 9. f() = cos + sin 30. f() = e / 3. f() = cos + sin 3. f() = f() = 34. f() =

7 35. f() = ( + )e 36. f() = 38. f() = ( + ) ( + ) 39. f() = + ( ) 37. f() = f() = + 4. f() = e e + 4. f() = e f() = e e 44. f() = (e + )(e ) 45. f() = cos 46. f() = 47. f() = ln( ) 48. f() = e 49. f() = e 50. f() = (ln ) 5. f() = ( + ) 5. f() = ( + ) 53. f() = e e 54. f() = ln( ) 55. f() = ln() ln() 56. f() = f() = f() = ln( ) 59. f() = ln( ) 60. f() = (ln( )) 6. f() = ln(e + ) 6. f() = + ( ) 63. f() = ln 64. f() = ln ( ( ) ) 65. f() = ln ( + + ) 66. f() = ln f() = + + ln ( + + ) 68. f() = e ( ) 69. f() = 70. f() = ln(ln()) (ln(ln(ln())) ) 7. f() = ln 7. f() = log 73. f() = e ln VI Ekstrema funkcji jednej zmiennej W zadaniach znaleźć punkty w których funkcja f() osiąga ekstrema, podać które z nich to minima, a które maksima f() = 75. f() = 76. f() = f() = f() = f() = f() = f() = 8. f() = f() = f() = f() = 3 e 85. f() = f() = 3 e 88. f() = e

8 89. f() = f() = ( )e 9. f() = (4 + 3)e 9. f() = f() = (3 )e 94. f() = f() = f() = ln( + ) f() = 3 VII Zastosowanie ekonomiczne pochodnej W zadaniach wyznaczyć elastyczność podanej funkcji we wskazanym punkcie. 98. f() = e, = 0,5 99. f() = 5e 3, = W zadaniach dla podanego kosztu całkowitego obliczyć koszt krańcowy K c () = 300 +, 5 0, K c () = VIII Matematyka finansowa 30. Po ilu latach kwota zł złożona na lokacie oprocentowanej procentem prostym w skali 6% rocznie osiągnie kwotę zł? 303. Po ilu latach kwota zł złożona na lokacie oprocentowanej procentem prostym w skali % rocznie osiągnie kwotę 000 zł? 304. Po ilu latach kwota zł złożona na lokacie oprocentowanej procentem prostym w skali 5% rocznie osiągnie kwotę zł? 305. Po ilu miesiącach kwota 400 zł złożona na lokacie oprocentowanej procentem prostym z roczną stopą 3,5% da odsetki w wysokości 70 zł? 306. Kwotę ,00 zł, wpłacono na lokatę na 6 lat przy stałym oprocentowaniu rocznym,7% i kapitalizacją roczną. Jaka będzie kwota po zakończeniu lokaty? 307. Jaką kwotę trzeba będzie zapłacić by za lat spłacić (jedną ratą) pożyczone 3 000,00 zł, jeżeli przyjęto stałe oprocentowanie 8% w skali roku z kapitalizacją półroczną? 308. Po ilu latach kwota 0 000,00 zł złożona na lokacie oprocentowanej stopą roczną 6% z kapitalizacją roczną, osiągnie kwotę 8 000,00 zł? 309. Po ilu latach kwota 0 000,00 zł złożona na lokacie ze stopą roczną 3% osiągnie kwotę 000 zł? 30. Po jakim czasie kwota 400 zł złożona na lokacie z roczną stopą 3,5% i kapitalizacją miesięczną da odsetki w wysokości 70 zł? W zadaniach 3 34 przyjąć, że pieniądze na lokacie SuperB są kapitalizowane co rok, a przy wypłacie, odsetki za okres od ostatniej kapitalizacji są naliczane według zasady oprocentowania prostego z tą samą stopą procentową roczną zgodnie z regułą bankową obliczania czasu. 3. lutego 0 roku założono lokatę SuperB oprocentowaną stopą 8% wpłacając kwotę 500,00 zł. Jaka kwota została wypłacona 9 czerwca 05 roku? 3. lutego 0 roku założono lokatę SuperB oprocentowaną stopą 6% wpłacając kwotę 3 600,00 j.p. Jaka kwota została wypłacona 3 października 05 roku? 33. lutego 0 roku założono lokatę SuperB oprocentowaną stopą 7% wpłacając kwotę 000,00 j.p. Jaka kwota została wypłacona 5 lipca 05 roku? 8

9 34. lutego 0 roku założono lokatę SuperB oprocentowaną stopą 9% wpłacając kwotę 9 400,00 j.p. Jaka kwota została wypłacona 5 września 05 roku? 35. Jaka będzie końcowa kwota rocznej lokaty 900,00 zł, kapitalizowanej kwartalnie i oprocentowanej stopą roczną 3,% w dwóch pierwszych kwartałach i stopą roczną 5,9% w pozostałych kwartałach? 36. Jaka będzie końcowa kwota rocznej lokaty 600,00 zł, kapitalizowanej kwartalnie i oprocentowanej stopą roczną,6% w kwartale i stopą roczną 4,% w pozostałych kwartałach? 37. Jaka będzie końcowa kwota rocznej lokaty 300,00 zł, kapitalizowanej kwartalnie i oprocentowanej stopą roczną 4,3% w dwóch pierwszych kwartałach i stopą roczną 5,% w pozostałych kwartałach? 38. Jaką wartość za 3 lata będzie miał kapitał, który 4 lata temu miał wartość zł, gdy oprocentowanie jest stałe równe 3%? 39. Jaką wartość przed laty miał kapitał, który za 3 lata będzie miał wartość zł, gdy oprocentowanie jest stałe równe %? 30. Jaką wartość za lata będzie miał kapitał, który 6 lat temu miał wartość zł, gdy oprocentowanie jest stałe równe %? 3. Jaką wartość za 5 lat będzie miał kapitał, który 5 lat temu miał wartość zł, gdy oprocentowanie jest stałe równe 4%? 3. Jaką wartość za 7 lat będzie miał kapitał, który lata temu miał wartość zł, gdy oprocentowanie jest stałe równe 5%? 33. Jaką wartość przed 3 laty miał kapitał, który za rok będzie miał wartość zł, gdy oprocentowanie jest stałe równe,5%? 34. Jaką wartość przed 7 laty miał kapitał, który za lata będzie miał wartość zł, gdy oprocentowanie jest stałe równe,5%? 35. Jaką wartość za 4 lata będzie miał kapitał, który rok temu miał wartość zł, gdy oprocentowanie jest stałe równe,5%? 36. Jaką wartość za rok będzie miał kapitał, który 3 lata temu miał wartość zł, gdy oprocentowanie jest stałe równe,5%? 37. Jaką wartość przed 4 laty miał kapitał, który za 4 lata będzie miał wartość zł, gdy oprocentowanie jest stałe równe 3,%? 38. Czy kapitał o wartości 8 48,60 przed laty jest równoważny kapitałowi o wartości 4 809,90 za 7 lat, przy oprocentowaniu 6%? 39. Czy kapitał o wartości 8 683,50 przed 8 laty jest równoważny kapitałowi o wartości 380,60 za 4 lata, przy oprocentowaniu 3%? 330. Czy kapitał o wartości 7 7,30 przed 4 laty jest równoważny kapitałowi o wartości 669,90 za lata, przy oprocentowaniu 3%? 33. Czy kapitał o wartości 000,00 dziś jest równoważny kapitałowi o wartości 00,00 za 3 lata, przy oprocentowaniu 3%? 33. Czy kapitał o wartości 7 977,60 za lat jest równoważny kapitałowi o wartości 0 35,30 przed 8 laty, przy oprocentowaniu 6%? 333. Czy kapitał o wartości 3 50,00 za lata jest równoważny kapitałowi o wartości 7 79,40 za 9 lat, przy oprocentowaniu 4%? 334. Czy kapitał o wartości 3 795,70 za 3 lata jest równoważny kapitałowi o wartości 6 08,60 za 7 lat, przy oprocentowaniu %? 335. Czy kapitał o wartości 4 060,80 za 3 lata jest równoważny kapitałowi o wartości 0 0,90 za lat, przy oprocentowaniu 4%? 9

10 336. Czy kapitał o wartości 88,40 przed 4 laty jest równoważny kapitałowi o wartości 5 900,00 za rok, przy oprocentowaniu 6%? 337. Czy kapitał o wartości 5 536,0 za 9 lat jest równoważny kapitałowi o wartości 8 47,70 za 4 lat, przy oprocentowaniu %? 338. Czy kapitał o wartości 0 038,60 przed 8 laty jest równoważny kapitałowi o wartości 673,50 przed 4 laty, przy oprocentowaniu 6%? 339. Ile mogę wypłacić z konta dziś, jeżeli konto jest oprocentowane roczną stopą 5,3%, cztery lata temu wpłaciłem zł, a za pięć lat chcę mieć zł? 340. Ile mogę wypłacić z konta dziś, jeżeli konto jest oprocentowane roczną stopą 3,6%, trzy lata temu wpłaciłem zł, a za trzy lata chcę mieć zł? 34. Ile mogę wypłacić z konta dziś, jeżeli konto jest oprocentowane roczną stopą 8,4%, trzy lata temu wpłaciłem zł, a za cztery lata chcę mieć zł? 34. Ile mogę wypłacić z konta dziś, jeżeli konto jest oprocentowane roczną stopą,7%, dwa lata temu wpłaciłem zł, a za cztery lata chcę mieć zł? 343. Ile mogę wypłacić z konta dziś, jeżeli konto jest oprocentowane roczną stopą 8,%, cztery lata temu wpłaciłem zł, a za pięć lat chcę mieć zł? 344. Ile mogę wypłacić z konta dziś, jeżeli konto jest oprocentowane roczną stopą 4,6%, cztery lata temu wpłaciłem zł, a za trzy lata chcę mieć zł? 345. Mógłbym zainwestować moje 5 tys. zł. w fundusz inwestycyjny, który daje odsetki obliczane według rocznej stopy nominalnej,9% z kapitalizacją półroczną, ale pożyczę te pieniądze szwagrowi, który za 3 lata odda mi całą kwotą wraz z odsetkami naliczonymi zgodnie z oprocentowaniem prostym ze stopą 3%. Na jaką kwotę dziś mogę oszacować stratę? 346. Mógłbym zainwestować moje tys. zł. w fundusz inwestycyjny, który daje odsetki obliczane według rocznej stopy nominalnej 9,4% z kapitalizacją kwartalną, ale pożyczę te pieniądze szwagrowi, który za 3 lata odda mi całą kwotą wraz z odsetkami naliczonymi zgodnie z oprocentowaniem prostym ze stopą 0%. Na jaką kwotę dziś mogę oszacować stratę? 347. Kredyt zaciągnięty na kwotę 0 000,00 zł i oprocentowany 8,5% rocznie będzie spłacany pięcioma ratami rocznymi: 4 pierwsze raty po 5 000,00 i ostatnia rata balonowa spłacająca kredyt do końca. Jaka będzie wysokość raty balonowej? 348. Kredyt zaciągnięty na kwotę ,00 zł i oprocentowany 8,4% rocznie będzie spłacany pięcioma ratami rocznymi: 4 pierwsze raty po ,00 i ostatnia rata balonowa spłacająca kredyt do końca. Jaka będzie wysokość raty balonowej? 349. Kredyt zaciągnięty na kwotę ,00 zł i oprocentowany 9,6% rocznie będzie spłacany pięcioma ratami rocznymi: 4 pierwsze raty po ,00 i ostatnia rata balonowa spłacająca kredyt do końca. Jaka będzie wysokość raty balonowej? zł wpłacono na poczet renty, która była wypłacana co rok przez 4 lata. Pierwsza rata wyniosła zł, trzecia zł, czwarta 000 zł. Jaka była druga rata gdy roczna stopa procentowa jest równa 7,8%? zł wpłacono na poczet renty, która była wypłacana co rok przez 4 lata. Pierwsza rata wyniosła 000 zł, druga 000 zł, czwarta zł. Jaka była trzecia rata gdy roczna stopa procentowa jest równa 4,6%? zł wpłacono na poczet renty, która była wypłacana co rok przez 5 lat. Pierwsza rata wyniosła zł, druga zł, czwarta 000 zł i piąta 500 zł. Jaka była trzecia rata gdy roczna stopa procentowa jest równa 3,7%? zł wpłacono na poczet renty, która była wypłacana co rok przez 6 lat. Druga rata wyniosła zł, trzecia 500 zł, czwarta 000 zł, piąta 500 zł i szósta 000 zł. Jaka była pierwsza rata gdy roczna stopa procentowa jest równa 5,3%? 0

11 354. Na jaki procent trzeba ulokować,5 mln zł by do końca życia odbierać rocznie tyle by starczyło na rentę miesięczną w wysokości tys. zł (zakładamy kapitalizację i oprocentowanie roczne, cała kwota na rentę miesięczną jest wypłacana raz w roku) Na jaki procent trzeba ulokować 3, mln zł by do końca życia odbierać rocznie tyle by starczyło na rentę miesięczną w wysokości tys. zł (zakładamy kapitalizację i oprocentowanie roczne, cała kwota na rentę miesięczną jest wypłacana raz w roku) Na jaki procent trzeba ulokować,7 mln zł by do końca życia odbierać rocznie tyle by starczyło na rentę miesięczną w wysokości 8 tys. zł (zakładamy kapitalizację i oprocentowanie roczne, cała kwota na rentę miesięczną jest wypłacana raz w roku) Opracować plan spłaty kredytu na kwotę 7 700,00 zł oprocentowanego stopą roczną 7% i spłacanego za pomocą 3 rocznych rat (a) równych, (b) z równym kapitałem Opracować plan spłaty kredytu na kwotę 4 600,00 zł oprocentowanego stopą roczną 5% i spłacanego za pomocą 5 rocznych rat (a) równych, (b) z równym kapitałem Opracować plan spłaty kredytu na kwotę 500,00 zł oprocentowanego stopą roczną 4% i spłacanego za pomocą 8 rocznych rat (a) równych, (b) z równym kapitałem Opracować plan spłaty kredytu na kwotę 8 700,00 zł oprocentowanego stopą roczną 5,6% i spłacanego za pomocą miesięcznych rat (a) równych, (b) z równym kapitałem.

12 Odpowiedzi I Sumowanie skończone : 30; : 30; 3: ; 4: 093; 5: 300; 6: ; 7: 80; 8: 4; 9: 40; 0: 4; : 70; : 77 ; 3: 675; 4: 50; 5: 60; 6: 400; 7: 600; 8: 300; 9: 80; 0: 5; : 00; : 440; 3: 400; 4: 300; 5: 5; 6: 8; 7: 0; 8: 5; 9: 0, ; 30: 300; 3: 75; 3: 5; 33: 00; 34: 900; 35: 350; 36: 350; 37: 5; 38: 700; 39: 90; 40: 30; 4: 300; 4: 000; 43: 8 i= ; 44: 0 i=0 (4 + 7i); 45: 9 i= 0i; 46: 0 i=5 i ; 47: 0 k= 0 k k ; 48: 3 i=0 j= +5i j ; 49: 3 3 q= p= pq; 50: 4 n n= m= nm; II Granice ciągów 5: ; 5: ; 53: ; 54: ; 55: 6; 56: 4; 57: ; 58: 3; 59: ; 60: ; 6: 0; 6: 7; 63: ; 64: 3 ; 65: ; 66: 3; 67: ; 68: 6 5 ; 69: 0; 70: ; 7: nie istnieje; 7: ; 73: ; 74: ; 75: 3; 76: ; 77: 0; 78: ; 79: 0; 80: 5 ; 8: 5; 8: 3; 83: 4; 84: 0; 85: 6; 86: ; 87: 5; 88: 0; 89: 4; 90: ; 9: nie istnieje; 9: ; 93: ; 94: 9; 95: ; 96: 0; 97: ; 98: ; 99: nie istnieje; 00: -3; 0: ; III Granice funkcji 0: 5; 03: nie istnieje; 04: nie istnieje; 05: 7; 06: nie istnieje; 07: ; 08: nie istnieje; 09: nie istnieje; 0: nie istnieje; : nie istnieje; : ; 3: 4; 4: 40; 5: -7; 6: 60; 7: ; 8: 3; 9: 6; 0: 3; : 3; : ; 3: 5 ; 4: 4; 5: ; 6: ; 7: 3; 8: ; 9: 3 ; 30: nie istnieje; 3: nie istnieje; 3: ; 33: ; 34: 3 ; 35: ; 36: 5 3 ; 37: nie istnieje; 38: ; 39: 7; 40: nie istnieje; 4: nie istnieje; 4: 9; 43: ; 44: 3; 45: 4; 46: -0; 47: ; 48: ; 49: e; 50: 0; 5: 0; 5: nie istnieje; 53: nie istnieje; 54: ; 55: ; 56: ; 57: 0; 58: nie istnieje; 59: ; 60: 0; 6: nie istnieje; 6: 3 ; 63: nie istnieje; 64: ; 65: nie istnieje; 66: ; 67: ; 68: nie istnieje; 69: ; 70: e; 7: 5; 7: 3 ; 73: 4 ; 74: ; 75: ; 76: 0; 77: ; 78: e0 ; 79: e; 80: e; 8: ; 8: ; 83: ; IV Ciągłość funkcji 84: = 3; 85: = 5; 86: nie ma punktów nieciągłości; 87: = 7 i = 7; 88: = ; 89: = i = ; 90: nie ma punktów nieciągłości; 9: = 3; 9: a = 0; 93: a = 4; 94: a = 4; 95: a = 9; V Pochodne 96: 0; 97: 3 ; 98: 0 4 ; 99: 3 ; 00: 6 5 ; 0: 7 ; 0: 06: 5( e ); 07: 4 ; 08: ; 09: ; 0: 3+ ; : + ln ; 4: cos sin ; 5: e ( + ) + ; 6: 0: - sin + ; : ( +) ; 4 sin cos ; 8: + + ; : 6(3 + ) (3 +) ; 3: 9: sin cos cos sin ; 34: 6(+) ; 35: ( + ) e ; 36: 3 ( ; 37: + ) e e (e +) ; 4: (+) ; 43: e (e ) ; 44: e ; 45: 4 ( +) ; 5: 3 + ; 53: e + e ; 54: ; 03: π sin ; 04: 3 ; 05: cos + sin ; 3 (0 + 3); : 5 + ; 3: ( + )e 4 ; 7: (+) ; 8: ( +) ; 9: (3+) ; ln e ; 4: e ; 5: π sin( π ); 6: 3 ( 4 + ) 4 ; 7: e / 30: ; 3: (cos sin ); 3: ; 33: ; 3 (+) ; 38: 3+ + ; 39: ( ) ; 40: 3 ; 4: 3 tg cos ; 46: 3 ; 47: ; 48: e ; 49: 4e ; 50: ln ; 5: ; 55: 0; 56: 3 + ; 57: ; 58: ; + ln( ) 59: ln( ) + ; 60: 4 ln( ) e ; 6: e + ; 6: ; 63: ; 64: ; 65: ; 66: ; 67: + ; 68: e ; 69: + ln ln ln ln ; 70: z ln ; 7: 0; 7: ; 73: ; VI Ekstrema funkcji jednej zmiennej 74: ma: 3 ; 75: nie ma; 76: ma: 3, min: 3; 77: ma: 4 9, min: 4 9 ; 78: ma:, min: ; 79: ma: 5, min: 5 ; 80: ma: 4 3, min: 4 3 ; 8: ma: +, min: ; 8: ma: 0, min: 7 i 7; 83: ma:, min: 7; 84: ma: + 3 3, min: 3 3; 85: min: ; 86: min: 0; 87: min: 3; 88: ma:, min: 0; 89: ma: 3 i 3, min: 0; 90: min: ; 9: ma: 4 ; 9: min: ; 93: min: 3 ; 94: ma: 0; 95: min: 3 ; 96: nie ma; 97: min: ;

13 VII Zastosowanie ekonomiczne pochodnej 98: E f (0,5) = ; 99: E f () = 5; 300: K k () = 3 3 ; 30: K k () = ; VIII Matematyka finansowa 30: 5 lat; 303: 0 lat; 304: 6 lat; 305: 0 miesięcy; 306: ,5; 307: ,40; 308: po 4 latach; 309: 6 lat; 30: 0 miesięcy; 3: 089,7; 3: 4 735,80; 33: 6 69,98; 34: 3 985,39; 35: 94,7; 36: 63,; 37: 36,8; 38: ,60; 39: 77 9,43; 30: ,9; 3: ,7; 3: ,5; 33: 67 03,73; 34: 4 039,4; 35: ,99; 36: 7 35,79; 37: ,9; 38: nie; 39: tak; 330: tak; 33: tak; 33: nie; 333: tak; 334: nie; 335: tak; 336: tak; 337: nie; 338: tak; 339: 5 68,95; 340: 96,; 34: 5695,8; 34: 756,6; 343: 9 073,58; 344: 904,90; 345: 0,99; 346: 94,88; 347: 4 67,9; 348: 63 69,83; 349: 36 8,6; 350: 4 05,03; 35: 3 89,80; 35: 3 34,3; 353: 3 5,00; 354: 8,8%; 355: 4,5%; 356: 8,0%; Rata Kapitał Kapitał Odsetki Rata Rata Kapitał Kapitał Odsetki Rata 357: (a) 7 700, ,6 39, ,6, (b) 7 700, ,00 39, ,00 ; 94, ,0 853, ,6 800, ,00 86, , , ,38 44, , , ,00 43, ,00 Rata Kapitał Kapitał Odsetki Rata Rata Kapitał Kapitał Odsetki Rata 4 600, ,98 30, , , ,00 30, ,00 358: (a) 0 48, ,58 007, ,98, (b) 9 680, ,00 984, ,00 ; , ,3 773, , , ,00 738, , ,3 5 53,7 58,6 5 68, , ,00 49,00 5 4, ,4 5 4,4 70, , , ,00 46, ,00 Rata Kapitał Kapitał Odsetki Rata Rata Kapitał Kapitał Odsetki Rata 500,00 356,60 500,00 856,60 500,00 56,50 500,00 06,50 43,40 40,86 445,74 856, ,50 56,50 437,50 000,00 359: (a) ,54 467,30 389,30 856, ,00 56,50 375,00 937,50, (b) ,4 55,99 330,6 856, ,50 56,50 3,50 875,00 ; ,6 587,03 69,57 856, ,00 56,50 50,00 8, ,3 650,5 06,09 856, ,50 56,50 87,50 750, ,7 76,53 40,07 856, ,00 56,50 5,00 687, ,9 785,9 7,4 856, ,50 56,50 6,50 65,00 Rata Kapitał Kapitał Odsetki Rata Rata Kapitał Kapitał Odsetki Rata 8 700,00 706,58 40,60 747, ,00 75,00 40,60 765, ,4 709,88 37,30 747, ,00 75,00 37, 76, ,54 73,9 33,99 747, ,00 75,00 33,83 758, ,35 76,5 30,66 747, ,00 75,00 30,45 755,45 360: (a) ,84 79,86 7,3 747, ,00 75,00 7,07 75,07, (b) ,98 73, 3,96 747, ,00 75,00 3,68 748,68 ; ,75 76,60 0,58 747, ,00 75,00 0,30 745, ,6 79,99 7,9 747, ,00 75,00 6,9 74, ,7 733,39 3,79 747, ,00 75,00 3,53 738,53 0 0,78 736,8 0,36 747,8 0 75,00 75,00 0,5 735,5 483,96 740,5 6,93 747,8 450,00 75,00 6,77 73,77 743,7 743,7 3,47 747,8 75,00 75,00 3,38 78,38 3