2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11

Save this PDF as:
Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11"

Transkrypt

1 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X jeśli: (i) Dla każdego i I mamy A i ; (ii) A i A j = dla i j, i, j I; (ii) i I A i = X. Jeśli zbiór indeksów I jest zbiorem skończonym (przeliczalnym) to rodzinę {A i } i I nazywamy wtedy rozbiciem skończonym (przeliczalnym) zbioru X. Najprostszymi przykładami rozbicia zbioru X są rodziny: {X} czy też {A, A }, jeśli A i A X. Definicja 2.1 Niepustą rodzinę A 2 X nazywamy algebrą (ciałem) zbiorów (w skrócie algebrą, ciałem) jeśli: (i) A; (ii) A A A A; (iii) A, B A A B A. Przykład 2.2 Przykładami algebry zbiorów są m.in. (a) A = {, X}, A = 2 X ; (b) Jeśli A X i A X to rodzina A = {A, A,, X} jest algebrą; (c) Jeśli rodzina zbiorów {A i } i I 2 X jest rozbiciem zbioru X, wtedy rodzina { } A = : J I { } jest algebrą. i J A i Bezpośrednio z definicji algebry zbiorów dostajemy następujące własności algebr zbiorów Lemat 2.3 Niech A 2 X będzie algebrą. Wtedy (i) X A; (ii) A, B A A B A; (iii) A, B A A \ B A ;

2 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz (iv) Niech n 1. Wtedy A i A, i = 1, 2,..., n n A i, n A i A. Definicja 2.4 Niepustą rodzinę A 2 X nazywamy σ-algebrą (σ-ciałem) zbiorów (w skrócie σ - algebrą, σ - ciałem) jeśli: (i) A; (ii) A A A A; (iii) A i A, i 1 A i A. Jeśli rodzina A 2 X jest σ-algebrą to parę (X, A) nazywamy przestrzenią mierzalną, a elementy A zbiorami mierzalnymi. Przykład 2.5 Przykładami σ-algebry zbiorów są m.in. (a) A = {, X}, A = 2 X ; (b) Każda skończona algebra zbiorów jest σ-algebrą; (c) Jeśli rodzina zbiorów {A i } i I 2 X jest rozbiciem zbioru X, wtedy rodzina { } A = : J I { } jest σ-algebrą; (d) Niech #(X) =. Wtedy jest σ-algebrą. i J Lemat 2.6 Niech A 2 X σ-algebrą. Wtedy (i) X A; (ii) A, B A A \ B A; (iii) A i A, i = 1, 2,... A i A; A i A = {A X : A IN A IN } (iv) Niech n 1. Wtedy (A i A, i = 1, 2,..., n n A i, n A i A).

3 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Twierdzenie 2.7 Jeśli {A i } i I jest rodziną algebr (σ-algebr) to jest algebrą (σ-algebrą). Definicja 2.8 Niech C 2 X będzie rodziną podzbiorów X. Oznaczmy i I A i α(c) = {A : C A, A algebra} σ(c) = {A : C A, A σ-algebra}. Algebrę α(c) (σ-algebrę σ(c)) nazywamy algebrą (σ-algebrą) generowaną przez rodzinę C. Uwaga. Z twierdzenia 2.7 wynika, że algebra α(c) (σ-algebra σ(c)) jest najmniejszą algebrą (σ-algebrą) zawierającą C tzn. jeśli F jest algebrą (σ-algebrą) i C F to α(c) F (σ(c) F). Rownież z powyższej definicji otrzymujemy natychmiast: (i) Jeśli C jest algebrą (σ-algebrą) to α(c) = C (σ(c) = C); (ii) α(α(c)) = α(c); (iii) σ(σ(c)) = σ(c); (iv) C 1 C 2 2 X α(c 1 ) α(c 2 ) σ(c 1 ) σ(c 2 ). Poznamy teraz definicję szczególnej σ-algebry. Definicja 2.9 Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną, a O rodziną wszystkich zbiorów otwartych w tej przestrzeni. Wtedy σ-algebrę generowaną przez rodzinę zbiorów otwartych O nazywamy σ-algebrą borelowską i oznaczamy symbolem B(X). Elementy B(X) nazywamy zbiorami borelowskimi. Z definicji 2.8 i 2.9 wynika, że B(X) = σ(o). Wniosek 2.10 Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną, a D rodziną wszystkich zbiorów domkniętych w tej przestrzeni. Wtedy B(X) = σ(d). Dowód. Zachodzą następujące implikacje: D σ(o) σ(d) σ(σ(o)) = σ(o); O σ(d) σ(o) σ(σ(d)) = σ(d). Zatem σ(o) = σ(d).

4 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Twierdzenie 2.11 Każdy niepusty otwarty zbiór w IR d jest przeliczalną sumą kul otwartych. Dowód. Niech A IR d będzie zbiorem otwartym. Dla q A Q d oznaczmy n q = inf{n IN : K(q, 1/n) A} Zauważmy, że dla n n q mamy zawieranie K(q, 1/n) A. Wykażemy, że (2.1) A = ( q, 1 ) n K q A Q d n n q Zawieranie " "jest oczywiste. W drugą stronę niech x A. Z otwartości zbioru A istnieje 0 < r < 1 takie, że K(x, r) A. Niech n IN będzie taką liczbą naturalną, że (2.2) Z gęstości Q d w IR d wynika, że (2.3) 1 n + 1 r 3 < 1 n. q A Q d q x < r 3. Stąd K(q, 1/n) K(x, r). Rzeczywiście, niech y K(q, 1/n) tzn. y q < 1/n. Wtedy z (2.2) i nierówności trójkąta otrzymujemy y x y q + q x < 1 n + r 3 2 n r 3 2r 3 + r 3 = r. czyli y K(x, r). Z udowodnionego zawierania K(q, 1/n) K(x, r) oraz z (2.2) i (2.3) otrzymujemy ( x K q, 1 ) K(x, r) A. n Stąd n n q oraz Co kończy dowód (2.1). Twierdzenie 2.12 Niech x K q A Q d m n q ( q, 1 ). m Wtedy C = {K(a, r) : a IR d, r > 0}, K = {A IR d : A-zwarty }. σ(c) = σ(k) = B(IR d ).

5 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Dowód. Wykażemy najpierw równość (2.4) σ(c) = B(IR d ). Jest oczywiste, że C B(IR d ). Zatem σ(c) B(IR d ). W drugą stronę. Z twierdzenia 2.11 wynika, że O σ(c). A stąd B(IR d ) σ(c). Co kończy dowód równości (2.4). Przejdziemy teraz do dowodu równości (2.5) σ(k) = B(IR d ). Zawieranie σ(k) B(IR d ) wynika z Wniosku 2.10 i z tego, że zbiór zwarty jest zbiorem domkniętym. W drugą stronę korzystając z tego samego Wniosku wystarczy pokazać, że D σ(k) (D - rodzina wszystkich zbiorów domkniętych w IR d ). Niech F D. Wtedy F = F K[0, n], n=1 gdzie K[0, n] jest kulą domkniętą o środku w 0 i promieniu n. Ponieważ przekrój F K[0, n] jest zbiorem zwartym, wiec F σ(k). Stąd D σ(k) co kończy dowód (2.5). Uwaga. W Twierdzeniu 2.12 zamiast rodziny C kul otwartych można rozważać rodzinę przedziałów otwartych (a, b), a, b IR d albo rodzinę przedziałów domkniętych [a, b], a, b IR d czy też rodzinę przedziałów jednostronnie domkniętych (prawostronnie albo lewostronnie) i teza twierdzenia będzie nadal prawdziwa. 2.2 Klasy monotoniczne i inne rodziny zbiorów Definicja 2.13 Niepustą rodzinę A 2 X nazywamy klasą monotoniczną jeśli spełnia ona warunki: (i) A i A, i 1 oraz A 1 A 2... (ii) A i A, i 1 oraz A 1 A 2... A i A; A i A. Zauważmy, że każda σ-algebra jest klasą monotoniczną. Ponadto z powyższej definicji łatwo wynika, że przekrój dowolnej ilości klas monotonicznych jest klasą monotoniczną. Stąd dla dowolnej rodziny C 2 X możemy określić klasę monotniczną generowaną przez rodzinę C m(c) = {A : C A, A - klasa monotoniczna}. Jest to najmniejsza klasa monotoniczna zawierająca rodzinę C. Podane poniżej własności wynikają łatwo z definicji m(c).

6 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz (i) Jeśli C jest klasą monotoniczną to m(c) = C ; (ii) m(m(c)) = m(c); (iii) C 1 C 2 2 X m(c 1 ) m(c 2 ). Stwierdzenie 2.14 Jeśli algebra A 2 X jest klasą monotoniczną to jest również σ- algebrą. Dowód. Trzeba pokazać, że (2.6) A i A, i 1 Ale (2.7) oraz B n = A i = n A i n=1 n+1 A i A. n A i = Stąd, z (2.7) i z definicji klasy monotonicznej mamy co kończy dowód (2.6). A n = n=1 n=1 B n A i = B n+1 A, n 1. B n A, n=1 Twierdzenie 2.15 Jeśli rodzina A 2 X jest algebrą to (2.8) σ(a) = m(a). Dowód. Ponieważ σ(a) jest klasą monotoniczną (zawierającą A), więc σ(a) m(a). Aby udowodnić zawieranie σ(a) m(a) wystarczy na mocy Stwierdzenia 2.14 wykazać, że m(a) jest algebrą. Co też teraz zrobimy. Ponieważ A jest algebrą, więc A m(a). Załóżmy, że A m(a). Udowodnimy, że A m(a). W tym celu określmy rodzinę C = { F m(a) : F m(a) }. Jest oczywiste, że A C. Wykażemy, że C jest klasą monotoniczną. Niech A i C dla i 1 i niech A i A i+1, i 1. Wtedy z definicji C mamy A i m(a) A i m(a) oraz A i+1 A i, i 1.

7 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Z definicji klasy monotonicznej A i m(a) oraz ( ) A i = A i m(a). Zatem A i C. Podobnie, jeśli A i C dla i 1 i A i A i+1, i 1. Wtedy z definicji C mamy A i m(a) A i m(a) oraz A i A i+1, i 1. Znowu z definicji klasy monotonicznej otrzymujemy A i m(a) oraz ( ) A i = A i m(a). Zatem A i C, czyli C jest klasą monotoniczną. Ponieważ A C m(a) więc m(a) m(c) m(a). Mając na uwadze, że C = m(c) (bo C jest klasą monotoniczną) dostajemy C = m(a) co daje, że A m(a). Pozostała nam do wykazania implikacja Dla ustalonego A A określmy Łatwo zauważyć, że (i) A C A ; (ii) C A jest klasą monotoniczną. A, B m(a) A B m(a). C A = { B m(a) : A B m(a) }. Zatem na podstawie podobnego rozumowania jak powyżej dostajemy (2.9) C A = m(a), dla A A. Niech teraz A m(a). Podobnie jak powyżej określmy Zauważmy, że (i) A C A (co wynika z (2.9)); (ii) C A jest klasą monotoniczną. C A = { B m(a) : A B m(a) }.

8 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Zatem C A = m(a), dla A m(a) tzn. wykazaliśmy, że gdy A, B m(a) to A B m(a). Wykazaliśmy więc, że m(a) jest algebrą, co kończy dowód twierdzenia. Definicja 2.16 Niepustą rodzinę A 2 X nazywamy π-układem jeśli A, B A A B A. Definicja 2.17 Niepustą rodzinę A 2 X nazywamy λ-układem jeśli (i) X A; (ii) A, B A, A B B \ A A; (iii) A i A, A i A i+1, i 1 A i A Stwierdzenie 2.18 Niepusta rodzina A 2 X jest σ-algebrą wtedy i tylko wtedy, gdy jest π-układem i λ-układem. Dowód. Jeśli A jest σ-algebrą to jest oczywiste, że jest też π-układem i λ-układem. W drugą stronę. Załóżmy, że A jest π-układem i λ-układem. Z definicji λ-układu (punkt (i) i (ii)) wynika, że A jest zamknięta na dopełnienia, a ponieważ A jest też π-układem, wiec jest zamknięta na skończone przekroje. Jest oczywiste, że A. Zatem A jest algebrą. Powtarzając teraz dowód Stwierdzenia 2.14 dostajemy, że A jest σ-algebrą. Korzystając z definicji λ-układu łatwo zauważyć, że przekrój dowolnej ilości λ-układów jest λ-układem. Zatem możemy wprowadzić definicję Definicja 2.19 Niech C 2 X będzie rodziną podzbiorów X. Oznaczmy λ(c) = { A : C A, A λ-układem}. Rodzinę λ(c) nazywamy λ-układem generowanym przez rodzinę C. Jest to najmniejszy λ-układ zawierający rodzinę C. Ponadto mamy (i) Jeśli C jest λ-układem to λ(c) = C ; (ii) λ(λ(c)) = λ(c); (iii) C 1 C 2 2 X λ(c 1 ) λ(c 2 ).

9 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Twierdzenie 2.20 Jeśli C 2 X jest π-układem to (2.10) λ(c) = σ(c). Dowoód. Na mocy Stwierdzenia 2.18 każda σ-algebra jest λ-układem, więc λ(c) σ(c). W drugą stronę. Zauważmy, że wystarczy wykazać, że λ(c) jest π-układem, bo wtedy ze Stwierdzenia 2.18 λ(c) jest σ-algebrą, co da zawieranie σ(c) λ(c). Niech F C. Określmy C F = { A λ(c) : A F λ(c) }. Zauważmy, że (a) C C F ; (b) C F jest λ-układem. Rzeczywiście, punkt (a) jest oczywisty, punkt (b) sprawdzamy następująco: (i) X C F, bo X λ(c) X F = F C λ(c). (ii) Niech A, B C F oraz A B. Wtedy A λ(c) A F λ(c), B λ(c) B F λ(c) Ponieważ λ(c) jest λ-układem, więc B \ A λ(c). Ponadto bo A F B F. Zatem B \ A C F. (B \ A) F = B F \ A F λ(c), (iii) Niech A i C F, A i A i+1, i 1. Wtedy A i F λ(c) dla każdego F C oraz A i F A i+1 F dla i 1. Mamy A i λ(c) oraz ( ) A i F = (A i F ) λ(c). Tak więc C F jest λ-układem. Ponieważ C C F λ(c), więc λ(c) λ(c F ) λ(λ(c)) = λ(c). Stąd i z tego, że λ(c F ) = C F dostajemy C F = λ(c). Z dowolności F C mamy, że λ(c) jest zamknięta na przekroje z elementami z C. Niech teraz F λ(c). Określmy Zauważmy, że C F = { A λ(c) : A F λ(c) }.

10 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz (a) C C F (co wynika poprzedniego rozumowania); (b) C F jest λ-układem. Rozumując podobnie jak powyżej dostajemy C F = λ(c) czyli λ(c) jest π-układem i twierdzenie mamy udowodnione. 2.3 Zadania Zad. 1. Niech A 2 X będzie niepustą rodziną podzbiorów X taką, że (i) A; (ii) A A A A; (iii) A, B A A B A. Sprawdzić, czy A jest algebrą. Zad. 2. Niech A 2 X będzie niepustą rodziną podzbiorów X taką, że (i), X A; (ii) A, B A A \ B A. Sprawdzić, czy A jest algebrą. Zad. 3. Niech A 2 X będzie algebrą. Wykazać, że (i) X A; (ii) A, B A A B A; (iii) A, B A A \ B A; (iv) Niech n 1. Wtedy A i A, i = 1, 2,..., n n A i, n A i A. Zad. 4. Wykazać, że jeśli rodzina zbiorów {A i } i I 2 X jest rozbiciem zbioru X, wtedy rodzina { } A = : J I { } jest algebrą. i J A i Zad. 5. Niech A 2 R będzie dana wzorem A = {(a, b], (c, ) : a b <, c IR}. Wykazać, że { F = i I A i } : #(I) <, A i A, i I

11 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz jest algebrą, gdzie sumy mnogościowe występujące w definicji rodziny F są rozłączne. Zad. 6. Niech rodzina F podzbiorów X zawiera zbiór pusty, jest zamknięta na dopełnienia zbiorów oraz jest zamknięta na skończone rozłączne sumy. Czy F musi być algebrą? Zad. 7. Niech A 2 X będzie σ-algebrą. Wykazać, że (i) A jest algebrą; (ii) A i A, i = 1, 2,... A i A; Zad. 8. Wykazać, że (a) Każda skończona algebra zbiorów jest σ-algebrą; (b) Jeśli rodzina zbiorów {A i } i I 2 X jest rozbiciem zbioru X, wtedy rodzina { } A = : J I { } jest σ-algebrą. i J A i Zad. 9. Niech X = IR. Rozważmy rodzinę zbiorów G n = {F IR : [0, n] F albo F [0, n] = }, n 1. Wykazać, że G n jest σ-algebrą dla każdego n 1. Sprawdzić, czy G n+1 G n dla dowolnego n 1. Wyznaczyć n=1 G n. Zad. 10. Niech A 2 X będzie σ-algebrą (algebrą) i niech Y X będzie niepustym zbiorem. Wykazać, że A Y = { A Y : A A} jest σ-algebrą (algebrą) w Y. Zad. 11. Niech F 2 X będzie niepustą rodziną podzbiorów X i niech A F. Wykazać, że σ(a F) = A σ(f), gdzie A F = {A F : F F}. Zad. 12. Niech A 2 X będzie σ-algebrą taką, że A 2 X i niech F / A. Wykazać, że G = { (A F ) (B F ) : A, B A }. jest σ-algebrą oraz udowodnić równość G = σ(a {F }).

12 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Zad. 13. Niech (Y, B) przestrzeń mierzalna oraz niech dane będzie odwzorowanie f : X Y. Wykazać, że rodzina zbiorów f 1 (B) := {f 1 (F ) : F B} jest σ-algebrą w X. Czy jeśli A jest σ-algebrą na X, to f(a) := {f(d) : D A} musi być σ-algebrą w Y? Zad. 14. Niech X = (0, 1] oraz niech rodzina A podzbiorów X składa się ze zbiorów, które są skończonymi i rozłącznymi sumami przedziałów postaci (a, b], gdzie 0 < a b 1. Wykazać, że A jest algebrą w X. Czy jest σ-algebrą? Zad. 15. Niech A 1 A X będzie ciągiem algebr. Wykazać, że A = n=1 jest algebrą. Jeśli algebry zastąpimy σ-algebrami to czy w tezie też otrzymamy σ-algebrę? Rozważyć przykład: Niech X = (0, 1]. Dla każdego n 1 określmy rozbicie X wzorem Niech G n = { A n = i I {( k 1 2 n, k 2 n ] F i A n : k = 1, 2,..., 2 n}. } : #(I) <, F i G n, i I { }. Wykazać, że A n+1 A n dla n 1. Określmy dla n 1 B n = ( 2 n 2 2 n, 2n 1 ] 2 n A n. Obliczyć B = n=1 B n. Sprawdzić, czy B n=1 A n. Zad. 16. Niech A 2 X będzie algebrą. Wykazać, że (a) Algebra A jest σ-algebrą dla każdego ciągu {A n } n 1 A, lim sup n A n A, (b) Algebra A jest σ-algebrą dla każdego ciągu {A n } n 1 A, lim inf n A n A, gdzie lim sup n = k=1 n=k A n oraz lim inf n = k=1 n=k A n. Zad. 17.Niech X będzie zbiorem nieprzeliczalnym. Niech A 2 X będzie rodziną podzbiorów X, które są co najwyżej przeliczalne, albo ich dopełnienie jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym. Wykazać, że A jest σ-algebrą generowaną przez rodzinę {{x} : x X}. Zad. 18. Niech X będzie zbiorem zawierającym nieskończenie wiele elementów. Niech A 2 X będzie rodziną podzbiorów X, które albo zawierają skończoną ilość elementów, albo ich dopełnienie zawiera skończoną liczbę elementów. Wykazać, że A jest algebrą ale nie jest σ-algebrą. Wyznaczyć σ(a).

13 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Zad. 19. Niech F 2 X będzie filtrem tzn. niepustą rodziną podzbiorów X taką, że (i) F; (ii) A, B F A B F; (iii) A F A B B F; Wykazać, że każdy filtr jest zawarty w pewnym filtrze maksymalnym (ze względu na relację " "). Filtry maksymalne nazywamy ultrafiltrami. Zad. 20. Wykazać, że filtr F jest ultrafiltrem wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego A X dokładnie jeden ze zbiorów A, A c należy do F. Zad. 21. Niech A 2 X będzie algebrą. Niech {A n } n 1 A. Wykazać, że istnieje ciąg {B n } n 1 A parami rozłączny taki, że A n = n=1 B n. n=1 Zad. 22. Niech X = IR. Określmy rodziny podzbiorów IR: Wykazać, że C 1 = { (a, b) : a, b IR}, C 3 = { (a, b] : a, b IR}, C 5 = { [a, + ) : a IR}, C 7 = { (, b] : b IR}, C 2 = { [a, b) : a, b IR}, C 4 = { [a, b] : a, b IR}, C 6 = { (a, + ) : a IR}, C 8 = { (, b) : b IR}. (1) σ(c 1 ) = σ(c 2 ) = σ(c 3 ) = σ(c 4 ) = σ(c 5 ) = σ(c 6 ) = σ(c 7 ) = σ(c 8 ) = B(IR). Czy zastępując w definicji rodzin od C 1 do C 8 zbiór liczb rzeczywistych IR przez zbiór liczb wymiernych Q równości (1) pozostaną prawdziwe? Zad. 23. Niech X = IR. borelowski. Wykazać, że każdy co najwyżej przeliczalny podzbiór X jest Zad. 24. Niech A i B będą niepustymi podzbiorami X takimi, że A B =. Rozważmy przestrzenie mierzalne (A, A) i (B, B). Przyjmijmy F = A B oraz F = {C D : C A, D B}. Wykazać, że (F, F) jest przestrzenią mierzalną. Zad. 25. Niech IR = [, + ]. Oznaczmy B(IR) = {A F : A B(IR) }, gdzie F {, { }, {+ }, {, + } }. Wykazać, że B(IR) jest σ - algebrą.

14 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Zad. 26. Niech X = [0, ), A = B([0, )). Oznaczmy F t = {A A : (t, ) A albo (t, ) A = }, t 0, G t = {A A : [t, ) A albo [t, ) A = }, t 0. Wykazać, że dla każdego t 0 rodziny zbiorów F t i G t są σ - algebrami. Obliczyć oraz G t. F t t>0 t>0 Zad. 27. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Niech C 2 X będzie rodziną podzbiorów taką, że: (i) C zawiera wszystkie zbiory domknięte; (ii) A C A C; (iii) Jeśli {A n } n 1 jest ciągiem zstępującym zbiorów z C to również n=1 A n C. Wykazać, że B(X) C. Zad. 28. Niech A 2 X będzie σ-algebrą o skończonej ilości elementów. Wykazać, że A jest generowana przez pewne rozbicie X. Zad. 29. Niech A 2 X będzie σ-algebrą taką, że #(A) =. Wykazać, że istnieje ciąg {B n } n 1 A (B n, n 1) parami rozłączny. Zad. 30. Niech A 2 X będzie σ-algebrą. Wykazać, że A IN. Zad. 31. Niech A i, i I będą klasami monotonicznymi. Wykazać, że i I A i jest klasą monotoniczną. Zad. 32. Niech D i, i I będą λ-układami. Wykazać, że i I D i jest λ-układem. Zad. 33. Wykazać, że rodzina D podzbiorów X jest λ-układem wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera X, jest zamknięta na dopełnienia zbiorów oraz jest zamknięta na przeliczalne rozłączne sumy.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

Teoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1

Teoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1 Teoria miary Matematyka, rok II Wykład 1 NAJBLIŻSZY CEL: Nauczyć się mierzyć wielkość zbiorów. Pierwsze przymiarki: - liczność (moc) zbioru - słabo działa dla zbiorów nieskończonych: czy [0, 1] powinien

Bardziej szczegółowo

Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.

Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X. 1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X

Bardziej szczegółowo

7 Twierdzenie Fubiniego

7 Twierdzenie Fubiniego M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz

Bardziej szczegółowo

Teoria miary i całki

Teoria miary i całki Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane

Bardziej szczegółowo

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista. Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp

Bardziej szczegółowo

G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28

G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie

Bardziej szczegółowo

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. 3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X

Bardziej szczegółowo

Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5

Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5 Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

Zadania do Rozdziału X

Zadania do Rozdziału X Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój. Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne.

7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. 7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. Funkcję rzeczywistą µ nieujemną określoną na ciele zbiorów S będziemy nazywali miarą, gdy dla dowolnego ciągu A 0, A 1,... zbiorów rozłącznych należących

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych

Bardziej szczegółowo

Robert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki

Robert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń

Bardziej szczegółowo

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013 Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji f : R R

Ciągłość funkcji f : R R Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018

Prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018 Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy

Bardziej szczegółowo

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P, Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych

Bardziej szczegółowo

1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji.

1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. 1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. Zbiór X będziemy nazywali uporządkowanym, jeśli określona jest relacja zawarta w produkcie kartezjańskim X X, która jest spójna, antysymetryczna i przechodnia.

Bardziej szczegółowo

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia

Bardziej szczegółowo

zbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy

zbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy 5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzenie Hilberta

1 Przestrzenie Hilberta M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 1 1 Przestrzenie Hilberta 1.1 Podstawowe fakty o przestrzeniach Hilberta Niech H będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Określmy odwzorowanie,

Bardziej szczegółowo

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.

Bardziej szczegółowo

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne

Bardziej szczegółowo

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?

Bardziej szczegółowo

1 Elementy analizy funkcjonalnej

1 Elementy analizy funkcjonalnej M. Beśka, Dodatek 1 1 Elementy analizy funkcjonalnej 1.1 Twierdzenia o reprezentacji Zaczniemy od znanego twierdzenia Riesza Twierdzenie 1.1 (Riesz) Niech będzie zwartą przestrzenią metryczną i załóżmy,

Bardziej szczegółowo

Elementy Teorii Miary i Całki

Elementy Teorii Miary i Całki Elementy Teorii Miary i Całki c Lech Drewnowski Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. dama Mickiewicza w Poznaniu Poznań 2008 http://main2.amu.edu.pl/ drewlech/dydaktyka.html http://main2.amu.edu.pl/

Bardziej szczegółowo

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów 1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i

Bardziej szczegółowo

LX Olimpiada Matematyczna

LX Olimpiada Matematyczna LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1

Bardziej szczegółowo

(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α

(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α FUNKCJE BORELOWSKIE Rodzinę F podzbiorów zbioru X (tzn. F X) będziemy nazywali ciałem gdy spełnione są warunki: (1) Jeśli zbiór Y F, to dopełnienie X \ Y też należy do rodziny F. (2) Jeśli S F jest skończoną

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 1 Jacek M. Jędrzejewski Wstęp W naszym konspekcie będziemy stosowali następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych dodatnich, N 0 zbiór liczb naturalnych (z zerem),

Bardziej szczegółowo

Informacja o przestrzeniach Hilberta

Informacja o przestrzeniach Hilberta Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

Weronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x))

Weronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x)) Weronika Siwek, Metryki i topologie 1 Definicja 1. Załóżmy, że X, ρ: X X [0, ). Funkcja ρ spełnia następujące warunki: 1. x,y X (ρ(x, y) = 0 x = y) 2. 3. (ρ(x, y) = ρ(y, x)) x,y X (ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z,

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Rozważmy eksperymenty 1 gra Bolka w ruletkę w kasynie;

Bardziej szczegółowo

f(t) f(x), D f(x) = lim sup t x oraz D f(x) = lim inf

f(t) f(x), D f(x) = lim sup t x oraz D f(x) = lim inf 9. Różniczkowanie. Jeśli f jest funkcją rzeczywistą, to granice D + f(x) = lim sup t x + f(t) f(x), D f(x) = lim sup t x t x f(t) f(x), t x f(t) f(x) f(t) f(x) D + f(x) = lim inf oraz D f(x) = lim inf

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. 1. Relacje

Matematyka dyskretna. 1. Relacje Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli

Bardziej szczegółowo

Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).

Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. 1. Ciągi

Analiza matematyczna. 1. Ciągi Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo

Metoda kategorii Baire a w przestrzeniach metrycznych zupełnych

Metoda kategorii Baire a w przestrzeniach metrycznych zupełnych Metoda kategorii Baire a w przestrzeniach metrycznych zupełnych Michał Czapek michal@czapek.pl www.czapek.pl 8 IX AD MMXIII Streszczenie Celem pracy jest zaprezentowanie jednej z metod dowodzenia istnienia

Bardziej szczegółowo

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,

Bardziej szczegółowo

MNRP r. 1 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa (wykład) Grzegorz Kowalczyk

MNRP r. 1 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa (wykład) Grzegorz Kowalczyk MNRP 18.03.2019r. Grzegorz Kowalczyk 1 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa (wykład) Definicja (σ - ciało) Niech Ω - dowolny zbiór. Rodzinę F P (Ω), gdzie P (Ω) jest rodziną wszystkich podzbiorów

Bardziej szczegółowo

1 Ciągłe operatory liniowe

1 Ciągłe operatory liniowe 1 Ciągłe operatory liniowe Załóżmy, że E, F są przestrzeniami unormowanymi. Definicja 1.1. Operator liniowy T : E F nazywamy ograniczonym, jeżeli zbiór T (B) F jest ograniczony dla dowolnego zbioru ograniczonego

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory i działania na zbiorach.

1 Zbiory i działania na zbiorach. Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu

Bardziej szczegółowo

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to

Bardziej szczegółowo

Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej

Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,

Bardziej szczegółowo

Wykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej

Wykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E

Bardziej szczegółowo

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka

Bardziej szczegółowo

Uwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów.

Uwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów. Logika i teoria mnogości Wykład 11 i 12 1 Moce zbiorów Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y są równoliczne (X ~ Y), jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy, że ustala równoliczność

Bardziej szczegółowo

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;

Bardziej szczegółowo

Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne.

Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii

Przestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii Zjazd 2 Przestrzenia metryczna (X, d) nazywamy parę złożona ze zbioru X i funkcji d : X X R, taka, że 1 d(x, y) 0 oraz d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y, 2 d(x, y) = d(y, x), 3 d(x, z) d(x, y)

Bardziej szczegółowo

Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń

Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 22 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Dekompozycje prostej rzeczywistej

Dekompozycje prostej rzeczywistej Dekompozycje prostej rzeczywistej Michał Czapek michal@czapek.pl www.czapek.pl 26 X AD MMXV Streszczenie Celem pracy jest zwrócenie uwagi na ciekawą różnicę pomiędzy klasami zbiorów pierwszej kategorii

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum. 17 lutego 2017

Indukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum. 17 lutego 2017 Indukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum 17 lutego 2017 Liczby naturalne - Aksjomatyka Peano (bez zera) Aksjomatyka liczb naturalnych N jest nazwą zbioru liczb naturalnych, 1 jest nazwą elementu

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzenie metryczne

1 Przestrzenie metryczne 1 Przestrzenie metryczne Definicja 1.1 (metryka) Niech będzie niepustym zbiorem. Funkcję d: R + nazywamy metryką, jeśli spełnia warunki: 1 o d(x, y) = d(y, x) (symetria) 2 o d(x, y) + d(y, z) d(x, z) (nierówność

Bardziej szczegółowo

TEST A. A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty

TEST A. A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty TEST A A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Ile różnych zbiorów otwartych

Bardziej szczegółowo

Grzegorz Plebanek Miara i całka skrypt do wykładu Funkcje rzeczywiste

Grzegorz Plebanek Miara i całka skrypt do wykładu Funkcje rzeczywiste Instytut Matematyczny Uniwersytetu Wrocławskiego Grzegorz Plebanek Miara i całka skrypt do wykładu Funkcje rzeczywiste c Grzegorz Plebanek (2009) wersja γ (2013) Spis treści 0 Wiadomości wstępne 1 0.1

Bardziej szczegółowo

4 Kilka klas procesów

4 Kilka klas procesów Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces

Bardziej szczegółowo

A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty

A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Wyprowadź z aksjomatów topologii

Bardziej szczegółowo

Uwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:

Uwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne: 1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu

Bardziej szczegółowo

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,

Bardziej szczegółowo

020 Liczby rzeczywiste

020 Liczby rzeczywiste 020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie

Bardziej szczegółowo

O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji

O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja diofantyczna

Aproksymacja diofantyczna Aproksymacja diofantyczna Szymon Draga Ustroń, 4 listopada 0 r Wprowadzenie Jak wiadomo, każdą liczbę niewymierną można (z dowolną dokładnością) aproksymować liczbami wymiernymi Powstaje pytanie, w jaki

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy

Bardziej szczegółowo

Wykład 3. Miara zewnętrzna. Definicja 3.1 (miary zewnętrznej) Funkcję µ przyporządkowującą każdemu podzbiorowi

Wykład 3. Miara zewnętrzna. Definicja 3.1 (miary zewnętrznej) Funkcję µ przyporządkowującą każdemu podzbiorowi Wykład 3 Miara zewnętrzna Definicja 3.1 (miary zewnętrznej Funkcję przyporządkowującą każdemu podzbiorowi A danej przestrzeni X liczbę (A [0, + ] (a więc określoną na rodzinie wszystkich podzbiorów przestrzeni

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn r. :

Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn r. : Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn. 29.0.208r. : Granica funkcji Definicja sąsiedztwa punktu. Sąsiedztwo 0 R o promieniu r > 0: S 0, r = 0 r, 0 + r\{ 0 } 2. Sąsiedztwo lewostronne 0 R o promieniu

Bardziej szczegółowo

Zad.3. Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek. 14 grudnia 2013

Zad.3. Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek. 14 grudnia 2013 Zad.3 Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek 14 grudnia 2013 W pierwszej części naszej pracy będziemy chcieli zbadać ciągłość funkcji f(x, y) w przypadku gdy płaszczyzna wyposażona jest w jedną z topologii: a)

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład V: Zmienne losowe i ich wartości oczekiwane 25 października 2017 Definicja zmiennej losowej Definicja Zmienne losowa to charakterystyka liczbowa wyniku eksperymentu losowego. Zmienne losowa na przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki matematycznej

Elementy logiki matematycznej Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w

Bardziej szczegółowo

Równoliczność zbiorów

Równoliczność zbiorów Logika i Teoria Mnogości Wykład 11 12 Teoria mocy 1 Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy,że ustala równoliczność

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych.

Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Definicja (otoczenie punktu) Otoczeniem punktu x 0 R, o promieniu nazywamy zbiór x R taki, że: inaczej x x 0 x x 0, x 0 Definicja (ciągłość w punkcie)

Bardziej szczegółowo