zaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób:

Transkrypt

1 1. Zagadnienia teoretyczne Przedział domknięty Przykład 1. Pisząc mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od -4 do 7, razem z -4 i 7. Jeśli napiszemy, będziemy mówić o zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych od -50 do -20, łącznie z -50 i -20. Podobnie pisząc mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od a do b, łącznie z a i b (oczywiście a i b są liczbami rzeczywistymi). Definicja będzie wyglądała tak: Przedziałem domkniętym o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek. Przedział liczbowy zaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób: Zwróćmy uwagę, że krańce przedziałów oznaczyliśmy kółkami zamalowanymi, ponieważ zarówno liczba -4 jak i 7 należą do tego przedziału.

2 1.2. Przedział otwarty Przykład 2. Za pomocą ( 4;7) oznaczamy wszystkie liczby rzeczywiste większe od -4 i mniejsze od 7, podobnie w przedziale (a;b) znajdują się wszystkie liczby, które są większe od a i mniejsze od b. Przedział otwarty różni się od przedziału domkniętego tym, że nie zawiera on liczb a i b. Przedziałem otwartym (a;b) o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek a < x < b. Przedział otwarty ( 4;7) na osi zaznaczymy w ten sposób: Krańce przedziałów oznaczone zostały kółkami niezamalowanymi, ponieważ zarówno liczba -4 jak i liczba 7 nie należy do tego przedziału. Dodatkowo można narysować linie pod pewnym kątem, podobnie jak to zrobiliśmy na rysunku Przedział lewostronnie (prawostronnie) otwarty Przykład 3. oznacza zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od -4, ale mniejszych bądź równych 7. Możemy zdefiniować przedział

3 lewostronnie otwarty dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b dla a<b w ten sposób: Przedziałem lewostronnie otwartym (prawostronnie domkniętym) o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek. Przedział na osi liczbowej zaznaczymy tak: Analogicznie możemy zdefiniować przedział prawostronnie otwarty: Przedziałem prawostronnie otwartym (lewostronnie domkniętym) o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek Przedziały nieograniczone Do oznaczania przedziałów nieograniczonych wykorzystujemy symbol nieskończoności.

4 Przykład 4. Przez oznaczamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od -4 (łatwo zauważyć, że wszystkie liczby są mniejsze od ). Podobnie wszystkie liczby rzeczywiste większe bądź równe -4 będziemy oznaczać przez. Przedziałem lewostronnie otwartym nieograniczonym nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x większych od a. Podobnie przedziałem lewostronnie domkniętym nieograniczonym nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x większych bądź równych a. Przedział możemy zaznaczyć na osi liczbowej w ten sposób: Przykład 5. oznacza przedział wszystkich liczb rzeczywistych mniejszych bądź równych 5. Analogicznie przez zbiór wszystkich liczb rzeczywistych mniejszych od 5. będziemy oznaczamy

5 Przedziałem prawostronnie otwartym nieograniczonym nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x mniejszych od a. Podobnie przedziałem prawostronnie domkniętym nieograniczonym nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x mniejszych bądź równych a. Przedział zaznaczymy na osi liczbowej tak: analogicznie, jak to robiliśmy w poprzednich przykładach, 1.5. Działania na przedziałach Ponieważ przedział jest zbiorem, więc możemy wyznaczać między innymi sumę, iloczyn czy też różnicę przedziałów. Przykład 6. Wyznaczmy -suma, - iloczyn (przekrój, część wspólna), A \ B, B \ A- różnica odpowiednio A i B oraz B i A.

6 A' dopełnienie A B'- dopełnienie B, gdzie, a B = (1;4) Zaznaczmy najpierw oba przedziały na osi liczbowej: Z rysunku widzimy, że: Przedziały można opisywać za pomocą wartości bezwzględnej (interpretacja geometryczna). Wartość bezwzględna liczby to odległość tej liczby od zera na osi liczbowej a wartość bezwzględna różnicy dwóch liczb, to ich odległość na osi liczbowej, więc np. x 2 oznacza przedział ; 2 2; x 4 oznacz przedział 4;4 x 2 3 oznacza zbiór liczb, które znajdują się na osi liczbowej w odległości od 2 mniejszej niż 3, czyli przedział 1;5

7 2. Zadania do samodzielnego rozwiązania: 1. Jeżeli ; 2 A i 3; a. ; b. 3; 2 c., 3 d. 2, B, to suma A B jest równy: 2 2. Jeżeli A ; 3 i B C, gdzie C zbiór liczb całkowitych, to iloczyn 5 A B jest równy: a. 0,1,2 b. 0 ;3 c. 1,2,3 d. 0,1,2,3 3. Przedział 2; 6 jest zbiorem liczb spełniających nierówność: a. x 2 4 b. x 2 4 c. x 2 4 d. x Jeżeli A R i B 2;5 to różnica A \ B jest równa: a., 2 b. 5 ; c. 2; 5 d. ; 2 5;

8 5. Zbiór liczb równoodległych na osi liczbowej od liczb 3 i 4 można opisać równaniem: a. x 3 x 4 b. x 3 x 4 c. x 3 x 4 d. x 3 x 4