Probabilistyka i statystyka Wykład dr iż. Barbara Swatowska Katedra Elektroiki, AGH e-mail: swatow@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~swatow Pla zajęć Zajęcia: Wykład h oraz Ćwiczeia h PLAN realizacji tematyki:. Kombiatoryka, symbol Newtoa. Prawdopodobieństwo całkowite, warukowe i iezależe, Twierdzeie Bayesa. Zmiea losowa i dystrybuata. Obliczaie prawdopodobieństwa z wykorzystaiem gęstości. Wprowadzeie do statystyki, średia, odchyleie stadardowe, wariacja. Aaliza regresji przykładowych daych 7. Obliczaie przedziału ufości dla różych daych 8. Estymacja i wioskowaie statystycze
Literatura:. Krysicki W., Bartos J., i ii., Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka matematycza część I, II, Wydawictwo Naukowe PWN, Warszawa 997.. Plucińska A., Pluciński E.: Zadaia z rachuku prawdopodobieństwa i statystyki matematyczej dla studetów politechik, PWN. Plucińska A., Pluciński E.: Probabilistyka, Rachuek prawdopodobieństwa, statystyka matematycza, procesy stochastycze, Wydawictwo Naukowo- Techicze, Warszawa. Jakubowski J., Sztecel R.: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, SCRIPT,. Ostasiewicz S., Rusak Z., Siedlecka U., Statystyka. Elemety teorii i zadaia. Wydawictwo Akademii Ekoomiczej im. Oskara Lagego we Wrocławiu, 999. Greń Jerzy: Statystyka matematycza. Modele i zadaia. 7. Sobczyk Mieczysław: Statystyka, Wydawictwo Naukowe PWN, Warszawa, 99 8. Koroacki J, Mieliczuk J.: Statystyka dla studetów kieruków techiczych i przyrodiczych, Wydawictwo Naukowo-Techicze, Warszawa Czym zajmuje się probabilistyka i statystyka? Teoria prawdopodobieństwa (także rachuek prawdopodobieństwa lub probabilistyka) dział matematyki zajmujący się zdarzeiami losowymi. Zdarzeie losowe to wyik doświadczeia losowego. Doświadczeie losowe może być powtarzae dowolie wiele razy w warukach idetyczych lub bardzo zbliżoych a jego wyik ie daje się przewidzieć jedozaczie. Częstość zdarzeia: l gdzie l ozacza ile razy zaszło zdarzeie, gdy doświadczeie powtarzao razy. Prawidłowość statystycza przy coraz większej liczbie doświadczeń losowych częstość zdarzeia dąży do pewej stałej liczby
Czym zajmuje się probabilistyka i statystyka? Rachuek prawdopodobieństwa zajmuje się badaiem abstrakcyjych pojęć matematyczych stworzoych do opisu zjawisk, które ie są determiistycze:. zmieych losowych w przypadku pojedyczych zdarzeń oraz. procesów stochastyczych w przypadku zdarzeń powtarzających się (w czasie). Jako matematyczy fudamet statystyki, teoria prawdopodobieństwa odgrywa istotą rolę w sytuacjach, w których koiecza jest aaliza dużych zbiorów daych. Jedym z ajwiększych osiągięć fizyki dwudziestego wieku było odkrycie probabilistyczej atury zjawisk fizyczych w skali mikroskopowej, co zaowocowało powstaiem mechaiki kwatowej. Statystyka zajmuje się metodami zbieraia iformacji (liczbowych) oraz ich aalizą i iterpretacją. Czym zajmuje się probabilistyka i statystyka? Statystyka OPISOWA ANALIZA DANYCH (DESCRIPTIVE STATISTICS) Orgaizacja daych Podsumowaie daych Prezetacja daych DEDUKCYJNA MODELOWANIE STOCHASTYCZNE ( STATISTICAL INFERENCE) Podaje metody formułowaia wiosków dotyczące obiektu badań (populacji geeralej) w oparciu o miej liczy zbiór (próbę) GRAFICZNA NUMERYCZNA Elektroiki
Rys historyczy Matematycza teoria prawdopodobieństwa sięga swoimi korzeiami do aalizy gier losowych podjętej w siedemastym wieku przez Pierre de Fermata oraz Blaise Pascala. Z tego powodu, początkowo teoria prawdopodobieństwa zajmowała się iemal wyłączie zjawiskami dyskretymi i używała metod kombiatoryczych. Zmiee ciągłe zostały wprowadzoe do teorii prawdopodobieństwa zaczie późiej. Za początek stworzeia współczesej teorii prawdopodobieństwa powszechie uważa się jej aksjomatyzację, której w 9 dokoał Adriej Kołmogorow. 7 Hazard Zdecydowaa większość gier losowych opiera się a prawdopodobieństwie zdarzeia......ajprostszy, jak rzut moetą,......złożoy, jak rozdaie pokera......oraz może być pod tym kątem aalizowaa....całkowicie losowy jak ruletka... Prawdopodobieństwo trafieia oczka Ilość uikatowych rozdań w pokerze 8
Rys historyczy Blaise Pascal (-) XVII w., Paryż, Fracja Uieśmiertelił kawalera de Méré oraz jego paradoks hazardowy Trójkąt Pascala wykorzystyway przy potędze sumy Elektroiki k k k b a k b a + ) ( dwumia Newtoa 9 Trójkąt Pascala! )! (! k k k Symbol
Trójkąt Pascala + Rys historyczy Pierre de Fermat (-) Początek XVII w., Touluse, Fracja Badał właściwości liczb pierwszych, teorię liczb, rówolegle opracował metodę współrzędych w geometrii. Razem z Pascalem stworzył podstawy pod współczesy rachuek prawdopodobieństwa. Elektroiki
Rys historyczy Siméo Deis Poisso (78-8) XVIII-XIX w., Paryż, Fracja Przyjaciel Lagrage'a, uczeń Laplace'a a sławej École Polytechique. Poza zagadieiami fizyczymi zajmował się teorią prawdopodobieństwa. Proces stochastyczy (podobie jak pr. Markowa), rozkład Poissoa - dystrybuata! Elektroiki Rys historyczy Carl Frederich Gauss (777-8) XVIII-XIX w., Getyga, Niemcy Profesor Uiwersytetu w Getydze Geialy matematyk, który już w dzieciństwie wyprzedzał umiejętościami rówieśików. W szkole podstawowej jako jedyy rozwiązał zadaie auczyciela - zsumowaie liczb do zauważając, że jest to (+)* Rozkład ormaly, zway krzywą Gaussa Elektroiki
Paradoks kawalera de Méré Dwaj hazardziści S i S umawiają się, że zagrają pewą serię partii i że zwycięzcą będzie te, kto pierwszy wygra pięć partii. Co ależy zrobić, gdy trzeba będzie grę przedwcześie przerwać? Załóżmy, że S wygrywa cztery partie, a S tylko trzy. Jak sprawiedliwie podzielić stawki? Propozycja : podzielić stawki w stosuku : Propozycja : podzielić stawki w stosuku (-):(-): wg W.R. Fuchs, Matematyka populara, Wiedza Powszecha, Warszawa 97 Paradoks kawalera de Méré Blaise Pascal rozwiązał zadaie rozumując bardzo prosto. Aby rozstrzygąć grę, ależy zagrać jeszcze ajwyżej dwie partie. Jeżeli pierwszą partię wygra S, to gra będzie rozstrzygięta od razu. Gdy pierwszą partię wygra S, to wygraie drugiej partii przez S przesądziłoby grę a jego korzyść. Jedak jeśli pozostałe dwie partie wygra S to o zostaie zwycięzcą. Zatem sprawiedliwy podział stawki to :
Statystyka - typy daych ILOŚCIOWE (QUANTITATIVE, NUMERICAL) JAKOŚCIOWE (QUALITATIVE, CATEGORIAL) Przykłady: Zbiór ludzi Wiek Wzrost Wysokość zarobków Obliczeia pewych parametrów, jak p. średia arytmetycza, mediaa, ekstrema, mają ses Przykłady: Płeć Sta cywily Moża przypisać różym cechom arbitrale wartości liczbowe. Obliczeia parametrów ie mają sesu, moża jedyie podawać p. udział procetowy Elektroiki 7 Pojęcie zmieej losowej Zmiea losowa jest to fukcja X, która przypisuje liczbę rzeczywistą x daemu wyikowi eksperymetu losowego. Ω e, e, { K X : Ω R } X( e ) x R i i Przykłady:.Rzut moetą: zdarzeiu orzeł przypisujemy ; zdarzeiu reszka przypisujemy..aalog. losowaie wyrobów: zdarzeiu brak (wadliwy) -, dobry.rzut kostką wyrzuceie, itd.odciek [a, b] a osi liczbowej wybór puktu o współrzędej x przypisujemy p. wartość x ; wartość si (x+7) itp. 8
Zmiea losowa dyskreta Gdy wartości zmieej losowej X są izolowaymi puktami a osi liczbowej (obejmują skończoy przedział wartości) Rzut moetą Błędy przy trasmisji Wadliwe układy a liii produkcyjej Ilość połączeń przychodzących w ciągu miut ciągła Gdy wartości zmieej losowej staowią wszystkie pukty odcika (obejmują przedział liczb rzeczywistych) Natężeie prądu w przewodiku Temperatura Ciśieie 9 Graficza prezetacja daych x Ilość wystąpień Częstotliwość /, /,7 /,8 /,79 Dae statystycze moża prezetować a wiele sposobów, p. częstość występowaia daej cechy /, Razem:, Elektroiki
Graficza prezetacja daych,78,79,,79,78 graf Elektroiki Graficza prezetacja daych,78,79,,79,78 Elektroiki
Dae ilościowe Wyiki pomiarów (p. wielkość ziare w [m], temperatura w kolejych diach o godz. : w [deg. C], czas rozmów telefoiczych w [mi], itp.,,,8,,,8, 9,,,,7, 9,,,, 8 8,,,, 8,,, 9,, 9,,,, 7,,, Tak podae wartości są mało czytele! Histogram Sporządzeie wykresu (histogramu):. Uporządkować zbiór wg. rosących (lub malejących) wartości program Excel ma taką opcję.. Wyiki próby (o liczebości ) staowią zbiór -liczb (iekoieczie różiących się od siebie). Celem ich ilustracji dzieli się je a klasy, tworząc tz. szereg rozdzielczy.. Szerokość poszczególych klas ie musi być taka sama, choć zwykle stosuje się klasy o tej samej szerokości. Ilość klas ie może być zbyt mała ai też zbyt licza. Najbardziej optymalą liczbę klas 'k' określa reguła Sturge'a.
Histogram klasy Częstość bezwględa 8 8 x Histogram klas 8 7 Częstość bezwzględa,, 8 9,,, 7 8, x Elektroiki
Histogram klas 8 7 Częstość bezwzględa,,,,, 7 7, 8 8, 9 9,,,,,,,,77,88,99, x 7 Reguła Sturge'a k+,log Dla aszego przykładu: k. 9 Liczebość próbki, Liczba klas, k < 7 7 9 9-7 < 7 Elektroiki 8
Histogram optymaly klas (optymalie),, Częstość względa,,,, 8 7 x 9 Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka w auce i techice Statystyka umożliwia aalizę i modelowaie rozwoju chorób oraz pomaga zapobiegać epidemiom. Statystyka medycza, p. średia liczba zachorowań w regioie Statystyka społecza, p. gęstość zaludieia Statystyka gospodarcza, p. PKB, wydatki a opiekę zdrowotą Liczba zachorowań a świńską grypę w roku 9 w USA (Źródło: http://commos.wikimedia.org) Elektroiki
Meteorologia Modele pogodowe umożliwiające przewidywaie pogody oraz wykrywaie potecjalych kataklizmów, p. huragaów (Źródło:stormdebris.et/Math_Forecastig.html) Jak rozwiązuje się problem iżyierski? Opis problemu Idetyfikacja ajważiejszych czyików Propozycja modelu Modyfikacja modelu Potwierdzeie rozwiązaia Przeprowadzeie eksperymetów Wioski i rekomedacje
Jak rozwiązuje się problem iżyierski? Opis problemu Przykład: Załóżmy, że iżyier projektuje przewód paliwowy, który ma zastosowaie w silikach samochodowych. Iżyier wybiera grubość ściay / cale ale ie jest pewy czy to jest wystarczające dla uzyskaia odpowiediej siły ciągu. Idetyfikacja ajważiejszych czyików Wyprodukowao osiem elemetów, dla których zmierzoo siły ciągu i otrzymao astępujące wartości (w futach):.,.9,.,.,.,.,.,.. Siła ciągu może być traktowaa jako zmiea losowa. Jak rozwiązuje się problem iżyierski? Propozycja modelu Przyjmijmy model, w którym zmiea losowa X jest przedstawioa jako: Stała wartość Zaburzeie (błąd, szum) Stała µ ie zmieia się przy kolejych pomiarach. Małe zmiay w otoczeiu, układzie pomiarowym, różice obserwowae dla obiektu mierzoego wpływają a wartość zaburzeia ε. W świecie rzeczywistym zawsze istieją czyiki prowadzące do iezerowego zaburzeia. Musimy je opisać w sposób ilościowy i zaleźć sposób a ograiczeie ich wpływu a wyik pomiaru.
Jak rozwiązuje się problem iżyierski? Przeprowadzeie eksperymetów Rysuek - przedstawia uzyskae wyiki w postaci diagramu puktowego (dot diagram). Diagramy tego typu są użytecze dla małej ilości daych (do ok. obserwacji). Wykresy tego typu pozwalają oceić położeie (środek) i rozproszeie (rozrzut) Średia wartość siły ciągu wyosi. futów. Iżyier zmieia grubość ściay do /8 cali zakładając, że pomoże to zwiększyć siłę ciągu. Zowu zbudowao 8 prototypów, przeprowadzoo eksperymety i otrzymao wyiki siły ciągu:.9,.7,.8,.9,.,.,.,.. Wyiki, w porówaiu z poprzedim eksperymetem, zestawioo a Rys. -.. Jak rozwiązuje się problem iżyierski? Modyfikacja (udoskoaleie) modelu Średia wartość siły ciągu wyosi. futy.
Jak rozwiązuje się problem iżyierski? Potwierdzeie rozwiązaia? Wykres stwarza wrażeie, że zwiększeie grubości ściay prowadzi do wzrostu siły ciągu. Jedak, pozostaje pytaie czy jest tak istotie? 7 Jak rozwiązuje się problem iżyierski? Wioski (rekomedacje?) Statystyka pomoże am udzielić odpowiedzi a pytaia: Skąd pewość, że ia próbka elemetów ie da iych wyików? Czy próbka 8-elemetowa jest wystarczająca aby dać wyiki, którym moża ufać? Jeżeli użyjemy wyików, które do tej pory otrzymaliśmy, aby sformułować wiosek (decyzja), że wzrost grubości ściay jest korzysty, jak oszacować ryzyko z tym związae? Czy jest możliwe, że pozory wzrost siły ciągu obserwoway dla grubszych elemetów ma charakter jedyie losowy? Może ie ma sesu zwiększaie grubości ścia (powiększaie kosztów produkcji)? 8