RACHUNEK PRAWDOPODOBIEOSTWA
|
|
- Robert Madej
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEOSTWA Elemetarym pojęciem w rachuku prawdopodobieostwa jest zdarzeie elemetare tz. możliwy wyik pewego doświadczeia p. rzut moetą: wyrzuceie orła lub reszki arodziy człowieka: urodzeie się chłopca lub dziewczyki rzut kostką: wyrzuceie ściaki z odpowiedią liczbą oczek itp. Def. Przestrzeią zdarzeo elemetarych azywamy zbiór ={ω 1, ω 2, + składający się z wszystkich możliwych zdarzeo elemetarych w daym doświadczeiu. Zdarzeiem azywamy dowoly podzbiór A. -algebrą zdarzeo w przestrzei azywamy rodzię (zbiór) zdarzeo taki, że: A A 3. i N: A i A i i = A 1 A 2 A ( suma może byd skooczoa lub ie) Wiosek: Jeżeli jest -algebrą zdarzeo w przestrzei, to. Ozaczeia: zdarzeie azywamy zdarzeiem iemożliwym zdarzeie A = \ A azywamy zdarzeiem przeciwym do A zdarzeie azywamy zdarzeiem pewym Wiosek: Jeżeli i: A i, to i A i
2 Np. 1. Robotik wyprodukował elemetów pewego urządzeia. Niech zdarzeie A i polega a tym, że i-ty elemet jest wadliwy (i=1,,). Zapisz zdarzeia: a) A-żade z elemetów ie jest wadliwy: A = A 1 A 2 A b) B-co ajmiej jede elemet jest wadliwy: B = A 1 A 2 A k<1 k i c) C-tylko jede elemet jest wadliwy: C =,A i A k - i<1 d) D-co ajwyżej jede elemet ie jest wadliwy: D = (A 1 A 2 A ),A i k<1 A k - i<1 2. Rzucamy moetą tak długo, aż upadie dwa razy pod rząd a tę samą stroę. Opisz przestrzeo zdarzeo elemetarych oraz zdarzeia: a) gra skooczy się przed piątym rzutem b) będzie potrzeba parzysta liczba rzutów c) moeta igdy ie upadie pod rząd a tę samą stroę = { (r 1, r 2,, r ): 2 r i *O, R+ r ;1 = r r i r i;1, dla i < } A = {(O,O),(R,R),(O,R,R),(R,O,O),(R,O,R,R),(O,R,O,O)} B = {(r 1, r 2,, r ): 2 r i *O, R+ r ;1 = r r i r i;1, dla i < } C = {(r 1, r 2,, r, ): r i *O, R+ r i r i;1, dla i N } k i
3 Def. Mówimy, że zdarzeia A i B wykluczają się A B = Np. W doświadczeiu polegającym a wylosowaiu jedej karty z talii, zdarzeia A-wylosowaie króla i B-wylosowaie damy wykluczają się. Def. Niech będzie przestrzeią zdarzeo elemetarych, będzie -algebrą zdarzeo w. Prawdopodobieostwem w przestrzei azywamy fukcję P: taką, że 1. A : 0 P(A) 1 2. P( ) = 1 3. jeżeli {A i } jest zbiorem zdarzeo parami się wykluczających ( tz. i j A i A j = ), to P A i = P(A i ) i i Wioski: Jeżeli A,B, to 1. P(A ) = 1 - P(A) 2. Jeżeli B A, to P(A\B) = P(A) P(B) 3. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Def. Trójkę (,,P) azywamy przestrzeią probabilistyczą. Np. Doświadczeie polega a rzucie moetą. = {O,R}, = {,{O},{R}, }, P(O) = P(R) = 1 2 Trójka (,,P) jest przestrzeią probabilistyczą dla tego doświadczeia. Def. Mówimy, że zbiór zdarzeo {A i } jest iezależy i 1, i 2,, i : P A i1 A i2 A i = P A i1 P A i2 P(A i )
4 Np. W doświadczeiu polegającym a rzucie trzema moetami, jeżeli wiemy, że rzuty są od siebie iezależe prawdopodobieostwo zdarzeia A-wyrzucoo trzy orły wyosi P A = P O 1 P O 2 P O 3 = ( 1 2 )3 = 1 8 gdzie O i - wyrzuceie orła a i-tej moecie ELEMENTY KOMBINATORYKI Większośd doświadczeo, dla których obliczamy prawdopodobieostwo, ma bardzo dużo wyików. Wtedy do obliczeia prawdopodobieostwa ależy użyd kombiatoryki. Wyróżiamy trzy podstawowe schematy kombiatorycze: permutacje, wariacje i kombiacje. W kombiatoryce częste zastosowaie ma tzw. reguła iloczyu Tw. reguła iloczyu Jeżeli pewe doświadczeie moża wykoad w k etapach, przy czym etap 1-szy moża wykoad a 1 sposobów, etap 2-gi a 2 sposobów,, etap k-ty a k sposobów, to całe doświadczeie moża wykoad a N = 1 2 k sposobów. N = 1 2 k Def. Permutacja bez powtórzeo Permutacją bez powtórzeo -elemetowego zbioru A={a 1, a 2,, a } azywamy każdy -wyrazowy ciąg, w którym każdy elemet zbioru A występuje dokładie raz. Np. Permutacjami bez powtórzeo zbioru A={1,2,3} są ciągi (1,2,3), (2,1,3), (3,1,2) itd. Tw. Liczba P wszystkich permutacji bez powtórzeo zbioru -elemetowego wyosi! P =!
5 Przykład: Na ile sposobów moża ustawid 24 osoby w szereg tak, aby dae trzy osoby stały obok siebie? Dae trzy osoby mogą stad obok siebie a 3! sposoby. Jeżeli potraktujemy je jako jedą osobę, to w szeregu moża ustawid je a 22 sposoby. Pozostałe 21 osób moża ustawid w szeregu a 21! sposobów. Stosujemy regułę iloczyu otrzymując N = 22 3! 21! Def. Permutacje z powtórzeiami Permutacją -elemetową z powtórzeiami zbioru k-elemetowego A={a 1, a 2,, a k }, w której elemet a 1 powtarza się 1 razy, elemet a 2 powtarza się 2 razy,, elemet a k powtarza się k razy, przy czym k =, azywamy każdy -wyrazowy ciąg, w którym poszczególe elemety zbioru A powtarzają się wskazaa liczbę razy. Tw. Liczba P 1, 2,, k wszystkich -wyrazowych permutacji z powtórzeiami zbioru k-elemetowego wyosi! 1! 2! k! P 1, 2,, k =! 1! 2! k! Przykład: Na ile sposobów moża z liter A, A, A, E, K, M, M, T, T, Y ułożyd słowo, iekoieczie mające jakiekolwiek zaczeie? Litera A powtarza się trzy razy, a litery M oraz T po dwa razy, czyli N = 10! 3! 2! 2!
6 Def. Wariacja bez powtórzeo Wariacją k-wyrazową bez powtórzeo ze zbioru -elemetowego A={a 1, a 2,, a }, gdzie k, azywamy każdy k-wyrazowy ciąg różych elemetów tego zbioru. Np. Ciąg (7,2,5,4) jest czterowyrazową wariacją bez powtórzeo ze zbioru A={0,1,2,3,,9} Tw. Liczba Vk wszystkich k-wyrazowych wariacji bez powtórzeo ze zbioru -elemetowego wyosi,k- =! ;k! = 1 2 ( k + 1). V k =,k- Przykład: Na ile sposobów moża sześd z dziesięciu poumerowaych kul wrzucid do sześciu szuflad tak, aby w każdej szufladzie zalazła się tylko jeda kula? Stosujemy 6-cio wyrazową wariację bez powtórzeo zbioru 10-cio elemetowego N = 10,6- = 10! 4! Def. Wariacja z powtórzeiami Wariacją k-wyrazową z powtórzeiami ze zbioru -elemetowego A={a 1, a 2,, a }, azywamy każdy k-wyrazowy ciąg elemetów tego zbioru. Np. Ciag (4,2,4,2,2) jest pięciowyrazową wariacją z powtórzeiami ze zbioru A={2,3,4} Tw. Liczba W k wszystkich k-wyrazowych wariacji z powtórzeiami ze zbioru -elemetowego wyosi k. W k = k Przykład: Cetrala telefoicza pracuje a umerach sześciocyfrowych. Ilu aboetów może zarejestrowad, jeżeli umer ie może zaczyad się od zera?
7 Stosujemy sześciowyrazowe wariacje z powtórzeiami ze zbioru cyfr {0,1,,9}, od których odejmujemy wariacje zaczyające się od cyfry 0 N = W 10 6 W 10 5 = Def. Kombiacja bez powtórzeo Kombiację k-elemetową bez powtórzeo ze zbioru -elemetowego A={a 1, a 2,, a }, k, azywamy każdy k-elemetowy podzbiór tego zbioru. Np. Zbiór {2,4,6} jest trzyelemetowa kombiacją ze zbioru A={0,1,2,,9} Tw. Liczba Ck wszystkich k-elemetowych kombiacji bez powtórzeo ze zbioru -elemetowego wyosi k =!. k! ;k! C k = k Przykład: Na ile sposobów moża wybrad 9 par szachowych spośród 20 szachistów z kraju A i 15 szachistów z kraju B, jeżeli w każdej parze mają byd szachiści z różych krajów? Wybieramy po 9 szachistów z każdego kraju, ustawiamy szachistów z kraju A w szeregu i dobieramy dla ich parterów z kraju B. N = C 9 20 C ! Def. Kombiacja z powtórzeiami Rozważamy elemety różych rodzajów, przy czym elemety tego samego rodzaju traktujemy jako idetycze. Kombiacją k-elemetową z powtórzeiami z rodzajów elemetów, azywamy każdy k-elemetowy zbiór, którego każdy elemet jest jedego z tych rodzajów. Kombiacja z powtórzeiami jest w pełi określoa przez podaie liczby elemetów poszczególych rodzajów wchodzących w jej skład.
8 Tw. Liczba Kk wszystkich k-elemetowych kombiacji z powtórzeiami z rodzajów elemetów + k 1 wyosi. k K k + k 1 = k Przykład: Na ile sposobów moża ułożyd bukiet z pięciu kwiatów, mając 10 róż, 9 tulipaów i 7 żokili? Stosujemy pięcioelemetową kombiację z powtórzeiami z 3 rodzajów elemetów N = K 3 5 = 7 3 PRZYKŁADY OKREŚLANIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA I. Prawdopodobieostwo klasycze Niech = A 1 A 2 A, gdzie A i, zbiór {A i } jest zbiorem zdarzeo parami wykluczających się o jedakowych prawdopodobieostwach P(A i ) = 1. Jeżeli A = A i1 A i2 A ik, to prawdopodobieostwo A określamy jako P(A) = k. Zdarzeia A i1, A i2,, A ik azywamy zdarzeiami sprzyjającymi zdarzeiu A. Np. 1. Rzucamy kością do gry. Oblicz prawdopodobieostwo wyrzuceia liczby oczek podzielej przez 3. Wszystkich zdarzeo elemetarych jest 6, zdarzeo sprzyjających A jest 2 P(A) = 2 6 = Z ury, w której jest m 3 kul białych i 3 kul czarych, losujemy ze zwracaiem 3 kule. Oblicz prawdopodobieostwo wylosowaia 3 kul czarych. I wariat rozwiązaia: Zdarzeia wylosowaia kuli czarej za kolejym razem są iezależe.
9 Prawdopodobieostwo wylosowaia kuli czarej za jedym razem wyosi :m. P(A) = ( :m )3. II wariat: = {(k 1, k 2, k 3 ): k i *1,, + m++, Ω = + m 3 A = {(k 1, k 2, k 3 ): k i *1,, ++, A = 3 P(A) = ( :m )3. 3. Z ury, w której jest m 3 kul białych i 3 kul czarych, losujemy bez zwracaia 3 kule. Oblicz prawdopodobieostwo wylosowaia 3 kul czarych. = {*k 1, k 2, k 3 }: k i *1,, + m++, Ω = A = {*k 1, k 2, k 3 }: k i *1,, ++, A = 3 P(A) = (;1)(;2). (:m)(:m;1)(:m;2) + m 3 4. Losowo rozmieszczoo kul w komórkach. Oblicz prawdopodobieostwo, że dokładie jeda komórka jest pusta. Ω = dokładie jeda komórka jest pusta jeżeli w jedej komórce są 2 kule, a w (-2) komórkach po jedej kuli A = 2! P(A) = ;1! 2 1 II. Prawdopodobieostwo geometrycze Niech będzie pewym ograiczoym podzbiorem R k, zdarzeiami z będą podzbiory mające miarę m(a) (p. dla k=1 mające długośd, dla k=2 pole, dla k=3 objętośd). Prawdopodobieostwo zdarzeia A określamy wzorem P(A) = m(a) m(ω).
10 Np. 1. Na odciku [0,1] umieszczamy losowo, tz. zgodie z prawdopodobieostwem geometryczym oraz iezależie, dwa pukty x i y, które dzielą te odciek a trzy odciki. Oblicz prawdopodobieostwo, że moża z tych odcików zbudowad trójkąt. Pukty x,y moża traktowad jako współrzęde x i y puktu ależącego do kwadratu o wierzchołkach (0,0), (0,1), (1,0), (1,1). Kwadrat te będzie teraz przestrzeią. m( )=1. Aby z odcików moża było zbudowad trójkąt, każdy z ich musi byd krótszy od 1 2. Dla x<y: x< 1 2, y-x<1 2 i 1-y<1 2 m(a)=2 1 8 P(A) = Losowo wybrao dwie dodatie liczby x i y ie większe od 1. Oblicz prawdopodobieostwo, że ich suma jest ie większa iż 1, a iloczy ie miejszy iż 0,09. = [0,1] [0,1], m( )=1 Zdarzeie A jest figurą zawartą pomiędzy wykresami y = 1 x oraz y = 0,09 x. x + 0,09 x 0,9 m(a) = (1 x 0,09 1 = 0 x = 0,1 x = 0,9 0,1 P(A) = 0,4 0,09l9 x )dx=0,4 0,09l9
11 Def. Prawdopodobieostwo warukowe zdarzeia A pod warukiem zdarzeia B dae jest wzorem P(A B) P A B =, dla P B > 0 P(B) Prawdopodobieostwo warukowe zdarzeia A jest prawdopodobieostwem tego zdarzeia, w sytuacji, gdy zależy oo od dodatkowych waruków (zajścia zdarzeia B). Wioski: 1. Zdarzeia A i B są iezależe P(A) = P(A B), gdy P(B)>0. 2. Jeżeli (,,P) jest przestrzeią probabilistyczą, B i P(B)>0, to (,,P(. B)) jest przestrzeią probabilistyczą (tz. prawdopodobieostwo warukowe spełia aksjomaty prawdopodobieostwa) Np. Dae są dwie ury, w pierwszej są 2 czare i 1 biała kula, a w drugiej 2 białe i 1 czara. Z pierwszej ury losujemy z prawdopodobieostwem 1 4, a z drugiej z prawdopodobieostwem 3 4. Oblicz prawdopodobieostwo, że wyciągiemy czarą kulę z drugiej ury. Niech A-wylosowaie kuli czarej, B-wylosowaie ury drugiej. P(B) = 3 4, P(A B) = 1 3 P(A B) = P(A B)P(B) = 1 4 Tw. wzór a prawdopodobieostwo całkowite Jeżeli zbiór {A i }, A i jest zbiorem zdarzeo parami wykluczających się i P(A i ) i P B = P B A i P(A i ), dla B i = 1, to
12 Tw. wzór Bayesa Jeżeli zbiór {A i }, A i jest zbiorem zdarzeo parami wykluczających się i P(A i ) i P(B)>0, to P A i B = P B A i P(A i ). P(B) = 1 oraz Np. 1. Na taśmę trafiają wyroby wytwarzae przez dwa automaty. Stosuek ilościowy produkcji pierwszego automatu do produkcji drugiego wyosi 3:2. Pierwszy automat wytwarza 65% produktów pierwszej jakości, a drugi 85%. Z taśmy wybieramy jede produkt. Oblicz prawdopodobieostwo, że będzie to produkt pierwszej jakości. A i -wybray produkt jest wyprodukoway przez i-ty automat, A-wybray produkt jest pierwszej jakości P(A 1 ) + P(A 2 ) = 1 i P(A 1) P(A 2 ) = 3 P(A 2 1) = 3 i P(A 5 2) = 2 5 P(A) = P(A 1 ) P(A A 1 ) + P(A 2 ) P(A A 2 ) = = Jeżeli produkt ma defekt, to automat wykrywa go w 90% przypadków, jeżeli ie ma defektu, to mimo to automat iformuje o defekcie w 1% przypadków. W partii jest 2% produktów mających defekt. Oblicz prawdopodobieostwo, że losowo wybray produkt wykryty jako uszkodzoy, jest rzeczywiście uszkodzoy. A-produkt jest uszkodzoy, B-automat wykrył uszkodzeie P(A) = 0,02; P(B A) = 0,9; P(B A ) = 0,01 P B A P(A) 0,9 0,02 P(A B) = = = 0,018 = 0,6474 P(B) P B A P A :P B A P(A ) 0,018:0,01 0,98
Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowoScenariusz lekcji: Kombinatoryka utrwalenie wiadomości
Sceariusz lekcji: Kombiatoryka utrwaleie wiadomości 1 1. Cele lekcji a) Wiadomości Uczeń: za pojęcia: permutacja, wariacja i kombiacja, zdarzeie losowe, prawdopodobieństwo, za iezbęde wzory. b) Umiejętości
Bardziej szczegółowoStatystyka i rachunek prawdopodobieństwa
Statystyka i rachuek prawdopodobieństwa Filip A. Wudarski 22 maja 2013 1 Wstęp Defiicja 1. Statystyka matematycza opisuje i aalizuje zjawiska masowe przy użyciu metod rachuku prawdopodobieństwa. Defiicja
Bardziej szczegółowoP r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.
P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoZdarzenie losowe (zdarzenie)
Zdarzenie losowe (zdarzenie) Ćw. 1. Ze zbioru cyfr (l, 2,3,..., 9} losowo wybieramy jedną. a) Wypisz zdarzenia elementarne, sprzyjające: zdarzeniu A, że wybrano liczbę parzystą zdarzeniu B, że wybrano
Bardziej szczegółowo1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Bardziej szczegółowoMoneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )
Nowa matura kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowo1. Dany odcinek podzielić dwoma punktami na trzy części. Jakie jest prawdopodobieństwo, że z tych części da się zbudować trójkąt?
1.5. Prawdopodoieństwo warukowe 15 Zadaia 1. Day odciek podzielić dwoma puktami a trzy części. Jakie jest prawdopodoieństwo, że z tych części da się zudować trójkąt? 2. Moetę o promieiu r rzucoo a parkiet
Bardziej szczegółowoPodstawy nauk przyrodniczych Matematyka
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Elementy rachunku prawdopodobieństwa dr inż. Małgorzata Szeląg Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 59 04 malgorzata.szelag@amu.edu.pl Pokój 1.118
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub 1. W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA. Oznaczenia. } oznacza zbiór o elementach a, a2,..., an. Kolejność wypisania elementów zbioru nie odgrywa roli.
KOMBINATORYKA Kombiatoryą azywamy dział matematyi zajmujący się zbiorami sończoymi oraz relacjami między imi. Kombiatorya w szczególości zajmuje się wyzaczaiem liczby elemetów zbiorów sończoych utworzoych
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia
Bardziej szczegółowoEgzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania
zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia
Bardziej szczegółowoLista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
Lista 5 Zadaia a zastosowaie ierówosci Markowa i Czebyszewa. Zadaie 1. Niech zmiea losowa X ma rozkład jedostajy a odciku [0, 1]. Korzystając z ierówości Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo, że
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta
Bardziej szczegółowoDoświadczenie i zdarzenie losowe
Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie losowe jest to takie doświadczenie, które jest powtarzalne w takich samych warunkach lub zbliżonych, a którego wyniku nie można przewidzieć jednoznacznie.
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA Doświadczenia losowe Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. Mówimy, że doświadczenie jest
Bardziej szczegółowoWykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Katedra Elektroniki, AGH e-mail: zak@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~zak
Bardziej szczegółowoJak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji?
Jak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji? Porada niniejsza traktuje o tzw. elementach kombinatoryki. Często zdarza się, że rozwiązujący zadania z tej dziedziny mają problemy
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy
Bardziej szczegółowoStatystyka podstawowe wzory i definicje
1 Statystyka podstawowe wzory i definicje Średnia arytmetyczna to suma wszystkich liczb (a 1, a 2,, a n) podzielona przez ich ilość (n) Przykład 1 Dany jest zbiór liczb {6, 8, 11, 2, 5, 3}. Oblicz średnią
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Bardziej szczegółowoc) Zaszły oba zdarzenia A i B; d) Zaszło zdarzenie A i nie zaszło zdarzenie B;
Rachunek prawdopodobieństwa rozwiązywanie zadań 1. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Zapisujemy liczbę oczek, jakie wypadły w obu rzutach. Wypisz zdarzenia elementarne tego doświadczenia.
Bardziej szczegółowoMatematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa
Matematyka podstawowa X Rachunek prawdopodobieństwa Zadania wprowadzające: 1. Rzucasz trzy razy monetą a) Napisz zbiór wszystkich wyników tego doświadczenia losowego. Ile ich jest? Wyrzuciłeś większą liczbę
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 2 Magdalena Alama-Bućko 5 marca 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 5 marca 2018 1 / 14 Prawdopodobieństwo klasyczne Ω - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji : m f x = Ax RAAx x Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy podprzestrzeń
Bardziej szczegółowo02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w
02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.1. Niech Ω = R oraz F będzie σ-ciałem generowanym przez rodzinę wszystkich przedziałów otwartych typu (,
Bardziej szczegółowoR_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo.
R_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo. Zadanie 1. Wyznacz średnią arytmetyczną, dominantę i medianę zestawu danych: 1, 5, 3, 2, 2, 4, 4, 6, 7, 1, 1, 4, 5, 5, 3. Zadanie 2. W zestawie danych
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.2. Niezależność zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Niezależność dwóch zdarzeń Intuicja Zdarzenia losowe
Bardziej szczegółowoElementy statystyki opisowej, teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka
Wymagania egzaminacyjne: a) oblicza średnią arytmetyczną, średnią ważoną, medianę i odchylenie standardowe danych; interpretuje te parametry dla danych empirycznych, b) zlicza obiekty w prostych sytuacjach
Bardziej szczegółowo1 Wersja testu A 21 czerwca 2017 r. 1. Wskazać taką liczbę wymierną w, aby podana liczba była wymierna. w = w 2, w = 2.
1 Wersja testu A 1 czerwca 017 r. 1. Wskazać taką liczbę wymierą w, aby podaa liczba była wymiera. 10 1 ) 10 +w, w = 1 5 1 ) 10 +w, w = ) 10 10 3 +w 3, w = 1 ) 5 10 3 +w 3, w = 4. Zapisać wartość podaej
Bardziej szczegółowoKombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Jerzy Rutkowski Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa 2. Elementy kombinatoryki 2.1. Permutacje Definicja 1. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru
Bardziej szczegółowoTwierdzenia graniczne:
Twierdzeia graicze: Tw. ierówośd Markowa Jeżeli P(X > 0) = 1 oraz EX 0: P X k 1 k EX. Tw. ierówośd Czebyszewa Jeżeli EX = m i 0 < σ = D X 0: P( X m tσ) 1 t. 1. Z partii towaru o wadliwości
Bardziej szczegółowoStatystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa dla Bioinzynierii Lista zadań 2, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)
Statystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa dla Bioinzynierii Lista zadań 2, 2018/19z (zadania na ćwiczenia) 1 Przestrzeń probabilistyczna Zadanie 1 Rzucamy dwiema kostkami do gry. Opisać przestrzeń zdarzeń
Bardziej szczegółowoRzucamy dwa razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:
Statystyka Ubezpieczeniowa Część 1. Rachunek prawdopodobieństwa: - prawdopodobieństwo klasyczne - zdarzenia niezależne - prawdopodobieństwo warunkowe - prawdopodobieństwo całkowite - wzór Bayesa Schemat
Bardziej szczegółowoP = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +
Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)
ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 1. Prawdopodobieństwo klasyczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 03.10.2017 1 / 19 Rys historyczny Francja, XVII w.: gry hazardowe
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 1. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD Zdarzeia losowe i prawdopodobieństwo Zmiea losowa i jej rozkłady Metody statystycze metody opisu metody wioskowaia statystyczego sytetyczy liczbowy opis właściwości zbioru daych ocea charakterystyk
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoMateriał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012
Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zadanie 1. W urnie jest 1000 kartoników będących losami loterii pieniężnej. Cztery z kartoników wygrywają po 100 zł i szesnaście po 10 zł. Reszta kartoników to losy puste. Pierwszy
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA
PRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA ZADANIE ( PKT) Z urny zawierajacej kule w dwóch kolorach wybieramy losowo dwie. Prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej jednej kuli białej jest równe 8, a prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoKombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Jerzy Rutkowski 2. Elementy kombinatoryki 2.. Permutacje Teoria Definicja. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru
Bardziej szczegółowod wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistyczna Definicja Odwzorowanie X: Ω R nazywamy 1-wymiarowym wektorem
d wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistycza Defiicja Odwzorowaie X: Ω R d azywamy d-wymiarowym wektorem losowym jeśli dla każdego (x 1, x 2,,x d ) є R d zbiór Uwaga {ω є Ω: X(ω)
Bardziej szczegółowo( ) ( ) Przykład: Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć trzy następujące 2-elementowe kombinacje: ( ) ( ) ( ).
KOMBINATORYKA Kombinatoryka zajmuje się wyznaczaniem liczby elementów zbiorów skończonych utworzonych zgodnie z określonymi zasadami. Do podstawowych pojęć kombinatorycznych należą: PERMUTACJE Silnia.
Bardziej szczegółowoc. dokładnie 10 razy została wylosowana kula antracytowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.. Niech Ω = {ω, ω 2, ω, ω, ω 5 } i P({ω }) = 8, P({ω 2}) = P({ω }) = P({ω }) = 6 oraz P({ω 5}) = 5 6. Niech A = {ω,
Bardziej szczegółowop k (1 p) n k. k c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula amarantowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Definicja.. Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli zachodzi równość P(A B) = P(A) P(B). Definicja. 2. Zdarzenia A,..., A n nazywamy niezależnymi
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 20 lutego 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 1 / 21 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45
Bardziej szczegółowoNAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 1 oczka. ZADANIE 2 iloczynu oczek równego 12.
IMIE I NAZWISKO ZADANIE 1 Rzucamy sześcienna kostka do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadna co najmniej dwa oczka. ZADANIE 2 Rzucamy trzy razy symetryczna sześcienna kostka do gry. Oblicz prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowo12. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA zadania
2. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA zadania Zad.2.. Oblicz ile moŝna utworzyć z cyfr 0,, 2, liczb: a) dwucyfrowych, których cyfry mogą się powtarzać; b) trzycyfrowych o niepowtarzających się cyfrach;
Bardziej szczegółowoSkrypt 30. Prawdopodobieństwo
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 30 Prawdopodobieństwo 5.
Bardziej szczegółowoArkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.
Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)
Bardziej szczegółowoZ4. Ankieta złożona ma być z trzech pytań: A, B i C. Na ile sposobów można ją ułożyć zmieniając tylko kolejność pytań? ODP. Jest 6 możliwych sposobów.
PERMUTACJE Z1. Oblicz: Z2. Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenia: Z3. Sprawdź czy prawdziwa jest równość: Dana równość jest prawdziwa. Z4. Ankieta złożona ma być z trzech pytań: A, B i C. Na ile
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEŃSTWO CZAS PRACY: 180 MIN. ZADANIE 1 (5 PKT) NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
IMIE I NAZWISKO PRAWDOPODOBIEŃSTWO PRAWDOPODOBIEŃSTWO CZAS PRACY: 180 MIN. SUMA PUNKTÓW: 100 ZADANIE 1 (5 PKT) Rzucono dwiema sześciennymi kostkami do gry i określono zdarzenia A na każdej kostce wypadła
Bardziej szczegółowoWektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wektory Fukcje rzeczywiste wielu zmieych rzeczywistych Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 2008/2009 R. Łochowski Wektory pukty w przestrzei R Przestrzeń R to zbiór uporządkowaych -ek liczb
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Kognitywistyki
Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Dorota Leszczyńska-Jasion Kombinatoryka, ci agi liczbowe, skończone przestrzenie probabilistyczne Przykłady zagadnień kombinatorycznych Rozważmy układ n miast o bardzo
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2004/2005
Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,
Bardziej szczegółowo15. Rachunek prawdopodobieństwa mgr A. Piłat, mgr M. Małycha, mgr M. Warda
1. Każdej karcie bankomatowej jest przypisany numer identyfikacyjny zwany kodem PIN. Kod ten składa się z czterech cyfr(cyfry mogą się powtarzać, ale kodem PIN nie może być 0000). Oblicz prawdopodobieństwo,
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe Zmienne losowe Prawdopodobieństwo Niezależność
Zdarzenia losowe Zmienne losowe Prawdopodobieństwo Niezależność przypomnienie pojęć ĆWICZENIA Piotr Ciskowski zdarzenie losowe ćwiczenie 1. zbiory Stanisz zilustruj następujące pojęcia: o A B o A B o A
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach,
Rachue prawdopodobieństwa i statystya matematycza Dr hab. iż. Mariusz Przybycień Literatura: Rachue prawdopodobieństwa i statystya matematycza w zadaiach, tom I i II, W. Krysici i i., PWN 2005. Wstęp do
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Jakubowski, Sztencel:
Bardziej szczegółowo= 10 9 = Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3? A. 12 B. 24 C. 29 D. 30. Sposób I = 30.
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Flagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć z trzech jednakowej szerokości pasów kolorowej tkaniny. Oba pasy zewnętrzne
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)
Bardziej szczegółowoi statystyka matematyczna Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachue prawdopodobieństwa i statystya matematycza Dr hab. iż.. Mariusz Przybycień Literatura: Rachue prawdopodobieństwa i statystya matematycza w zadaiach, tom I i II, W. Krysici i i., PWN 200. Wstęp do
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x 2 +... + a x =b, a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2 x =b
Bardziej szczegółowoPodstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn
Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.1 Prawdopodobieństwo warunkowe Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Przykład 1 Alicja wylosowała jedną kartę z
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 14 Zadania statystyka, prawdopodobieństwo i kombinatoryka
1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Zestaw danych 3, 5, x, 7, 10, 12 jest uporządkowany niemalejąco. Mediana tego zestawu jest równa 6, więc liczba x jest równa A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 2. (2p) Średnia arytmetyczna liczb:
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,
Zadaie iech X, X,, X 6 będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), a Y, Y,, Y6 iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), gdzie, są iezaymi
Bardziej szczegółowoĆwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa
Ćwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa 25 marca 209 Zadanie. W urnie jest b kul białych i c kul czarnych. Losujemy n kul bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsza kula
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.1 Prawdopodobieństwo warunkowe Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Przykład 1 Alicja
Bardziej szczegółoworachunek prawdopodobieństwa - zadania
rachunek prawdopodobieństwa - zadania ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności - 6.10.2012 1. (d, 1pkt) Udowodnić twierdzenie 2 tj. własności prawdopodobieństwa (W1)-(W7). 2. Niech Ω = [0,1] oraz
Bardziej szczegółowoc) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp.
Zadania na kolokwium nr Zadanie. Spośród kart w tali wylosowano. Jakie jest prawdopodobieństwo: pików, kierów, trefli i karo otrzymania wszystkich kolorów otrzymania dokładnie pików a ( b ( ( c ( ( ( (
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
5 marca 2011 Zasady 10 wyk ladów; egzamin pisemny; Literatura 1 A. Lomnicki Wprowadzenie do statystyki dla przyrodników PWN 1999. 2 W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski Rachunek
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe i prawdopodobieństwo
Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 2 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Według klasycznej
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoSzereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:
Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego
Bardziej szczegółowo51. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń.
Matematyka lekcja 5 5. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. I. rzypomnij sobie:. Jak rysujemy drzewo stochastyczne i przy jego pomocy obliczamy prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoSPRAWDZIAN KOMBINATORYKA
www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI SPRAWDZIAN KOMBINATORYKA 12 GRUDNIA 2011 CZAS PRACY: 45 MIN. ZADANIE 1 Spośród liczb {1, 2, 3,..., 1000} losujemy jednocześnie dwie, które
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy:
Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy: a) sumę oczek równą 6, b) iloczyn oczek równy 6, c) sumę oczek mniejszą niż 11, d) iloczyn oczek będący liczbą parzystą,
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 26 lutego 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 26 lutego 2018 1 / 16 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) zaliczenie wykładu
Bardziej szczegółowoWiadowmości wstępne z rachunku prawdopodobieństwa
Biotechologia, Chemia, Chemia Budowlaa - Wydział Chemiczy - 1 Wiadowmości wstępe z rachuu prawdopodobieństwa Zdecydowaa więszość procesów fizyczych, techiczych, społeczych, eoomiczych itp, przebiega w
Bardziej szczegółowoĆw,1. Wypisz wszystkie k-wyrazowe wariacje bez powtórzeń zbioru A = {1, 2,3 }, gdy: a) k = l, b) k = 2, c) k = 3. Wariacje 1 z 6
Wariacje bez powtórzeń Jeśli w doświadczeniu losowym ze zbioru n-elementowego wybieramy k elementów w ten sposób, że: wybrane elementy nie mogą się powtarzać kolejność wybranych elementów jest istotna
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEOSTWO ZAJŚCIA ZDARZENIA A POD WARUNKIEM, ŻE ZASZŁO ZDARZENIE B
KLASYCZ NA DEFINICJA PRAW DOPOD OBIEŃSTWA P A = A Ω PRAWDOPOD OBIEŃSTW O W A RUNKOWE P(A B) P A B =, P B 0 PRAWDOPODOBIEOSTWO ZAJŚCIA ZDARZENIA A POD WARUNKIEM, ŻE ZASZŁO ZDARZENIE B P A B = P A B = P
Bardziej szczegółowoWykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Bardziej szczegółowoa. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych A Zadania na ćwiczenia Zadanie A1 (wskazówka: pierwsze ćwicznia i rozdział 23 przykł 1 i 2) Zbuduj model przestrzeni klasycznej (czyli takiej, w której
Bardziej szczegółowo( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PRAWDOPODOBIEŃSTWO ZAJŚCIA ZDARZENIA A POD WARUNKIEM, ŻE ZASZŁO ZDARZENIE B
KLASYCZ NA DEFINICJA PRAW DOPOD OBIEŃSTWA ( ) PRAWDOPOD OBIEŃSTW O W A RUNKOWE PRAWDOPODOBIEŃSTWO ZAJŚCIA ZDARZENIA A POD WARUNKIEM, ŻE ZASZŁO ZDARZENIE B ( ) WIĘC CO OZNACZA, ŻE ZDARZENIE B NIE MA WPŁYWU
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA ZADANIA
KOMBINATORYKA ZADANIA Magdalea Rudź 25 marca 2017 1 Zadaie 1. a Ile istieje liczb aturalych sześciocyfrowych? b Ile istieje liczb aturalych sześciocyfrowych takich, w których cyfra setek to sześć? 1.1
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. II. ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE.
ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. 1. Niech (X, ρ) będzie przestrzeią metryczą zaś a liczbą rzeczywistą dodatią. Wykaż, że fukcja σ: X X R określoa wzorem σ(x, y) = mi {ρ(x, y), a} jest metryką
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa- wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA cz. 5 Elementy probabilistyki i statystyki matematycznej
Ja Nawrocki, Adrzej Wiicki MATEMATYKA cz. 5 Elemety probabilistyki i statystyki matematyczej Politechika Warszawska 00 Politechika Warszawska Wydział Samochodów i Maszy Roboczych Kieruek "Edukacja techiczo
Bardziej szczegółowo201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.
Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych
Bardziej szczegółowo