Wkłd 7: Pochodn funkcji zstosowni do bdni przebiegu zmienności funkcji dr Mriusz Grządziel semestr zimow, rok kdemicki 2013/2014 Funkcj logistczn Rozwżm funkcję logistczną = f 0 (t) = 1+5e 0,5t f(t) 0 10 20 30 5 0 5 10 15 t Rsunek 1: Wkres funkcji = f 0 (t) = 1+5e 0,5t Chcem znleźć punkt, w którm tempo wzrostu funkcji f przestje rosnąć. Funkcj logistczn c.d. Anlizując wkres pochodnej = f 0(t) dochodzim do wniosku, że szukn punkt jest równ w przbliżeniu 3,22. 0 1 2 3 4 5 4.2 4.6 5.0 0 5 10 15 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 4.975 4.985 4.995 4.9980 4.9990 5.0000 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.20 3.24 3.28 Rsunek 2: Pochodn funkcji = f 0 (t) = 1+5e 0,5t 1
Bdnie przebiegu funkcji Jest jsne, że chcąc znleźć szukn punkt nleż zbdć przebieg zmienności funkcji f 0. Zczniem od przpomnieni definicji pojęć związnch z bdniem przebiegu funkcji tkich jk: minimum loklne, mksimum loklne cz drug pochodn. Pochodne wższch rzędów Definicj 1. Mówim, że funkcj f jest: różniczkowln w punkcie 0, jeżeli m on w tm punkcie pochodn; różniczkowln n przedzile I, jeżeli m pochodn w kżdm punkcie tego przedziłu. Złóżm, że funkcj f jest różniczkowln n przedzile I. Pochodną funkcji f n I (jeżeli on istnieje) będziem oznczć przez f (2), (lub f ( ) ) pochodną funkcji f (2) n I (jeżeli on istnieje) przez f (3) (lub f ( ) ) itd. Funkcje dwukrotnie różniczkowlne Definicj 2. Mówim, że funkcj f jest: dwukrotnie różniczkowln w punkcie 0, jeżeli m on w tm punkcie drug pochodn; dwukrotnie różniczkowln n przedzile I, jeżeli m drug pochodn w kżdm punkcie tego przedziłu. Pochodne wższch rzędów przkłd Dl f() = 3 (w tm przpdku obliczm pochodne n przedzile I = R) mm: f () = 3 2, f () = 6, f () = 6, f (n) () = 0 dl n > 3. Pochodne wższch rzędów przkłd Dl f() = = 1/2 (w tm przpdku obliczm pochodne n przedzile I = (0, ) mm: f () = 1 2 1/2 = 1 2, f () = 1 2 ( 1/2) 3/2 = 1 1 4, itd. 2
Monotoniczność funkcji n przedzile Złóżm, że funkcj f jest różniczkowln n przedzile I (tzn. istnieje pochodn funkcji f n przedzile I). Funkcj f jest: rosnąc, jeśli f () > 0 dl I; niemlejąc, jeśli f () 0 dl I; mlejąc, jeśli f () < 0 dl I; nierosnąc, jeśli f () 0 dl I. Monotoniczność funkcji logistcznej Pochodn funkcji logistcznej m postć f(t) = f (t) = 1 + be ct. bce ct (1 + be ct ) 2. Stąd wnik, że f jest monotoniczn n R. Monotoniczność f możn też uzsdnić, opierjąc się n włsnościch funkcji wkłdniczej wnik z nich, że minownik f jest funkcją mlejącą zmiennej. Funkcj logistczn c.d. Drug pochodn f m postć: Mm f (t) = bc2 e ct (be ct 1) (1 + be ct ) 3. f (t) = 0 wted i tlko wted, gd (be ct 1) = 0. A więc drug pochodn znik dl t 0 = ln b c. Dl funkcji f 0 mm: ln b c = ln 5 0,5 3,218876. Intuicje geometrczne: znleźliśm szukn punkt. Problem: jk uzsdnić to brdziej formlnie? Ekstremum loklne Definicj 3. Mówim, że funkcj f() osig w punkcie 0 minimum loklne, jeżeli wrtość funkcji f w punkcie 0 jest mniejsz od wrtości funkcji f w pewnm ssiedztwie tego punktu, tj. dl pewnego r > 0. f() > f( 0 ) dl S( 0, r) 3
mksimum loklne, jeżeli wrtość funkcji f w punkcie 0 jest większ od wrtości funkcji f w pewnm ssiedztwie tego punktu, tj. dl pewnego r > 0. f() < f( 0 ) dl S( 0, r) ekstremum loklne: minimum loklne lub mksimum loklne. Ekstremum loklne wrunek wstrczjc Twierdzenie 1. Jeśli pochodn funkcji f w punkcie 0 jest równ zeru i dl pewnego r > 0 spełnione s nierówności to funkcj w 0 osig minimum loklne. spełnione s nierówności to funkcj w 0 osig mksimum loklne. Funkcj logistczn c.d. f () < 0 dl ( 0 r, 0 ), (1) f () > 0 dl ( 0, 0 + r), (2) f () > 0 dl ( 0 r, 0 ), (3) f () < 0 dl ( 0, 0 + r), (4) Ekstremum loklne przkłd Chcąc uzsdnić, że dl, b i c dodtnich pochodn funkcji f(t) = 1+be, postci ct f (t) = bce ct (1 + be ct ) 2, m mksimum w punkcie t 0 = ln b c, nleż skorzstć z Twierdzeni 1 i nstępującch fktów: f (t) > 0 dl t < t 0 ; f (t) < 0 dl t > t 0 ; f (t) = 0 dl t = t 0. Ekstremum loklne przkłd Rozwżm funkcję g() = 1 3 3 5 2 2 + 6. Oczwiście g jest różniczkowln n R. Chcąc zbdć istnienie ekstremów funkcji g znjdujem miejsc zerowe g () : g () = 2 5 + 6 = 0 = 2 lub = 3. 4
Mm: g () > 0 dl < 2 lub > 3; (5) g () < 0 dl > 2 i < 3. (6) Stąd funkcj g m w punkcie = 2 mksimum loklne, i w punkcie = 3 minimum loklne. Przkłd c.d. (7) 4.0 4.5 5.0 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 Rsunek 3: Wkres = 1 3 3 5 2 2 + 6 Pojęcie funkcji wpukłej Tempo wzrostu funkcji f 0 (t) = 1+5e rośnie n [0, t 0,5t 0 ), gdzie t 0 = ln 5 0,5 3,22. Odpowid to ścisłej wpukłości funkcji f 0 n przedzile [0, t 0 ). Definicj 4. Mówim, że funkcj f jest ściśle wpukł n przedzile I, jeżeli dl 1, 2 I, 1 < 2, odcinek łcz c punkt ( 1, f( 1 )) i ( 2, f( 2 )) leż w cłości (z wjtkiem końców) pond wkresem funkcji f. Wpukłość funkcji dwukrotnie różniczkowlnch Funkcj f jest dwukrotnie różniczkowln n przedzile otwrtm I jeżeli dl kżdego 0 I istnieje drug pochodn funkcji f w 0. Twierdzenie 2. Funkcj f dwukrotnie różniczkowln n I jest ściśle wpukł n I wted i tlko wted, gd f ( 0 ) > 0 dl kżego 0 I. Dl funkcji logistcznej f(t) = 1+be ct,, b, c > 0, drug pochodn f (t) = bc2 e ct (be ct 1) (1 + be ct ) 3 jest dodtni dl t < t 0 = ln b c ; gd b = 5, c = 0,5 (odpowidją funkcji f 0) t 0 3,22. 5
f( 2 ) z f( 1 ) f(z) 0 1 z 2 Rsunek 4: Funkcj f jest wpukł n przedzile otwrtm I jeżeli dl dowolnch 1, 2 I dl kżdego z ( 1, 2 ) punkt (z, f(z)) leż poniżej odcink łączącego ( 1, f( 1 )) i ( 2, f( 2 )). Pojęcie funkcji ściśle wklęsłej Tempo wzrostu funkcji f 0 (t) = 1+5e rośnie n (t 0,5t 0, ), gdzie t 0 = ln 5 0,5 3,22. Odpowid to ścisłej wklęsłości funkcji f 0 n przedzile (t 0, ). Definicj 5. Mówim, że funkcj f jest ściśle wklęsł n przedzile I, jeżeli dl 1, 2 I, 1 < 2, odcinek łcz c punkt ( 1, f( 1 )) i ( 2, f( 2 )) leż w cłości (z wjtkiem końców) pod wkresem funkcji f. Ścisł wklęsłość funkcji dwukrotnie różniczkowlnch Twierdzenie 3. Funkcj f dwukrotnie różniczkowln n I jest ściśle wpukł n I wted i tlko wted, gd f ( 0 ) < 0 dl kżdego 0 I. Dl funkcji logistcznej f(t) = 1+be ct,, b, c > 0, drug pochodn f (t) = bc2 e ct (be ct 1) (1 + be ct ) 3 jest ujemn dl t > t 0 = ln b c ; gd b = 5, c = 0,5 (odpowidją funkcji f 0) t 0 3,22. Punkt przegięci Definicj 6. Niech funkcj f będzie różniczkowln n otoczeniu punktu O( 0, r) = ( 0 r, 0 + r) dl pewnego r > 0. Mówim, że punkt ( 0, f( 0 ) jest punktem przegięci wkresu f jeśli funkcj f jest: ściśle wpukł n ( 0 r, 0 ) i ściśle wklęsł n ( 0, 0 + r) 6
f(z) f( 1 ) z f( 2 ) 0 1 z 2 Rsunek 5: Funkcj f jest ściśle wklęsł n przedzile otwrtm I jeżeli dl dowolnch 1, 2 I dl kżdego z ( 1, 2 ) punkt (z, f(z)) leż powżej odcink łączącego ( 1, f( 1 )) i ( 2, f( 2 )). lub ściśle wklęsł n ( 0 r, 0 ) i ściśle wpukł n ( 0, 0 + r). Dl funkcji logistcznej f(t) = 1+be,, b, c > 0, punkt (t ct 0, f(t 0 )) jest punktem przegięci wkresu t 0 = ln b c (zkłdjąc, że t 0 nleż do dziedzin f w pewnch zstosownich przjmujem, że D f = [0, )). Uzupełnieni Uwg 1. Definicję wpukłości funkcji otrzmujem zstępujc w definicji ścisłej wpukłości słow pond wkresem przez słow pond wkresem lub m punkt z nim wspólne. Podobnie otrzmujem definicję wklęsłości funkcji modfikujc definicję ścisłej wklęsłości (por. [Wrz08, str. 147]). Uwg 2. Złóżm, że 0 (, b). Wrunkiem koniecznm n to, b funkcj f, dwukrotnie różniczkowln n przedzile (, b), mił w punkcie ( 0, f( 0 )) punkt przegięci jest f ( 0 ) = 0. 7