FUNKCJA KWADRATOWA JEDNOMIAN II STOPNIA. Definicja. Jednomianem II -go stopnia nazywamy funkcję f(x) R R daną wzorem. f(x) = ax 2.

Transkrypt

1 JEDNOMIAN II STOPNIA FUNKCJA KWADRATOWA Definicj. Jednominem II -go stopni nzwm funkcję f() R R dną wzorem f(),gdzie i R np. f() f() - f() > A< np. f() Np. f() - X X Y 9 Y Y Y X X )Wkresem funkcji jest krzw zwn prolą. )Funkcj jest przst. F() f(-) F() F(-) (-) ) Funkcj przjmuje wrtości nieujemne. )Wkresem funkcji jest krzw zwn prolą. )Funkcj jest przst f() f(-) f() - f(-) -(-) - ) Funkcj przjmuje wrtości niedodtnie. ) Funkcj przjmuje wrtość njmniejszą w wierzchołku ) Funkcj przjmuje njwiększą wrtość w wierzchołku ( ); funkcj

2 ();funkcj nie przjmuje wrtości njwiększej. 5) Twierdzenie Funkcj jest mlejąc w przedzile (-, ) i rosnąc w przedzile (, ). Dowód Weźm dowolne < i rozptrzm róŝnicę F( ) - f( ) - ( - ) ( - ) ( ) PoniewŜ > i ( - )> to znk róŝnic F( ) - f( ) zleŝ od sum ( ) ) JeŜeli < < to ( ) < i róŝnic f( ) - f( ) < f( ) < f( ) Ztem funkcj w ziorze R - jest mlejąc. ) JeŜeli < < to ( ) > i róŝnic f( ) - f( ) > f( ) > f( ) Ztem funkcj w ziorze R jest rosnąc. nie posid wrtości njwiększej. 5) Twierdzenie Funkcj - jest rosnąc w przedzile (-,) i mlejąc w przedzile (, ). Dowód Weźm dowolne < i rozptrzm róŝnicę F( ) - f( ) - -(- ) -( - ) -( - ) ( ) PoniewŜ < i ( - )> to znk róŝnic F( ) - f( ) zleŝ od sum ( ) ) JeŜeli < < to ( ) > i róŝnic f( ) - f( ) > f( ) > f( ) Ztem funkcj ziorze R - jest rosnąc. ) JeŜeli < < to ( ) < i róŝnic f( ) - f( ) < f( ) < f( ) Ztem funkcj w ziorze R jest mlejąc. Przkłd. W jednm ukłdzie współrzędnch nszkicuj wkres funkcji : ; ; ; ;. Y X Serie Serie Serie5 Serie7 Serie9 Seri Seri Seri 5 Seri 7 Seri 9 WNIOSEK.JeŜeli > to rmion proli zwrócone są ku górze. JeŜeli < to rmion proli zwrócone są ku dołowi.

3 . Współcznnik decduje o ksztłcie proli. Postć ogóln i knoniczn trójminu kwdrtowego. Definicj. Funkcję f: R R dną wzorem f() (-p) q,(gdzie ) nzwm postcią knoniczną funkcji. Twierdzenie. Wkresem funkcji (-p) q jest prol powstł w wniku przesunięci wkresu funkcji o wektor [p,q]. Przkłd. Nrsuj wkres funkcji. )(-) - Kolejne kroki. ) ) przesuwm o wektor [,-] Przkłd. Przeksztłć wrŝenie. ) (-) ) -( ) -( )- - c) () -( )- 87 Definicj. Funkcję f: R R postci f() c ; nzwm postcią ogólną funkcji kwdrtowej (trójminem kwdrtowm). Definicj. WrŜenie -c nzwm wróŝnikiem ( deltą ) funkcji kwdrtowej. Przkłd. Olicz wróŝnik funkcji.

4 ) -- - c- -c 8 ) - π - -c π π c c) 87 -c c7 Przkłd. Zmień postć ogólną trójminu kwdrtowego n postć knoniczną. ) -- ( -)- (-) - ) 87 ( )7 ( )- () - Twierdzenie. Postcią knoniczną trójminu kwdrtowego c jest ( ) - Dowód. Postć knoniczn trójminu. Y ( -p) q Y c ( -p) q c ( -pp )q c

5 -pp q c -pp qc -p p- cp q qc-p c-(- ) c- c- p- q- c c ( c) - - c c ( -p) q ( ) - c.n.d. WNIOSEK Wierzchołek proli m współrzędne (-,- ). Zdnie. Nrsuj wkres funkcji ) -( ) ) () - c) 6 ) Kolejne kroki : ) ) -, [-,] ) Kolejne kroki : ) ), [-,-] Y Y X X

6 c) Kolejne kroki : Przeksztłcm funkcję z postci ogólnej n knoniczną. Y 6 5 Rsujem: ) ) 5,, ) 5 Y X Zdnie. Wzncz współcznnik trójminu, jeśli widomo, Ŝe do jego wkresu nleŝ punkt o współrzędnch P(,6) Jeśli punkt P nleŝ do wkresu trójminu to musi spełnić jego równnie,czli f()6 Y Odp. Szukn współcznnik jest równ. Zdnie. Przeksztłć wrŝenie ) z postci knonicznej w ogólną π 6 5 5

7 π 6 π 6 π 6 π Odp π 5 5π 6 6 π 5 5π 6 6 π 5 5π 6 6 ) z postci ogólnej w knoniczną 7 π 7 Oliczm wróŝnik funkcji. π 7 -c 7 c 7 π 7 6 Korzstjąc z wzoru Oliczm π 8π π 7 π Odp. π 8π π 7 π Zdnie. Wzncz,,c trójminu c, jeśli jego wkres przechodzi przez punkt : P(,), Q(,-),R( -,) Odp. Szukn trójmin m postć -6 Zdnie.Wzncz trójmin kwdrtow c wiedząc, Ŝe jego wkres przechodzi przez punkt (,) i (,-) orz, Ŝe dl osiąg on swoją njmniejszą wrtość. Wskzówk. Skorzstj ze wzorów n współrzędne wierzchołk. Odp. Y -6.

8 Zdnie. Wzncz funkcję f(m) wrŝjącą liczę pierwistków równni zleŝności od prmetru m. dl m (,) dl m lum (, ) Odp. dl m dl m (,) m w Zdnie. Nrsuj wkres funkcji ) ) - 5 Odp. ) Y X ) Y X Miejsc zerowe funkcji. Brk miejsc zerowch Jedno miejsce zerowe Dw miejsc zerowe

9 ZuwŜm, Ŝe o ilości miejsc zerowch decduje przesunięcie pionowe wkresu. Ztem z wzoru q po przeksztłceniu otrzmm -q Trójmin nie m miejsc zerowch wted, > < q > q < W ou przpdkch wróŝnik jest mniejsz od zer (<) Trójmin m jedno miejsce zerowe wted, gd > < q q W ou przpdkch wróŝnik jest równ zero (). Trójmin m dw miejsc zerowe wted, gd > < q < q > W ou przpdkch wróŝnik jest większ od zer (>). Udowodniliśm w ten sposó nstępujące twierdzenie : Twierdzenie. Funkcj kwdrtow f() c, gdzie m: ) dw miejsc zerowe > ) jedno miejsce zerowe ) zero miejsc zerowch < Przkłd. Określ ilość miejsc zerowch trójminu ) - -c

10 6- -8 Odp. Funkcj nie m miejsc zerowch, poniewŝ <. Twierdzenie. JeŜeli trójmin kwdrtow f() c, gdzie m ) > to jego dw miejsc zerowe mją postć:, ) to jedne miejsce zerowe m postć Dowód.() Niech dn ędzie trójmin f() c, gdzie i > W swoim miejscu zerowm trójmin przjmuje wrtość zero. c ) ( ] ) [( ) ( PoniewŜ > to moŝem npisć, Ŝe ( ) ] ) ( ) [( ] ) ( ) [( Korzstją ze wzoru n róŝnicę kwdrtów otrzmujem )] ( ) [( )] ( ) [(

11 c.n.d. Dowód.() Jeśli to podstwijąc otrzmm : c.n.d. WNIOSEK Jeśli w trójminie kwdrtowm f() c i to trójmin moŝem przedstwić w postci ilocznowej: )> c(- )(- ) ) c(- )(- )(- ), gdzie,, są miejscmi zerowmi trójminu. Przkłd. Określ ilość miejsc trójminu - Odp. Trójmin m dw miejsc zerowe. Przkłd. Przedstw w postci ilocznowej. f() 5- -c 8 9 -c 59

12 c(- )(- ) 5-(- )() Odp. Postć ilocznow funkcji to ( )( ). Zdnie. Nrsuj wkres funkcji ) f() - ) f() - Równnie kwdrtowe. Definicj Równnie postci: c orz kŝde jemu równowŝne nzwm równniem kwdrtowm. Rozwiąznie równni kwdrtowego jest równowŝne z wznczeniem miejsc zerowch dnego trójminu. Twierdzenie I Istnienie i licz rozwiązń równni kwdrtowego zleŝą od znku wróŝnik. Gd jest <, równnie nie m rozwiązń.. Gd jest, równnie m jedno rozwiąznie (dwukrotne):.gd jest >, równnie m dw rozwiązni:, c Przkłd. Rozwiązć równnie : 7. Oliczm wróŝnik: ( 7) 88 N podstwie twierdzeni :, 6 ;

13 Przkłd. Rozwiązć równnie: 6. MnoŜm oie stron równni przez (-) i otrzmujem równnie równowŝne: 6. Oliczm wróŝnik: ( ) 6. N podstwie twierdzeni : 6 Przkłd. Rozwiązć równnie: 77. Oliczm wróŝnik: 77 <. N podstwie twierdzeni stwierdzm, Ŝe równnie nie m rozwiązni. Zdni: RozwiąŜ równnie: ) 5 6, ),, 8 ) ) 5) ( ) RÓWNANIA KWADRATOWE ZUPEŁNE I NIEZUPEŁNE. I. Równnie kwdrtowe zupełne: W przpdku, gd i c, równnie c nzwm równniem kwdrtowm zupełnm i rozwiązujem je n podstwie twierdzeni I. II. Równnie kwdrtowe niezupełne: W przpdku, gd i c, równnie c przier postć: c lu lu i nzw się równniem kwdrtowm niezupełnm. Równnie niezupełne rozwiązujem rozkłdjąc lewą stronę równni n cznniki. Przkłd. Rozwiązć równnie: 5 ( 5 ) ( lu 5 ). Ztem,,. Przkłd. Rozwiązć równnie: 7 ( 7) ( 7) Stąd 7, 7 Przkłd. Rozwiązć równnie: 9

14 PoniewŜ jest 9 > dl kŝdego, więc równnie 9 nie m rozwiązni. Zdni: RozwiąŜ równni: ) ) 8 ) ) 5 5)

15 Zstosownie równń kwdrtowch do rozwiązwni zdń tekstowch. Zdnie. Sum kwdrtów czterech kolejnch licz nieprzstch wnosi 6. Wzncz te licz. Oznczeni: pierwsz licz nieprzst; C drug licz nieprzst; C 5 c trzeci licz nieprzst; C 7 d czwrt licz nieprzst; C Otrzmujem: ( ) ( ) ( 5) ( 7) / 6 Otrzmliśm równnie kwdrtowe zupełne: Rozwiązujem je n podstwie twierdzeni I.Oliczm wróŝnik: c 6 N podstwie twierdzeni I: Stąd wkorzstując wcześniejsze oznczeni otrzmujem: 5 c c d d 5 Odp: Szukne licz to: 5 c d c d 5 Zdnie. JeŜeli od pewnej licz odejmiem jej odwrotność, to otrzmm 5. Co to z licz? 6 Oznczm przez: szukn licz

16 odwrotność szuknej licz Z wrunku zdni mm: 5 / / Otrzmliśm równnie kwdrtowe zupełne. Rozwiązujem je n podstwie twierdzeni I. Oliczm wróŝnik: c N podstwie twierdzeni I: 5 5 Sprwdzenie: Odp: Szukne licz to: lu Zdnie. WkŜ, Ŝe dl licz dodtnich i zchodzi: Z wrunku zdni mm:,. Przeksztłcjąc, otrzmujem: / ( ) Kwdrt licz rzeczwistej nigd nie jest ujemn, więc wrunek jest spełnion c.n.d.

17 Zdni:. Sum cfr licz dwucfrowej wnosi 9. JeŜeli pomnoŝm tę liczę przez liczę o przestwionch cfrch, to otrzmm 9. Co to z licz? Odp: 7;7. Sum kwdrtów trzech kolejnch licz nturlnch równ się 9. Olicz te licz. Odp: 7;8;9. Wsokość wlc jest o cm większ od jego średnic. Pole powierzchni cłkowitej wnosi π cm. Olicz wmir wlc. Odp: r cm; h cm. Owód romu równ się 6 cm, róŝnic długości jego przekątnch wnosi cm. Olicz długości przekątnch romu. Odp: cm; cm 5. Znjdź liczę dwucfrową wiedząc, Ŝe róŝnic jej cfr wnosi, iloczn tej licz przez sumę tch cfr wnosi. Odp: 6. Nierówności kwdrtowe. I. Bdnie znku trójminu kwdrtowego. Dn jest trójmin kwdrtow: c, gdzie Ptm dl jkich wrtości zmiennej trójmin ten przier wrtości dodtnie, dl jkich ujemne. Inczej: dl jkich wrtości zmiennej jest >, dl jkich <. Punkt wkresu trójminu dl którch jest >, leŝ nd osią ; punkt wkresu, dl którch jest <, leŝ poniŝej osi. Przpdek. < w tm przpdku trójmin nie m pierwistków i otrzmujem wkres:

18 > 8 X - - < Dl > i < cł wkres znjduje się nd osią. Ztem dl kŝdej wrtości trójmin m wrtość dodtnią. Dl < i < cł wkres znjduje się pod osią. Ztem dl kŝdej wrtości trójmin m wrtość ujemną. Twierdzenie. JeŜeli wróŝnik trójminu kwdrtowego: c, gdzie, jest ujemn, to znk trójminu jest dl wszstkich wrtości zgodn ze znkiem współcznnik prz. Przpdek. w tm przpdku trójmin m jeden pierwistek i otrzmujem wkres: 8 > < X Dl > i z wjątkiem wierzchołk wszstkie punkt proli znjdują się nd osią. Ztem dl trójmin m wrtości dodtnie. Dl < i z wjątkiem wierzchołk wszstkie punkt proli znjdują się pod osią. Ztem dl trójmin m wrtości ujemne.

19 Twierdzenie. JeŜeli wróŝnik trójminu kwdrtowego: c, gdzie, jest równ, to znk trójminu jest zgodn ze znkiem współcznnik prz dl wszstkich wrtości oprócz pierwistk, dl którego funkcj przier wrtość zero. Przpdek. > w tm przpdku trójmin m dw pierwistki (zkłdm < ) i otrzmujem wkres: > 8 6 X < Dl > i > punkt wkresu mjące rzędną dodtnią odpowidją wrtościom,,leŝącm poz pierwistkmi. Punkt wkresu mjące rzędną ujemną, odpowidją wrtościom,,leŝącm międz pierwistkmi. Dl < i > punkt wkresu mjące rzędną dodtnią odpowidją wrtościom,,leŝącm międz pierwistkmi. Punkt wkresu mjące rzędną ujemną, odpowidją wrtościom,,leŝącm poz pierwistkmi. Twierdzenie. JeŜeli wróŝnik trójminu kwdrtowego: c, gdzie, jest dodtni, to: ) znk trójminu jest zgodn ze znkiem współcznnik prz dl wrtości połoŝonch poz pierwistkmi trójminu, czli dl kŝdego: ( ; ) ( ; ). ) znk trójminu jest przeciwn do znku współcznnik prz dl wrtości połoŝonch międz pierwistkmi trójminu, czli dl kŝdego: ( ) ;. II. Nierówności kwdrtowe. Nierównością kwdrtową nzwm nierówność postci c < lu c >, gdzie. Istnieją tkŝe nierówności nieostre: c lu c, gdzie.

20 Rozwiązwnie nierówności kwdrtowch sprowdz się do dni znku trójminu kwdrtowego. Przkłd. RozwiąŜ nierówność: 6 7 > oliczm wróŝnik: c lu 6 8 lu PoniewŜ > i > wkres trójminu przier postć: X5 - - N podstwie twierdzeni trójmin 6 7 przier wrtości dodtnie dl wrtości połoŝonch poz pierwistkmi trójminu, czli dl <- lu >7. Odp: Ziorem rozwiązń nierówności 6 7 > jest sum przedziłów nieogrniczonch ; 7 ;. ( ) ( ) Przkłd. RozwiąŜ nierówność: oliczm wróŝnik: c 6

21 lu 6 lu 6 PoniewŜ > i < wkres trójminu przier postć: - - -/ X -6-8 N podstwie twierdzeni trójmin przier wrtości ujemne dl wrtości połoŝonch poz pierwistkmi trójminu, czli dl <-/ lu >. Odp: Ziorem rozwiązń nierówności > jest sum przedziłów nieogrniczonch ; ; ). Przkłd. RozwiąŜ nierówność: oliczm wróŝnik: c < Nie m pierwistków. PoniewŜ < i < wkres trójminu przier postć:

22 X N podstwie twierdzeni trójmin przier wrtości ujemne dl wrtości R. Odp: Rozwiązniem nierówności są wszstkie licz rzeczwiste. Zdni: RozwiąŜ nierówności: ) 8 > ) 5 5 ) > ) ( 5) > 5),, > Równni dwukwdrtowe i pierwistkowe. I. Równni dwukwdrtowe. Równnie postci: c nzwm równniem dwukwdrtowm. Równni dwukwdrtowe rozwiązuje się przez sprowdzenie do równni kwdrtowego poprzez podstwienie. Przkłd. RozwiąŜ równnie: ) 9 Podstwim: t ( ) 9 t t 9 Otrzmliśm równnie kwdrtowe zupełne. Oliczm wróŝnik: c Wznczm pierwistki:

23 t lu t 8 8 t lu t t lu t 9 lu 9 lu Odp: Rozwiązniem równni Zdni: RozwiąŜ równni: ) ( ) 7( ) Odp: ; -; 6; 6 9 są:. ) ( 9)( 6) 5 Odp: ; -; 6; -6 ) Odp: ; II. Równni pierwistkowe. Równniem pierwistkowm nzwm równnie, w którm niewidom wstępuje pod znkiem pierwistk. Przkłd. RozwiąŜ równnie: 5 6 Określm dziedzinę: D { R, } ( ) 5 6 Podstwim: t t 5t 6 Otrzmliśm równnie kwdrtowe zupełne. Oliczm wróŝnik: c 5 Wznczm pierwistki: t lu t 5 t 5 lu t t lu t lu lu 9 Sprwdzenie: 5 6

24 6 6 L P L P Odp: Rozwiązniem równni są: lu 9. Przkłd. RozwiąŜ równnie: 6 9 Określm dziedzinę: D: D R; Podnosząc oie stron do kwdrtu, otrzmujem: Otrzmliśm równnie kwdrtowe zupełne. Oliczm wróŝnik: c 78 Wznczm pierwistki: lu 8 8 lu lu 5 Sprwdzenie: L P

25 L P Odp: Rozwiązniem równni jest:. Przkłd. RozwiąŜ równnie: Określm dziedzinę: D: D R; { } Podnosim oie stron do kwdrtu: Ponownie podnosim oie stron do kwdrtu: ( ) Otrzmliśm równnie kwdrtowe zupełne. Oliczm wróŝnik: c Wznczm pierwistki: lu lu lu Sprwdzenie: ( ) L P L P Odp: Rozwiązniem równni jest:..

26 Zdni: RozwiąŜ równni: ) ) ) 5 < 9 ) < 5) ( ) ( ) Wzor Viete. I. Twierdzenie Viete JeŜeli, i są pierwistkmi trójminu c, to zchodzą związki: c Dowód: Z złoŝeni wnik, Ŝe. Dl kŝdej wrtości prwdziw jest równość: c ( )( ). Wkonujem dziłni po prwej stronie równości: c ( ). Równość t zchodzi dl kŝdej wrtości wted i tlko wted, gd współcznniki prz zmiennej i wrz stłe są odpowiednio równe, czli gd ( ) i c. Stąd: c i, c.n.d. W przpdku mm: ; wzor Viete przierją postć: c,. II. Zstosownie wzorów Viete.. Bdnie znków pierwistków trójminu kwdrtowego. Zkłdm:,. Z włsności sum i ilocznu licz rzeczwistch wnik:

27 < ( < i > ). ( > i > ) ( > i > ). ( > i < ) ( < i < ). Przkłd. Nie oliczjąc pierwistków trójminu ustlić ich znki. Sprwdzm, Ŝe >, więc pierwistki istnieją i Ze wzorów Viete : c > > Stąd : > i >. Odp. Pierwistki mją znki dodtnie.. Przkłd. Dn jest trójmin: 6. Oliczć sumę odwrotności pierwistków tego trójminu. Mm, c 6, c <, c >, więc trójmin m dw pierwistki.. PoniewŜ, 6, więc. Odp. Sum odwrotności pierwistków trójminu wnosi:. Przkłd. Widomo, Ŝe, są pierwistkmi trójminu. Nie rozwiązując wzncz: c ( ) c ( ) c. c c Zdni.Określ znki pierwistków trójminu jeśli one istnieją: ) 5 Odp. Pierwistki są róŝnch znków ) Odp. Pierwistki mją znki dodtnie. c) 6 Odp. Trójmin nie m pierwistków..pierwistki trójminu 8 c są liczmi nturlnmi. Olicz c. Odp: lu

28 . Widomo, Ŝe, są pierwistkmi trójminu. Nie rozwiązując wzncz: ) Odp. c ) Odp. c Równni kwdrtowe z prmetrem. Przkłd. Zdj liczę rozwiązń równni w zleŝności od prmetru m. Skonstruuj funkcję f ( m) wrŝjącą tę zleŝność i nrsuj jej wkres. ). 5 m 5 m 5 c m Oliczm wróŝnik: c 5 ( m) 5 6 m m 9 Brk rozwiązń < Jedno rozwiąznie Dw rozwiązni > m 9 < m < 9 m < 9 m 9 m 9 m 9 m 9 > m > 9 m > 9 f ( m) dl dl dl 9 m < 9 m 9 m >

29 f(m) f ( m) m - Odp. JeŜeli m < 9, to równnie nie m rozwiązni. JeŜeli m 9, to równnie m jedno rozwiąznie. JeŜeli m > 9, to równnie m dw rozwiązni. ) ( m ) m Oliczm wróŝnik: [ ( m ) ] m m 6m 9 m 9 6m Brk rozwiązni < Jedno rozwiąznie Dw rozwiązni 6m 9 < 6m < 9 m > m > 9 6 6m 9 6m 9 m m 9 6 6m 9 > 6m > 9 m < m < 9 6 f ( m) dl dl dl m > m m <

30 f(m) f ( m) m - Odp. JeŜeli m >, to równnie nie m rozwiązni. JeŜeli m, to równnie m jedno rozwiąznie. JeŜeli m <, to równnie m dw rozwiązni. ) m ( m ) m I. Równnie liniowe otrzmm jeŝeli: m Wted: równnie m jedno rozwiąznie. II. Równnie kwdrtowe otrzmm, jeŝeli: m Wted: m ( m ) m Brk rozwiązń Jedno rozwiąznie Dw rozwiązni

31 m < m 6 < m < 6 m > m < m 6 m 6 m m > m 6 > m > 6 m < dl m > f ( m) dl m lu m dl m < lu m f(m) f ( m) m - Odp. JeŜeli m >, to równnie nie m rozwiązni. JeŜeli m m, to równnie m jedno rozwiąznie. JeŜeli m < m, to równnie m dw rozwiązni. Przkłd. Dl jkich prmetrów m., n równnie: m mn n m jeden pierwistek podwójn. Wzncz ten pierwistek. m mn n m mn n ( m n) mn m n c mn A pierwistek ł podwójn. Oliczm wróŝnik:

32 c ( m n) mn m mn n ( m n) ( m n ) m n m n Oliczm pierwistek: ( m n) m m m m ( ) Odp. Dl prmetru m n równnie m mn n m jeden pierwistek podwójn m. Zdni. Zdj liczę rozwiązń równni w zleŝności od prmetru m. Skonstruuj funkcję f ( m) wrŝjącą tę zleŝność i nrsuj jej wkres. ) ( m) ( m ) m Odp. JeŜeli m, 5, to równnie nie m rozwiązń. JeŜeli m m m, to równnie m jedno rozwiąznie. 5 JeŜeli m, (, ) (, ), to równnie m dw rozwiązni. 5 ) m 9 Odp. JeŜeli m >, to równnie nie m rozwiązń. JeŜeli m < m, to równnie m jedno rozwiąznie. JeŜeli m m, to równnie m dw rozwiązni.. Dl jkich wrtości prmetru m równnie: ( m ) m 5 m dw pierwistki spełnijące wrunek? Odp. m, m. Dl jkich wrtości prmetru m równnie m m: ) m dw pierwistki Odp. m < 5 ) m jeden pierwistek (podwójn) Odp. m 5 c) nie m pierwistków Odp. m > 5 Równni kwdrtowe z prmetrem rozwiązwnie zdń.

33 Przkłd Dl jkiego prmetru k ziorem wrtości funkcji f ( ) k k jest ziór R { }. Rozptrujem dw przpdki: ) funkcj liniow JeŜeli k wted funkcj przjmuje postć: f ( ). Nie spełni wrunków zdni. ) funkcj kwdrtow JeŜeli k funkcj przjmuje postć funkcji kwdrtowej. A spełnione ł wrunki zdni musi zchodzić: ) k > wted rmion proli ędą skierowne ku górze ) wted wierzchołek ędzie leŝł n osi OX Otrzmujem ukłd zleŝności: k > Oliczm wróŝnik równni c 6 k k k k 6 Z wrunków zdni wiem, Ŝe: k k 6 / ( ) k k Oliczm wróŝnik równni k k c k : k k 5 k lu k 5 k 5 lu k k lu k Nie spełni wrunku zdni k. Odp. Dl prmetru k ziorem wrtości funkcji f ( ) k k jest R { }. Przkłd. Dl jkiego prmetru trójmin ( ) ( ) przjmuje tlko wrtości ujemne? A trójmin przjmowł wrtości ujemne muszą zchodzić wrunki:

34 ) wted funkcj f ędzie trójminem ) < wted rmion proli ędą skierowne ku dołowi ) < wted wierzchołek ędzie leŝł pod osią Otrzmujem ukłd zleŝności: < < Z wrunków zdni wiem, Ŝe: < ( ) ( ) < < Oliczm wróŝnik równni: < c ( ) 6 lu 6 lu 6 lu Nie spełni wrunku zdni. (, ) (, )

35 (, ) Odp. Dl (, ) trójmin przjmuje wrtości ujemne. Zdni. Dl jkich m sum odwrotności pierwistków równni: ( m 5) m m jest dodtni? Odp. m (, ). Dl jkich m równnie ( m ) m m dw róŝne pierwistki mniejsze od? Odp. m (, ). Dl jkich k równnie k ( k) 9k 8 m dw róŝne pierwistki róŝnch znków? Odp. m (, 8 ) 9. Dl jkich ( C) pierwistki równni ( ) spełniją wrunek: <? Odp. m (, ) Funkcj kwdrtow zdni. Przkłd. Z dnch prostokątów o owodzie 8 wrć ten o njwiększm polu. Oznczeni: długość prostokąt szerokość prostokąt P pole prostokąt P O owód prostokąt O 8 Dwóm wmirom prostokąt przporządkown jest dokłdnie jedn pr licz, którą nzwm polem. Przporządkownie to nzwm funkcją. Ztem pole prostokąt moŝem trktowć jko funkcję jego wmirów. P f (, ) Wiem, Ŝe: 8

36 Podstwijąc do funkcji f (, ) otrzmm: f ( ) ( ) f ( ) Otrzmliśm funkcję jednej zmiennej, któr wrŝ zleŝność pol prostokąt od długości oku. A prostokąt mił njwiększe pole, to funkcj f ( ) musi mieć njwiększą wrtość. Funkcj f ( ) jest funkcją kwdrtową, której współcznnik prz njwŝszej potędze jest ujemn. Ztem njwiększ wrtość funkcj f ( ) przjmuje w wierzchołku. Współrzędne wierzchołk:,. Stąd otrzmujem: Odp. Ze wszstkich prostokątów o owodzie 8, njwiększe pole m kwdrt o oku. Przkłd. Któr z wlców o wsokości h, promieniu podstw r i owodzie przekroju osiowego p cm m njwiększą powierzchnię oczną? Oznczeni: p owód przekroju osiowego wlc h wsokość wlc r promień podstw S pole powierzchni ocznej wlc Mm wzor: p h r h r orz : S π rh Pole powierzchni ocznej wlc S π rh trktujem jko funkcję jego promieni i wsokości. Korzstjąc ze wzoru h r moŝem wrzić h w zleŝności od r : h 5 r Stąd: S( r) π (5 r) S( r) πr πr Widzim, Ŝe pole powierzchni ocznej rozptrwnego wlc wrziliśm jko funkcję promieni. Jest to funkcj drugiego stopni, gdzie π, π, c. PoniewŜ jest <, więc funkcj t osiąg njwiększą wrtość dl: r, czli r π, 5 8π Ztem pole powierzchni ocznej jest njwiększe, gd r, 5.

37 Mm wówczs: r 5cm, h ( 5 r) cm 5cm Odp. Njwiększą powierzchnię oczną m wlec, którego przekrojem osiowm jest kwdrt. Przkłd. Rozwiązć równnie: D: Dw rz podnosim oustronnie do kwdrtu: ( ) 9 9 Otrzmliśm równnie kwdrtowe. Oliczm wróŝnik: c Oliczm pierwistki: Sprwdzenie : ( ) ( 5) ( 5) ( ) 5 5

38 Sprwdzenie : Po uwzględnieniu dziedzin otrzmujem, Ŝe nie spełni równni. Odp. Rozwiązniem równni jest: 5 6.

39 Zdni. Okno m ksztłt prostokąt zkończonego n górze trójkątem równoocznm. Owód okn wnosi. Jk powinn ć długość podstw prostokąt, powierzchni okn ł njwiększ? Odp. 6. Rozwiązć w ziorze Z 5 równnie:. Odp.,. Z prostokątnego kwłk tektur wkonno otwrte pudełko w ten sposó, Ŝe wcięto w czterech rogch kwdrt o oku 5 i otrzmne oki zgięto. Długość rkusz tektur jest dw rz większ od szerokości, ojętość pudełk wnosi. Olicz wmir kwłk tektur, z którego wkonno pudełko. Odp. 6 i 8.. Rozwiązć równnie: 5 Odp. 5. Dw smochod minęł się n skrzŝowniu prostopdłch szos. Jeden jechł n północ, drugi n zchód. Po dwóch godzinch od spotkni ich odległość w linii powietrznej wnosił km. Średni prędkość jednego smochodu ł o km/h większ niŝ średni prędkość drugiego. Olicz te prędkości. Odp.8 km/h; 6 km/h. Definicj Równnie postci Równnie ogólne drugiego stopni. Krzwe stoŝkowe. A BC DEF, Gdzie A,B,C nie są jednocześnie zermi, nzwm równniem ogólnm drugiego stopni. Równnie kwdrtowe moŝe mieć: ) rk rozwiązń, np. ) jedno rozwiąznie, np. (-) ) nieskończenie wiele rozwiązń, np. ) - (-) (-)(-) proste równoległe ) - (-)() - proste prostopdłe

40 c) -56 d) - prol okrąg e) elips 9 f) - hiperol KŜde rozwiąznie równni kwdrtowego jest ziorem punktów, które tworzą krzwe zwne krzwmi stoŝkowmi. ) Okrąg ) (-p) -(-q) r równnie knoniczne okręgu p,q - współrzędne środk okręgu r - promień okręgu ) (-p) (-q) r -pp -qq -r -p-qp q -r równnie ogólne okręgu ) Elips

41 ( p) ( ) q p,q - współrzędne środk elips, - półosie elips ) Hiperol Przkłd. Jką krzwą przedstwi równnie. ) ) okrąg o środku S(,) i promieniu r okrąg o środku S(,) i r (-) 9

42 c) d) okrąg o środku S(,-) i r- 7 (-) () elips o środku S(-,) ; 6 i () 9 6 ( ) 6 e) - hiperol f) g) -9 (-)() () - dwie proste przecinjące się dwie proste przecinjące się Zdnie. Jką krzwą przedstwi równnie. ) - ) c) -6 d) ( ) ( ) e) 6 9 Ukłd równń. Przkłd. RozwiąŜ grficznie i lgericznie.

43 6 ) rozwiąznie grficzne okrąg o środku S(,) i r6 prost - ) rozwiąznie lgericzne Odp. Rozwiązniem są dwie pr licz.

44 Zdnie. RozwiąŜ lgericznie i grficznie. ) 6 ) 8 c) ) ( d) e) Stczn i sieczn krzwej stoŝkowej. Definicj. Prostą k mjącą jeden punkt wspóln z krzwą stoŝkową nzwm stczną. Definicj. Prostą k mjącą dw punkt wspólne z krzwą stoŝkową nzwm sieczną. Przkłd. Przedskutuj istnienie i liczę rozwiązń ukłdu równń w zleŝności od prmetru m. m m

45 m ( m) m ( m ) m 6 m Brk rozwiązń Jedno rozwiąznie Dw rozwiązni m< m<-5 m m-5 m> m>-5 Y X Serie Serie Serie Serie Odp. Dl prmetru m<-5 ukłd nie m rozwiązń, dl m-5 ukłd m jedno rozwiąznie, dl m>- 5 ukłd m dw rozwiązni. Zdnie. Dl jkiego prmertu m prost --m Jest stczn do krzwej -- Odp. Prost jest stczn do krzwej jeśli ukłd m jedno rozwiąznie, czli dl m--. lu m- Zdnie.Dl jkiego prmetru m prost nie m punktów wspólnch z krzwą (-) m. 6 Odp. Dl m (, ) prost nie m punktów wspólnch z krzwą. 5 Zdnie. Dl jkiego prmetru prost jest sieczną krzwej Odp. Dl (- 5, 5 ) prost jest sieczną krzwej. Zdnie.Dl jkiego prmetru t krzwe są stczne zewnętrznie. WSKAZÓWKA. Okręgi są stczne zewnętrznie jeśli spełnion jest wrunek S S r r. Odp. Dl t- okręgi są stczne zewnętrznie. Zdnie 5.Dl jkiego prmetru k krzwe są stczne. k

46 Odp. Dl k. Krzwe są stczne. Ukłd nierówności. Przkłd. Zzncz n płszczźnie. < > Zdnie. Zzncz n płszczźnie. ) ) ( 9 ) ( )

47 c) < > d) < sin e) < > > ) ( ) (