Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera

Transkrypt

1 Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie dyfrkcji w oprciu o zsdę Huyghens - Fresnel jest nstepując. ) S B C P Fl ze źródł S pd n szczelinę B i przechodzące przez otwór pd n ekrn C. Ntężenie w punkcie P możn obliczyć dodjąc do siebie wszystkie wektory flowe pochodzące od wszystkich punktów szczeliny.. Te zburzeni flowe mją różne mplitudy i fzy poniewż: ) elementrne os - cyltory Huyghens (punkty w szczelinie) są w różnych odległościch od punktu P; b) świtło opuszcz te punkty pod różnymi kątmi. Sytucj gdy fle opuszczjące otwór nie są flmi płskimi pojwi się gdy źródło fl S i ekrn C, n którym powstje obrz znjdują się w skończonej odległości od ekrnu ze szczeliną B. Tki przypdek nosi nzwę dyfrkcji Fresnel. Obliczeni ntężeń świtł są w tej sytucji są trudniejsze. Wrunki do wystąpieni dyfrkcji Frunhofer możn zrelizowć w lbortorium z pomocą dwu soczewek (rysunek c). Pierwsz soczewk zmieni flę rozbieżną w równoległ, drug skupi w punkcie P fle płskie opuszczjące otwór. Cłość uprszcz się, gdy źródło S i ekrn C odsuniemy n brdzo duże odległości od otworu uginjącego. Ten grniczny przypdek nzywmy dyfrkcją Frunhofer. Czoł fl pdjących jk i ugiętych są płszczyznmi (promienie są równoległe) tk jk to widć n rysunku (b). S c) f B f C P 53

2 Wszystkie promienie oświetljące punkt P opuszczją otwór równolegle do linii przerywnej (przechodzącej przez środek soczewki). Wrunki dyfrkcji Frunhofer były z złożeni spełnione w doświdczeniu Young. Dyfrkcj Frunhofer n pojedynczej szczelinie Rozwżmy flę płską pdjącą prostopdle n szczelinę o szerokości. Rozptrzmy punkt B f C P 0 Poniewż w szczelinie promienie są zgodne w fzie to po przebyciu tkich smych dróg optycznych ndl pozostją zgodne w fzie. Dltego w środkowym punkcie P 0 będzie mksimum. Rozptrzmy terz inny punkt P n ekrnie (rysunek obok). Promienie środkowy P 0 ekrnu. Równoległe promienie przebywją do tego punktu te sme drogi optyczne (różne geometryczne) tzn. promienie zwierją tę smą ilość długości fl (rozwżne soczewki są cienkie). b x / b P P 0 docierjące do P wychodzą ze szczeliny pod kątem. Jeden promień m początek u góry szczeliny, drugi w jej środku. (Promień xp przechodzi przez środek soczewki więc nie jest odchylny). Jeżeli wybierzemy punkt P tk, / żeby różnic dróg bb wynosił /, to promienie zgodne w fzie w szczelinie będą miły w punkcie P fzy przeciwne i wygszą się. Podobnie kżdy inny promień wychodzący z górnej połowy szczeliny będzie się wygszł z odpowiednim promieniem z dolnej połówki leżącym w odległości / poniżej. Punkt P będzie mił ntężenie zerowe (pierwsze minimum dyfrkcyjne). Wrunek opisujący to minimum m nstępującą postć czyli sin =, sin =. 54

3 Gdyby szerokość szczeliny był równ wtedy pierwsze minimum pojwiłoby się dl = 90 czyli środkowe mksimum wypełniłoby cły ekrn. W mirę rozszerzni szczeliny środkowe mksimum stje się węższe. Podobne rozwżni możemy powtórzyć dl wielu punktów szczeliny i otrzymmy ogólne wyrżenie dl minimów obrzu dyfrkcyjnego w postci sin = m, m =,,3, (minim) (6.) Mniej więcej w połowie między kżdą pr sąsiednich minimów występują oczywiście mksim ntężeni. Grficzn konstrukcj Fresnel Rozwżmy grficzną metodę znlezieni obrzu dyfrkcyjnego, którą zproponowł Fresnel. T metod czsmi dje możliwość łtwo znleźć dyfrkcyjny lbo interferencyjny obrz. Metodę Fresnel zilustrujemy njpierw rozwżjąć doświdczenie Young dotyczące interfencji fl pochodzących od dwuch szczelin. Aby wyliczyć wypdkowe ntężenie świtł w doświdczeniu Young dodwliśmy dw zburzeni flowe postci = sin ω t, = sin( ω t + ), które miły tę smą 0 0 częstość i mplitudę, różniły się fzą o. Wynik uzyskny zostł lgebricznie n podstwie prostych wzorów trygonometrycznych. Jednk metody nlityczne stją się zncznie trudniejsze gdy dodjemy więcej zburzeń flowych (funkcji typu dltego Fresnel wprowdził nstepującą prostą metodę grficzną sin x, cos x ) i Hrmoniczne (sinusoi- dlne lbo cosinuidlne) zburzenie flowe może być przedstwione gr- ω t ficznie jko obrcjący ω t się z prędkością kątową ω wektor, którego długość reprezentuje mplitudę 0. Tki wektor będziemy nzywć strzłką fzową (wskzem). Zmienne w czsie zburzenie flowe = sin ω t w chwili t 0 przedstwione jest wtedy przez rzut tej strzłki n oś pionową (odpowid to oczewiście pomnożeniu 0 przez mplitudzie 0, różni się od fzą sin ω t ). Drugie zburzenie flowe = sin( ω t + ) 0, o tej smej. Znjdujemy je podobnie jko rzut strzłki n oś 55

4 pionową. Terz wystrczy dodć i żeby otrzymć wypdkowe zburzenie. Widć to jeszcze lepiej gdy umieści się początek jednej strzłki n końcu poprzedniej zchowując różnicę fz (rysunek niżej). 0 0 Jko przykłd zstosowni metody grficznej Fresnel rozwżmy dyfrkcję n wąskiej szczelinie. Podzielmy szczelinę o szerokości n N psków o młej szerokości x. Kżdy psek jest źródłem fl kulistych Huyghens, które wytwrzją n ekrnie ω t określone zburzenie flowe. Różnic dróg między sąsiednimi pskmi wynosi x sin stąd różnic fz pomiędzy flmi pochodzącymi z sąsiednich psków wynosi x sin B C / π = x sin /, czyli π = xsin. (6.) P P 0 Zkłdmy, że pski są tk wąskie, że wszystkie punkty n dnym psku mją tę smą drogę optyczną do punktu P. Dl młych kątów mplitudy 0 zburzeń flowych w punkcie P pochodzące od różnych psków przyjmujemy z jednkowe. Ztem w puncie P dodje się N pól elektrycznych o tej smej mplitudzie 0, tej smej częstości i tej smej różnicy fz φ między kolejnymi wektormi. ) b) = M c) d) = 0 N rysunku obok przedst- wione jest zburzenie wypdkowe dl kilku różnych miejsc n ekrnie. Rysunek () przedstwi wrunki dl 0 mksimum środkowego ( = 0 ). Rysunek (b) przedstwi wrunki dl 56

5 kierunku nieco odmiennego od mksimum środkowego ( = 0 5 ). Rysunek (c) przedstwi wrunki dl pierwszego minimum ( = 0 30 ). Rysunek (d) przedstwi wrunki bliskie 0 pierwszemu mksimum (poz środkowym) ( = 4 ). Zwróćmy uwgę, że długość łuku jest zwsze równ M le mplitud jest różn. Wektory n rysunku odpowidją mplitudom ( nie ntężeniom). Żeby otrzymć ntężeni trzeb je podnieść do kwdrtu. N rysunku poniżej jest przedstwion konstrukcj służąc do obliczeni ntężeni świtł w przypdku dyfrkcji n jednej szczelinie. Sytucj odpowid tej pokznej n poprzednim rysunku (b). R α α R m m Jeżeli szczelinę podzielimy n nieskończenie wiele młych psków o szerokości dx to łuk strzłek będzie łukiem koł o promieniu R. Długość łuku wynosi m czyli równ jest mplitudzie w środku obrzu dyfrkcyjnego (lini prost strzłek). Kąt w dolnej części rysunku przedstwi różnicę fzy między skrjnymi wektormi w łuku tzn. jest różnicą fz pomiędzy promienimi wychodzącymi z góry i dołu szczeliny. Jk widć z rysunku sin( / ) = ( / ) / R, czyli m = R sin (6.3) W mierze łukowej =. Podstwijąc R = do równni (6.3) otrzymmy R gdzie α = /. m sin α = m, (6.4) α Przypomnijmy, że jest różnicą fz dl promieni wychodzących z krńców szczeliny. Poniewż różnic dróg dl tych promieni wynosi ( sin posługując się znnym związkiem różnic fz / π = różnic dróg / ), gdzie - szerokość szczeliny, 57

6 otrzymujemy π = sin. Skąd α π = = sin (6.5) Biorąc pod uwgę wzory (6.4) i (6.5) znjdujemy nstepujący wzór n ntężenie świtł dl dyfrkcji n pojedynczej szczelinie: I ( α ) sin sin ( π sin / ) ( P) = I m = I m. (6.6). ( α ) ( π sin / ) Interferencj Frunhofer n N jednkowych, równoodległych otworch (szczelinch) N rysunku obok jest pokzny ukłd, skłdjcy się z 6 otworów (szczelin) oświetlonych wiązką świtł pdjącego prostopdle do ekrnu (wiązki pdjącej nie pokzno). Poniewż fl pdjąc docier do wszystkich otworów w tej smej chwili czsu, różnic dróg dl fl rozchodzących się z sąsiednich otworów w stronę punktu P leżącego dleko n ekrnie obserwcyjnym, pokzn n rysunku niżej dl otworów i, będzie równ ( sin ). A ztem, jeżeli flę świetlną w punkcie P, pochodzącą od otworu, przedstwimy w postci: = 0 exp[ i( kr ω t)], (6.7) to flę świetlną w punkcie P, pochodzącą od otworu możn zpisć w nstępujący sposób: = 0 exp[ i( kr + k sin ω t)]. (6.8) Ztem flę świetlną w punkcie P, pochodzącą od n -tego otworu możn przedstwić w nstępujący sposób: n = exp[ i( kr + k ( n ) sin ω t)] = n exp( ik sin 0 ), (6.9) cłkowitą, wypdkową flę świetlną w punkcie P od N otworów będzie reprezentowć nstępując sum: 58

7 N N ( P) = = exp[ ik( n ) sin ] n= n n=. (6.0) Korzystjąc ze wzoru N N n N b b = + b + b + + b =. b n= wzór (6.0) możemy zpisć w postci (tu b = exp( ik sin ) exp( iπ δ ) : e = e iπ Nδ iπ δ ( P) = e = e iπ Nδ iπ δ N n= e e exp[ iπ ( n ) δ ] = iπ Nδ iπ δ e e iπ Nδ iπ δ = e iπ ( N ) δ sin sin ( π Nδ ) ( π δ ). (6.) Ntężenie fli świetlnej w punkcie P będzie ztem równe: I( P) ( P) = F sin ( π δ ) sin ( π Nδ ) ( ) I ( P), (6.) gdzie funkcj I ( ) jest opisuje rozkłd ntężeni świtł (punkt P jest punktem bieżącym P n ekrnie obserwcyjnym) ztem będzie zwierć efekty dyfrkcyjne, ntomist drugi czynnik, F, to czynnik interferencyjny, związny z nkłdniem się świtł ugiętego n wszystkich otworch. N rysunku () obok są przedstwione dwie funkcje sin ( π N δ ) i sin ( π δ ) tworzące czynnik interferencyjny dl ukłdu 0 równoodległych i jednkowych otworów rozmieszczonych n osi Ox. N rysunku (b) przedstwiono ich ilorz. b), będzie tkże okresow z okresem zmiennej δ równym jeden. Dl δ cłkowitych ( δ = m ; m = 0, ±, ±, itd.) wyrżenie sin ( π Nδ ) F =, (6.3) sin ( π δ ) jest nieoznczone (typu 0 / 0). Przy δ 0 ze wzoru (6.3) otrzymujemy: ( π Nδ ) ( π δ ) sin ( π Nδ ) F = = sin ( π δ ) N. (6.4) 59

8 Łtwo wykzć, że dl innych δ cłkowitych, ze względu n okresowość funkcji, wrtości F muszą być tkie sme i równe N. Będą to wrtości mksymlne, odpowidjące im prążki jsne będziemy nzywli prążkmi głównymi. Inne loklne mksim funkcji F odpowidć będą mksimom funkcji sin ( π N δ ) ( nie jej zerom, jk w przypdku mksimów głównych), ich wrtości będą zncznie mniejsze. Będą one odpowidły tk zwnym jsnym prążkom bocznym lbo wtórnym, będzie ich, pomiędzy prążkmi głównymi, N. Prążki jsne rozdzielone są prążkmi ciemnymi, których będzie, pomiędzy dwom kolejnymi prążkmi głównymi, N. Sitki dyfrkcyjne Włsności ukłdu wielu równoległych i równoodległych szczelin zostły wykorzystne w tzw. sitkch dyfrkcyjnych, które umożliwiją jeden z njdokłdniejszych pomirów (długości fli świtł) rutynowo wykonywnych przez fizyków prcujących w wielu różnych dziłch fizyki. Pierwsze sitki dyfrkcyjne zostły wykonne przez Frunhofer już w 80 roku. Podstwowy rodzj sitki dyfrkcyjnej, to tzw sitk odbiciow pokzn n rysunku niżej. Poniewż wiązk świtł ze źródł S nie pd n sitkę prostopdle (tylko pod kątem różnic fz dl fl ugiętych n sąsiednich otworch będzie skłdł się z dwóch podobnych wyrzów. Ztem mksim główne sitki dyfrkcyjnej tego typu muszą spełnić nstępujący wrunek: δ = ( sin + sin ) = Φ = m, (6.5) Φ sin i m = 0, ±, ±,. gdzie = ( sin + ) Dl ustlonego kąt pdni, dl kżdego rzędu sitki m będziemy mieli wobec tego wzjemnie jednoznczne przyporządkownie pomiędzy kątem i długością fli. A ztem pomir długości fli możn sprowdzić do pomiru położeni odpowiedniego prążk, który może być wykonny brdzo dokłdnie. W prktyce robi to się njczęściej nieco inczej; przy ustlonych kierunkch do punktów P i S (których rolę grją szczeliny wyjściow i wejściow spektrometru), obrcmy cłą sitką i mierzymy jej kąt obrotu. Przyrządy tkie często nzyw się monochromtormi. 60

9 Kryterium Ryleigh Brdzo wżną sprwą w przypdku przyrządów tkich jkich monochromtory czy spektrogrfy jest ich rozdzielczość spektrln, tzn zdolność rozróżnieni dwóch bliskich długości fli. Rozwżmy ten problem n przykłdzie omwinej wyżej odbiciowej sitki dyfrkcyjnej. Zgodnie z kryterium Ryleigh, dw prążki główne, odpowidjące różnym długościom fli i możn rozróżnić, gdy mksymum pierwszego przypd nie bliżej niż n pierwszy minimum drugiego. N rysunku pokzno rozkłd ntężeń dl którego, zgodnie z tzw kryterium Ryleigh, możn jeszcze rozróżnić dwie bliskie długości Ze wzorów (6.5) i (6.6) znjdujemy Tu zgodnie z (6.5) δ = Φ / = m fli, i. Kryterium to jest oczywiście trochę rbitrlne, le jest to w tej sytucji nieuniknione. Pierwsze, njbliższe do głownego mksimum (6.5), minim dl długości fli wypdją dl δ = m ± / N, ztem: δ min = Φ = m ±. (6.6) N δ mx δ min = ( Φ Φ ) = Φ =. (6.7) N mx. Z drugiej zś strony, ze wzoru (6.5) otrzymujemy nstępujący ogólny związek pomiędzy długością fli i wielkością Φ : = Φ / m. Skąd = Φ. (6.8) m Zestwijąc rzem wzory (6.7) i (6.8) otrzymujemy osttecznie wyrżenie n njmniejszą możliwą różnicę długości fli: lub też, w innej, brdziej przyjętej postci: = Φ = = (6.9) m m N mn 6

10 = R = m N, (6.0) gdzie R określ się minem zdolności rozdzielczej. 6