PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,

Transkrypt

1 Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie nierówności: więc stąd czyli równowżnie x, 4 0, A 6 A 6, x6 6 x 6 6, x x 0 x 4 x 0, Sposób II Szkicujemy njpierw wykres funkcji liniowej yx 6, nstępnie wykres funkcji y x 6 : y = 6 y = x + 6 y = x + 6 y = x + 6 Z drugiego wykresu odczytujemy, że zbiorem rozwiązń dnej nierówności jest, 4 0, Zdnie Reszt z dzieleni wielominu W x x 4x 5x przez wielomin Px x równ: A 5 B 5 C 9 D 9 Odpowiedź: A Rozwiąznie N mocy twierdzeni Bezout, reszt z dzieleni wielominu P x jest równ wrtości wielominu Wx dl rgumentu : W jest Wx przez dwumin

2 Zdnie Liczb log log8 jest równ: A log 4 4 B log C 4log D log Odpowiedź: B Rozwiąznie Ze wzoru n zminę podstwy logrytmu mmy: log log 4 log log log log log log 8 log 8 Zdnie 4 Po wykonniu dziłń i redukcji wyrzów podobnych w wyrżeniu W x x otrzymmy: A W x 5x x B W x 9x x C W x 5x 9x D W x 5x 9x Odpowiedź: A b b b b : Rozwiąznie Sposób I: korzystmy ze wzoru W x x 8x x 6x x x x x 5x x Sposób II: korzystmy ze wzoru b b b b : W x x x x x x x x x 4x 4x x x x x x x x x x x x 4x x x 5x x Zdnie 5 Dny jest okrąg o równniu promieniem, to: x x y y Jeśli S jest środkiem tego okręgu i r jego A S 5,, r 4 B 5, S, r C S 5,, r 4 D 5, S, r Odpowiedź: D Rozwiąznie Przeksztłcmy dne równnie równowżnie jk niżej: stąd S 5, i r Zdnie 6 x x y y x y 5 4,

3 Dny jest ciąg określony wzorem rekurencyjnym n n Wyzncz czwrty wyrz tego ciągu Zkoduj trzy początkowe cyfry po przecinku rozwinięci dziesiętnego otrzymnego wyniku Rozwiąznie Obliczmy kolejno: 4 46, , , Odpowiedź: 4 9 Zdnie Dny jest trójkąt o boku długości 4 i kącie przyległym do tego boku 45 Kąt leżący nprzeciwko boku m mirę 0 Oblicz długość boku leżącego nprzeciwko kąt 45 tego trójkąt Zkoduj cyfrę jedności i dwie cyfry po przecinku rozwinięci dziesiętnego otrzymnego wyniku Rozwiąznie Przyjmujemy oznczeni jk n rysunku obok Z twierdzeni sinusów mmy: x 4 0 sin 45 sin 0 stąd 4sin 45 x 4 4 5, 65 sin 0 Odpowiedź: x Zdnie 8 Oblicz odległość punktu 5, 6 A od prostej l : yx Podj przybliżenie dziesiętne otrzymnego wyniku z dokłdnością do dwóch miejsc po przecinku Zkoduj cyfrę jedności i dwie początkowe cyfry po przecinku otrzymnego przybliżeni Rozwiąznie Korzystmy ze wzoru n odległość punktu od prostej njpierw przeksztłcmy równnie dnej prostej do postci ogólnej: x y 0 Mmy: Odpowiedź: 5 6 5, 606, 6 5 5

4 6 0 Zdnie 9 Sześcin o krwędzi 6 przecięto płszczyzną przechodzącą przez przekątną podstwy i nchyloną do niej pod kątem 0 Oblicz wysokość otrzymnego przekroju Podj przybliżenie otrzymnego wyniku do trzech miejsc po przecinku i zkoduj trzy początkowe cyfry po przecinku otrzymnego przybliżeni Rozwiąznie Intuicj podpowid, że rozwżny przekrój jest trójkątem, le wypd sprwdzić, że tk jest: niech będzie njwiększym kątem, dl którego przekrój zwierjący przekątną podstwy jest trójkątem rysunek obok Wówczs tg, stąd α ,, więc zncznie więcej niż 0 Niech trójkąt ABC będzie dnym przekrojem rysunek obok Wysokość trójkąt znjdujemy z równości cos 0, h skąd h 6 6 4,899 Odpowiedź: = 6 0 h Uwg: zdnie jest nieprecyzyjne, bo trójkąt m trzy wysokości Zdnie 0 Oblicz grnicę ciągu określonego wzorem ogólnym n n4n n 5n Podj przybliżenie wyniku z dokłdnością do trzech miejsc po przecinku Zkoduj trzy początkowe cyfry po przecinku rozwinięci dziesiętnego otrzymnego przybliżeni Rozwiąznie

5 4 4 n4 n n n n n n n lim lim lim 0, n n 5n n 5 n 5 n n n n n Odpowiedź: Zdnie Rozwiąż równnie sin x sin 9x 0 dl x 0, Rozwiąznie Ze wzoru n sumę sinusów przeksztłcmy równnie do postci x 9x x 9x sin cos 0, czyli stąd więc sin 6xcos x 0, sin6x 0 lub cosx 0, 6x k x k 6 lub x k x k 6 Spośród powyższych rozwiązń wrunek x 0, spełniją: 0, 6,,,, 5 6 i Zdnie Rozwiąż nierówność x 4x 5x 0 Rozwiąznie Wielomin stojący po lewej stronie rozkłdmy n czynniki: x x x x x x x x x , x, x5 nstępnie szkicujemy wykres przedstwijący znki powyższego wielominu: 0 5 x Z wykresu odczytujemy, że nierówność spełniją liczby x, 0,5

6 Zdnie 9 x Wykż, że funkcj f x x minimum czy mksimum m dokłdnie jedno ekstremum loklne i określ, czy jest to Rozwiąznie Dziedziną funkcji f jest zbiór \, W celu znlezieni ekstremów tej funkcji obliczmy jej pochodną: x x x x x x x x 9 x x x 8x x 6x f i szkicujemy wykres ilustrujący znki pochodnej: 0 x 5 Poniewż pochodn tylko rz zmieni znk, to funkcj f m jedno ekstremum, przy czym w punkcie x0 0 pochodn zmieni znk z dodtniego n ujemny, to w tym punkcie funkcj m mksimum Zdnie 4 W trójkącie ABC poprowdzono środkową CD i wyznczono n niej tki punkt E, że Prost przechodząc przez punkty A i E przecin bok BC w punkcie P Wykż, że Rozwiąznie Korzystmy z oznczeń jk n rysunku obok Przeksztłcjąc trójkąt ABC przez symetrię względem punktu D otrzymujemy równoległobok AFBC Zuwżmy, że trójkąty EPC i EAF są podobne korzystmy z cechy podobieństw trójkątów kąt-kąt : kąty CEP i AEF są równe jko kąty wierzchołkowe, zś kąty PCE i AFE są równe jko nprzeminległe wewnętrzne Skl podobieństw k trójkątów EPC i EAF wynosi CE k EF 4 Tyle smo wynosi stosunek boków CP i AF, ztem tkże CP CB, A C x x + y E P D CE ED CP PB 6 4 y B stąd F CP PB 6

7 Zdnie 5 Sum nieskończonego ciągu geometrycznego jest równ 8 Sum nieskończonego ciągu utworzonego z sześcinów wyrzów dnego ciągu jest równ 5 Wyzncz pierwszy wyrz i ilorz tego ciągu Rozwiąznie Mmy orz q q 8 5 q q, przy czym zkłdmy, że ob szeregi są zbieżne Zuwżmy, że wrunki q i q są równowżne Stosując wzór n sumę nieskończonego ciągu geometrycznego otrzymujemy ukłd równń który rozwiązujemy metodą podstwini: 8q 8 q 5 q q q q 8 q 5, q qq 6q 5q 6 0 q 5q 0 5 q 5 q q q q q q, q 4 8 q 4, 8 q 8, drugie rozwiąznie odrzucmy, bo q nie nleży do przedziłu,

8 Zdnie 6 Oblicz, ile jest liczb nturlnych sześciocyfrowych, w których zpisie występują dokłdnie dwie dwójki jedn jedynk Rozwiąznie Liczby, o których mow możn podzielić n trzy rozłączne grupy: początkową cyfrą jest ; początkową cyfrą jest ; początkową cyfrą jest jedn cyfr spośród cyfr, 4, 5,,9 Znjdziemy liczbę liczb nleżących do pierwszej grupy: njpierw wybiermy dwie pozycje spośród pięciu dostępnych (oprócz cyfry początkowej), n których umieścimy cyfrę Poniewż wybiermy bez powtórzeń i kolejność wybrnych pozycji nie m znczeni, to możliwości jest C 5 Pozostłe puste pozycje zpełnimy w dowolny sposób jedną z ośmiu cyfr (oprócz i ) tu mmy W8 8 5! możliwości N mocy reguły mnożeni do pierwszej grupy nleży CW liczb!! Dl liczb z grupy drugiej n pięć sposobów możemy wybrć pozycję, n której umieścimy drugą cyfrę, n cztery sposoby wybiermy pozycję, n której umieścimy cyfrę, zś pozostłe puste pozycje zpełnimy jk poprzednio n liczb W8 8 sposobów Ztem do grupy drugiej nleży 54W 0 8 W grupie trzeciej cyfrę początkową ustlmy n siedem sposobów, położenie dwóch cyfr wybiermy n miejsc zpełnimy n 8 C 5 sposobów, cyfrę umieszczmy n jednym z trzech wolnych miejsc i dw osttnie Osttecznie wrunki zdni spełni W 8 sposobów, więc do trzeciej grupy nleży liczb C W Zdnie Dny jest grnistosłup prwidłowy trójkątny, w którym sum wszystkich krwędzi jest równ 8 Oblicz możliwie njwiększą objętość tkiego grnistosłup Rozwiąznie Przyjmujemy oznczeni jk n rysunku obok Objętość grnistosłup zleży od dwóch zmiennych: poniewż h, 4, V h 6h 8, to zmienną h możemy wyeliminowć: h6, więc V 6, 4 przy czym zkłdmy, że 0 Ekstrem funkcji V znjdujemy obliczjąc jej pochodną: h

9 i szkicując jej znki: V 6 V 0 Poniewż w punkcie funkcj V zmieni znk z dodtniego n ujemny, to funkcj V m w tym punkcie mksimum, które wynosi Zdnie 8 V 6 4 Dny jest trójmin kwdrtowy f x m x m x m Wyzncz wzór funkcji g m, któr kżdej wrtości prmetru m przyporządkowuje liczbę miejsc zerowych funkcji f Nrysuj wykres funkcji g Rozwiąznie Jeśli m, to f x i funkcj nie m miejsc zerowych Dl m funkcj f jest funkcją kwdrtową i liczb miejsc zerowych zleży od znku jej wyróżnik: m m 4m m m m 4m m m 8m mm Szkicujemy wykres funkcji m ; zuwżmy, że jej miejscmi zerowymi są liczby m orz m, przy czym wrtość prmetru m wykluczyliśmy z obecnych rozwżń: m m N podstwie znków funkcji m znjdujemy wzór określjący funkcję g :

10 i szkicujemy wykres funkcji g : g m 0 dl x,, dl x dl x, g m m