2.1. Określenie i rodzaje wektorów. Mnożenie wektora przez skalar
|
|
- Stanisław Rogowski
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 2.1. kreślenie i rodje wektorów. Mnożenie wektor pre sklr Wielkości ficne wstępujące w mechnice i innch diłch fiki możn podielić n sklr i wektor. A określić wielkość sklrną, wstrc podć tlko jedną licę. Wielkościmi tkimi są ms, cs, tempertur, ojętość i inne. Do określeni wielkości wektorowej nie wstrc podnie jednej lic. Prkłdem tkiej wielkości jest sił. A ją określić, nleż podć wrtość, kierunek w prestreni or wrot. W ogólnm prpdku określić wektor, nleż nć: ) wrtość ewględną wektor, wną modułem, ) kierunek, cli prostą, n której leż wektor (linię diłni), c) wrot, d) punkt prłożeni. Nie wsstkie wielkości wektorowe wmgją dl swego określeni podni wsstkich wmienionch cech. Z tego punktu wideni roróżnim: wektor cepione, wektor presuwne lu śligjące się or wektor swoodne. Wektor cepione wmgją do ich określeni podni wsstkich cterech cech. Wektorów tkich nie możn premiescć ni presuwć. Wektor presuwne są określone pomocą modułu, wrotu or linii diłni. Tkie wektor mogą ć jednie presuwne wdłuż prostch, n którch leżą. Wektor swoodne są określone pre moduł, wrot or kierunek równoległ do ich linii diłni. nc to, że wektor swoodn możn dowolnie premiescć, równolegle do kierunku jego diłni. Grficnie wektor predstwi się pomocą odcink skierownego jk n rs Długość odcink określ moduł wektor, kierunek kierunek wektor (linię diłni), strłk wrot wektor. Wektor ędiem oncć pogruionmi litermi jedną literą lo dwom, oncjącmi pocątek i koniec wektor: = AB. Moduł wektor ędiem oncć tk jk sklr lo pomocą smolu wrtości ewględnej: = = AB= A B. Moduł jest n ogół wielkością minowną i jego wrtość licow leż od prjętch jednostek ficnch. Dw wektor swoodne predstwijące tę smą wielkość wektorową są równe, jeżeli mją równe moduł, kierunki i wrot. A dw wektor presuwne ł
2 równe, musą pondto leżeć n jednej prostej, wektor cepione musą ć prłożone w jednm punkcie. Równość wektorów i pisujem tk jk równość lic, cli =. W wniku pomnożeni wektor pre sklr k otrmm now wektor równoległ do wektor o module k r więksm od modułu wektor. Zwrot wektor ędie leżł od nku sklr k. Jeżeli k > 0, to wrot wektor jest godn e wrotem wektor, preciwn, gd k < 0 (rs. 2.2). Wektor ędiem piswć: = k. (2.1) e B A Rs Grficne predstwienie wektor k 0 k 0 Rs Wektor równoległe Rutem wektor = AB n dowolną oś l nwm odcinek AB, którego pocątek i koniec są rutmi pocątku i końc wektor n oś l (rs. 2.3). B A α.. e l A B l Rs Rut wektor n oś Z rsunku 2.3 wnik, że rut wektor n oś l jest równ ilocnowi modułu wektor pomnożonemu pre kosinus kąt wrtego międ kierunkiem wektor osią. ( ) = cos. A B = Rl α (2.2) Łtwo spostrec, że jeżeli wrot wektor i wrot osi są godne or kąt α jest ostr, to nk rutu jest dodtni.
3 Cęsto do określeni kierunku w prestreni użwm tw. wektor jednostkowego, którego moduł jest równ jedności i jest licą ewmirową. Mjąc dowoln wektor, możn utworć wektor jednostkow o kierunku tego wektor pre podielenie wektor pre jego moduł. Wektor jednostkow ędiem oncć literą e indeksem dolnm oncjącm kierunek. Wektor jednostkow o kierunku i wrocie wektor, pokn n rs. 2.1, otrmm e woru: e =. (2.3) Po prekstłceniu powżsego woru widim, że kżd wektor możn pisć w postci ilocnu jego modułu i wektor jednostkowego: = e. (2.4) W celu nlitcnego predstwini wektorów nleż wprowdić odpowiedni ukłd współrędnch. Njcęściej prjmujem krtejński prostokątn ukłd współrędnch o osich,, i wektorch jednostkowch i, j, k o kierunkch osi współrędnch wnch wersormi. W dlsm ciągu ędiem włącnie stosowć prwoskrętne ukłd współrędnch chrkterujące się tm, że jeżeli orócim oś w kierunku osi, to oś jest skierown godnie regułą śru prwoskrętnej (rs. 2.4). N rsunku 2.4 predstwiono ukłd lewoskrętn. ) ) k 0 i j k 0 j i Rs Prostokątne ukłd współrędnch: ) prwoskrętn, ) lewoskrętn
4 k i 0 j Rs Skłdowe wektor w krtejńskim ukłdie współrędnch W ukłdie współrędnch prostokątnch o osich,, i wersorch odpowiednio i, j, k dowoln wektor możn rołożć n tr skłdowe: i, j, k o kierunkch osi ukłdu współrędnch (rs. 2.5). Wektor możem pisć nlitcnie w postci sum trech wektorów skłdowch (por. p. 2.2): = i+ j+ k. (2.5) W powżsm wore,, są współrędnmi wektor równmi rutom wektor n osie ukłdu współrędnch,,. Jeżeli wektor twor osimi,, odpowiednio kąt α, β, γ, to jego współrędne (rut) godnie e worem (2.2) wrim nstępująco: = cosα, = cosβ, = cosγ. (2.6) Gd nne są współrędne wektor, to jego moduł określ wór: 2 2 = + + 2, (2.7) kosinus kątów, wne kosinusmi kierunkowmi, wnconmi pre kierunki, jkie wektor twor osimi,,, wrżją leżności: cosα =, cosβ =, cosγ =. (2.8)
5 2.2. Sum i różnic wektorów Wektor swoodne możn dodwć i odejmowć geometrcnie (wkreślnie) or nlitcnie. Dodwnie geometrcne dwóch wektorów i poleg n B c = + C d = A Rs Dodwnie i odejmownie dwóch wektorów stosowniu reguł równoległooku. Wektor prenosim równolegle tk, ich pocątki nlł się w dowolnm punkcie, i udujem n tch wektorch równoległook ACB pokn n rs Sumą dodwnch wektorów i nwm wektor c równ prekątnej równoległooku: c = C = +. Różnicę dwóch wektorów otrmm pre dodnie do wektor wektor różniącego się od wektor tlko wrotem, cli wektor preciwn ( ): d= + ( ) =. dejmownie dwóch wektorów predstwiono n rs. 2.6 linią prerwną. Z rsunku wnik, że sumę dwóch wektorów predstwi jedn prekątn, różnicę drug. Więksą licę wektorów możn sumowć, stosując regułę równoległooku do kolejnch wektorów. Jednk w tm prpdku wgodniej jest skorstć metod wielooku wektorów. Gd mm n wektorów 1, 2,..., n, to do końc pierwsego wektor prkłdm pocątek drugiego, do końc drugiego pocątek treciego. Postępując w ten sposó kolejnmi wektormi, otrmujem konstrukcję predstwioną n rs Sumą n wektorów, wną sumą geometrcną, nwm wektor łącąc pocątek pierwsego wektor końcem osttniego: n = n = k. (2.9) k= 1
6 n A n Rs Dodwnie n wektorów mówioną konstrukcję nwm wielookiem wektorów. Jeżeli koniec osttniego wektor pokrw się pocątkiem pierwsego, to sum wektorów jest równ eru: = 0. Mówim wted, że wielook jest mknięt. W preciwnm rie, tj. gd 0, wielook jest otwrt. Ctelnikowi poostwim wknie, że do dodwni wektorów stosuje się prwo premienności: + = + or łącności + + c = + + c ( ) ( ). A nlitcnie dodć n wektorów, musim je wrić pomocą współrędnch prjętego ukłdu współrędnch: k = ki + k j+ kk ( k = 1, 2,... n). Po podstwieniu tego woru do równni (2.9) otrmm: n n ( ) = = i+ j+ k = i+ j+ k k k k k k= 1 k= 1 k=1 k= 1 n n k n k= 1 k k.
7 Po onceniu w tm równniu współrędnch wektor pre,, mm: n i+ j+ k = i+ j+ k k k= 1 k= 1 k= 1 n Z oustronnego porównni wrów wstępującch pr odpowiednich wersorch otrmujem wor n współrędne wektor ędącego sumą wektorów: n n n k k k= 1 k= 1 k= 1 =, =, =. (2.10) trmne wniki są godne treścią nnego twierdeni Chrles, że rut sum wektorów n dowolną oś jest równ sumie rutów poscególnch wektorów n tę oś. n k k k.
8 Ilocn sklrn Ilocnem sklrnm (sklrowm) dwóch wektorów i nwm sklr równ ilocnowi modułów ou wektorów pre kosinus kąt wrtego międ nimi. α Rs Ilustrcj do definicji ilocnu sklrnego Jeżeli kąt międ wektormi oncm pre α (rs. 2.8), opercję mnożeni sklrnego pre, to otrmm: = cosα. (2.11) Po uwględnieniu we wore (2.11) leżności (2.2) ilocn sklrn możem predstwić jko ilocn rutu jednego wektor n kierunek drugiego i modułu drugiego. ( cos ) ( cos ) ( ) ( ) = α = α = R = R. (2.12) Ilocn sklrn jest równ eru (po prpdkmi, gd = 0 lu = 0), gd cos = 0. Wnik stąd wrunek prostopdłości (ortogonlności) dwóch wektorów: = 0, gd. (2.13) Z fktu, że funkcj kosinus jest funkcją prstą [cosα = cos( α)], wnik, że do ilocnu sklrnego stosuje się prwo premienności: =. Ilocn sklrn podleg również prwu rodielności mnożeni sklrnego wględem dodwni: ( + c) = + c. Dowód tej włsności wnik epośrednio prtoconego w poprednim punkcie twierdeni Chrles or leżności (2.2):
9 ( + c) = R( + c) = [ R( ) + R( c) ] R ( ) + R ( c) = + c. = Jeżeli pomnożm równnie (2.11) pre dowoln sklr k, to otrmm prwo łącności mnożeni ilocnu sklrnego pre sklr: k ( ) = ( k) cosα = ( k) cosα = ( k ) = ( k ). Wektor pomnożon sklrnie pre sieie jest równ kwdrtowi modułu: = 2 = cos0=. (2.14) Z podnch wżej rowżń wnik, że ilocn sklrn po worem (2.13) m tkie sme włsności jk ilocn lgericn lic. Gd mm dowoln wektor or oś l określoną pre wektor jednostkow e l (rs. 2.3), to n podstwie równni (2.12) rut tego wektor n oś l wrż wór: e l = cosα = R ( ). (2.15) Z leżności tej ędiem cęsto korstć pr olicniu współrędnch wektor w dnm ukłdie współrędnch. ecnie podm leżności międ wersormi i, j, k prostokątnego ukłdu współrędnch. N podstwie worów (2.14) i (2.13) otrmujem: l i i = j j = k k = 1, i j = j k = k i = 0. (2.16) Gd wektor i pisem nlitcnie pomocą ich współrędnch w prostokątnm ukłdie współrędnch,, : = = i+ i+ j+ j+ k, k, (2.17) to ich ilocn sklrn n podstwie worów (2.16) możn wrić pre współrędne: = + +. (2.18) Porównnie worów (2.11) i (2.18) powl olicć kąt międ wektormi:
10 + + cosα =. (2.19) Z tego woru wnik, że dw wektor ł ortogonlne, ich współrędne musą spełnić leżność: + + = 0. (2.20)
11 Ilocn wektorow Ilocnem wektorowm dwóch wektorów i nwm wektor c prostopdł do płscn utworonej pre te wektor, którego moduł jest równ ilocnowi modułów tch wektorów pomnożonemu pre sinus kąt wrtego międ nimi (rs. 2.9) c =, c = sinα. (2.21) c = α c = Rs Ilustrcj ilocnu wektorowego Zwrot wektor c jest tk dorn, że wektor,, c tworą ukłd prwoskrętn, cli wrot wektor c określ reguł śru prwoskrętnej. Z określeni modułu ilocnu wektorowego or rs. 2.9 wnik, że jest on równ polu równoległooku udownego n wektorch i. Z definicji ilocnu wektorowego wnik, że po prpdkmi, gd = 0 lu = 0, jest on równ eru, kied sinα = 0, cli dl α = 0 lo α = π, co onc, iż wektor jest równoległ do wektor. Ztem wrunek równoległości m postć: = 0. (2.22) Jeżeli w ilocnie wektorowm wektor i mienim miejscmi, to wektor,, c ędą tworł ukłd lewoskrętn. A ponownie otrmć ukłd
12 prwoskrętn, nleż mienić wrot wektor c n preciwn, jk n rs. 2.9, cli gd = c, to = c. Widim tem, że do ilocnu wektorowego nie stosuje się prwo premienności: =. (2.23) Możn wkć [6, 9], że ilocn wektorow podleg prwu rodielności mnożeni wektorowego wględem dodwni: ( + d) = + d. (2.24) Do ilocnu wektorowego stosuje się również prwo łącności mnożeni pre dowoln sklr k: ( k ) = ( k) = k( ). (2.25) Powżs równość wnik epośrednio porównni modułów powżsch ilocnów wektorowch. Ilocn wektorowe wersorów i, j, k prostokątnego prwoskrętnego ukłdu współrędnch,, wnikją epośrednio e woru (2.22) or definicji ilocnu wektorowego i i = j j = k k = 0, i j = k, j k = i, j i = k, k j = i, k i = j, i k = j. (2.26) ecnie wrim ilocn wektorow dwóch dowolnch wektorów i pomocą ich współrędnch w prostokątnm ukłdie współrędnch,,. Po podstwieniu leżności (2.17) do woru n ilocn wektorow mm: ( i+ j+ k) ( i+ j k). c = = + Po wkonniu diłń, wkorstniu leżności (2.26) or pogrupowniu wrów pr poscególnch wersorch powżs wór prjmie postć: ( ) i+ ( ) j+ ( ) k. c = (2.27)
13 Wrżenie po prwej stronie tego równni jest rowinięciem wncnik. k j i c = (2.28) W celu oliceni współrędnch ilocnu wektorowego nleż wektor c pisn nlitcnie: c c c,, k c i j = + + c c c podstwić do równni (2.27). Z porównni wrów pr tch smch wersorch otrmm: ( ) ( ( ) = = =. c, c, c ) (2.29)
14 Ilocn łożone trech wektorów W poprednich dwóch punktch omówiliśm ilocn sklrn or ilocn wektorow dwóch wektorów. Wektor te mogł ć w scególności sumą kilku wektorów. ecnie podm określeni ilocnów podwójnch łożonch trech wektorów. Będie to ilocn miesn trech wektorów or podwójn ilocn wektorow trech wektorów. grnicm się pr tm tlko do określeni tch ilocnów or podni podstwowch leżności nieędnch do prekstłceń worów wektorowch w dlsch rodiłch. Dowod n podne niżej prekstłceni możn nleźć w literture [6, 9, 11]. Ilocnem miesnm trech wektorów, i c nwm ilocn sklrn jednego tch wektorów, np. wektor, pre wektor ędąc ilocnem wektorowm dwóch poostłch: ( c). (2.30) Z podnej definicji wnik, że ilocn miesn jest sklrem. W interpretcji geometrcnej ilocn miesn jest równ licowo ojętości równoległościnu udownego n wektorch, i c. Z podnej interpretcji geometrcnej wnik, że gd wektor te leżą w jednej płscźnie, to ilocn miesn jest równ eru. Wrtość ilocnu miesnego nie uleg minie, jeżeli w ilocnie tm ędiem mienić cklicnie kolejność wrów: ( c) = ( c ) = c ( ). (2.31) Jeżeli wektor wstępujące w ilocnie miesnm predstwim nlitcnie: = = c = c i+ i+ i+ c j+ j+ j+ c to ilocn miesn możn pisć w postci wncnik utworonego e współrędnch wektorów: k, k, k, ( c) =. (2.32) c c c
15 Podwójn ilocn wektorow trech wektorów, i c jest wektorem powstłm w wniku wektorowego pomnożeni wektor pre ilocn wektorow wektor i c: ( c). (2.33) Powżs wór możn rowinąć do postci rdiej prdtnej do prekstłceń worów wektorowch: ( c) = ( c) c( ). (2.34)
16 2.4. Moment wektor wględem punktu Momentem wektor wględem punktu (iegun) nwm ilocn wektorow wektor r A = A o pocątku w punkcie i końcu w pocątku wektor pre wektor (rs. 2.10). Moment wektor wględem punktu ędiem oncć w nstępując sposó: ( ) r. M = (2.35) A Z podnej definicji wnik, że moment wektor wględem punktu m włsności wnikjące omówionego w p ilocnu wektorowego. Ztem wektor M () jest wektorem prostopdłm do płscn określonej pre wektor r A i i m wrot godn regułą śru prwoskrętnej. Alo incej, jego wrot jego jest tki, że dl oserwtor ptrącego końc wektor momentu wektor wwołuje orót wokół iegun w kierunku preciwnm do ruchu wskówek egr. Moment wektor wględem punktu jest równ eru, gd wektor = 0 lu wektor r A i są równoległe, lo lini diłni wektor prechodi pre punkt. ecnie stnówm się, jk mieni się moment wektor wględem punktu, gd wektor presuniem wdłuż linii jego diłni. W tm celu olicm moment wektor prłożonego w punkcie A, różniącego się od wektor tlko punktem prłożeni, wględem punktu (rs. 2.10). Z definicji momentu wektor wględem punktu mm: N podstwie rs możem npisć: ( ) = r. A M ra = ra + AA. Po podstwieniu tej leżności do woru n moment wektor wględem punktu otrmm: ( ) ( ) M = r + AA = r + AA. A A Poniewż =, ilocn wektorow dwóch wektorów leżącch n jednej prostej jest równ eru: otrmujem: AA = 0, ( ) ( ) M = r = M. A
17 Z otrmnej leżności wnik, że moment wektor wględem punktu nie ulegnie minie, gd wektor presuniem wdłuż linii jego diłni, cli jest on wektorem presuwnm. Wrtość momentu M () ędie leżł od położeni linii diłni wektor, jego modułu or punktu, wględem którego licm moment. dległość punktu od linii diłni wektor, onconej n rs pre h, ędiem nwć rmieniem wektor. Gd wektor presuniem do punktu A (rs. 2.10), to moment tego wektor: ( ) = A. M Z tego woru wnik, że moduł momentu jest równ ilocnowi modułu wektor pre jego rmię: M ( ) ( ) = M = h. (2.36) Moment wektor wględem punktu możn wrić pomocą współrędnch wektor dnch w prostokątnm ukłdie współrędnch (rs. 2.11). Jeżeli wektor r A i pisem pomocą ich współrędnch: r = i+ j+ k, = i+ j+ A k, M () A M o () A r A. A r A h 0 0 A r A Rs Moment wektor wględem punktu Rs Moment wektor wględem pocątku ukłdu współrędnch to moment wektor wględem pocątku ukłdu współrędnch n podstwie worów (2.28) i (2.27) wrż leżność:
18 M Po pisniu momentu w postci: ( ) = r = = A i j k ( ) i+ ( ) j+ ( ) k. = (2.37) ( ) = M i+ M j+ M k M i podstwieniu do woru (2.37) otrmm wor n współrędne wektor M (): M M M = = =,,. (2.38)
19 2.5. Moment wektor wględem osi Zjmiem się oecnie definiowniem wielkości ędącej mirą diłni orotowego wektor wględem osi. Wielkość tę nwm momentem wektor wględem osi. W tm celu prjmiem, że dn jest dowoln wektor or oś l, której kierunek jest określon pre wektor jednostkow e l (rs. 2.12). Momentem wektor wględem osi l nwm rut n tę oś momentu tego wektor wględem dowolnego punktu tej osi: M l ( ) = R [ M ( ) ] = M ( ) cosα. = M (2.39) l l l e l M () α M l e l r A A A Rs Moment wektor wględem osi N podstwie woru (2.15) moment wektor wględem osi możem predstwić w postci ilocnu sklrnego momentu wektor wględem punktu i wersor osi: M l = M e. ( ) l Poniewż moment wektor wględem punktu jest równ ilocnowi wektorowemu: ( ) r M = A, moment wektor wględem osi możn pisć w postci ilocnu miesnego: M l ( ra ) el =. (2.40)
20 Tk definiown moment wektor wględem osi jest sklrem. Definicj t jest wstrcjąc, poniewż wektor M l ( ) e l jest skierown wdłuż osi l, preto do jego opisu wstrc podnie tlko jego wrtości. A podn n wstępie definicj momentu wględem osi ł jednoncn, nleż wkć, że rut n oś l momentu wektor wględem punktu leżącego n tej osi nie leż od położeni punktu n tej osi. W tm celu olicm moment wektor wględem innego punktu leżącego n osi l (rs. 2.12) i dokonm jego rutu n tę oś: [ ( )] ( ) R M = M e l l. () N podstwie rs wektor A możem predstwić jko sumę wektor i ra : A = + r A. Po podstwieniu tej leżności do woru () or skorstniu włsności ilocnu miesnego otrmm: [ ] ( A ) [ ( )] ( A) R l M r e l r e l = + = + = ( ) ( ) ( ) ( ) = e+ r e = e + r e. l A l l A l Poniewż wektor el i są równoległe, ich ilocn wektorow jest równ eru: el = 0, osttecnie otrmujem: R [ M ( ) ] ( r ) e R M ( ) [ ] l A l l = =, cli rut n oś momentu wektor wględem punktu n osi nie leż od położeni punktu n osi. Z definicji momentu wględem osi wnik, że ędie on równ eru, jeżeli moment M () ędie równ eru lu jego rut n oś ędie równ eru. Będie tk, gd kierunek wektor ędie precinł oś l lu ędie do niej równoległ. Z określeni momentu wektor wględem osi możem uwżć, że rut momentu M () wektor wględem pocątku ukłdu współrędnch (rs. 2.11) n osie prostokątnego ukłdu współrędnch są równoceśnie momentmi tego wektor wględem osi,,. N podstwie worów (2.38) moment wektor wględem osi,, ędą opisne równnimi:
21 M M M = M = M = M = = =,,. (2.41) W oprciu o powżse wor możn podć drugi sposó olicni momentu wektor wględem osi. N prkłd pierwsego woru wnik, że olicć moment wględem osi, nleż wektor rutowć n płscnę, cli płscnę prostopdłą do osi, i olicć moment wektor, ędącego rutem wektor n tę płscnę, wględem punktu, cli punktu preici płscn pre oś. Wrtość tk oliconego momentu jest momentem wektor wględem osi. Podone wnioski wnikją dwóch poostłch worów (2.41). N podstwie powżsego możn podć drugą definicję momentu wektor wględem osi. Momentem wektor wględem osi l nwm moduł momentu wektor równego rutowi wektor n płscnę prostopdłą do osi l wględem punktu preici płscn pre tę oś. Prkłd 2.1. Dn jest wektor: = 2 i+ 5 j 10k, cepion w punkcie A o współrędnch = 2, = 3, = 5. licć moment tego wektor wględem kżdej osi ukłdu współrędnch. Rowiąnie. Zgodnie podną n wstępie definicją momentu wektor wględem osi olicm njpierw moment wektor wględem pocątku ukłdu współrędnch. Współrędne tego momentu ędą n podstwie worów (2.41) suknmi momentmi wektor wględem osi,,. Poniewż n podstwie woru (2.37) otrmujem: A = r = 2i+ 3 j 5k, i A + ( ) = = 55i+ 10 j 16k. 2 j M + 5 k 10 Moment wektor wględem osi ukłdu współrędnch są więc nstępujące: M = M = 55, M = M = 10, M = M = 16. Prkłd ten możn rowiąć wkorstniem drugiej definicji momentu wektor wględem punktu, podnej wżej. Ctelnikowi poostwim rowiąnie prkłdu tą metodą.
22 2.6. Funkcje wektorowe Z kursu mtemtki nne są określeni funkcji miennch nieleżnch or miennch leżnch. Jeżeli nm kstłt funkcji miennej leżnej f = f(u, v, t), to njąc wrtości licowe miennch nieleżnch u, v, t, możem wncć wrtość miennej leżnej f. W nliie wektorowej spotkm się funkcjmi, w którch miennmi nieleżnmi i miennmi leżnmi mogą ć równo sklr, jk i wektor. Jeżeli kżdemu punktowi pewnego osru prporądkujem pewną wrtość licową, to ten osr nwm polem sklrnm. Anlogicnie, jeżeli kżdemu punktowi pewnego osru prporądkujem pewien wektor, to ten osr nwm polem wektorowm. Njcęściej spotkm się trem tpmi funkcji. ) Sklr jko funkcj położeni. Po prporądkowniu kżdemu punktowi osru funkcji tpu ϕ = ϕ(r) (2.42) ędiem mówić o polu sklrnm. Zmienną leżną jest tutj sklr, mienną nieleżną wektor r. Prkłdmi pol sklrnego są: rokłd tempertur w dowolnm ośrodku, rokłd ciśnieni hdrosttcnego w nieruchomej ciec lu potencjł pol elektrcnego. ) Wektor jko funkcj położeni. W tm prpdku równo mienn leżn u, jk i mienn nieleżn r są wektormi. Funkcję u = u(r) (2.43) nwm polem wektorowm. Prkłdmi tkiego pol są: pole prśpieseń iemskich, ntężenie pol elektrosttcnego, rokłd prędkości w ciec. c) Wektor jko funkcj sklr. Funkcję tką możem pisć w nstępując sposó: r = r(s). (2.44) Zmienn leżn r jest tutj wektorem, mienn nieleżn s sklrem. Jeżeli wektor jest funkcją wielkości sklrnej, to jego współrędne,, w prostokątnm ukłdie współrędnch ędą również funkcjmi tego sklr: ( s) ( s) i+ ( s) j ( s) k. r = + (2.44) Ztem kżdą funkcję możn pisć w postci trech funkcji sklrnch. ( s), = ( s), ( s). = = (2.45)
23 Gd mienną nieleżną prjmiem cs t, to prkłdmi tkich funkcji wektorowch ędą: położenie r(t), prędkość v(t) i prśpiesenie porusjącego się punktu (t).
24 2.7. Pochodn funkcji wektorowej Złóżm, że mm funkcję wektorową tpu (2.44), w której mienną nieleżną jest sklr. Prrostowi miennej nieleżnej s ędie towrsć min wektor r(s). Jeżeli pocątki wsstkich wektorów r(s) prłożm w jednm punkcie, to e miną miennej nieleżnej s koniec tego wektor kreśli w prestreni pewną linię nwną hodogrfem funkcji wektorowej r(s) (rs. 2.13). Niech wrtościom s i s + s odpowidją wektor r(s) i r(s + s), wektor r jest prrostem wektor r(s) łącącm końce ou wektorów. Wówcs pochodną funkcji wektorowej wględem miennej nieleżnej nwm grnicę stosunku prrostu tej funkcji do prrostu miennej nieleżnej, gd prrost miennej nieleżnej dąż do er: d r ds r r lim = s 0 s = ( s + s) r( s). s (2.46) A r(s) r d r ds hodogrf r(s+ s) A 1 r s Rs Ilustrcj pchodnej funkcji wektorowej Ilor r/ s jest wektorem o wrocie i kierunku wektor r, cli m kierunek cięciw. Gd s dąż do er, to cięciw prechodi w stcną. Ztem pochodn wektor jest wektorem stcnm do hodogrfu. Z predstwionego określeni pochodnej funkcji wektorowej wnik, że formlnego punktu wideni jest on definiown podonie do pochodnej funkcji sklrnej. Wnik tego, że do pochodnch sum i ilocnów dwóch wektorów możn stosowć wor wprowdone w nliie funkcji sklrnch. Dl dwóch funkcji wektorowch (s) i (s) słusne są nstępujące leżności: d ds d d ± (2.47) ds ds ( ) = ±,
25 d d d ( ) = +, ds ds ds (2.48) d d d ( ) = +. ds ds ds (2.49) W osttnim wore nie wolno mienić kolejności mnożeni, poniewż ilocn wektorow jest niepremienn. Gd k(s) jest funkcją sklrną, to pochodn ilocnu tej funkcji pre wektor d ds dk d = (2.50) ds ds ( k ) + k. Jeżeli mienn nieleżn s jest funkcją innego prmetru s(l), to pochodną wektor olicm podonie do pochodnej sklrnej funkcji łożonej: Mm również: d dl [ s( l) ] d ds =. (2.51) ds dl d = 0, gd = const. ds (2.52) Gd funkcj wektorow jest pisn nlitcnie w prostokątnm nieruchomm ukłdie współrędnch,, w postci (2.44), wted jej pochodną po wkorstniu worów n różnickownie sum (2.47) i ilocnu funkcji (2.50) wrż wór: d r = ds d ds i+ d d d i d j d k j+ k ds ds ds ds ds Poniewż wersor osi nieruchomego ukłdu współrędnch są wektormi stłmi, mm: d i d j d k = = = 0, ds ds ds stąd osttecnie d r d d d = i+ j+ k. (2.52) ds ds ds ds Z powżsego wnik, że współrędne pochodnej wektor są równe pochodnm odpowiednich współrędnch tego wektor. Pochodne wżsch rędów funkcji wektorowch olicm nlogicnie do funkcji sklrnch.
2.3.1. Iloczyn skalarny
2.3.1. Ilon sklrn Ilonem sklrnm (sklrowm) dwóh wektorów i nwm sklr równ ilonowi modułów ou wektorów pre kosinus kąt wrtego międ nimi. α O Rs. 2.8. Ilustrj do definiji ilonu sklrnego Jeżeli kąt międ wektormi
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc
Bardziej szczegółowoWEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
Bardziej szczegółowoWEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
Bardziej szczegółowo14. Krzywe stożkowe i formy kwadratowe
. Krwe stożkowe i form kwdrtowe.. Kwdrki Powierchnią stopni drugiego, lub krótko kwdrką, nwm biór punktów P(,,), którch współrędne spełniją równnie: 33 3 3 kwdrt wr miesne 3 wr liniowe wr woln gdie. 33
Bardziej szczegółowo1. REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW SIŁ. Redukcja płaskiego układu sił
. REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW IŁ Redukcja płaskiego układu sił Zadanie. Znaleźć wartość licbową i równanie linii diałania wpadkowej cterech sił predstawionch na rsunku. Wartości licbowe sił są następujące:
Bardziej szczegółowoZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ
ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A
Bardziej szczegółowoWykład z fizyki Budownictwo I BB-ZI. Dr Andrzej Bąk
Wkłd fiki udownictwo I -ZI Dr ndrej ąk Dlcego wrto się ucć fiki? Powsechność jwisk ficnch W świecie, któr ns otc chodi mnóstwo jwisk ficnch, np.: jwisk meteorologicne: opd descu, śniegu, mgł, tęc, włdowni
Bardziej szczegółowoWektory [ ] Oczywiście wektor w przestrzeni trójwymiarowej wektor będzie miał trzy współrzędne. B (x B. , y B. α A (x A, y A ) to jest wektor
Wektor N fizce w szkole średniej spotkcie się z dwom tpmi wielkości fizcznch. Jedne z nich, np. ms, tempertur, łdunek elektrczn są opiswne przez jedną liczę; te nzwm wielkościmi sklrnmi, w skrócie - sklrmi.
Bardziej szczegółowoMatematyka I. WYKŁAD 8. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH II Macierzowa Postać Eliminacji Gaussa. gdzie
Mtemtk I /9 WYKŁD 8. UKŁDY RÓWNŃ LINIOWYCH II Mcierow ostć limincji Guss B gdie nn n n n B n Metod elimincji: () Odejmownie od pewnego równni wielokrotności (nieerowej) wrnego innego równni, nie mienijąc
Bardziej szczegółowo1. Podstawy rachunku wektorowego
1 Postaw rachunku wektorowego Wektor Wektor est wielkością efiniowaną pre ługość (mouł) kierunek iałania ora wrot Dwa wektor o tm samm moule kierunku i wrocie są sobie równe Wektor presunięt równolegle
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwiązania zadania , 3 5, 7
Próbn egzmin mturln z mtemtki Numer zdni ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etp rozwiązni zdni Liczb punktów Podnie wrtości b: b = Sporządzenie wkresu funkcji g Uwgi dl egzmintorów 4 Krzw
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń liniowa R n.
MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Prestreń liniowa R n. Element (wektor) prestreni R n będiem onacać [,,, ] Element erow [,, L, ]. Diałania. a) ilocn element pre licbę: b) sma elementów [ c, c, ] c L, c
Bardziej szczegółowoPrzykład 2.5. Figura z dwiema osiami symetrii
Przkłd 5 Figur z dwiem osimi smetrii Polecenie: Wznczć główne centrlne moment bezwłdności orz kierunki główne dl poniższej figur korzstjąc z metod nlitcznej i grficznej (konstrukcj koł Mohr) 5 5 5 5 Dl
Bardziej szczegółowoSposób opisu symetrii figur lub brył skończonych
Wkłd drugi - smetri Smetri (gr. συμμετρια podobn mir) dl figur lub brł - istnienie nietrwilnego prekstłceni, które odworowuje obiekt w smego siebie minie mogą ulegć współrędne prestrenne, cs, kolor itp.
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna w przestrzeni. Kierunek. Długość. Zwrot
- podstawowe pojęcia Geometria analitcna w prestreni Wektorem acepionm w prestreni R 3 nawam uporądkowaną parę punktów A ora B i onacam go pre AB. Punkt A nawam jego pocątkiem, a punkt B - jego końcem.
Bardziej szczegółowo4.2.1. Środek ciężkości bryły jednorodnej
4..1. Środek ciężkości rł jednorodnej Brłą jednorodną nawam ciało materialne, w którm masa jest romiescona równomiernie w całej jego ojętości. Dla takic ciał arówno gęstość, jak i ciężar właściw są wielkościami
Bardziej szczegółowoZASADY ZALICZANIA PRZEDMIOTU:
WYKŁADOWCA: dr h. inż. Ktrn ZAKRZEWSKA, prof. AGH KATEDRA ELEKTRONIKI, pw. C-1, p. 317, III p. tel. 617 29 01, tel. kom. 0 601 51 33 35 k@gh.edu.pl http://home.gh.edu.pl/~k 2010/2011, im 1 ZASADY ZALICZANIA
Bardziej szczegółowoEkoenergetyka Matematyka 1. Wykład 15. CAŁKI OZNACZONE. Egzaminy I termin poniedziałek :00 Aula B sala 12B Wydział Informatyki
Ekoenergetyk Mtemtyk 1. Wykłd 15. CAŁKI OZNACZONE Egzminy I termin poniedziłek 31.01 14:00 Aul B sl 12B Wydził Informtyki Definicj (podził odcink) II termin poprwkowy czwrtek 9.02 14:00 WE-030 Podziłem
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Bardziej szczegółowo4. RACHUNEK WEKTOROWY
4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie
Bardziej szczegółowoWykład 7: Pochodna funkcji zastosowania do badania przebiegu zmienności funkcji
Wkłd 7: Pochodn funkcji zstosowni do bdni przebiegu zmienności funkcji dr Mriusz Grządziel semestr zimow, rok kdemicki 2013/2014 Funkcj logistczn Rozwżm funkcję logistczną = f 0 (t) = 1+5e 0,5t f(t) 0
Bardziej szczegółowo2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE.. Zsdy dynmiki Newton Siłą nzywmy wektorową wielkość, któr jest mirą mechnicznego oddziływni n ciło ze strony innych cił. dlszej części ędziemy rozptrywć
Bardziej szczegółowoZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE
KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN ODDZIAŁ W POZNANIU Vol. 6 nr Archiwum Technologii Masn i Automatacji 6 ROMAN STANIEK * ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE W artkule predstawiono ależności matematcne
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej
Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe
Bardziej szczegółowoRozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte
Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1
Bardziej szczegółowoWykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna
1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,
Bardziej szczegółowo1. Algebra wektorów. Rys Wektor w układzie współrzędnych (jego współrzędne i kąty)
1. Alger wetorów Welość wetorową chrterue wrtość, cl moduł, erune, wrot. Możn ą predstwć w sposó grfcn o odcne serown o długośc proporconlne do modułu lu te w sposó nltcn. Sposó nltcn poleg n podnu rutów,,
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych i schemt ocenini zdń otwrtych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 D D D Schemt ocenini zdń otwrtych Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x + x+ 0
Bardziej szczegółowozestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki
zestaw DO ĆWICZEŃ z mtemtyki poziom rozszerzony rozumownie i rgumentcj krty prcy ZESTAW I Zdnie 1. Wykż, że odcinek łączący środki dwóch dowolnych oków trójkąt jest równoległy do trzeciego oku i jest równy
Bardziej szczegółowoStrukturalne elementy symetrii. Krystalograficzne grupy przestrzenne.
Uniwerstet Śląski Insttut Chemii Zakład Krstalografii Laboratorium Krstalografii Strukturalne element smetrii. Krstalograficne grup prestrenne. god. Cel ćwicenia: aponanie się diałaniem elementów smetrii
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr - Wykład 4 Napór hydrostatyczny Napór hydrostatyczny na ściany płaskie
J. antr - Wkład Napór hdrostatcn Napór hdrostatcn na ścian płaskie Napór elementarn: d n( p pa ) d nρgd Napór całkowit: ρg nd ρgn d gdie: C Napór hdrostatcn na ścianę płaską predstawia układ elementarnch
Bardziej szczegółowoWYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:
YZNACZNIKI Do opisu pewnh oiektów nie wstrz użć liz. ie n przkłd, że do opisni sił nleż użć wektor. Sił to przeież nie tlko wielkość le i jej punkt przłożeni, zwrot orz kierunek dziłni. Zte jedną lizą
Bardziej szczegółowo2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)
Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy
Bardziej szczegółowoWykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa
Wykłd 2. Pojęcie cłki niewłściwej do rchunku prwdopodobieństw dr Mriusz Grządziel 4 mrc 24 Pole trpezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ogrniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją
Bardziej szczegółowoRuch kulisty bryły. Kąty Eulera. Precesja regularna
Ruch kulist brł. Kąt Eulera. Precesja regularna Ruchem kulistm nawam ruch, w casie którego jeden punktów brł jest stale nieruchom. Ruch kulist jest obrotem dookoła chwilowej osi obrotu (oś ta mienia swoje
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Bardziej szczegółowoRealizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,
Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,
Bardziej szczegółowoPOTENCJALNE POLE SIŁ. ,F z 2 V. x = x y, F y. , F x z F z. y F y
POTENCJALNE POLE SIŁ POLE SKALARNE Polem skalarnm V(r) nawam funkcję prpisującą każdemu punktowi w prestreni licbę recwistą (skalar): V (r): r=(,, ) V (r) POLE WEKTOROWE SIŁ Polem wektorowm sił F(r) nawam
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 6. Mimośrodowe rozciąganie. Redukcja do środka ciężkości PROJEKT
ĆWICZENIE 6 Mmośrodowe rocągne Redukcj do środk cężkośc N P M P0 M P0 PROJEKT Zprojektowć prmetr prekroju, wncć oś obojętną or brłę nprężeń. Wncć rdeń prekroju. Prekrój obcążono słą N=00 kn prłożoną w
Bardziej szczegółowoWektory. P. F. Góra. rok akademicki
Wektor P. F. Góra rok akademicki 009-0 Wektor zwiazan. Wektorem zwiazanm nazwam parę punktów. Jeżeli parę tę stanowią punkt,, wektor przez nie utworzon oznaczm. Graficznie koniec wektora oznaczam strzałką.
Bardziej szczegółowo( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił
3.7.. Reducja dowolego uładu sił do sił i par sił Dowolm uładem sił będiem awać uład sił o liiach diałaia dowolie romiescoch w prestrei. tm pucie ajmiem się sprowadeiem (reducją) taiego uładu sił do ajprostsej
Bardziej szczegółowoWektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1
Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem
Bardziej szczegółowoWprowadzenie: Do czego służą wektory?
Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach
Wyk ld 1 Podstwowe widomości o mcierzch Oznczeni: N {1 2 3 } - zbiór liczb nturlnych N 0 {0 1 2 } R - ci lo liczb rzeczywistych n i 1 + 2 + + n i1 1 Określenie mcierzy Niech m i n bed dowolnymi liczbmi
Bardziej szczegółowoRównania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą
50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej
Bardziej szczegółowoWyrównanie sieci niwelacyjnej
1. Wstęp Co to jest sieć niwelcyjn Po co ją się wyrównje Co chcemy osiągnąć 2. Metod pośrednicząc Wyrównnie sieci niwelcyjnej Metod pośrednicząc i metod grpow Mmy sieć skłdjącą się z szereg pnktów. Niektóre
Bardziej szczegółowoCałki oznaczone. wykład z MATEMATYKI
Cłki oznzone wkłd z MATEMATYKI Budownitwo, studi niestjonrne sem. I, rok k. 28/29 Ktedr Mtemtki Wdził Informtki Politehnik Biłostok 1 Podstwowe pojęi 1.1 Podził P przedziłu, Nieh f ędzie funkją ogrnizoną
Bardziej szczegółowoZadania. I. Podzielność liczb całkowitych
Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.
Bardziej szczegółowo1.5. Iloczyn wektorowy. Definicja oraz k. Niech i
.. Iloczyn ektoroy. Definicj. Niech i, j orz k. Iloczynem ektoroym ektoró = i j k orz = i j k nzymy ektor i j k.= ( )i ( )j ( )k Skrótoo możn iloczyn ektoroy zpisć postci yzncznik: i j k. Poniżej podno
Bardziej szczegółowoP K. Położenie punktu na powierzchni kuli określamy w tym układzie poprzez podanie dwóch kątów (, ).
Materiał ddaktcne Geodeja geometrcna Marcin Ligas, Katedra Geomatki, Wdiał Geodeji Górnicej i Inżnierii Środowiska UKŁADY WSPÓŁZĘDNYCH NA KULI Pierwsm prbliżeniem kstałtu Ziemi (ocwiście po latach płaskich
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI DRUGIEGO STOPNIA.
Oprownie: Elżiet Mlnowsk FUNKCJA KWADRATOWA. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI DRUGIEGO STOPNIA. Określeni podstwowe: Jeżeli kżdej lizie x z pewnego zioru lizowego X przporządkown jest dokłdnie jedn liz, to mówim,
Bardziej szczegółowoSprawdzian całoroczny kl. III
Sprwdzin cłoroczny kl. III Gr. A 1. Podne liczby zpisz w kolejności rosnącej: 7 ; b,5 ; c 6 ; d,5(). Oblicz i zpisz wynik w notcji wykłdniczej 0 8 6, 10 5 10. Wskż równość nieprwdziwą: A) 5 9 B) 6 C) 0
Bardziej szczegółowoTemat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia
ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:
Bardziej szczegółowoKONWENCJA ZNAKOWANIA MOMENTÓW I WZÓR NA NAPRĘŻENIA
ĆWICZENIE 5 KONWENCA ZNAKOWANIA OENTÓW I WZÓR NA NAPRĘŻENIA Wektor momentu pr ginaniu ukośnm można rutować na osie,, będące głównmi centralnmi osiami bewładności prekroju. Prjmujem konwencję nakowania
Bardziej szczegółowoWymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02
Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań
KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni
Bardziej szczegółowoWymagania kl. 2. Uczeń:
Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej
Bardziej szczegółowoOznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające
Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci
Bardziej szczegółowoSumy algebraiczne i funkcje wymierne
Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ
Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i
Bardziej szczegółowoPropozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)
Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu
Bardziej szczegółowoa) b) Rys. 6.1. Schemat ideowo-konstrukcyjny układu do przykładu 6.1 a) i jego schemat blokowy
04 6. Ztoownie metod hemtów lokowh do nliz włśiwośi ukłdów utomtki Shemt lokow ukłdu utomtki jet formą zpiu mtemtznego modelu dnego ukłdu, n podtwie której, wkorztują zd przedtwione rozdzile 3.7, możn
Bardziej szczegółowoTensor liniowa jednorodna funkcja: wektor wektor b=f(a) a ( ˆ) [ˆ ( ˆ) ˆ ( ˆ) ˆ. Równanie b=f(a) można więc zapisać w postaci
ensor f liniow jenoron funkj: wektor wektor =f f f f W nm ukłie współręnh i,j,k - tensor jko mier f ˆ ˆ i j kˆ f ˆ i f ˆ j f kˆ le f iˆ [ˆ if ˆ i ˆjf ˆ i kf ˆ ˆ] i ˆ [ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ f j if j jf j kf ˆ] j f
Bardziej szczegółowoω a, ω - prędkości kątowe członów czynnego a i biernego b przy
Prekłne Mechncne PRZEKŁADNIE MECHANICZNE Prekłne mechncne są wykle mechnmm kołowym prenconym o prenesen npęu o włu slnk wykonuącego ruch orotowy o cłonu npęowego msyny rooce, mechnmu wykonwcego lu wprost
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)
EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 1. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań
MTMTYK Przed próbną mturą. Sprwdzin. (poziom podstwow) Rozwiązni zdń Zdnie. ( pkt) 0,() < P.. Uczeń przedstwi liczb rzeczwiste w różnch postcich. Odpowiedź:., czli < Zdnie. ( pkt) P.. Uczeń rozwiązuje
Bardziej szczegółowo1 Definicja całki oznaczonej
Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj y = g(x) ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podzielimy n n podprzedziłów punktmi = x < x < x
Bardziej szczegółowoZadania do rozdziału 7.
Zdni do ozdziłu 7. Zd.7.. wiezchołkch kwdtu o okch umieszczono ednkowe łdunku. Jki łdunek o znku pzeciwnym tze umieścić w śodku kwdtu y sił wypdkow dziłąc n kżdy łdunek ył ówn zeu? ozwiąznie: ozptzmy siły
Bardziej szczegółowoG i m n a z j a l i s t ó w
Ko³o Mtemtyzne G i m n z j l i s t ó w 1. Lizy,, spełniją wrunki: (1) ++ = 0, 1 () + + 1 + + 1 + = 1 4. Olizyć wrtość wyrżeni w = + + Rozwiąznie Stowrzyszenie n rzez Edukji Mtemtyznej Zestw 7 szkie rozwizń
Bardziej szczegółowo5.3.1. Zmiana układów odniesienia
531 Zmi ukłdów odieiei Z kżdą brłą twą możem wiąć ukłd wółrędch oiując ruch tej brł w retrei Dltego w dlm ciągu w kiemtce brł będiem ię jmowć główie wjemm ruchem ukłdów wółrędch Zjąc ruch ukłdu wółrędch
Bardziej szczegółowoRuch kulisty bryły. Kinematyka
Ruch kulist bł. Kinematka Ruchem kulistm nawam uch, w casie któego jeden punktów bł jest stale nieuchom. Ruch kulist jest obotem dookoła chwilowej osi obotu (oś ta mienia swoje położenie w casie). a) b)
Bardziej szczegółowoKodowanie liczb. Kodowanie stałopozycyjne liczb całkowitych. Niech liczba całkowita a ma w systemie dwójkowym postać: Kod prosty
Kodownie licz Kodownie stłopozycyjne licz cłkowitych Niech licz cłkowit m w systemie dwójkowym postć: nn 0 Wtedy może yć on przedstwion w postci ( n+)-itowej przy pomocy trzech niżej zdefiniownych kodów
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby
Bardziej szczegółowoMateriały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy
Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY. Model odpowiedzi i schematy punktowania
KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów orz oddziłów gimnzjlnych województw mzowieckiego w roku szkolnym 2018/2019 Model odpowiedzi i schemty punktowni Z kżde poprwne i pełne rozwiąznie, inne niż przewidzine
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f
Bardziej szczegółowoWyznacznik macierzy. - wyznacznik macierzy A
Wzncznik mcierz Uwg Wzncznik definiujem tlko dl mcierz kwdrtowch:,,,,,, =,,,,,, n n n n nn n,,, det = n,,, n n nn - mcierz - wzncznik mcierz Wzncznik mcierz to wzncznik n wektorów, które stnowią kolumn
Bardziej szczegółowodr inż. Zbigniew Szklarski
Wkłd 3: Kinemtk dr inż. Zbigniew Szklrski szkl@gh.edu.pl http://ler.uci.gh.edu.pl/z.szklrski/ Wstęp Opis ruchu KINEMATYKA Dlczego tki ruch? Przczn ruchu DYNAMIKA MECHANIKA Podstwowe pojęci dl ruchu prostoliniowego
Bardziej szczegółowoO RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI
ZESZYTY NAUKOWE 7-45 Zenon GNIAZDOWSKI O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Streszczenie W prcy omówiono grupę permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni reprezentowną przez mcierze permutcji,
Bardziej szczegółowoH. Dąbrowski, W. Rożek Próbna matura, grudzień 2014 r. CKE poziom rozszerzony 1. Zadanie 15 różne sposoby jego rozwiązania
H ąrowski, W Rożek Prón mtur, grudzień 014 r K poziom rozszerzony 1 Zdnie 15 różne sposoy jego rozwiązni Henryk ąrowski, Wldemr Rożek Zdnie 15 Punkt jest środkiem oku prostokąt, w którym Punkt leży n oku
Bardziej szczegółowoI. Rachunek wektorowy i jego zastosowanie w fizyce.
Blok 1: Rachunek wektorow i jego astosowanie w fice Podstawowe wielkości ficne w kinematce Opis ruchu w różnch układach odniesienia Ruch wględn I Rachunek wektorow i jego astosowanie w fice Wsstkie wielkości
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,
Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie
Bardziej szczegółowo2. ELEMENTY GEOMETRII ANALITYCZNEJ I WEKTOROWEJ
. ELEMENTY GEOMETRII ANALITYCZNEJ I WEKTOROWEJ.. Wstęp: metod współrzędnych WYKŁAD 5 W geometrii nlitycznej dmy oiekty geometryczne metodą nlityczną. Njrdziej znną metodą tego typu jest metod współrzędnych
Bardziej szczegółowoPrzykład 2.6. Przekrój złożony z trzech kształtowników walcowanych.
Przkłd 6 Przkrój złożon z trzh ksztłtowników wlownh Polni: Wznzć główn ntrln momnt bzwłdnośi orz kirunki główn dl poniższgo przkroju złożongo z trzh ksztłtowników wlownh 0800 0 80800 Dn dotzą ksztłtowników
Bardziej szczegółowoGRUPY SYMETRII Symetria kryształu
GRUPY SYMETRII Smetria krstału Zamknięte (punktowe) operacje smetrii (minimum jeden punkt prestreni nie porusa się wskutek astosowania amkniętej operacji smetrii): Obrot i obrot inwersjne; Inwersja (smetria
Bardziej szczegółowoRozwiazania zadań. Zadanie 1A. Zadanie 1B. Zadanie 2A
Rowiaania adań Zadanie A = ( i) = 4 8i 4 = 8i Badam licbȩ espolon a 8i Jej moduł 8i jest równ 8 Jej postać espolona jest równa 8(cosα + isinα) α = /π St ad cosα = i sinα = Mam pierwiastki które oblicam
Bardziej szczegółowoWykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera
Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu miennch wkład MATEMATYKI Automatka i robotka studia niestacjonarne sem II, rok ak 2009/2010 Katedra Matematki Wdiał Informatki Politechnika Białostocka Niech R ndef ={( 1, 2,, n ): 1 R 2
Bardziej szczegółowodr inż. Zbigniew Szklarski
Włd : Wetor dr nż. Zgnew Slrs sl@gh.edu.pl http://ler.uc.gh.edu.pl/z.slrs/ Welośc fcne Długość, cs, sł, ms, prędość, pęd, prspesene tempertur, nprężene, premescene, ntężene prądu eletrcnego, ntężene pol
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Kls drug A, B, C, D, E, G, H zkres podstwowy 1. FUNKCJA LINIOWA rozpoznje funkcję liniową n podstwie wzoru lub wykresu rysuje
Bardziej szczegółowoKINEMATYKA. 7. Ruch punktu we współrzędnych kartezjańskich
KINETYK 7. Ruch punu we współrzędnch krtezjńskich Zdnie 1 Pun porusz się w jednej płszczźnie. Zneźć: 1) równnie toru punu, ) położenie punu w chwii początkowej, ) prędkość i przspieszenie punu w chrerstcznch
Bardziej szczegółowoPodstawy układów logicznych
Podstwy ukłdów logicznych Prw logiki /9 Alger Boole Prw logiki WyrŜeni i funkcje logiczne Brmki logiczne Alger Boole /9 Alger Boole' Powszechnie stosowne ukłdy cyfrowe (logiczne) prcują w oprciu o tzw.
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania =
Vdemecum GIELDAMATURALNA.PL ODBIERZ KOD DOSTĘPU* Mtemtyk - Twój indywidulny klucz do wiedzy! *Kod n końcu klucz odpowiedzi KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Prón Mtur z OPERONEM Operon 00% MATURA 07 VA D EMECUM
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach
Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,
Bardziej szczegółowoI. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,
I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczy turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... liczy cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wymierą moż przedstwić z pomocą ułmk dziesiętego skończoego
Bardziej szczegółowoz b leżącą na płaszczyźnie xz, otrzymujemy równanie elipsoidy obrotowej, która w myśl równania (3) będzie miała następujące równanie: z b x y z
Mtrił ddktcn Godj gomtrcn Mrcin Ligs, Ktdr Gomtki, Wdił Godji Górnicj i Inżnirii Środowisk, AGH LIPSOIDA OBROTOWA, LIPSA POŁUDNIKOWA, SZROKOŚĆ GODZYJNA, SZROKOŚĆ ZRDUKOWANA, SZROKOŚĆ GOCNTRYCZNA, WSPÓŁRZĘDN
Bardziej szczegółowoI POCHODNA - INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA
I ROK GOSPODARKA PRZESTRZENNA semestr I POCHODNA - INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA Przpomnijm definicję ilorzu róŝnicowego : Definicj (ilorzu róŝnicowego) : Ilorzem róŝnicowm funkcji f : (,b) R odpowidjącm
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I
Mtemtyk finnsow.03.2014 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LXVI Egzmin dl Akturiuszy z mrc 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 0 minut 1 Mtemtyk
Bardziej szczegółowoRozdział 9. Baza Jordana
Rodiał 9 Baa Jordana Niech X będie n wmiarową prestrenią wektorową nad ciałem F = R lub F = C Roważm dowoln endomorfim f : X X Wiem, że postać macier endomorfimu ależ od wboru ba w prestreni X Wiem również,
Bardziej szczegółowo