Lista 5 Zadaia a zastosowaie ierówosci Markowa i Czebyszewa. Zadaie 1. Niech zmiea losowa X ma rozkład jedostajy a odciku [0, 1]. Korzystając z ierówości Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo, że X > 3/4. Porówać otrzymae oszacowaie z wartością dokładą prawdopodobieństwa. Odp. 1. E [X] = 1 xf(x)dx = xdx = 1 2 0 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3 1 2. Pr(X > 3/4) = f(x)dx = dx = 1 4 3/4 3/4 Zadaie 2. Zmiee losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są iezależe o tym samym rozkładzie, jedostajym a odciku [0, 1]. Oszacować od dołu Pr(X 1 + X 2 + X 3 + X 4 < 3). Odp. 2. Niech X = X 1 + X 2 + X 3 + X 4. Wtedy E [X] = E [X 1 ] + E [X 2 ] + E [X 3 ] + E [X 4 ] = 4 1 2 = 2 Pr(X < 3) = 1 Pr(X 3) 1 E [X] 3 = 1 2 3 = 1 3 Zadaie 3. Zmiee losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są iezależe o tym samym rozkładzie, przy czym E [X i ] = 1, oraz D 2 [X i ] = 1. Oszacować od dołu Pr(2 < X 1 + X 2 + X 3 + X 4 < 6). Odp. 3.
Niech X = X 1 + X 2 + X 3 + X 4. Wtedy E [X] = E [X 1 ] + E [X 2 ] + E [X 3 ] + E [X 4 ] = 4 D 2 [X] = D 2 [X 1 + X 2 + X 3 + X 4 ] 1 = D 2 [X 1 ] + D 2 [X 2 ] + D 2 [X 3 ] + D 2 [X 4 ] = 4 Pr(2 < X < 6) = Pr( 2 < X 4 < 2) = Pr( X 4 < 2) = 1 Pr( X 4 2) 2 1 D2 [X] 2 2 = 1 1 = 0 W 1 = skorzystaliśmy z iezależości zmieych X i. W 2 skorzystaliśmy z ierówości Czebyszeva. Jak widzimy, ie uzyskaliśmy żadej istotej iformacji (prawdopodobieństwo jest zawsze ieujeme!). Zadaie 4. Niech zmiea losowa X będzie sumą 10 iezależych zmieych losowych o tym samym rozkładzie wykładiczym z parametrem λ = 2. Korzystając z ierówości Markowa oszacować od dołu Pr(X 8), a korzystając z ierówości Czebyszewa oszacować Pr(3 < X < 7). Odp. 4. Niech X = X 1 + X 2 + + X 10, gdzie X i są iezależe o rozkładzie wykładiczym z parametrem λ = 2. Wtedy E [X i ] = 1 λ, D2 [X i ] = 1 λ 2. E [X] = 10 E [X 1 ] = 10 0 xλe λx dx = 10 1 λ = 5 D 2 [X] = D 2 [X 1 ] + D 2 [X 2 ] + + D 2 [X 10 ] = 10D 2 [X 1 ] = 10 4 Pr(X 8) = 1 Pr(X 8) 1 E [X] = 3 8 8 Pr(3 < X < 7) = Pr( 2 < X 5 < 2) = Pr( X 5 < 2) = 1 Pr( X 5 2) 1 D2 [X] 4 = 1 10 16 = 3 8 Zadaie 5. Prawdopodobieństwo sukcesu w każdej próbie jest rówe 0.25. Korzystając z ierówości Czebyszewa oszacować od dołu prawdopodobieństwo tego, że w 800 iezależych próbach ilość sukcesów będzie większa iż 150, a miejsza iż 250. Odp. 5.
W ramach schematu Beroulliego: = 800, p = 0.25, Pr(X = k) = ( k) p k (1 p) k, E [X ] = p = 200, D 2 [X ] = p(1 p) = 150. Pr(150 < X < 250) = Pr( 50 < X 200 < 50) = Pr( X 200 < 50) = 1 Pr( X 200 50) 1 D2 [X ] = 1 150 50 2 50 = 47 2 50 Zadaie 6. Niech X będzie zmieą losową o wartości średiej m = E [X] i wariacji σ 2. Oszacować od dołu wyrażeie Pr( X m < σ) dla = 3, 4, 5. Następie założyć, że X ma rozkład ormaly, X N(m, σ) i to samo zadaie wykoać korzystając z tablic rozkładu ormalego. Porówać otrzymae wyiki w pierwszym i drugim przypadku. Odp. 6. Pr( X m < σ) = 1 Pr( X m σ) 1 D2 [X] = 1 1 1 1 dla = 3 9 2 σ 2 = 1 1 dla = 4 2 16 1 1 dla = 5 25 W przypadku, gdy X N(m, σ), rozważamy stadaryzowaą zmieą X = X m N(0, 1). Dlatego σ Pr( X m < σ) = Pr( X < ) = Pr( < X < ) = Φ() Φ( ) gdzie Φ jest dystrybuatą stadardowego rozkładu ormalego. W tablicach rozkładu ormalego zajdujemy: Φ(3) = 0.99865, Φ(4) = 0.99997, Φ(5) = 1.00000, Φ( 3) = 1.3499 10 3, Φ( 4) = 3.1671 10 5, Φ( 5) = 2.8665 10 7. Stąd 0.99730 dla = 3 Pr( X m < σ) = 0.99994 dla = 4 1.00000 dla = 5 Zadaia, w których moża stosować przybliżeie Poissoa ( )p k (1 p) k λ λk e k k!,
gdzie λ = p, stosowaego, gdy jest duże, p jest małe, λ średie, p. gdy p 0.1, 0.1 λ 10 oraz 100. Zwróć uwagę, że powyższe porówaie dotyczy odpowiedich wartości prawdopodobieństw w rozkładach Beroulliego i Poissoa. Zadaie 7. Podręczik wydao w akładzie 5000 egzemplarzy. Prawdopodobieństwo tego, że podręczik został źle oprawioy jest rówe 0.001. Zaleźć prawdopodobieństwo tego, że w akładzie pojawią się co ajmiej dwie źle oprawioe książki. Odp. 7. W ramach schematu Beroulliego: X zmiea losowa podaje liczbe sukcesów, źle oprawioych podręczików w akładzie egzemplarzy. Dae rozkładu X : Pr(X = k) = ( k) p k (1 p) k, E [X ] = p, D 2 [X] = p(1 p), = 5000, p = 0.001. Przybliżeie Poissoa: ( Pr(X = k) = )p k (1 p) k λ λk e k k!, λ = p Pr(X 2) = 1 (Pr(X = 0) + Pr(X = 1)) 1 e 5 (5 + 1) λ = 5 Zadaie 8. Obliczyć w przybliżeiu prawdopodobieństwo, że partia 200 elemetów zawiera co ajmiej 1 elemet wadliwy, jeśli wiadomo, że prawdopodobieństwo wytworzeia wadliwego elemetu wyosi p = 0.01. Odp. 8. Pr(X 1) = 1 Pr(X = 0) 1 e 2, λ = p = 2 Zadaie 9. Prawdopodobieństwo wygraia agrody a loterii wyosi 0.001. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród 200 grających: a) żade ie wygra, b) wygra co ajmiej jede, c) wygra co ajwyżej dwóch. Odp. 9.
Postępujemy według schematu Beroulliego, stosujemy aproksymację Poissoa Pr(X = 0) e 0.2, λ = 200 10 3 = 0.2 Pr(X 1) = 1 Pr(X = 0) 1 e 0.2 Pr(X 2) e 0.2 (1 + 0.2 + 0.2 2 /2) Zadaie 10. Rzucamy dwoma kostkami do gry. Sukcesem jest wyrzuceie pary szóstek. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w 100 rzutach liczba sukcesów będzie dodatia, ale ie przekroczy 2. Odp. 10. Schemat Beoulliego, dae: = 100, X k wyik w k-tym rzucie, rozkład p = Pr(X k = 1) = 1/36 (sukces), q = Pr(X k = 0) = 1 p = 35/36 (porażka). Niech Z = X 1 + X 2 + + X liczba sukcesów w -rzutach. Będziemy stosować aproksymację Poissoa z λ = p = 100/36. ( ) 100 Pr(0 < Z 2) = Pr(Z = 1) + Pr(Z = 2) = p(1 p) 99 + 1 ( ) 100 p 2 (1 p) 98 e λ (λ 1 + 1 2 2 λ2 ) = Zadaie 11. Partię 50000 wyprodukowaych elemetów, wśród których wymieszaych było 100 wadliwych, zapakowao po 500 sztuk, do 100 pojemików. Obliczyć prawdopodobieństwo, że otrzymay przez klieta pojemik, zawierał co ajmiej dwa elemety wadliwe. Odp. 11. Schemat Beroulliego: = 500, sukces-elemet wadliwy, prawdopodobieństwo wylosowaia pojedyczego elemetu wadliwego: p = 100/50000 = 2 10 3. Zmiea losowa Z podaje liczbę elemetów wadliwych w partii elemetów, jej rozkład jest astępujący Pr(Z = k) = ( k) p k (1 p) k. W obliczeiach stosujemy przybliżeie Poissoa z λ = p = 500 2 10 3 = 2 Pr(Z 2) = 1 (Pr(Z = 0) + Pr(Z = 1)) 1 e 2 (1 + 2).
Zadaie 12. Przy trasmisji = 10 4 bitów dodajemy jeszcze jede bit tak, aby liczba wszystkich jedyek była parzysta. Błąd w trasmisji wykryjemy, jeśli liczba odebraych jedyek będzie ieparzysta. Obliczyć prawdopodobieństwo iewykrycia błędu, gdy prawdopodobieństwo przekłamaia pojedyczego bitu wyosi p = 10 6. Wsk. rozpatrzyć przypadek przekłamaia dokładie dwóch bitów. Co w przypadku przekłamaia większej, parzystej liczby bitów? Odp. 12. Schemat Beroulliego z = 10 4, sukces = przekłamaie jedego bitu, zmiea losowa Z podaje liczbę przekłamaych bitów. Rozkład zmieej Z jest astępujący Pr(Z = k) = ( k) p k (1 p) k. Przykładowe wartości 0.99005 dla k = 0 Pr(Z = k) = ( ) p k (1 p) k = k 0.0099005 dla k = 1 4.9498e 05 dla k = 2 1.6496e 07 dla k = 3 4.1227e 10 dla k = 4 Zwróć uwagę a rzędy wielkości i domiującą wartość prawdopodobieństwa przekłamaia dwóch bitów w stosuku do prawdopodobieństwa przekłamaia większej parzystej liczby bitów. Dla porówaia podajemy aproksymacje Poissoa 0.99005 dla k = 0 Pr(Z = k) = ( ) p k (1 p) k = k 0.0099005 dla k = 1 4.9502e 05 dla k = 2 1.6501e 07 dla k = 3 4.1252e 10 dla k = 4 Zadaie 13. Prawdopodobieństwo zdaia egzamiu przez studeta pewej iepubliczej szkoły wyższej wyosi 0.98. Zakładając, że studeci zdają egzamiy iezależie od siebie, obliczyć prawdopodobieństwo, że ze 100 studetów egzamiy zda co ajmiej 97 studetów. Odp. 13. Schemat Beroulliego, = 100, sukces=studet ie zdał egzamiu p = 1 0.98, zmiea losowa Z podaje liczbę studetów, którzy ie zdali egzamiu, rozkład Z, Pr(Z = k) = ( k) p k (1 p) k. Będziemy stosować
aproksymację Poissoa z λ = p = 2. Problem w zadaiu opisujemy astępująco Pr(Z 2) = Pr(Z = 0) + Pr(Z = 1) + Pr(Z = 2) e 2 (1 + 2 + 2/2). Zadaia a zastosowaie Cetralego Twierdzeia Graiczego (twierdzeia Lidberga-Levy ego) Przykład 1. Prawdopodobieństwo uzyskaia wygraej w pewej grze liczbowej wyosi 0.1. Obliczyć prawdopodobieństwo, że spośród 500 grających osób wygra więcej iż 60 osób. Rozwiązaie. Niech X i = { 1, gdy wystąpiła wygraa w i-tej grze 0, gdy wystapiła przegraa w i-tej grze i = 1, 2,..., 500, m = E [X i ] = p = 0.1, σ 2 = D 2 [X] i = p(1 p) = 0.09, = 500 oraz iech X = X 1 + X 2 + + X 500. Szukae prawdopodobieństwo wyosi 60 ( ) 500 Pr(X 60) = 1 Pr(X < 60) = 1 0.1 k 0.9 500 k. k Trudości w obliczeiu 60 k=0 k=0 ( 500 ) k 0.1 k 0.9 500 k moża omiąć korzystając z Cetralego Twierdzeia Graiczego. Miaowicie {ω : X < 60} = {ω : X 1 + X 2 + + X 500 < 60} = { } X 1 + X 2 + + X 500 500 m 60 500 m ω : < = 500σ 500σ { ω : X 1 + X 2 + + X 500 500 m 500σ < } 10 500 0.3 Stosując teraz Cetrale Twierdzeie Graicze, otrzymujemy ( ) 10 Pr(X < 60) Φ Φ(1.5) 0.9319, 500 0.3 gdzie Φ(x) = 1 2π x ormalego N(0, 1). Ostateczie e x2 2 dx jest dystrybuatą stadardowego rozkładu Pr(X 60) = 1 P (X < 60) 1 0.9319 = 0.0681.
Zadaie 14. Prawdopodobieństwo urodzeia chłopca jest rówe 0.515. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wśród 1000 oworodków będzie co ajwyżej 480 dziewczyek? Odp. 14. Niech X = 1 ozacza urodzeie dziewczyki (sukces) i iech X = 0 ozacza urodzeie chłopca. Rozkład prawdopodobieństwa X: Pr(X = 1) = p = 0.485, Pr(X = 0) = 0.515, m = E [X] = p = 0.485, σ 2 = D 2 [X] = p(1 p) = 0.25. Przyjmujemy = 1000 Z = X 1 + X 2 + + X, X 1, X 2,..., X są iezależe o rozkładzie zmieej X, zastosujemy Cetrale Twierdzeie Graicze ( Z m Pr(Z 480) = Pr x = 480 m ) 480 m σ 1 Φ = 0.31623, 1 Φ(x ) = 0.62409 ( ) 480 m Zadaie 15. Średio, dwa a dziesięć kupioych jaj ie adaje się a pisakę. a) Ile trzeba kupić jaj, aby z prawdopodobieństwem co ajmiej 0.9 zapewić możliwość zrobieia 50 pisaek? b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że kupując obliczoą w pukcie a) liczbę jaj a pisaki, zabrakie ich więcej iż 10? Odp. 15. Przyjmujemy X = 1 - zakupioe jajko jest dobre (sukces), X = 0-zakupioe jajko jest wadliwe (porażka). Rozkład X: Pr(X = 1) = 0.8, Pr(X = 0) = 0.2, m = E [X] = 0.8, σ 2 = D 2 [X] = 0.16. Zmiee X 1, X 2,..., X ozaczają poszczególe jajka zakupioej w -partii. Zaiteresowai jesteśmy zdarzeiem X 1 + X 2 + + X 50. Będziemy stosować Cetrale Twierdzeie Graicze. Niech Z = X 1 + X 2 + + X m = 0.8, = 0.4 ( Z m Pr(Z 50) = Pr Φ(x ) = 0.1 x = 1.28 50 0.8 x = 0.4 = 1.28 ) 50 m σ 1 Φ(x ) = 0.9
Wyzaczamy z rówaia kwadratowego (przyjąć x = ) 50 0.8 + 1.28 0.4 = 0 x 1 = 7.5922, x 2 = 8.2322 przyjmujemy: x 2 2 69 Wiosek. Trzeba kupic coajmiej = 69 jajek. b) ( Z m Pr(Z < 50 10) = Pr 40 m x = σ 40 0.8 69 = σ 69 ) ( ) 40 m 40 m < σ Φ 4.57 Zadaie 16. Czy moża zastosować twierdzeie Lideberga-Levy ego dla ciągu iezależych zmieych losowych o gęstościach f(x) = 1 π(1 + x 2 )? Odp. 16. Wśród założeń w Cetralym Twierdzeiu Graiczym są astępujące: E [X i ] = m <, D 2 [X i ] <, i = 1, 2, 3,...,. Natomiast zmiea X o gęstości f(x) ie ma skończoej wartości oczekiwaej, co wykazują obliczeia 1 π 1 x 1 + x dx = 2 2 π 0 1 x 1 + x dx = 1 2 π l(1 + x2 ) 0 =. Zadaie 17. Obliczyć w przybliżeiu prawdopodobieństwo, że partia 100 elemetów, z których każdy ma czas pracy T i (i := 1, 2,..., 100) wystarczy a zapewieie pracy urządzeia przez lączie 100 godzi, gdy wiadomo, że E [T i ] = 1 oraz D 2 [T i ] = 1. = 100 Odp. 17.
Niech Z = T 1 + T 2 + + T -łączy czas pracy elemetów, będziemy stosować Cetrale Twierdzeie Graicze. m = E [T i ] = 1, σ 2 = D 2 [T i ] ( ) Z m Pr(Z 100) = 1 Pr(Z < 100) = 1 Pr σ 100 m < σ 1 Φ(x ), x = 100 m = 0 Φ(x ) = Φ(0) = 0.5 Zadaie 18. Zmiee losowe X 1, X 2,..., X 60 mają rozklad jedostajy a odciku [1, 3]. Niech 60 X = X k. Obliczyć przybliżoą wartość wyrażeia Pr(118 < X < 123). Odp. 18. Dla rozkładu jedostajego mamy: m = E [X i ] = a+b σ 2 = D 2 [X i ] = (b a)2 = 4. Niech = 60. Wtedy 12 12 m = 120, = 20 ( 118 120 Pr(118 < X < 123) = Pr < X m 2 = 2, Φ(3/ 20) Φ( 2/ 20) = 0.74883 0.32736 = 0.42147 ) 123 120 < σ Zadaie 19. Zmiee losowe X 1, X 2,..., X 100 są iezależe o jedakowym rozkładzie Poissoa z parametrem λ = 2. Obliczyć przybliżoą wartość wyrażeia ( ) 100 Pr 190 < X k < 220. Odp. 19.
Dla rozkładu Poissoa mamy: m = E [X i ] = λ = 2, σ 2 = D 2 [X i ] = λ = 2. Niech = 100, X = 100 X k. Wtedy m = 200, = 10 2 ( 190 200 Pr(190 < X < 220) = Pr σ < X m ) σ 220 200 < σ ( ) ( ) 20 10 Φ σ Φ σ = Φ( 2) Φ( 1/ 2) = 0.92135 0.23975 = 0.68160 Zadaie 20. Zmiee losowe X 1, X 2,..., X 100 są iezależe o jedakowym rozkładzie wykładiczym z parametrem λ = 4. Dla 100 X = X k obliczyć przybliżoą wartość wyrażeia Pr(X > 30). Odp. 20. Dla rozkładu wykładiczoego mamy: m = E [X i ] = 1/λ = 0.25, σ 2 = D 2 [X i ] = 1/λ 2 = 1/16. Niech = 100, X = 100 X k. Wtedy m = 25, σ 30 m = 10/4 = 2.5, σ = 5/2.5 = 2 ( 30 m Pr(X > 30) = Pr σ < X m ) σ Φ( ) Φ(5/2.5) = 1 0.97725 = 0.022750 Zadaie 21. Zmiee losowe X k są iezależe i mają te sam rozkład o gęstości { 3 f(x) = (1 4 x2 ) dla x < 1 0 poza tym. Dla Z = 100 ( ) X k oszacować Pr Z < 10 15.
Odp. 21. m = E [X i ] = 1 xf(x)dx = 3 x(1 x 2 )dx = 0, 4 E [ X 2 i ] = σ 2 = E [ X 2 i x 2 f(x)dx = 3 4 1 1 1 x 2 (1 x 2 )dx = 3 4 ( 2 3 2 ) = 1 5 5 ] (E [Xi ]) 2 = 1 5 0 = 1 5, σ = 1 5 = 0.44721 Niech = 100, X = 100 X k. Wtedy m = 0, = 10 0.44721 = 4.4, 10 = 1 = 0.58 15σ 3 ( Pr Z < 10 ) ( ) Z m = Pr 15 < 10 Φ(0.58) = 0.7190 15σ