Lista 5. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym

Transkrypt

1 Lista 5 Zadania na zastosowanie nierównosci Markowa i Czebyszewa. Zadanie 1. Niech zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 1]. Korzystając z nierówności Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo, że X > 3/4. Porównać otrzymane oszacowanie z wartością dokładną prawdopodobieństwa. Zadanie 2. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym rozkładzie, jednostajnym na odcinku [0, 1]. Oszacować od dołu Pr(X 1 + X 2 + X 3 + X 4 < 3). Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym rozkładzie, przy czym E [X i ] = 1, oraz D 2 [X i ] = 1. Oszacować od dołu Pr(2 < X 1 + X 2 + X 3 + X 4 < 6). Zadanie 4. Niech zmienna losowa X będzie sumą 10 niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie wykładniczym z parametrem λ = 2. Korzystając z nierówności Markowa oszacować od dołu Pr(X 8), a korzystając z nierówności Czebyszewa oszacować Pr(3 < X < 7). Zadanie 5. Prawdopodobieństwo sukcesu w każdej próbie jest równe Korzystając z nierówności Czebyszewa oszacować od dołu prawdopodobieństwo tego, że w 800 niezależnych próbach ilość sukcesów będzie większa niż 150, a mniejsza niż 250. Zadanie 6. Niech X będzie zmienną losową o wartości średniej m = E [X] i wariancji σ 2. Oszacować od dołu wyrażenie Pr( X m < nσ) dla n = 3, 4, 5. Następnie założyć, że X ma rozkład normalny, X N(m, σ) i to samo zadanie wykonać korzystając z tablic rozkładu normalnego. Porównać otrzymane wyniki w pierwszym i drugim przypadku. Zadania, w których można stosować przybliżenie Poissona ( n )p k (1 p) n k λ λk e k k!, gdzie λ = np, stosowanego, gdy n jest duże, p jest małe, λ średnie, np. gdy p 0.1, 0.1 λ 10 oraz n 100. Zwróć uwagę, że powyższe porównanie dotyczy odpowiednich wartości prawdopodobieństw w rozkładach Bernoulliego i Poissona.

2 Zadanie 7. Podręcznik wydano w nakładzie 5000 egzemplarzy. Prawdopodobieństwo tego, że podręcznik został źle oprawiony jest równe Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że w nakładzie pojawią się co najmniej dwie źle oprawione książki. Zadanie 8. Obliczyć w przybliżeniu prawdopodobieństwo, że partia 200 elementów zawiera co najmniej 1 element wadliwy, jeśli wiadomo, że prawdopodobieństwo wytworzenia wadliwego elementu wynosi p = Zadanie 9. Prawdopodobieństwo wygrania nagrody na loterii wynosi Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród 200 grających: a) żaden nie wygra, b) wygra co najmniej jeden, c) wygra co najwyżej dwóch. Zadanie 10. Rzucamy dwoma kostkami do gry. Sukcesem jest wyrzucenie pary szóstek. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w 100 rzutach liczba sukcesów będzie dodatnia, ale nie przekroczy 2. Zadanie 11. Partię wyprodukowanych elementów, wśród których wymieszanych było 100 wadliwych, zapakowano po 500 sztuk, do 100 pojemników. Obliczyć prawdopodobieństwo, że otrzymany przez klienta pojemnik, zawierał co najmniej dwa elementy wadliwe. Zadanie 12. Przy transmisji n = 10 4 bitów dodajemy jeszcze jeden bit tak, aby liczba wszystkich jedynek była parzysta. Błąd w transmisji wykryjemy, jeśli liczba odebranych jedynek będzie nieparzysta. Obliczyć prawdopodobieństwo niewykrycia błędu, gdy prawdopodobieństwo przekłamania pojedynczego bitu wynosi p = Wsk. rozpatrzyć przypadek przekłamania dokładnie dwóch bitów. Co w przypadku przekłamania większej, parzystej liczby bitów? Zadanie 13. Prawdopodobieństwo zdania egzaminu przez studenta pewnej niepublicznej szkoły wyższej wynosi Zakładając, że studenci zdają egzaminy niezależnie od siebie, obliczyć prawdopodobieństwo, że ze 100 studentów egzaminy zda co najmniej 97 studentów. Zadania na zastosowanie Centralnego Twierdzenia Granicznego (twierdzenia Lindberga-Levy ego)

3 Przykład 1. Prawdopodobieństwo uzyskania wygranej w pewnej grze liczbowej wynosi 0.1. Obliczyć prawdopodobieństwo, że spośród 500 grających osób wygra więcej niż 60 osób. Rozwiązanie. Niech X i = { 1, gdy wystąpiła wygrana w i-tej grze 0, gdy wystapiła przegrana w i-tej grze i = 1, 2,..., 500, m = E [X i ] = p = 0.1, σ 2 = D 2 [X] i = p(1 p) = 0.09, n = 500 oraz niech X = X 1 + X X 500. Szukane prawdopodobieństwo wynosi 60 ( ) 500 Pr(X 60) = 1 Pr(X < 60) = k k. k Trudności w obliczeniu 60 k=0 k=0 ( 500 ) k 0.1 k k można ominąć korzystając z Centralnego Twierdzenia Granicznego. Mianowicie {ω : X < 60} = {ω : X 1 + X X 500 < 60} = { } X 1 + X X m m ω : < = { ω : X 1 + X X m < } Stosując teraz Centralne Twierdzenie Graniczne, otrzymujemy ( ) 10 Pr(X < 60) Φ Φ(1.5) , gdzie Φ(x) = 1 2π x normalnego N(0, 1). Ostatecznie e x2 2 dx jest dystrybuantą standardowego rozkładu Pr(X 60) = 1 P (X < 60) = Zadanie 14. Prawdopodobieństwo urodzenia chłopca jest równe Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wśród 1000 noworodków będzie co najwyżej 480 dziewczynek?

4 Zadanie 15. Średnio, dwa na dziesięć kupionych jaj nie nadaje się na pisankę. a) Ile trzeba kupić jaj, aby z prawdopodobieństwem co najmniej 0.9 zapewnić możliwość zrobienia 50 pisanek? b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że kupując obliczoną w punkcie a) liczbę jaj na pisanki, zabraknie ich więcej niż 10? Zadanie 16. Czy można zastosować twierdzenie Lindeberga-Levy ego dla ciągu niezależnych zmiennych losowych o gęstościach f(x) = 1 π(1 + x 2 )? Zadanie 17. Obliczyć w przybliżeniu prawdopodobieństwo, że partia 100 elementów, z których każdy ma czas pracy T i (i := 1, 2,..., 100) wystarczy na zapewnienie pracy urządzenia przez lącznie 100 godzin, gdy wiadomo, że E [T i ] = 1 oraz D 2 [T i ] = 1. Zadanie 18. Zmienne losowe X 1, X 2,..., X 60 mają rozklad jednostajny na odcinku [1, 3]. Niech 60 X = X k. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia Pr(118 < X < 123). Zadanie 19. Zmienne losowe X 1, X 2,..., X 100 są niezależne o jednakowym rozkładzie Poissona z parametrem λ = 2. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia ( ) 100 Pr 190 < X k < 220. Zadanie 20. Zmienne losowe X 1, X 2,..., X 100 są niezależne o jednakowym rozkładzie wykładniczym z parametrem λ = 4. Dla 100 X = X k obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia Pr(X > 30).

5 Zadanie 21. Zmienne losowe X k są niezależne i mają ten sam rozkład o gęstości { 3 f(x) = (1 4 x2 ) dla x < 1 0 poza tym. Dla Z = 100 ( ) X k oszacować Pr Z <